第24章 圆（单元测试·含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第24章 圆
一．选择题（共7小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，得到△A′BC′，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，O为圆心，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝50°，则∠AOB的度数是（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
3．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，AB∥CD，若OB＝16cm，OC＝12cm，则BE+CG等于（　　）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
4．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙A上，若AB＝4，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，当O′A′恰好经过的中点C，OA＝2时，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且BC＝CD，连接OD并延长交⊙O的切线CE于点E，若∠BCD＝130°，则∠E的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
7．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC．若∠AOC＝130°，则∠ABC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．130° D．115°
二．填空题（共8小题）
8．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADC＝36°，则这个正多边形的边数为　 　 ．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠C＝20°，则∠BAD的度数是　 　 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则半径的长为 　 　 cm．
11．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 　 　 ．（结果保留π）
12．如图，在扇形OAB中，圆心角∠AOB＝130°，C是上的点，∠AOC＝90°，则∠CAB的度数为 　 　 ．
13．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为　 　 ．
14．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数为 　 　 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，8），B（﹣6，0），以A为圆心，4为半径作⊙A，点P为⊙A上一动点，M为OP的中点，连接BM，设BM的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为 　 　 ．
三．解答题（共7小题）
16．如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
17．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，．
（1）求的长；
（2）求阴影部分拱形面积．（保留π）
18．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若△GOE的面积为，，求AG的长．
19．如图，已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，以A为圆心，AB长为半径的圆交BC于D，交AC于E，F为EC上一点，连接FD，若FD＝FC．
（1）求证：DF为⊙A的切线；
（2）若AB＝5，AC＝12，求CD的长．
20．如图，点A，B，D，E在以AB为直径的⊙O上，AE、BD的延长线交于点C，且∠C＝∠B，过点D作DF⊥AC交AC于点F，DE＝DC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当点E在AC上什么位置时，？求出此时的值．
21．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DF＝2，CF＝6，求BC的长．
22．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，且AB＝OC，求∠A的度数．
第24章 圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，得到△A′BC′，则阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据坐标的定义可得OA＝OB＝OC，根据勾股定理可求出BC，由旋转的性质可知BA′＝BA＝2，进而得出∠OA′B＝30°，再求出∠ABA′＝60°＝∠CBC′，由面积之间的关系得到S阴影部分＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′进行计算即可．
【解答】解：∵点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），
∴OA＝OB＝OC＝1，
∴BC，AB＝2，
由旋转可知，BA′＝BA＝2，OB＝1，
∴∠OA′B＝30°，
∴∠ABA′＝90°﹣30°＝60°＝∠CBC′，
∴S阴影部分＝S扇形BAA′+S△BA′C′﹣S扇形BCC′﹣S△ABC
＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′
，
故选：A．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及旋转的性质是正确解答的前提．
2．如图，O为圆心，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝50°，则∠AOB的度数是（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理解答，即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半．
【解答】解：根据圆周角定理可知：
∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握该知识点是关键．
3．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，AB∥CD，若OB＝16cm，OC＝12cm，则BE+CG等于（　　）
A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm
【答案】D
【分析】根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°，再由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长．
【解答】解：连接OF，
根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，
∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝16cm，OC＝12cm，
∴BC20cm，
∵OF⊥BC，
∴BE＝BF，CG＝CF
∴BE+CG＝BF+CF＝BC＝20cm．
故选：D．
【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．由勾股定理可求得BC的长是关键．
4．如图，菱形ABCD的顶点B，C，D在⊙A上，若AB＝4，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AC，根据菱形的性质和扇形的性质即可得到△ABC是等边三角形，进一步得到∠BAD＝120°，根据阴影部分的面积＝扇形BAD的面积﹣菱形ABCD的面积，依此列式计算即可求解．
【解答】解：如图，连接AC，BD，相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD＝4，AC⊥BD，
∴△ABC，△ACD是等边三角形，AE＝CE＝2，
∴∠BAD＝120°，BE2，
∴BD＝2BE＝4，
∴阴影部分的面积＝扇形BAD的面积﹣菱形ABCD的面积
44
8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式是解题的关键．
5．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，当O′A′恰好经过的中点C，OA＝2时，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝和∠BOC的度数，再由平移的性质和特殊角的三角形函数值求出OO′和O′C的长，从而利用三角形和扇形的面积公式，分别求出△OO′C和扇形AOC的面积，进而根据阴影部分的面积＝△OO′C的面积+扇形AOC的面积计算即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵∠AOB＝90°，O′A′恰好经过的中点C，
∴∠AOC＝∠BOC∠AOB90°＝45°，
∵将扇形OAB沿OB方向平移得到扇形O′A′B′，
∴∠A′O′B′＝90°，
∴OO′＝O′C＝OC sin∠BOC＝2，
∴S△OO′COO′ O′C1，
∵S扇形AOCπ×22，
∴S阴影＝S△OO′C+S扇形AOC1．
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、平移的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系，平移的性质，特殊角的三角形函数值，三角形和扇形的面积计算公式是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且BC＝CD，连接OD并延长交⊙O的切线CE于点E，若∠BCD＝130°，则∠E的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【分析】连接OB，OC，利用圆的性质，连接圆心O到圆上的点B和C，形成三角形OBC和OCD．根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，然后根据圆内接四边形的性质求出∠A，进而求出∠BOD，再利用等腰三角形的性质得出∠BOC＝∠COD，最后求出∠E的度数即可．
【解答】解：连接OB，OC，则∠OCE＝90°．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°（圆内接四边形的对角互补），
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
∵BC＝CD，
∴，
∴∠E＝90°﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆的性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC．若∠AOC＝130°，则∠ABC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．130° D．115°
【答案】D
【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理，求得∠ADC的度数，然后由圆的内接四边形的性质，可求得∠ABC的度数．
【解答】解：如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC．
在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC＝130°，
∴∠ADC＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝115°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形对角互补，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共8小题）
8．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADC＝36°，则这个正多边形的边数为　10　 ．
【答案】10．
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得到∠AOB＝∠BOC∠AOC＝∠ADC＝36°，即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADC＝36°，
∴∠AOB＝∠BOC∠AOC＝∠ADC＝36°，
∴这个正多边形的边数10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠C＝20°，则∠BAD的度数是　70°　 ．
【答案】70°．
【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠B和∠ADB，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：连接BD，
∵∠C＝20°，
∴∠B＝∠C＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
即∠BAD的度数为70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理的内容是解此题的关键．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8cm，MB＝2cm，则半径的长为 　5　 cm．
【答案】5．
【分析】连接OC，设⊙O的半径是r cm，根据垂径定理得出CM＝DM＝4cm，根据勾股定理得出关于r的方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：连接OC，设⊙O的半径是r cm，则OB＝OC＝r cm，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8cm，
∴CM＝DM＝4cm，∠OMC＝90°，
由勾股定理得：OC2＝CM2+OM2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径是5cm，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．
11．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点A放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点B，C，则图中的长为 　π　 ．（结果保留π）
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定义得∠BOC＝2∠A＝90°，再根据弧长公式即可求出BC弧的长．
【解答】解：连接OB，OC，如图所示：
依题意得：∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
∴BC弧的长为：π．
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式，圆周角定理是解决问题的关键．
12．如图，在扇形OAB中，圆心角∠AOB＝130°，C是上的点，∠AOC＝90°，则∠CAB的度数为 　20°　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知易得∠BOC＝40°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOB＝130°，∠AOC＝90°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝40°，
∴∠BAC∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为　　 ．
【答案】．
【分析】由旋转可得△A′B′C≌△ABC，∠ACA′＝∠BCB′＝60°，进而得到S阴影＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，据此解答即可求解，将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键．
【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，BC＝6，AC＝10，
∴△A′B′C≌△ABC，∠ACA′＝∠BCB′＝60°，
∴S△A′B′C＝S△ABC，
∴S阴影＝S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴，，
∴，
∴线段AB扫过的图形面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟记扇形的面积公式及旋转的性质是解题的关键．
14．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，则∠BAC的度数为 　36°　 ．
【答案】36°．
【分析】先求出五边形ABCDE的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，每条边都相等即可求出∠ABC的度数，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：正五边形ABCDE的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，多边形的内角与外角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，8），B（﹣6，0），以A为圆心，4为半径作⊙A，点P为⊙A上一动点，M为OP的中点，连接BM，设BM的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为 　4　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】在x轴上取一点E（﹣12，0），连接PE．由OM＝PM，OB＝BE，推出BMPE，因为点P在⊙A上运动，所以P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10+4＝14，最小值EP″＝10﹣4＝6，由此即可解决问题．
【解答】解：在x轴上取一点E（﹣12，0），连接PE．
∵B（﹣6，0），A（﹣6，8），
∴OB＝BE＝6，AE10，
∵OM＝PM，OB＝BE，
∴BMPE，
∵点P在⊙A上运动，
∴P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10+4＝14，最小值EP″＝10﹣4＝6，
∴m＝7，n＝3，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题作为的压轴题．
三．解答题（共7小题）
16．如图，已知点O是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆交于点C、D．
（1）求证：AC＝BD；
（2）如果AB＝8，CD＝4，大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，根据垂径定理得AE＝BE，CE＝DE，所以AE﹣CE＝BE﹣DE，即可求解；
（2）连接AO、CO，在Rt△AOE与Rt△COE中，由勾股定理得：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，再结合AB＝8，CD＝4得OA2﹣OC2＝12，又大圆面积是小圆面积的3倍，即可求解大圆半径的长．
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥AB于E，
∴AE＝BE，CE＝DE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，
∴AC＝BD；
（2）解：连接AO、CO，
在Rt△AOE与Rt△COE中，OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，
∴OC2﹣CE2 ＝OA2﹣AE2，
∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2，
∵CD＝4，AB＝8，
∴CE＝2，AE＝4，
∴OA2﹣OC2＝42﹣22＝12①，
∵大圆面积是小圆面积的3倍，
∴π OA2＝3π OC2，
即OA2＝3OC2②，
根据①②可得：OA2＝18，
∴．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
17．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，．
（1）求的长；
（2）求阴影部分拱形面积．（保留π）
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）先求出半径，再直接利用弧长公式求解即可；
（2）先求出扇形AOB的面积，再减去直角三角形AOB的面积即可．
【解答】解：（1）由题意可得：AO2+BO2＝2，且AO＝BO，
∴AO＝BO＝1，
∴的长为：；
（2）扇形AOB的面积为：，
直角三角形AOB的面积为：，
∴阴影部分拱形面积为：．
【点评】本题考查求弧长以及不规则图形的面积，熟练掌握基本公式是解题关键．
18．如图，AB是⊙O的直径，射线BC交⊙O于点D，E是劣弧AD上一点，且，过点E作EF⊥BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
（1）证明：GF是⊙O的切线；
（2）若△GOE的面积为，，求AG的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【分析】（1）连接OE，由可得∠ABE＝∠DBE，由OB＝OE得到∠ABE＝∠BEO，可得∠DBE＝∠BEO，推出OE∥BF，结合EF⊥BC，即可求证；
（2）在Rt△GOE中，根据三角形的面积公式求出OA＝OE＝3，再由勾股定理求得OG＝9，最后根据AG＝OG﹣OA，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵OB＝OE，
∴∠ABE＝∠BEO，
∴∠DBE＝∠BEO，
∴OE∥BF，
∵BF⊥GF，
∴OE⊥GF，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△GOE中，，
∵△GOE的面积为，，
∴，
∴OA＝OE＝3，
∵OE⊥GE，
∴，
∴AG＝OG﹣OA＝6．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质，勾股定理及平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
19．如图，已知，Rt△ABC中，∠A＝90°，以A为圆心，AB长为半径的圆交BC于D，交AC于E，F为EC上一点，连接FD，若FD＝FC．
（1）求证：DF为⊙A的切线；
（2）若AB＝5，AC＝12，求CD的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠B+∠C＝90°，根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠ADB，∠C＝∠CDF，结合平角定义求出∠ADF＝90°，则AD⊥DF，根据切线的判定定理即可得证；
（2）连接AD，过点A作AM⊥BD于点M，根据勾股定理求出BC＝13，根据三角形面积公式求出AM，根据勾股定理、等腰三角形的性质求出BD＝2BM，再根据线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AB＝AD，FD＝FC，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CDF，
∴∠ADB+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝180°﹣90°＝90°，
∴AD⊥DF，
又∵AD是⊙A的半径，
∴DF为⊙A的切线；
（2）解：如图，连接AD，过点A作AM⊥BD于点M，
Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC13，
∵AM⊥BD，
∴AB ACBC AM，
∴AM，
∴BM，
∵AB＝AD，AM⊥BD，
∴BD＝2BM，
∴CD＝BC﹣BD．
【点评】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．
20．如图，点A，B，D，E在以AB为直径的⊙O上，AE、BD的延长线交于点C，且∠C＝∠B，过点D作DF⊥AC交AC于点F，DE＝DC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）当点E在AC上什么位置时，？求出此时的值．
【答案】（1）详见解析；
（2）点E为AC中点时，，．
【分析】（1）连接OD，得到∠ODB＝∠C，则OD∥AC，结合题意得到∠ODF＝90°，即OD⊥DF，再根据切线的定义即可求解；
（2）根据题意得到△DEC为等腰三角形，由等腰三角形的性质得到F为CE的中点，则，所以若，则AE＝EC，此时E为AC中点，设CF＝k，则EF＝k，AE＝2k，AB＝AC＝4k，四边形OAED是平行四边形，则有DE＝AO＝2k，CD＝2k，可证△BOD为等边三角形，得到BD＝2k，BC＝4k，由此即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠ODF＝∠CFD，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
∵OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵DE＝DC，
∴△DEC为等腰三角形，
∵DF⊥AC，
∴F为CE的中点，
∴，
若，则AE＝EC，此时E为AC中点，
设CF＝k，则EF＝k，AE＝2k，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝4k，
∴OA＝OB＝OD＝2k，
由（1）得：OD∥AC，
又∵OD＝AE＝2k，
∴四边形OAED是平行四边形，
∴DE＝AO＝2k，
∴CD＝2k，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠B＝60°，
∴△BOD为等边三角形，
∴BD＝2k，BC＝4k，
∴．
【点评】本题主要考查切线的性质，等腰（等边）三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握圆与三角形的综合知识的运用是解题的关键．
21．如图，在矩形ABCD中，G为AD的中点，△GBC的外接圆⊙O交CD于点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DF＝2，CF＝6，求BC的长．
【答案】（1）∵∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴AG＝GD，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴BG＝CG，
∴∠BOG＝∠COG，
∴∠BOM＝∠COM，
∵OB＝OC，
∴GM⊥BC．
∵BC∥AD，
∴OG⊥AD，
∵OG是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）8．
【分析】（1）连接OB，OC，OG，延长GO交BC于点M，根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，推出△ABG≌△DCG（SAS），得到BG＝CG，推出GM⊥BC，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BF，OG，OC，过点O作OH⊥CD于点H，证明四边形OGDH为矩形，得到DH＝GO＝DF+FH＝2+3＝5，求出．
【解答】（1）证明，连接OB，OC，OG，延长GO交BC于点M．
∵∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴AG＝GD，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴BG＝CG，
∴∠BOG＝∠COG，
∴∠BOM＝∠COM，
∵OB＝OC，
∴GM⊥BC．
∵BC∥AD，
∴OG⊥AD，
∵OG是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；
（2）连接BF，OG，OC，过点O作OH⊥CD于点H．
∵∠BCF＝90°，GD⊥DH，GD∥OH，
∴四边形OGDH为矩形，
∵OF＝OC，OH⊥CF，
∵∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴AG＝GD，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴BG＝CG，
∴∠BOG＝∠COG，
∴∠BOM＝∠COM，
∵OB＝OC，
∴GM⊥BC．
∵BC∥AD，
∴OG⊥AD，
∵OG是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；CF＝6，
∴，
∴DH＝GO＝DF+FH＝2+3＝5，
∴BF＝2GO＝2DH＝10，
∴CF＝6，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，∠EOD＝48°，A为DC延长线上一点，且AB＝OC，求∠A的度数．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆的半径，可得等腰三角形，根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB，∠B与∠E的关系，根据三角形的外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：如图，连接OB，
由AB＝OC，得AB＝OB，∠AOB＝∠A．
由三角的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A．
由OB＝OE，得∠E＝∠EBO＝2∠A．
由∠A+∠E＝∠EOD，即∠A+2∠A＝48°．
解得∠A＝16°．
【点评】本题考查了圆的认识，利用了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．
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