1.3 正方形的性质与判定（同步练习·含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

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1.3 正方形的性质与判定
一．选择题（共5小题）
1．如图，在边长为1的正方形ABCD中，连接BD，BE平分∠ABD交AD于点E，F是AD边上一点，连接CF交BD于点G，CF＝BE，连接AG交BE于点H．在下列结论中：①△ABE≌△DCF；②AG＝CG；③BE⊥AG；④，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．②③④
2．如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF、CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝130°，则∠BAF的度数为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
3．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　）
A． B．（﹣2，1） C． D．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形BEDF的面积为（　　）
A． B．8 C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E、F是正方形内两点，AE＝FC＝6，BE＝DF＝8，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．3
二．填空题（共6小题）
6．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB上的动点（与顶点不重合），连接EO（O为正方形ABCD的对角线交点）交CD边于点F，过点B作BK⊥直线EF，垂足为K，若正方形ABCD的边长为a，则线段KC的最大值是 　 　 （用含a的式子表示）．
7．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，若CG＝4，CF＝3，则AE的长为　 　 ．
8．文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为50cm的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要 　 　 块瓷砖（不计损耗）．
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，则∠CDE＝ 　 　 ．
10．如图，点E在正方形ABCD外，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若，BF＝10，则DE的值为　 　 ．
11．已知正方形ABCD的边长为6，P（不与点A重合）为射线AD上的动点，点A关于直线BP的对称点为E，连接PE、BE、CE、DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的长为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）证明：四边形DECF为正方形；
（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求四边形DECF的面积．
13．如图，在正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：∠DAP＝∠ABQ．
14．小玉学了轴对称后，想起以前做过的一道题：有一组数排成如图所示的方阵，试计算这组数的和．小玉想：方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小玉试了试，得到了非常巧妙的方法，你也来试试看吧!
15．如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．
（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；
（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．
16．如图，红十字标志是由五个边长都相等的正方形组成的．试建立一个直角坐标系，并选取红十字标志上的若干点，以便刻画这个图形的形状和大小，写出这些点的坐标．
17．已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC，
（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若DC＝6，若∠AEC＝45°，求DE．
18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且AE＝BF．求证：AF⊥DE．
19．如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．
（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；
（2）求点A的坐标．
1.3 正方形的性质与判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在边长为1的正方形ABCD中，连接BD，BE平分∠ABD交AD于点E，F是AD边上一点，连接CF交BD于点G，CF＝BE，连接AG交BE于点H．在下列结论中：①△ABE≌△DCF；②AG＝CG；③BE⊥AG；④，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①④ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【分析】利用正方形的性质证明△ABE≌△DCF（SAS），可判断①；
通过证明△ABG≌△CBG（SAS），可判断②；
利用全等三角形对应角相等，通过导角证明∠AHB＝90°，可判断③；
证明△ABH≌△GBH（ASA），推出BG＝BA＝1，进而得出，再证∠DFG＝∠BGC＝∠DGF，可判断④．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC＝BC，∠BAE＝∠CDF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
故①正确；
在△ABG和△CBG中，
，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
故②正确；
∵△ABE≌△DCF，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵△ABG≌△CBG，
∴∠BAG＝∠BCG，
∴∠ABE+∠BAG＝∠DCF+∠BCG＝∠BCD＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣（∠ABE+∠BAG）＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥AG，
故③正确；
∵BE⊥AG，
∴∠AHB＝∠GHB＝90°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABH＝∠GBH，
在△ABH和△GBH中，
，
∴△ABH≌△GBH（ASA），
∴BG＝BA＝1，
又∵，
∴，
∵∠DCF+∠DFG＝∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠DFG＝∠BCG，
∵BG＝BC＝1，
∴∠BGC＝∠BCG，
∴∠DFG＝∠BGC＝∠DGF，
∴，
故④正确；
综上可知，正确的有①②③④，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质及判定等，有一定难度，综合应用上述知识点，熟练进行等量代换是解题的关键．
2．如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF、CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝130°，则∠BAF的度数为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【分析】根据正方形的性质得∠ABF＝∠CBF＝45°，AB＝CB，证明△ABF≌△CBF（SAS），得，再根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∠AFC＝130°，
∴∠ABF＝∠CBF＝45°，AB＝CB，
在△ABF和△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴，
∴∠BAF＝180°﹣∠ABF﹣∠AFB＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
∴∠BAF的度数为70°．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形向左偏移，使点C落在y轴正半轴上点C′处，则点D的对应点D′的坐标为（　　）
A． B．（﹣2，1） C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，，BC'＝C'D'＝2，再由勾股定理求出OC'即可求解，利用勾股定理求出OC'是解题的关键．
【解答】解：由题意可得，，AB＝BC'＝CD'＝AD'＝2，
∴，四边形ABC′D'为菱形，
∴C'D'∥x轴，
∴点D'的坐标为（﹣2，），
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，坐标与图形，会用勾股定理求出线段长度是解题的关键．
4．如图，正方形ABCD的边长为4，菱形BEDF的边长为3，则菱形BEDF的面积为（　　）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【分析】连接EF、BD交于点O，根据正方形的性质利用勾股定理求出BD的长，根据菱形的性质求出OE的长，即可得出EF的长，最后根据菱形的面积等于对角线长的积的一半即可求解．
【解答】解：连接EF、BD交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，∠DAB＝90°，
由勾股定理得，BD，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，DE＝3，OE＝OF，OB＝OD，
∴OD，
由勾股定理得，
∴EF＝2OE＝2，
∴菱形BEDF的面积为，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形和菱形的性质是解题的关键．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E、F是正方形内两点，AE＝FC＝6，BE＝DF＝8，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】延长AE交DF于G，再根据全等三角形的判定得出△AGD与△ABE全等，得出AG＝BE＝8，由AE＝6，得出EG＝2，同理得出GF＝2，再根据勾股定理得出EF的长．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝10，AE＝FC＝6，BE＝DF＝8，如图：延长AE交DF于G，
∵AB＝10，AE＝6，BE＝8，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得△DFC是直角三角形，
可得△AGD是直角三角形
∴∠ABE+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠GAD＝∠EBA，
同理可得：∠ADG＝∠BAE，
在△AGD和△BAE中，
，
∴△AGD≌△BAE（ASA），
∴AG＝BE＝8，DG＝AE＝6，
∴EG＝2，
同理可得：GF＝2，
在直角三角形GEF中，由勾股定理得：EF，
故选B．
【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，解题关键在于添加辅助线，构造直角三角形．
二．填空题（共6小题）
6．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB上的动点（与顶点不重合），连接EO（O为正方形ABCD的对角线交点）交CD边于点F，过点B作BK⊥直线EF，垂足为K，若正方形ABCD的边长为a，则线段KC的最大值是 　　 （用含a的式子表示）．
【答案】．
【分析】解：连接BO，以BO中点I为圆心，BO为直径作圆，连接KI，作IH⊥BC交BC于H，可得K在以I为圆心，BO为直径的圆上运动．可知线段KC的最大值是K'C＝K'I+IC，由正方形边长为a可知对角线长，进而可得，∠HBO＝45°，可得，由勾股定理可得，即可得解．
【解答】解：连接BO，以BO中点I为圆心，BO为直径作圆，连接KI，作IH⊥BC交BC于H，
∵BK⊥直线EF，EF过O，
∴∠BKO＝90°，
即K在以I为圆心，BO为直径的圆上运动，
如图，当C，l，K′在一条直线上时，连接KK'，
可知KC≤K'C即线段KC的最大值是K'C＝K'I+IC，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴正方形ABCD的对角线长，
∵O为正方形ABCD的对角线交点，
∴BO，∠HBO＝45°，
∵点I为BO中点，
∴，
即，
∵IH⊥BC，
∴HH⊥BH，
∴，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，与圆有关的计算，掌握以上性质是解题的关键．
7．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，若CG＝4，CF＝3，则AE的长为　5　 ．
【答案】5．
【分析】先根据矩形的性质得到四个角是直角，根据三个是直角的四边形是矩形，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质得到线段的长度，进而运用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，延长GE交AB于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDA＝∠DAB＝90°，∠CDB＝∠CBD＝45°，
∵EF⊥BC，
∴∠DGM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴AM＝DG，
同理得：四边形EMBF是矩形，四边形GEFC是矩形，
∴GE＝CF＝3，EF＝CG＝4，
∵∠DGM＝90°，∠CDB＝45°，
∴∠GED＝45°，
∴DG＝GE＝3，
∴BF＝EF＝4，
∴EM＝BF＝4，AM＝DG＝3，
由勾股定理可得，，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，解决此题的关键是合理的作出辅助线．
8．文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为50cm的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要 　224　 块瓷砖（不计损耗）．
【答案】224．
【分析】先求出矩形底面的面积为560000cm2，再求出一块瓷砖面积是2500cm2（注意单位要统一），然后根据“矩形底面的面积÷一块瓷砖面积＝所需瓷砖的块数”即可得出答案．
【解答】解：∵教室的底面是矩形，长为8米＝800cm，宽是7米＝700cm，
∴矩形底面的面积为：800×700＝560000（cm2），
又∵铺地面的瓷砖是边长为50cm的正方形，
∴一块瓷砖面积是：50×50＝2500（cm2），
∴铺这间教室大约需要瓷砖的块数是：560000÷2500＝224（块）．
答：铺这间教室大约需要224块瓷砖．
故答案为：224．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的性质，矩形的性质，理解“矩形底面的面积÷一块瓷砖面积＝所需瓷砖的块数”是解决问题的关键．
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，则∠CDE＝ 　15°　 ．
【答案】15°．
【分析】先根据正方形的性质求得∠BCD＝90°，BC＝CD，再根据等边三角形得到∠BCE＝60°，BC＝CE，最后根据等腰三角形和三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵正方形ABCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD，
∵等边三角形BCE，∠BCE＝60°，BC＝CE，
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝150°，CD＝CE，
∴15°，
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正方形，等边三角形和等腰三角形的性质．
10．如图，点E在正方形ABCD外，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若，BF＝10，则DE的值为　14　 ．
【答案】14．
【分析】求出EF＝8，∠AEF＝∠AFE＝45°，证明△ABE≌△ADF（SAS），得到∠BEF＝∠AEB﹣∠AEF＝90°，得到BE＝6，则DF＝BE＝6，即可求出答案．
【解答】解：∵过点A作AE的垂线交DE于点F．，
∴，∠AEF＝∠AFE＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴DF＝BE，∠AEB＝∠AFD＝180°﹣∠AFE＝135°，
∴∠BEF＝∠AEB﹣∠AEF＝90°，
∴BE2＝BF2﹣EF2＝102﹣82＝36，
∴BE＝6（负值已舍去），
∴DF＝BE＝6，
∴DE＝DF+EF＝6+8＝14，
故答案为：14．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、勾股定理等知识是解题的关键．
11．已知正方形ABCD的边长为6，P（不与点A重合）为射线AD上的动点，点A关于直线BP的对称点为E，连接PE、BE、CE、DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的长为　或或　 ．
【答案】或或．
【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当CE＝CD，且点P在射线AD上时，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，求出EM的长，并证明△PEM是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第二种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，推出△BCE为等边三角形，证明△PME是含有30°角的直角三角形，即可求出PE的长，即AP的长；第三种情况是当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上时，证△ABE为等边三角形，求出∠ABP＝30°，即可求出AP的长．
【解答】解：由折叠的性质知BE＝AB＝6，PE＝AP，根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，
①如图，当CE＝CD，且点P在射线AD上时，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，
∴CE＝CD＝BE＝BC，
∴△BEC为等边三角形，
∴，∠EBC＝60°，
∴，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
在四边形ABEP中，
∵∠A＝∠PEB＝90°，∠ABE＝30°，
∴∠APE＝150°，
∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，
∴在Rt△PEM中，
，
∴；
②如图，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，
由题意知，△BCE为等边三角形，
∴，
∴，
在四边形ABEP中，
∵∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，
∴∠APE＝30°，
∴在Rt△PME中，，
∴；
③当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
又∵AB＝EB，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠ABP＝∠EBP＝30°，
在Rt△ABP中，，
故答案为：或或．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，解题关键是能够根据题意画出分情况讨论的图形，并结合等腰三角形的性质等进行解答．
三．解答题（共8小题）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，过点D分别作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）证明：四边形DECF为正方形；
（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求四边形DECF的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出四边形是矩形，再推出DF＝CF，根据正方形的判定推出即可；
（2）证△ADF∽△ABC，得出比例式，代入求出正方形的边长，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠DFC＝∠FCE＝∠DEC＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DF∥EC，
∴∠FDC＝∠ECD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠ECD，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴DF＝CF，
∴四边形DECF是正方形；
（2）解：∵四边形DECF是正方形，
∴DF＝FC＝CE＝DE，
设DF＝FC＝CE＝DE＝x，
∵DF∥BC，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
∴，
解得：x，
即DF＝FC＝CE＝DE，
∴四边形DECF的面积是．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，角平分线定义，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
13．如图，在正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：∠DAP＝∠ABQ．
【答案】证明见解析．
【分析】根据正方形的性质得出AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，根据已知条件得出AQ＝DP，证明△ABQ≌△DAP（SAS），得出∠DAP＝∠ABQ，即可得证．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DQ＝CP，
∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，
∴AQ＝DP，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴∠DAP＝∠ABQ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握其性质是解题的关键．
14．小玉学了轴对称后，想起以前做过的一道题：有一组数排成如图所示的方阵，试计算这组数的和．小玉想：方阵就像正方形，正方形是轴对称图形，能不能利用轴对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小玉试了试，得到了非常巧妙的方法，你也来试试看吧!
【答案】125．
【分析】将原图沿AB对折，左侧的数加到右侧，得图，即可得原图所有数的和＝10×10+5×5＝125．
【解答】解：将原图沿AB对折，左侧的数加到右侧，得图，故原图所有数的和＝10×10+5×5＝125．
【点评】本题主要考查了轴对称，解题关键是利用轴对称的思想解决方阵的计算问题．
15．如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．
（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；
（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可得AB＝AD＝DO＝BO，则可求各顶点的坐标．
（2）根据题意可得P点坐标（，），则可求△PDO面积．
【解答】解：（1）∵正方形ABOD的周长为4
∴AB＝BO＝DO＝AD
∴A（，），B（0，），O（0，0），D（，0）
（2）∵点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等
∴P（，）
∴S△PDO1
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
16．如图，红十字标志是由五个边长都相等的正方形组成的．试建立一个直角坐标系，并选取红十字标志上的若干点，以便刻画这个图形的形状和大小，写出这些点的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】建立一个直角坐标系，并选取红十字标志上的若干点，写出这些点的坐标即可，答案不唯一．
【解答】解：如图所示，A（1，0），B（2，0），C（3，1），D（3，2），E（2，3），F（1，3），G（0，2），H（0，1），M（1，1），N（2，1），P（2，2），Q（1，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，掌握正方形的性质是解决问题的关键．
17．已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC，
（1）求证：△EAB≌△ECB；
（2）若DC＝6，若∠AEC＝45°，求DE．
【答案】（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC.，
在△EAB和△ECB中，
，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）DE＝6．
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC.，可证明△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）由（1）知△EAB≌△ECB，得到，求出∠DCE＝∠BDC﹣∠DEC＝22.5°，得到∠DEC＝∠DCE＝2.5°，推出DE＝DC＝6．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC.，
在△EAB和△ECB中，
，
∴△EAB≌△ECB（SAS）；
（2）解：由（1）知△EAB≌△ECB，
∴，
∵∠BDC＝45°，
∴∠DCE＝∠BDC﹣∠DEC＝22.5°，
∴∠DEC＝∠DCE＝2.5°，
∴DE＝DC＝6．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
18．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且AE＝BF．求证：AF⊥DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠ADE＝∠BAF，进而得出∠AGE＝90°．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△DAE和△ABF中
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠FAE+∠AED＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴AF⊥DE．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△DAE≌△ABF是解题关键．
19．如图，四边形ABCD为正方形，B的坐标（0，4），C的坐标（3，0），A、D在第一象限．
（1）过D作DE⊥x轴，垂足为E，先证明△OBC≌△ECD，再写出点D的坐标；
（2）求点A的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用正方形的性质得CB＝CD，∠BCD＝90°，根据等角的余角相等得到∠CBO＝∠DCE，则可利用“AAS”判断△OBC≌△ECD，所以OC＝DE＝3，OB＝CE＝4，从而可确定D点坐标；
（2）利用点平移的规律求A点坐标．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠BCO+∠CBO＝90°，∠BCO+∠DCE＝90°，
∴∠CBO＝∠DCE，
在△OBC和△ECD中
，
∴△OBC≌△ECD（AAS），
∴OC＝DE＝3，OB＝CE＝4，
∴D（7，3）；
（2）解：C点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点D，则D点向左平移3个单位，向上平移4个单位得到点A，
所以A点坐标为（4，7）．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定方法．
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