24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（同步练习·含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一．选择题（共6小题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C．8 D．
2．如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
3．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．100°
4．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　）
A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定
5．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
6．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠ABC＝52°，则∠ACD的度数是（　　）
A．38° B．39° C．49° D．51°
二．填空题（共7小题）
7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝22.5°，S△ABC＝8，则△ABC外接圆⊙O的面积为　 　 ．
8．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ABO＝20°，则∠ADC的度数为 　 　 °．
9．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为10，则PA的长为 　 　 ；
10．如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，连接AC，以AC为边作菱形ACDE，且点B在边CD上，连接BE，AD，BE与AD交于点F，与⊙O交于点G．若，AC＝6，则BD的长度为 　 　 ，FG的长度为 　 　 ．
11．如图，在 ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝　 　 °．
12．如图△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，作OD⊥BC，垂足为D，OD＝3，则AC＝　 　 ．
13．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝8，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为　 　 ．
三．解答题（共9小题）
14．已知：如图，圆O半径长为25，弦AB长为48，点C是弧AB的中点．
（1）求弦AC长；
（2）圆O的一个同心圆与弦AC所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小．
15．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
16．如图，△ABC内接于⊙O，点D在劣弧上，且，连接BD、CD，延长DC至点P，连接BP，使得∠A＝∠P．
（1）求证：AC∥BP；
（2）若BC＝4，CP＝8，求PB的长．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线垂直于点D，与⊙O交于点E，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝8，DE＝3，求⊙O的半径．
18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点F．
（1）求证BD＝DE；
（2）若AB＝9，AC＝5，BD＝6，求EF的长．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝10，DC＝6，求AC的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，过点A作AD⊥CF，交直线CF于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD＝2，AD＝4，求线段AF的长．
21．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA至点D，以AD为直径的⊙O交BA的延长线于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若OA＝AB＝5，BE＝13，求BF的长．
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【分析】作BM⊥AC于点M，由题意可得出△AEB≌△DEC，从而可得出△EBC为等边三角形，从而得到∠GEF＝60°，∠EGF＝30°，再由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．
【解答】解：作BM⊥AC于点M，
在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（ASA），
∴EB＝EC，
又∵BC＝CE，
∴BE＝CE＝BC，
∴∠GEF＝60°，BC＝EC，
∵OF⊥AC
∴∠EGF＝30°，
∵EG＝2，∠EGF＝30°，
∴，
又∵AE＝ED＝4，OF⊥AC
∴CF＝AF＝AE+EF＝5，
∴AC＝2AF＝10，EC＝EF+CF＝6，
∴BC＝EC＝6，
∴∠MBC＝30°，
∴CM＝3，，
∴AM＝AC﹣CM＝7，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
2．如图是日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【分析】根据图形可直接得出结论．
【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是：相交，
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系的判定是解题的关键．
3．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．100°
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠A＝45°，，
∴∠BOC＝2∠A＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握其性质是解题的关键．
4．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　）
A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d＝r；点P在圆内 d＜r．
5．已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】A
【分析】OP＝5，A为线段PO的中点，则OA＝2.5，因而点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
【解答】解：∵OAOP＝2.5，⊙O的半径为3，
∴OA＜⊙O半径，
∴点A与⊙O的位置关系为：点在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
6．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠ABC＝52°，则∠ACD的度数是（　　）
A．38° B．39° C．49° D．51°
【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角的直角可得∠DBC＝90°，从而可得∠DBA＝38°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA，即可求解．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠ABC＝52°，
∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝38°，
∴∠DBA＝∠DCA＝38°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝22.5°，S△ABC＝8，则△ABC外接圆⊙O的面积为　16π　 ．
【答案】16π．
【分析】先连接AO，BO，CO，在CB截取一点N，连接AN，使得AN＝AB，证明△ABN是等腰直角三角形，结合三角形的外角性质以及角的和差关系得∠ACB＝∠NAC＝22.5°，即AN＝NC，设AN＝a，则AB＝AN＝NC＝a，得，根据S△ABC＝8，得，整理得，运用圆周角定理以及勾股定理，得AB2﹣BW2＝AO2﹣OW2，再代入数值计算，即可作答．
【解答】解：△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝22.5°，S△ABC＝8，如图，连接AO，BO，CO，在CB截取一点N，连接AN，使得AN＝AB，
∴∠ANB＝45°，∠BAN＝90°，
即△ABN是等腰直角三角形，
∵∠ANB＝∠ACB+∠NAC，
∴∠NAC＝∠ANB﹣∠ACB＝22.5°，
即∠ACB＝∠NAC＝22.5°，
∴AN＝NC，
设AN＝a，
则AB＝AN＝NC＝a，
在直角三角形ABN中，由勾股定理得：，
过A作AH⊥BC，
∴，
同理证明△AHN是等腰直角三角形，
∴，
∵S△ABC＝8，
∴，
整理得，
过A作AW⊥BO，
∵，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×22.5°＝45°，
∵AW⊥BO，
∴△AWO是等腰直角三角形，
∴AW＝WO，
设AO＝BO＝r，
在直角三角形AOW中，由勾股定理得：AO2＝AW2+WO2＝2AW2，
即r2＝2AW2，
∴，
∴，
则AW2＝AB2﹣BW2，AW2＝AO2﹣OW2，
即AB2﹣BW2＝AO2﹣OW2，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∴，
则△ABC外接圆⊙O的面积为πr2＝16π，
故答案为：16π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD，OA，若∠ABO＝20°，则∠ADC的度数为 　35　 °．
【答案】35．
【分析】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠O＝70°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠B＝20°，
∴∠O＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC∠O70°＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
9．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为10，则PA的长为 　5　 ；
【答案】5．
【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，
∴PA＝PB，
∵DA，DC分别和⊙O切于A，C两点，
∴DA＝DC，
同理可得：EB＝EC，
∵△PDE的周长为10，
∴PD+DE+PE＝10，
∴PD+DC+CE+PE＝10，
∴PD+DA+EB+PE＝10，
∴PA+PB＝10，
∴PA＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记切线长定理是解题的关键．
10．如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，连接AC，以AC为边作菱形ACDE，且点B在边CD上，连接BE，AD，BE与AD交于点F，与⊙O交于点G．若，AC＝6，则BD的长度为 　2　 ，FG的长度为 　　 ．
【答案】2，．
【分析】先利用菱形的性质得到AE∥CD，AE＝CD＝AC＝6，再根据切线的性质得到AB⊥CD，所以AB⊥AE，于是利用勾股定理可计算出BC＝4，则BD＝CD﹣BC＝2，BE＝2，接着证明
△BDF∽△EAF，利用相似比求出，所以BFBE，然后证明△BAG∽△BEA，则利用相似三角形的性质可求出BG，然后计算BG﹣BF即可．
【解答】解：∵四边形ACDE为菱形，
∴AE∥CD，AE＝CD＝AC＝6，
∵以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，
∴AB⊥CD，
∴AB⊥AE，
在Rt△ABC中，BC4，
∴BD＝CD﹣BC＝6﹣4＝2；
在Rt△ABE中，BE2，
∵AE∥BD，
∴△BDF∽△EAF，
∴，
∴BFBE2，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∵∠ABG＝∠EBA，∠AGB＝∠EAB，
∴△BAG∽△BEA，
∴BG：BA＝BA：BE，
即BG：22：2，
解得BG，
∴FG＝BG﹣BF．
故答案为：2，．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、菱形的性质和圆周角定理．
11．如图，在 ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝　28　 °．
【答案】28．
【分析】由平行四边形的性质得出∠A＝∠BCD＝104°，求出∠ECD＝180°﹣∠A＝76°，则可得出答案．
【解答】解：∵四边形ACBD是平行四边形，
∴∠A＝∠BCD＝104°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠A+∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝180°﹣∠A＝76°，
∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝104°﹣76°＝28°，
故答案为：28．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、圆内接四边形的性质；熟练掌握以上知识是解决问题的关键．
12．如图△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，作OD⊥BC，垂足为D，OD＝3，则AC＝　6　 ．
【答案】6．
【分析】由AB是⊙O的直径，证明O是AB的中点，由OD⊥BC，根据垂径定理得CD＝BD，则D是BC的中点，由三角形中位线定理得AC＝2OD＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点，
∵OD⊥BC，OD＝3，
∴CD＝BD，
∴D是BC的中点，
∴AC＝2OD＝6，
故答案为：6．
【点评】此题重点考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，推导出O是AB的中点，且D是BC的中点是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝8，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为　3或　 ．
【答案】3或．
【分析】根据切线的性质，直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，CEB是⊙O的割线，
∴AC2＝CE CB，
∵AC＝4，BC＝8，
∴CE2，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2＝6，
∴OB＝OE＝3，
即⊙O的半径为3，
∴OC＝OE+EC＝3+2＝5，
由于D是BC边上的动点，△ACD为直角三角形，
当∠CAD＝90°时，此时点D与点O重合，AD＝AO＝3，
当∠CDA＝90°时，如图，AD，
所以当△ACD为直角三角形时，AD的长为3或．
故答案为：3或．
【点评】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
三．解答题（共9小题）
14．已知：如图，圆O半径长为25，弦AB长为48，点C是弧AB的中点．
（1）求弦AC长；
（2）圆O的一个同心圆与弦AC所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小．
【答案】（1）AC的长为30．
（2）这个同心圆半径r的大小为20．
【分析】（1）连接AO，OC，OC交AB于H，由垂径定理知OH⊥AB，AHAB＝24，在Rt△OAH中，易求OH长，进而易得HC的长．再利用勾股定理，即可得出AC的长；
（2）过O作OG⊥AC于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接OA，OC，OC交AB于H，
∵C是弧AB的中点，
∴OH⊥AB，
∴AHAB＝24，
在Rt△OAH中，OA＝25，AH＝24，
根据勾股定理得：OH7，
∴HC＝OC﹣OH＝25﹣7＝18，
在Rt△AHC中，根据勾股定理得：AC30，
∴AC的长为30．
（2）过O作OG⊥AC于G，
∵OA＝OC，
∴AGAC＝15，
∵OA＝25，
∴OG20，
答：这个同心圆半径r的大小为20．
【点评】本题考查了直线于圆的位置关系，切线的性质，勾股定理以及垂径定理，构造出Rt△OAH是解本题的关键．此类题目常用的方法是：弦的一半，弦心距，半径构成的是直角三角形．
15．已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OMOA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OMOA10＝5，
∴AM5，
∴AE＝2AM＝2×510．
【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．
16．如图，△ABC内接于⊙O，点D在劣弧上，且，连接BD、CD，延长DC至点P，连接BP，使得∠A＝∠P．
（1）求证：AC∥BP；
（2）若BC＝4，CP＝8，求PB的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠A＝∠CBD，
∵∠A＝∠P，
∴∠ACD＝∠P，
∴AC∥BP；
（2）．
【分析】（1）由等弧对等角得∠ACD＝∠A＝∠CBD，结合∠A＝∠P可证∠ACD＝∠P，可证结论成立；
（2）证明△CBD∽△BPD，然后利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠A＝∠CBD，
∵∠A＝∠P，
∴∠ACD＝∠P，
∴AC∥BP；
（2）解：由（1）知∠D＝∠CBD＝∠A＝∠P，
∴BP＝BD，BC＝CD＝4，
∵∠D＝∠D，∠CBD＝∠P，
∴△CBD∽△BPD，
∴，即，
∴PB2＝4×12，
解得（负值已舍）．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等弧对等角、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
17．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD和过点C的切线垂直于点D，与⊙O交于点E，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝8，DE＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OC交BE于F，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠OCA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，得到∠DAC＝∠OAC；
（2）根据垂径定理求出BF，再根据勾股定理列式计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC交BE于F，
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠DAB；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥CD，AD⊥CD，
∴四边形DEFC为矩形，BF＝FEBE＝4，
∴CF＝DE＝3，
在Rt△BOF中，OB2＝BF2+OF2，即OB2＝42+（OB﹣3）2，
解得：OB，即⊙O的半径为．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点F．
（1）求证BD＝DE；
（2）若AB＝9，AC＝5，BD＝6，求EF的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）EF的长是2．
【分析】（1）连接BE，因为点E是△ABC的内心，所以∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，而∠CBD＝∠CAD，则∠BAD＝∠CBD，因为∠DEB＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，所以∠DEB＝∠DBE，则BD＝DE；
（2）由∠BAD＝∠CAD，∠D＝∠C，证明△ABD∽△AFC，得，所以AD AF＝AB AC＝45，由∠FBD＝∠BAD，∠D＝∠D，证明△BFD∽△ABD，得，所以AD DF＝BD2＝36，推导出AD2＝81，求得AD＝9，则DF＝4，因为BD＝DE＝6，所以EF＝2．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵点E是△ABC的内心，E的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD，
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∴∠ABE+∠BAD＝∠CBE+∠CBD，
∵∠DEB＝∠ABE+∠BAD，∠DBE＝∠CBE+∠CBD，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴BD＝DE．
（2）解：∵∠BAD＝∠CAD，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AFC，
∴，
∵AB＝9，AC＝5，BD＝6，
∴AD AF＝AB AC＝9×5＝45，
∴∠FBD＝∠BAD，∠D＝∠D，
∵△BFD∽△ABD，
∴，
∴AD DF＝BD2＝62＝36，
∴AD AF+AD DF＝45+36，
∴AD2＝81，
∴AD＝9或AD＝﹣9（不符合题意，舍去），
∴9DF＝36，
∴DF＝4，
∵BD＝DE＝6，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
∴EF的长是2．
【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝10，DC＝6，求AC的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AC的长为12．
【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，所以∠BAD＝∠ODA，而∠BAD＝∠CAD，所以∠ODA＝∠CAD，则OD∥AC，所以∠ODB＝∠C＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）作DF⊥AB于点F，可证明△AFD≌△ACD，得AF＝AC，DF＝DC＝6，因为BD＝10，所以BF8，BC＝BD+DC＝16，则AB＝AF+BF＝AC+8，由勾股定理得AC2+162＝（AC+8）2，求得AC＝12．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠BAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且BC⊥OD于点D，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：作DF⊥AB于点F，则∠BFD＝∠AFD＝∠C＝90°，
在△AFD和△ACD中，
，
∴△AFD≌△ACD（AAS），
∴AF＝AC，DF＝DC＝6，
∵BD＝10，
∴BF8，BC＝BD+DC＝10+6＝16，
∵AC2+BC2＝AB2，且AB＝AF+BF＝AC+8，
∴AC2+162＝（AC+8）2，
解得AC＝12，
∴AC的长为12．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，过点A作AD⊥CF，交直线CF于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD＝2，AD＝4，求线段AF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到FC⊥OC，证明OC∥AD，得到∠OCA＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠OAC，得到∠OAC＝∠CAD；
（2）证明△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质求出AB，再证明△FCO∽△FDA，根据相似三角形的性质求出AF．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵FC与⊙O相切于点C，
∴FC⊥OC，即∠FCO＝90°，
∵AD⊥CF，
∴∠ADF＝90°，
∴∠FCO＝∠ADF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠CAD，
∴AC平分∠BAD；
（2）解：∵CD＝2，AD＝4，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠D＝90°，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB＝5，
∴OA＝OC＝2.5，
∵∠FCO＝∠D，∠F＝∠F，
∴△FCO∽△FDA，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
21．如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论；
（2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：如图，连接OE，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵DF＝FE，
∴∠FED＝∠FDE，
∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°，
∴∠FED+∠OEC＝90°，
即∠FEO＝90°，
∴OE⊥FE，
∵OE是半径，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，
∴FE＝2BD＝2（r﹣1），
在Rt△FEO中，由勾股定理得，
FE2+OE2＝OF2，
∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2，
解得r＝3，或r＝1（舍去），
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA至点D，以AD为直径的⊙O交BA的延长线于点E，过点E作⊙O的切线交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若OA＝AB＝5，BE＝13，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，得到∠BAC＝∠OEA，根据切线的性质得到OE⊥EF，得到∠FEB＝∠B，根据等腰三角形的判定得到BF＝EF；
（2）连接DE，根据勾股定理求出DE，证明△OED∽△FEB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠BAC＝∠OAE，
∴∠BAC＝∠OEA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵EF是⊙O的切线，
∴OE⊥EF，
∴∠OEA+∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠B，
∴BF＝EF；
（2）解：如图，连接DE，
∵AB＝5，BE＝13，
∴AE＝BE﹣AB＝13﹣5＝8，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴DE6，
∵OE⊥EF，∠AED＝90°，
∴∠OED＝∠FEB，
∵OE＝OD，FE＝FB，
∴△OED∽△FEB，
∴，即，
解得：BF．
【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
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