24.3 正多边形和圆（同步练习·含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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24.3 正多边形和圆
一．选择题（共7小题）
1．若一个正多边形的中心角为45°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．七 B．八 C．九 D．十
2．下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为60°．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，正五边形ABCDE外切于⊙O，点P，M，N分别是边AE，BC，CD的切点，则∠MPN的度数为（　　）
A．32° B．34° C．36° D．38°
4．如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　）
A．16° B．18° C．20° D．36°
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为劣弧上一点，则∠AFB的度数是（　　）
A．20° B．24° C．32° D．36°
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABO的度数是（　　）
A．30° B．36° C．54° D．60°
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
8．若正多边形的半径与边心距的夹角为20°，则该正多边形的边数为 　 　 ．
9．如图，点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，连接AC、AF，则∠CAF的度数为 　 　 °．
10．陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC＝15°，则这个正多边形的边数为 　 　 ．
11．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AO，BO，则∠FED﹣∠AOB＝　 　 °．
12．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
13．如图，已知边长为1的正五边形的对角线围成了一个新的更小的正五边形，求这个小正五边形的边长．
14．有一个亭子，它的地基是半径为4m的圆内接正六边形，求地基的周长和面积．
15．已知，如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB：A′B′和面积比S内：S外．
16．如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．
17．用方程描述下列问题中的数量关系：
（1）一张面积是240cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm．设它的宽为x cm，可得方程 　 　 ．
（2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为x cm，可得方程 　 　 ．
24.3 正多边形和圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．若一个正多边形的中心角为45°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】B
【分析】根据正多边形的中心角计算公式为：中心角＝360°÷边数，求解即可．
【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意可得：45°n＝360°，
解得n＝8，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键．
2．下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为60°．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【解答】解：直径是弦，故①正确，
弧是半圆，故②错误，
平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故③错误，
圆的内接正六边形的中心角为60°，故④正确，
正确的个数为2，
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形与圆，圆的认识，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．如图，正五边形ABCDE外切于⊙O，点P，M，N分别是边AE，BC，CD的切点，则∠MPN的度数为（　　）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【答案】C
【分析】连接OM、ON，由五边形ABCDE是正五边形，求得∠C＝108°，由切线的性质证明∠OMC＝∠ONC＝90°，则∠MON＝360°﹣∠OMC﹣∠ONC﹣∠C＝72°，所以∠MPN∠MON＝36°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OM、ON，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C（5﹣2）×180°＝108°，
∵点P，M，N分别是⊙O与边AE，BC，CD的切点，
∴BC⊥OM，CD⊥ON，
∴∠OMC＝∠ONC＝90°，
∴∠MON＝360°﹣∠OMC﹣∠ONC﹣∠C＝72°，
∴∠MPN∠MON＝36°，
故选：C．
【点评】此题重点考查正多边形和圆、切线的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．如图，AB是⊙O内接正十边形的一条边，直线l经过点B且与⊙O相切，则∠1的度数为（　　）
A．16° B．18° C．20° D．36°
【答案】B
【分析】连接OA、OB，则OA＝OB，所以∠OBA＝∠A，由AB是⊙O内接正十边形的一条边，求得∠AOB＝36°，则2∠OBA+36°＝180°，求得∠OBA＝72°，由切线的性质得∠OBC＝90°，则∠1＝90°﹣∠OBA＝18°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OA、OB，则OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A，
∵AB是⊙O内接正十边形的一条边，
∴∠AOB360°＝36°，
∵∠OBA+∠A+∠AOB＝180°，
∴2∠OBA+36°＝180°，
∴∠OBA＝72°，
∵直线l经过点B且与⊙O相切，
∴l⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠OBA＝18°，
故选：B．
【点评】此题重点考查正多边形和圆、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为劣弧上一点，则∠AFB的度数是（　　）
A．20° B．24° C．32° D．36°
【答案】D
【分析】连接OA，OB．求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OB，
由题意可得：ABCDE是正五边形，
∴，
则∠AFB的度数为：
．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆、圆周角定理是解决此题的关键．
6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABO的度数是（　　）
A．30° B．36° C．54° D．60°
【答案】C
【分析】首先求得正五边形的中心角的度数，然后根据半径相等求得答案．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB72°，
∴∠ABO＝∠BAO（180°﹣72°）＝54°，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得正五边形的中心角的度数，难度不大．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质求出∠BOM，利用余弦的定义计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，
∴∠BOM30°，
∴OM＝OB cos∠BOM＝1；
故选：B．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．若正多边形的半径与边心距的夹角为20°，则该正多边形的边数为 　9　 ．
【答案】9．
【分析】根据正多边形的半径与边心距的夹角为20°，求得正多边形的中心角为40°，于是得到结论．
【解答】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为20°，
∴正多边形的中心角为40°，
∴该正多边形的边数为9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题的关键．
9．如图，点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，连接AC、AF，则∠CAF的度数为 　18　 °．
【答案】18．
【分析】连接AD，利用正多边形的性质，全等三角形的判定定理证得△ABC≌△AED，由全等三角形的性质定理可得AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，根据三角形内角和定理易得结果．
【解答】解：连接AD，
∵点F为正五边形ABCDE的边CD的中点，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，，
，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，
∴∠ACF＝108°﹣36°＝72°，∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝180°﹣∠ACF﹣∠AFC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
故答案为：18．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．陕西某民间灯会活动中，主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，如图，AB与BC为该正多边形的一组相邻边，小丽量得∠BAC＝15°，则这个正多边形的边数为 　十二　 ．
【答案】十二
【分析】由题意知，AB＝BC，则∠BCA＝∠BAC＝15°，可求∠B＝150°，设这个正多边形的边数为n，依题意得，150°n＝180°（n﹣2），计算求解即可．
【解答】解：由题意知，AB＝BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝15°，
∴∠B＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝150°，
设这个正多边形的边数为n，
依题意得，150°n＝180°（n﹣2），
解得，n＝12，
故答案为：十二．
【点评】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和等知识，熟练掌握等边对等角，三角形内角和定理，正多边形的内角和是解题的关键．
11．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AO，BO，则∠FED﹣∠AOB＝　90　 °．
【答案】见试题解答内容
【分析】求得正多边形的每个内角度数和中心角度数，相减即可．
【解答】解：在正八边形ABCDEFGH中，每一内角的度数都为，
每一个中心角的度数都为．
∴∠FED﹣∠AOB＝135°﹣45°＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了正多边形与圆，熟知求得正多边形相关角度是解题的关键．
12．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为　2a2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】△ABC是等腰直角三角形，斜边长是a，据此解求得△ABC的面积，则阴影部分的面积即可求解．
【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB＝a，
则AC＝BCa，
则S△ABCAC BC ，
中间的正方形的面积是：a2，
则阴影部分的面积是：4a2＝2a2．
故答案为：2a2．
【点评】本题考查了正多边形的计算，正确求得三角形ABC的面积是关键．
三．解答题（共5小题）
13．如图，已知边长为1的正五边形的对角线围成了一个新的更小的正五边形，求这个小正五边形的边长．
【答案】．
【分析】根据正五边形的性质以及相似三角形的判定和性质求出A′B′的值即可．
【解答】解：由正五边形的性质可知，∠DEA′＝36°＝∠A′DB′，∠EDA′＝∠EA′D＝72°＝∠DA′B′＝∠DB′A′，
∴△EDA′∽△DB′A′，B′D＝B′E＝A′D，DE＝EA′＝1，
∴，
∴B′E2＝A′B′ A′E，
设A′B′＝a，则EB′＝1﹣a，
∴（1﹣a）2＝a×1，
解得a1（不合题意舍去）或a，
即这个小正五边形的边长为．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
14．有一个亭子，它的地基是半径为4m的圆内接正六边形，求地基的周长和面积．
【答案】24m；24m2．
【分析】连接OB、OC求出圆心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；过O作△OBC的高OG，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长，利用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：连接OB、OC；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝4m，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6×4＝24m．
过O作OG⊥BC于G，
∵△OBC是等边三角形，OB＝4m，
∴∠OBC＝60°，
∴OG＝OB sin∠OBC＝42m，
∴S△OBCBC OG4×24m2，
∴S六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×424m2．
【点评】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键．
15．已知，如图，⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB：A′B′和面积比S内：S外．
【答案】：2，3：4．
【分析】根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则R：a＝1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值，根据相似多边形的面积比是相似比的平方，再进一步求得其面积比．
【解答】解：连接OB，OB'，设OB＝a，OB'＝b，
连接圆心O和正六边形ABCDEF的6个顶点可得6个全等的正三角形，
所以R：AB＝1：1，
连接圆心O和正六边形A'B'C'D'E'F'相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
∴∠OBB′＝90°，∠BB′O＝60°，
∴R：A′B′＝OB：OB'，
∴a：b，
因为正六边形ABCDEF∽正六边形A'B'C'D'E'F'，
所以S内：S外＝（a：b）2＝（）2＝3：4．
【点评】本题考查正多边形和圆，计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
16．如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．
【答案】24；24．
【分析】根据正六边形的半径等于边长即可得出正六边形的周长，再由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的面积．
【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长AB＝OA＝4；
正六边形的周长＝6AB＝24；
∵OG＝OA sin60°4＝2，
正六边形的面积S＝64×224．
【点评】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
17．用方程描述下列问题中的数量关系：
（1）一张面积是240cm2的长方形彩纸，长比宽多8cm．设它的宽为x cm，可得方程 　x（x+8）＝240　 ．
（2）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的．设圆的半径为x cm，可得方程 　πx2＝1　 ．
【答案】（1）x（x+8）＝240；
（2）πx2＝1．
【分析】（1）用代数式表示长方形的长，由长方形的面积公式可得答案；
（2）用代数式表示圆的面积，再根据圆面积与小正方形面积之间的关系可得答案．
【解答】解：（1）设它的宽为x cm，则长为（x+8）cm，由长方形的面积公式可得，
x（x+8）＝240，
故答案为：x（x+8）＝240；
（2）设圆的半径为x cm，则圆的面积为πx2 cm2，小正方形的面积为1cm2，
∵正方形面积是圆面积的．
∴πx2＝1，
故答案为：πx2＝1．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握圆面积、长方形、正方形面积的计算方法是解答的前提．
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