3.3勾股定理的应用举例（1）最短路径 课件(共21张PPT) 2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学上册

(共21张PPT)
数学来源于生活
数学服务于生活
勾股定理的应用举例（1）最短路径
——勾股定理的魔力应用
教学目标
1．能将立体图形表面上的最短路径问题转化为平面内的直角三角形问题。熟练运用勾股定理计算蚂蚁在立体图形表面爬行的最短距离。提高空间想象能力和将实际问题转化为数学问题的能力。2．通过动手操作、小组讨论等方式，经历立体图形展开为平面图形的过程，体会转化思想。在解决问题的过程中，学会分析问题、探究解决方案，培养自主学习和合作交流的能力。
3. 感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的 兴趣。在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。培养严谨的思维习惯和勇于探索的精
1.熟练运用勾股定理解决蚂蚁在圆柱侧面爬行最短路径问题
2.经历立体图形展开为平面图形的过程，体会转化思想，在解决问题的过程中，体会建模思想。
3.在解决问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，培养严谨的思维习惯和勇于探索的精神
1、勾股定理是什么？
2、勾股定理的逆定理是什么？
知识链接
在Rt △ACB, ∠C=90°
a 2+b 2=c 2
Rt △ACB, ∠C=90°
a 2+b 2=c 2
a
b
c
┓
C
B
A
焊接在中心柱上的扶手至少有多少米？
小试牛刀
在一个长为40厘米，宽为30厘米的长方形的顶点A有一只蚂蚁，它想吃相对顶点B处的蛋糕，如何爬行路径最短呢？最短路程是多少？
B
A
40厘米
30厘米
┏
依据：两点之间线段最短
勾股定理
C
合作探究
研学结束后，小明在场馆外的一个圆柱形石凳上吃东西时留下了一点食物残渣在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想尽快从A处爬到B处饱餐一顿，如图：若已知圆柱体石凳高为40 cm，底面半径为10cm，π取3。蚂蚁最少要爬多远才能吃到食物？
合作探究
A
B
40厘米
10厘米
研学结束后，小明在场馆外的一个圆柱形石凳上吃东西时留下了一点食物残渣在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想尽快从A处爬到B处饱餐一顿，如图：若已知圆柱体石凳高为40 cm，底面半径为10cm，π取3。蚂蚁最少要爬多远才能吃到食物？
合作探究
合作探究
路线1：
40+10×2=60cm
路线2：
40+3×10=70cm
路线3：在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC 2+BC 2，
AB2=40 2+30 2
AB=50cm
所以路线3路程最短，为50cm.
立体图形
平面图形
展开
构造直角三角形，利用勾股定理求解
40cm
10cm
40cm
40cm
10cm
10cm
跟踪练习
产品说明书
产地：中国
储蓄罐直径为8cm,
罐高18cm
解决问题
亚洲第一筒梯，位于河南太行大峡谷景区，攀登此梯可以欣赏到陡峭的绝壁和美丽的风景。它是一个成螺旋状扶摇360度回旋攀登的钢结构筒梯，梯高近90米，中间核心柱横截面周长为4米，若梯子绕核心柱30圈，那焊接在核心柱上的扶手应为多少米？
拓展延伸
有一个圆柱形玻璃杯高12cm，底面周长是18cm，在玻璃杯内壁离下底4cm的B点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯口4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从杯外壁A处爬到杯内壁B处的最短路径为______cm.
A
B
4cm
4cm
A
B
4cm
4cm
P
A’
A
4cm
B
4cm
15
m
小 结
实际问题
数学问题
转化
利用勾股定理确定最短路径的一般步骤：
审题—分析实际问题
建模—建立相应数学模型，构造直角三角形
求解—运用勾股定理计算
检验—是否符合实际
建模
直角三角形
勾股定理
利用
解决
堂清检测
2（选做题）如图，一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
1 (必做题）圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．
课后作业
基础巩固：课本78页随堂练习第1题
能力提升：课本78页问题解决第3题
综合实践：借助勾股定理，设计一个与小蚂蚁爬行最短距离相关的实际问题，并且自己给出解答过程。
寄 语
同学们，勾股定理是丈量世界的标尺，更是人类理性思维跨越千年的刻度。愿你们带着对规律的敬畏与掌控，在未来的征途上，学会用数学的眼睛看透表象，用理性的脚步踏平迷雾。