2025高中数学人教A版必修一第一章单元拔尖测试卷（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第一章单元拔尖测试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
2．（5分）（24-25高一上·重庆·期中）下面命题正确的是（ ）
A．已知，则“”是“”的充要条件
B．命题“若，使得”的否定是“”
C．已知，则“”是“”的既不充分也不必要条件
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
3．（5分）（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（5分）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”的一个充分不必要条件是“”
C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是
D．“”是“”的既不充分又不必要条件
10．（6分）（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．A的不同子集的个数为8
C． D．
11．（6分）（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ）
A．3数集A有6个非空真子集
B．4数集B有6个2子集
C．若集合，则C的等和子集有2个
D．若集合，则D的等和子集有24个
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．
13．（5分）（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ．
14．（5分）（24-25高三上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合.
(1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围；
(2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围；
(3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素.
16．（15分）（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内.
(1)若是真命题，求的取值范围；
(2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围.
17．（15分）（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
18．（17分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若_______，求实数的取值范围.
19．（17分）（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由.
答案解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；
对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；
对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；
故选：B.
2．（5分）（24-25高一上·重庆·期中）下面命题正确的是（ ）
A．已知，则“”是“”的充要条件
B．命题“若，使得”的否定是“”
C．已知，则“”是“”的既不充分也不必要条件
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】D
【解题思路】利用充分不必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用既不充分也不必要定义判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.
【解答过程】对于A，当时，或，故能推出，但不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题“若，使得”的否定是“”，错误；
对于C，由得或，故推不出，
但是当时，一定成立，即能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，错误；
对于D，已知，当时，满足，但是不满足，
反之，当时，则，即，
所以“”是“”的必要不充分条件，正确.
故选：D.
3．（5分）（24-25高一上·云南保山·阶段练习）已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据集合间的包含关系，列出不等式，求解即可.
【解答过程】因为，，
所以，解得，
故选：D.
4．（5分）（24-25高一上·江西·阶段练习）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【解题思路】根据充分条件、必要条件的概念得解.
【解答过程】由推不出，例如，
由可得或，当时不能推出，
例如；
所以是的既不充分又不必要条件，
故选：D.
5．（5分）（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【解答过程】，
,
，
故
故选：B.
6．（5分）（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围.
【解答过程】因为，所以，
因为，且满足， ，
所以当时满足，
此时，解得，
当时，则有，
解得,综上，，
即实数的取值范围为．
故选：A．
7．（5分）（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】求出为真命题时的范围，进一步可得答案．
【解答过程】由，得，
，，
则当时，取最小值2，所以，
命题，则，即，
若命题均为假命题，则且，即，
∴实数的取值范围为．
故选：B.
8．（5分）（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（ ）
A． B．的不同子集的个数为8
C． D．
【答案】D
【解题思路】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可.
【解答过程】，
由，，，，，
作出图，如图所示，

由图可知，，，故A，正确；
集合的子集个数为个，故B正确；
因为，所以，错误.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”的一个充分不必要条件是“”
C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是
D．“”是“”的既不充分又不必要条件
【答案】BC
【解题思路】根据必要不充分，以及充分不必要和充要条件的定义，即可结合选项逐一求解.
【解答过程】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误；
对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立，
故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确；
对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确；
对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误．
故选：BC.
10．（6分）（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A． B．A的不同子集的个数为8
C． D．
【答案】ABC
【解题思路】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案.
【解答过程】因为，
因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9；
因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7；
因为，所以集合与的公共元素只有3；
所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即.
如图：
所以：， ，，故AC正确；
因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确；
因为，故D错误.
故选：ABC.
11．（6分）（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ）
A．3数集A有6个非空真子集
B．4数集B有6个2子集
C．若集合，则C的等和子集有2个
D．若集合，则D的等和子集有24个
【答案】ABD
【解题思路】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可.
【解答过程】3数集A有个非空真子集，A正确.
假设，
则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确.
C的等和子集有，，，共3个，C错误.
因为，，，所以在D中，
只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中，
D的等和子集有，，共2个；
在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个；
在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个；
在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个；
在D的8子集中，D的等和子集有，共1个.
综上，D的等和子集有个，D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是 ．
【答案】
【解题思路】根据，当时，求解；当时，求解即可.
【解答过程】由题意，,
当时，则，
则，
又，
所以集合.
故答案为：.
13．（5分）（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【解题思路】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果.
【解答过程】由命题为真命题，得，解得，
由命题为真命题，得，解得，
因为命题、一真一假，所以真假，或假真，
当真假时，，得，
当假真时，，得，
综上，或.
故答案为：或.
14．（5分）（24-25高三上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，或.若，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【解题思路】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．
【解答过程】已知集合，或.
若，则，
当，即时，满足条件；
当时，即当时，若，则或，
解得（舍）或，
综上，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合.
(1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围；
(2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围；
(3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素.
【答案】(1)，且
(2)
(3)答案见解析
【解题思路】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可；
（2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可；
（3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零.
【解答过程】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且.
（2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得.
（3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根.
当时，方程的根为；当时，令，解得，此时.
综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素.
16．（15分）（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知：关于的方程有实根，：关于的方程的解在内.
(1)若是真命题，求的取值范围；
(2)若和中恰有一个是真命题，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）由命题是真命题求出的取值范围，根据其补集即可得出是真命题时的取值范围；
（2）利用判别式求出为真时的范围，分真假，假真两种情况求解即可.
【解答过程】（1）由解得，
所以，解得，
因为命题是真命题，则命题是假命题，
所以或.
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，命题是真命题，即，
若为真命题，即关于的方程有实数根，
因此，解得，
则为假命题时，.
当真假时，则，解得；
当假真时，则，解得.
综上，和中恰有一个是真命题时，的取值范围为.
17．（15分）（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可；
（3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可.
【解答过程】（1）因为，所以，
当时，则，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素，
当时，则，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（3）因为，
所以，解得，
所以，
当时，，
当时，，
因为，所以或，解得或，
综上所述，实数的取值集合为.
18．（17分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若_______，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)答案见解析
【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可；
（2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可；
【解答过程】（1）当时，，又，
∴，
又或 ，
∴或；
（2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
若，则，解得；
若，则且等号不能同时成立，解得，
综上，或，即的取值范围为
选②，因为，所以，下同选①.
选③，，所以，下同选①.
19．（17分）（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)集合能满足，实数的取值范围为.
【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解；
（2）根据新定义运算可得，代入即可求解；
（3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可.
【解答过程】（1）因为对任意的，有，，
全集且，
所以
因为，所以，或，或.
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
（2）,
因为且，所以，
所以
所以.
（3）因为，，所以.
假设集合能满足，
则，或且.
又，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.
所以若且，则且.
综上所述，实数的取值范围为.
所以集合能满足，实数的取值范围为.