2025高中数学人教A版必修一第一章单元基础练习题（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第一章单元基础练习题
题型1 对集合概念的理解
1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）
（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；
（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；
（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有 .（填序号）
（1）小于100的自然数；
（2）等腰直角三角形的全体；
（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；
（4）方程的实数根；
（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学．
4．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．
(1)所有大于0且小于25的偶数；
(2)不等式的解集；
(3)两条平行直线的交点；
(4)古今中外的所有伟大的人．
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．
(1)我国现在的直辖市；
(2)比较小的自然数的全体；
(3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体；
(4)比2小的质数．
题型2 判断元素与集合的关系
1．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 .
4．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数．
(1)若，求集合A；
(2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论．
5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.
(1)判断是否正确，并说明理由；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则.
题型3 集合相等问题
1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合，，且，则集合 .
4．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，判断这两个集合之间的关系.
5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求实数的值.
题型4 集合间关系的判断
1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ．
4．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)是等腰三角形}，是等边三角形}.
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)为正整数}，，为正整数}．
题型5 交集、并集、补集运算
1．（24-25高一上·云南·阶段练习）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（ ）
A． B．或 C．或 D．或
3．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知集合，，若，则 .
4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合.
(1)若，求，；
(2)若，求的取值范围.
5．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）设全集.
(1)求；
(2)求.
题型6 Venn图表达集合的关系和运算
1．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .

4．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合.
(1)若，求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若，求实数的取值范围.
5．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集为实数集，集合，.
(1)若，求图中阴影部分的集合；
(2)若，求实数的取值范围.
题型7 判断命题的真假
1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的个数有（ ）
①如果，那么；②如果，且那么；
③，则；④若，则．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（ ）
A．和都是真命题 B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
4．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由．
(1)求证是无理数；
(2)若，则；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若xy是有理数，则x，y都是有理数；
(6)．
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)已知，为正整数，当时，且．
题型8 充分条件、必要条件及充要条件的判定
1．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则“”是的 条件．
4．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件．
(1)p：，q：；
(2)p：有两个角相等，q：是正三角形；
(3)若，，p：，q：．
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形．
题型9 全称量词命题与存在量词命题的真假
1．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形 B．，
C．， D．存在一个实数x，使
2．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题 、，使得；命题 ，，则下列关于，真假叙述正确的是（ ）
A．，均为真 B．，均为假
C．真，假 D．假，真
3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列命题：①，；②，；③，；④，；其中所有真命题的序号是 .
4．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数，，若，都有；
(4)存在一个实数x，使得．
5．（2025高三·全国·专题练习）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性．
(1)当时，；
(2)自然数不都是正整数；
(3)至少存在一个实数，使得.
题型10 命题的否定
1．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）“存在，使得”的否定形式为 .
4．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定：
(1)有些四边形有外接圆；
(2)末位数字为9的整数能被3整除；
(3)，．
5．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角都是；
(3)，使得.
答案解析
题型1
1．（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（ ）
（1）高一（1）班的高个子同学； （2）所有的数学难题；
（3）北京市中考分数580以上的同学； （4）中国古代四大发明；
（5）我国的大河流； （6）大于3的偶数．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解题思路】由集合元素三要素逐个判断即可.
【解答过程】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合．
（3）（4）（6）符合集合概念，
故选：B.
2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合
B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合
C．数组成的集合中有7个元素
D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误；
对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确；
对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误；
对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误；
故选：B.
3．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列各组对象能组成一个有限集的有 .（填序号）
（1）小于100的自然数；
（2）等腰直角三角形的全体；
（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；
（4）方程的实数根；
（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学．
【答案】（1）（4）
【解题思路】根据有限集的定义逐一可以判断
【解答过程】对于（1），小于100的自然数，可以一一列举，0，1，2，3，...，99，故（1）为有限集；
对于（2），等腰直角三角形有无限多个，故（2）不是有限集；
对于（3），在平面直角坐标系内，单位圆上的所有点到原点的距离都为1，所以到坐标原点距离为1的点有无穷多个，故（3）不是有限集；
对于（4），的实数根为或，共两个，故（4）为有限集；
对于（5），到底有多喜欢算喜欢，无法定论，故元素不确定，故（5）不是集合；
故答案为：（1）（4）.
4．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．
(1)所有大于0且小于25的偶数；
(2)不等式的解集；
(3)两条平行直线的交点；
(4)古今中外的所有伟大的人．
【答案】(1)能组成集合，为有限集；
(2)能组成集合，为无限集；
(3)能组成集合，为；
(4)不能组成集合，理由见解析.
【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型.
【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集.
（2）所给对象确定，能组成集合，为无限集.
（3）所给对象确定，能组成集合，为空集.
（4）所给对象不确定，不能组成集合.
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由．
(1)我国现在的直辖市；
(2)比较小的自然数的全体；
(3)数轴上到坐标原点距离是2的点的全体；
(4)比2小的质数．
【答案】(1)能组成集合，为有限集
(2)不能组成集合，因为标准不明确
(3)能组成集合，为有限集，其中有2个元素
(4)能组成集合，为空集
【解题思路】（1）根据集合的定义判断；
（2）根据集合的定义判断；
（3）根据集合的定义判断；
（4）根据集合的定义判断．
【解答过程】（1）我国现在的直辖市只有4个，能组成集合，是有限集；
（2）“比较小的自然数”这个标准不明确，不能组成集合；
（3）数轴上到坐标原点距离是2的点只有2和两个，能组成集合，是有限集；
（4）没有比2小的质数，因此能组成集合，是空集．
题型2
1．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【解题思路】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可．
【解答过程】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；
对于②，因为是无理数，所以，所以②错误；
对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确；
对于④，因为，所以④正确；
对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确；
对于⑥，因为，所以⑥错误．
故选：A．
2．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用元素与集合的关系判断得解.
【解答过程】集合，则，ACD错误，B正确.
故选：B.
3．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【解题思路】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可.
【解答过程】依题意，，，，，，，
因此①④正确，②③⑤⑥错误，
所以正确命题的个数是2.
故答案为：2.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）设集合中的所有元素均为整数．
(1)若，求集合A；
(2)试判断4是不是集合A中的元素，并证明结论．
【答案】(1)；
(2)不是，证明见解析.
【解题思路】（1）根据题意代入即可得结果；
（2）假设成立，分或，代入检验即可得出矛盾，进而分析说明.
【解答过程】（1）若，则，所以集合．
（2）4不是集合A中的元素，理由如下：
若，则有或；
当时，，不满足题意；
当时，解得，不满足题意；
综上所述，4不是集合中的元素．
5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.
(1)判断是否正确，并说明理由；
(2)证明：若，，则；
(3)证明：若，则.
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得；
（2）先由①②得，进而可得；
（3）先证，可得，，进而得，再结合可证.
【解答过程】（1）正确，理由如下：
由①知，，由②可得，，
由③可得.
（2）证明：由①知，由题意，
所以由②可知，又，所以即证.
（3）证明： ，由②可知，由③可知，，
所以，即，所以，
由（2）结论可知，即，即证.
题型3
1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解题思路】根据集合相等的概念判断四个选项即可.
【解答过程】对于A，，，故，所以A错误；
对于B，为点集，为数集，故，所以B错误；
对于C，，，故，所以C错误；
对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确，
故选：D.
2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解题思路】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果.
【解答过程】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
又根据集合互异性，可知，解得舍去，
所以解得，所以，
故选：A.
3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知集合，，且，则集合 .
【答案】
【解题思路】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可.
【解答过程】因为，
当时，解得，此时不满足集合元素的互异性；
当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性，
所以，
故答案为：.
4．（24-25高一·全国·课后作业）已知集合，，判断这两个集合之间的关系.
【答案】
【解题思路】由，，得到，然后由，，得到，从而可判断这两个集合之间的关系．
【解答过程】因为，，所以.
因为，，所以.
故，，
所以.
5．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，.
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求实数的值.
【答案】(1)且
(2)
【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果；
（2）由集合相等构造方程组即可求得.
【解答过程】（1）由并根据集合中元素的互异性可知，
即，解得且；
所以实数的取值范围为且；
（2）当时，可得或；
当时，解得，当时，无解；
所以.
题型4
1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，那么集合与Q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先得出集合，再根据集合的基本关系得出.
【解答过程】由题意可得，故集合是集合的真子集．
故选：B.
2．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.
【解答过程】由，
又，，
而为偶数，和为整数，所以.
故选：B.
3．（24-25高一上·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ．
【答案】
【解题思路】表示的奇数倍，而表示的整数倍，故得解.
【解答过程】因为，
所以集合中的元素是的奇数倍，
又因为集合中的元素是的整数倍，
所以N.
故答案为：.
4．（24-25高一下·全国·课后作业）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)是等腰三角形}，是等边三角形}.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论．
【解答过程】（1）中唯一元素，
又，
所以；
（2），
的元素都是的元素，而的元素不是的元素，
所以；
（3）是等腰三角形}，是等边三角形}，
又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形；
所以.
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系：
(1)，；
(2)，；
(3)为正整数}，，为正整数}．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解；
（2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解；
（3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解．
【解答过程】（1）解：的唯一元素，
又，
；
（2）解：，，
，，
的倍数一定是的倍数，
的倍数不一定是的倍数，
例如：，
；
（3）解：为正整数}正奇数，
，为正整数}不小于3的正奇数，
．
题型5
1．（24-25高一上·云南·阶段练习）若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】先求集合，由集合的交集运算即可求解.
【解答过程】由，所以，
所以，
故选：C.
2．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解题思路】先求出集合，再根据并集的定义求解即可.
【解答过程】由，或，
则或.
故选：D.
3．（24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知集合，，若，则 .
【答案】
【解题思路】根据交集的定义求得，然后利用并集的定义求出答案．
【解答过程】集合，，
若，则，解得，所以，
∴，，
∴ ．
故答案为：．
4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合.
(1)若，求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【解题思路】（1）根据集合并集以及补集的定义求解即可；
（2）分和求解即可.
【解答过程】（1）若，则，
所以，或；
（2）若，①当时，，解得；
②当时，，解得，
综上，，
所以的取值范围为.
5．（24-25高一上·湖南邵阳·阶段练习）设全集.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)答案见解析
(2)；
【解题思路】（1）根据集合的交并补运算定义计算即得；
（1）根据集合的补集定义计算即得.
【解答过程】（1）由题意，；
；
；；
（2）；.
题型6
1．（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，已知全集，集合 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据韦恩图得出阴影部分表示的集合是，利用集合的交并补运算即得.
【解答过程】由图知阴影部分表示的集合是,
因， ，
则，故.
故选：D.
2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解.
【解答过程】对于A，图中阴影部分表示，故A错误；
对于B，图中阴影部分表示，故B错误；
对于C，图中阴影部分表示，故C正确；
对于D，图中阴影部分表示，故D错误.
故选：C.
3．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知是全集，是的三个子集用交、并、补关系将图中的阴影部分可表示为 .

【答案】
【解题思路】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，用集合的交、并、补关系表示出来即可.
【解答过程】由韦恩图可知阴影部分表示集合与集合的公共部分但不在集合的部分，
所以可以表示为.
故答案为：.
4．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合.
(1)若，求图中阴影部分表示的集合C；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解；
（2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可.
【解答过程】（1）图中阴影部分表示集合为，
当时，，又或，
所以；
（2）因为，所以，
当时，，解得.
当时，若，则有，
解得，
综上所述，实数的取值范围是或.
5．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集为实数集，集合，.
(1)若，求图中阴影部分的集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由图可知阴影部分表示的是，从而可求得结果，
（2）分和两种情况求解即可
【解答过程】（1）当时，，
因为全集为实数集，集合，
所以或，
由图可知阴影部分表示的是，
所以，
（2）当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，解得，
综上，，即实数的取值范围为.
题型7
1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的个数有（ ）
①如果，那么；②如果，且那么；
③，则；④若，则．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】C
【解题思路】根据等式的性质分别判断各个小题即可.
【解答过程】对于①：可得,①正确；
对于②：可得,②正确；
对于③：则或,③错误；
对于④：可得,④正确.
故选：C.
2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（ ）
A．和都是真命题 B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
【答案】C
【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可.
【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同，
故周长相等，故命题为真命题,
对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等，
对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等，
故命题为假命题；
对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错；
对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错；
对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对，
对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错.
故选：C.
3．（24-25高一上·上海·期中）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【解题思路】通过取反例即可判断.
【解答过程】取，满足，
显然不成立，所以命题为假命题.
故答案为：假.
4．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由．
(1)求证是无理数；
(2)若，则；
(3)你是高一的学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果；
(5)若xy是有理数，则x，y都是有理数；
(6)．
【答案】(1)不是命题；
(2)是命题，真命题；
(3)不是命题；
(4)是命题；真命题；
(5)是命题，假命题；
(6)不是命题.
【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假.
【解答过程】（1）是祈使句，不是命题．
（2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题．
（3）是疑问句，不是命题．
（4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果.
（5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数．
（6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)已知，为正整数，当时，且．
【答案】(1)答案见解析，真命题．
(2)答案见解析，真命题．
(3)答案见解析，假命题．
【解题思路】（1）（2）（3）按给定条件改写命题，再判断真假.
【解答过程】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
（2）若，则，是真命题．
（3）已知、为正整数，若，则且，是假命题．
题型8
1．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得.
【解答过程】因是的真子集，故是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据充分不必要条件的判定即可得到答案.
【解答过程】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集．
对照选项知只有B符合题意.
故选：B．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，则“”是的 条件．
【答案】充分
【解题思路】根据集合间的关系以及元素与集合的关系，可得结论.
【解答过程】由，又可得且，
∴或，
即可得“”是“”的充分条件．
故答案为：充分.
4．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件．
(1)p：，q：；
(2)p：有两个角相等，q：是正三角形；
(3)若，，p：，q：．
【答案】(1)p是q的充分非必要条件；
(2)p是q的必要非充分条件；
(3)p是q的充要条件．
【解题思路】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可.
（2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可.
（3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可.
【解答过程】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件；
（2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件；
（3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件．
5．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形．
【答案】(1)充分非必要条件；
(2)充分非必要条件；
(3)必要非充分条件.
【解题思路】（1）（2）（3）利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【解答过程】（1），而不能保证，如，
因此是的充分非必要条件.
（2），而当时，或，即不能推出，
所以是的充分非必要条件.
（3）一个四边形为平行四边形，则这个平行四边形的邻边可以不等，它不是菱形；
若一个四边形是菱形，则它一定是平行四边形，
所以一个四边形为平行四边形是这个四边形为菱形必要非充分条件.
题型9
1．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A．梯形是四边形 B．，
C．， D．存在一个实数x，使
【答案】A
【解题思路】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题.
【解答过程】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确；
对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误；
CD选项都为存在量词命题，不合题意.
故选：A.
2．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题 、，使得；命题 ，，则下列关于，真假叙述正确的是（ ）
A．，均为真 B．，均为假
C．真，假 D．假，真
【答案】B
【解题思路】由，则为偶数可判断；时可判断.
【解答过程】若，则为偶数，则，
所以不存在，使，故为假命题，
若，则，所以，使，故为假命题，
所以，均为假命题.
故选：B.
3．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列命题：①，；②，；③，；④，；其中所有真命题的序号是 .
【答案】①④
【解题思路】对于①，由平方的非负性判断，对于②，举例判断，对于③，举例判断，对于④，通过计算判断.
【解答过程】对于①，因为，，所以，所以①正确；
对于②，当时，，所以②错误；
对于③，，使成立，所以③正确；
对于④，由，得，所以④错误.
故答案为：①④.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数，，若，都有；
(4)存在一个实数x，使得．
【答案】(1)全称量词命题，真命题；
(2)存在量词命题，真命题；
(3)全称量词命题，假命题；
(4)存在量词命题，假命题.
【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假.
【解答过程】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题．
（2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题．
（3）全称量词命题，存在 ，但，该命题是假命题．
（4）存在量词命题，由于，则，因此使得 的实数x不存在，该命题是假命题．
5．（2025高三·全国·专题练习）用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性．
(1)当时，；
(2)自然数不都是正整数；
(3)至少存在一个实数，使得.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解题思路】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假.
【解答过程】（1）命题表示为“，”．
因为 ，所以该命题为真命题．
（2）命题表示为“，”．
因为，，所以该命题为真命题．
（3）命题表示为“，”．
因为，所以该命题为真命题．
题型10
1．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解题思路】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答过程】命题为全称量词命题，则命题的否定为，，
故选：A．
2．（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据存在性量词命题的否定直接得出结果.
【解答过程】由题意知，原命题的否定为：
.
故选：C.
3．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）“存在，使得”的否定形式为 .
【答案】对任意
【解题思路】利用特称命题的否定是全称命题写出结果.
【解答过程】命题“存在，使得”是特称命题，
命题的否定为：对任意.
故答案为：对任意.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列命题的否定：
(1)有些四边形有外接圆；
(2)末位数字为9的整数能被3整除；
(3)，．
【答案】(1)所有的四边形都没有外接圆．
(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．
(3)，．
【解题思路】（1）由命题的否定的定义即可求解；
（2）由命题的否定的定义即可求解；
（3）由命题的否定的定义即可求解.
【解答过程】（1）由命题的否定的定义可知，“有些四边形有外接圆”的否定是“所有的四边形都没有外接圆”．
（2）由命题的否定的定义可知，“末位数字为9的整数能被3整除”的否定是“存在一个末位数字为9的整数不能被3整除”.
（3）由命题的否定的定义可知，“，”的否定是“，”.
5．（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2)有些三角形的三个内角都是；
(3)，使得.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解题思路】根据特称命题求出否定，再判断真假即可.
【解答过程】（1）命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，
如5是奇数， 但5不能被3整除．
（2）命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是.
（3）题中命题的否定为“，有”．这个命题为假命题，
如时，不满足.