2025高中数学人教A版必修一第一章单元培优测试卷（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第一章单元培优测试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木
C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区
2．（5分）（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（5分）（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
7．（5分）（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（ ）
A．或 B．或0 C．或0 D．或或0
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．2
10．（6分）（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．命题“，”的否定是“，或”
C．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”的否定是真命题
11．（6分）（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．有2个子集 B．中任意两个元素差的最小值为
C． D．或
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 .
13．（5分）（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
14．（5分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设集合，，则满足且的集合有 个.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；
(2)抛物线上的点组成的集合；
(3)使函数有意义的实数x组成的集合．
16．（15分）（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，．
(1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合；
(2)若，求的取值范围．
17．（15分）（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题.
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围.
18．（17分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集.
(1)若，求；
(2)若，求实数的值.
19．（17分）（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或．
(1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
答案解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（ ）
A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木
C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区
【答案】C
【解题思路】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断.
【解答过程】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合；
B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合；
C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合；
D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合.
故选：C.
2．（5分）（24-25高一上·安徽池州·期中）命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据存在性量词命题的否定直接得出结果.
【解答过程】由题意知，原命题的否定为：
.
故选：C.
3．（5分）（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解题思路】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数.
【解答过程】因为，所以．又，所以，
所以可能的取值为，分别代入可得，
所以集合A中共有6个元素．
故选：D.
4．（5分）（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）设，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答过程】化简可得或，
化简可得，
因为是或的子集，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
5．（5分）（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】利用集合包含关系得不等关系，从而求解．
【解答过程】， ， ，
由题意如图：
，解得a
故选：C．
6．（5分）（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知命题，，命题，，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
【答案】B
【解题思路】通过举反例即可判断出两个命题的真假.
【解答过程】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题，
综上可知，和均为真命题．
故选：B．
7．（5分）（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解.
【解答过程】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且，
所以阴影部分可表示为或或.
故选：D.
8．（5分）（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（ ）
A．或 B．或0 C．或0 D．或或0
【答案】D
【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可．
【解答过程】由题可知，，则或，
因为，
所以当时，，则，符合题意；
当时，，
由知，或，即或，
综上所述，实数为0或1或，
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（ ）
A．1 B．－1 C．3 D．2
【答案】AC
【解题思路】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案.
【解答过程】由题意知集合，且，
故当时，；
当时，，但是时，，违反集合元素的互异性，
故m的取值可为1，3，
故选：AC.
10．（6分）（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．，
B．命题“，”的否定是“，或”
C．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件
D．命题“，”的否定是真命题
【答案】ABD
【解题思路】利用特殊值判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D.
【解答过程】对于A：当时，，所以，为真命题，故A正确；
对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确；
对于C：由且，可以推得出，故“且”是“”的充分条件，故C错误；
对D：命题“，”的否定为：，，显然，则命题，为真命题，故D正确；
故选：ABD.
11．（6分）（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知集合，，则下列说法正确的是（ ）
A．有2个子集 B．中任意两个元素差的最小值为
C． D．或
【答案】ABD
【解题思路】根据集合的交并补运算及子集的定义逐一判断即可.
【解答过程】对于A，，所以有2个子集，故A正确；
对于B，，
则中任意两个元素差的最小值为，故B正确；
对于C，或，所以，故C错误；
对于D，且，
所以或，故D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 .
【答案】
【解题思路】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可.
【解答过程】因为集合，
所以，解得，从而
故答案为：.
13．（5分）（24-25高一上·上海·期中）已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可.
【解答过程】若是的充分条件，则集合是集合子集，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（5分）（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设集合，，则满足且的集合有 个.
【答案】12
【解题思路】由集合的包含关系及交集运算即可求解.
【解答过程】因为且，，．
中一定含有4或5或4、5．当
中含有一个元素时，或，共2个；
当中含有两个元素时，，，，，，共5个；
当中含有三个元素时，，，，，共4个；
当中含有四个元素时，，共1个．
所以满足条件的集合有个．
故答案为：12.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合：
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；
(2)抛物线上的点组成的集合；
(3)使函数有意义的实数x组成的集合．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可.
【解答过程】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为；
（2）由点在抛物线上，故集合为；
（3）由，则，故集合为.
16．（15分）（24-25高一上·四川泸州·期中）已知集合，．
(1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值；
（2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解.
【解答过程】（1）若，即，则，符合题意．
若，即，则由中恰有一个元素，得，
解得或．
综上所述，的值构成的集合为．
（2）由，解得或，则．
若，符合，则解得或．
若，则，解得，则，符合．
若，则，解得，则，不符合．
综上所述，的取值范围为．
17．（15分）（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题.
(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；
(2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解；
（2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解.
【解答过程】（1）命题为真命题，即，
因为在上单调递增，所以当时取得最小值，
所以，即m的取值范围.
（2）若命题为真命题，则，
解得或，
若命题p为假命题，则，
因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以，
即m的取值范围为.
18．（17分）（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集.
(1)若，求；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【解题思路】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解；
（2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可.
【解答过程】（1）因为，所以，，，
所以.
（2）当时，，满足，所以成立；
当时，，可得且且，
得，且，且，
因为满足，所以，
所以或，得或或（舍去），
所以或；
综上，或或.
19．（17分）（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知全集为R，集合，集合或．
(1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)．
【解题思路】（1）由是成立的充分不必要条件所以是的真子集，进而求出结果；
（2）由 可得且，解不等式即可求出结果．
【解答过程】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集，
则或，解得或，
又因为所以或，
所以的取值范围为或；
（2），且
∴且，即
故的取值范围是．