2025高中数学人教A版必修一第一章单元培优练习题（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第一章单元培优练习题
题型1 集合中元素的个数问题
1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ．
4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合．
(1)设，求集合A的元素个数；
(2)设，证明：若，则．
5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合.
(1)当时，中只有一个元素，求的值；
(2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围.
题型2 根据元素与集合的关系求参数
1．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A．，3 B． C．，3，8 D．，8
2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
4．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
5．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若中只有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
题型3 有限集合子集、真子集的确定
1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ）
A．12 B．15 C．31 D．32
3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 .
4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合.
(1)设，求：集合A的非空真子集个数；
(2)设，证明：若，则.
5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
题型4 根据集合间的关系求参数
1．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
5．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，.
(1)若是的真子集，求的取值范围；
(2)若是的子集，求的取值范围；
(3)若，求的值.
题型5 交、并、补集的混合运算
1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知全集，集合，集合，求 ．
4．（24-25高一上·河北唐山·期中）设集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求的取值范围.
5．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）已知全集，，，.
(1)列举法表示集合、、、；
(2)求；
(3)求；.
题型6 集合混合运算中的求参问题
1．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（ ）
A．或 B．或0 C．或0 D．或或0
3．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 .
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围.
5．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
题型7 集合中的新定义问题
1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述：
①若为一个“封闭集”，则；
②若为一个“封闭集”且，则；
③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或；
④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或．
正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
3．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，定义集合，则中有 个元素．
4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由.
5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)判断集合是否具有性质，说明理由;
(2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”;
(3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”.
题型8 充分条件与必要条件中的含参问题
1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 .
4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知：或，：，：．
(1)若是的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若是的必要条件，求的最大值．
5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知．
(1)若是的充要条件，求的值；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
题型9 充分、必要条件与集合交汇
1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
4．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围.
5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若_______，求实数的取值范围.
题型10 全称量词与存在量词中的含参问题
1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ．
4．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围;
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围．
答案解析
题型1
1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解题思路】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数.
【解答过程】因为，所以．又，所以，
所以可能的取值为，分别代入可得，
所以集合A中共有6个元素．
故选：D.
2．（24-25高一上·北京·期中）已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得.
【解答过程】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根，
因此，解得且，
所以的取值范围是.
故选：A.
3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则中元素个数为 ．
【答案】3
【解题思路】针对x，y，z中，三个为正、两个为正、一个为正、全为负四种情况进行分类讨论即可.
【解答过程】当都为正数时，，
当中有两个正数时，不妨设，则
，
当中有一个正数时，不妨设，则
，
当都为负数时，，
所以，
所以M中元素个数为3．
故答案为：3.
4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知为一个数集，集合．
(1)设，求集合A的元素个数；
(2)设，证明：若，则．
【答案】(1)8个；
(2)证明见解析．
【解题思路】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解；
（2）设，计算出，即可证明．
【解答过程】（1）时，；
，；
，；
，时，；
，时，；
，时，；
，时，；
，时，；
，时，；
所以，它有8个元素；
（2）因为，
所以设，．
，所以得证．
5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合.
(1)当时，中只有一个元素，求的值；
(2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）借助根与系数的关系计算即可得；
（2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算.
【解答过程】（1）当时，，
由中只有一个元素，则有，解得；
（2）当时，，
由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素，
当时，，符合要求；
当时，对有：
，解得；
综上所述：或.
题型2
1．（24-25高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（ ）
A．，3 B． C．，3，8 D．，8
【答案】D
【解题思路】由集合与元素的关系分类讨论即可求解.
【解答过程】由题意若，解得或，若，解得，
当时，满足题意，
当时，违背了集合中元素间的互异性，
当时，满足题意，
综上所述，a的值可能为，8.
故选：D.
2．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果.
【解答过程】由且，得
解得，
故选：A．
3．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为 .
【答案】
【解题思路】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解.
【解答过程】因为，，且，
若，解得或，
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当时，此时，
此时，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，，解得或，
前面已经分析不满足要求，
当时，此时，
此时集合，，满足集合元素的性质，
综上，，所以的取值集合为.
故答案为：.
4．（24-25高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)的值为0或
(2)的值为
【解题思路】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值．
（2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值．
【解答过程】（1）集合中有三个元素：，，，，
或，
解得或，
当时，，，，成立；
当时，，，，成立．
的值为0或．
（2）集合中也有三个元素：0，1，，，
当取0，1，时，都有，
集合中的元素都有互异性，，，
．
实数的值为．
5．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合．
(1)若，求的值；
(2)若中只有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或时，
(3)或
【解题思路】（1）将代入方程中即可求解，
（2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案．
【解答过程】（1）由于，所以是的实数根，故，故
（2）当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．
（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，
由（1）知当时只有一个元素，
当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集；
，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．
中最多有一个元素，或.
题型3
1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解题思路】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可；
【解答过程】，
因为，所以，
所以，
对应实数的值分别为，
其组成集合的子集个数为个.
故选：D.
2．（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ）
A．12 B．15 C．31 D．32
【答案】B
【解题思路】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果.
【解答过程】∵，
∴满足“，则”的的集合是的子集，
但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，
∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.
故选：B.
3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则集合B的非空真子集的个数为 .
【答案】6
【解题思路】用穷举法求出集合，再求集合B的非空真子集的个数即可.
【解答过程】由题意，当，或时，或；
当，或时，或；
当，或时，或；
综合以上可知，；
所以集合B的非空真子集的个数为，
故答案为：6.
4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知R的子集U为一个数集，集合.
(1)设，求：集合A的非空真子集个数；
(2)设，证明：若，则.
【答案】(1)254
(2)证明见解析
【解题思路】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数；
（2）结合条件设，将7x变形为，即可证明.
【解答过程】（1）当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；
所以，它有8个元素，有个非空真子集；
（2）因为，所以设，
所以，得证.
5．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.
(1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合；
(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得；
（2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可．
【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以.
又，故.
由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，
用列举法可得这样的集合共有6个，分别为.
（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，
有，所以.
当时，因为，所以当时，
，即，此时，
因为，所以不是的子集；
同理当时，，，也不是的子集；
当时，，，也不是的子集.
综上，满足条件的的取值范围是.
题型4
1．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）设集合，集合，若，，则等于（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【解题思路】根据，，对进行分类讨论，由此求得的值.
【解答过程】当时，有两相等的实根，
则，解得；
当时，有两相等的实根1，
则
解得；
当时，有两个不相等的实根，1，
则无解，
综上：.
故选：D.
2．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）集合，集合.若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】由题意，分和两种情况讨论即可.
【解答过程】因为，
①当时，，解得，
②当时，，
解得，
综上所述，的取值范围是为：.
故选：A.
3．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】结合，分，两种情况讨论求解即可.
【解答过程】当时，，即，满足；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
4．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合.
(1)若，求实数的取值集合.
(2)若的子集有两个，求实数的取值集合.
(3)若且，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可；
（2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可；
（3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可.
【解答过程】（1）因为，所以，
当时，则，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素，
当时，则，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值集合为；
（3）因为，
所以，解得，
所以，
当时，，
当时，，
因为，所以或，解得或，
综上所述，实数的取值集合为.
5．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，.
(1)若是的真子集，求的取值范围；
(2)若是的子集，求的取值范围；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）由真子集的定义，确定的取值范围；
（2）由子集的定义，确定的取值范围；
（3）由集合相等求出的值.
【解答过程】（1）
若是的真子集，则由图知，，
故的取值范围为.
（2）
若是的子集，已知，则，
则由图知，，
故的取值范围为.
（3）若，则.
题型5
1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】确定，，再计算交集得到答案.
【解答过程】，，故，
，故.
故选：B.
2．（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可.
【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确；
因为，，
所以，故①正确；
，故④错误.
所以正确的有3个.
故选：C.
3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）已知全集，集合，集合，求 ．
【答案】
【解题思路】根据集合交集和补集的概念求解即可.
【解答过程】因为全集，集合，集合，
所以，，
故答案为：.
4．（24-25高一上·河北唐山·期中）设集合，.
(1)当时，求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)或；或
(2)
【解题思路】（1）根据题意可知，再根据集合间运算求解即可；
（2）分析可知，根据包含关系列式求解即可.
【解答过程】（1）由题意可得：，
当时，则，
可得，所以或；
又因为或所以或.
（2）显然，若，则，解得，
所以的取值范围为.
5．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）已知全集，，，.
(1)列举法表示集合、、、；
(2)求；
(3)求；.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)；
【解题思路】（1）根据描述法所给集合，用列举法求出集合；
（2）根据集合的交集、并集运算得解；
（3）根据集合的交并补的概念进行计算即可.
【解答过程】（1）全集，集合，
集合，
集合.
（2），
.
（3）.
.
题型6
1．（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解题思路】由，得到，分与讨论即可.
【解答过程】由，得到
分两种情况考虑：
①当，即时，，符合题意；
②当，即时，需，
解得：，综上得：，则实数的取值范围为.
故选：A.
2．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）已知，集合，，，则实数（ ）
A．或 B．或0 C．或0 D．或或0
【答案】D
【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可．
【解答过程】由题可知，，则或，
因为，
所以当时，，则，符合题意；
当时，，
由知，或，即或，
综上所述，实数为0或1或，
故选：D．
3．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）已知集合集合，集合，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】通过集合运算得出，对集合进行分类讨论，时显然成立，时无解.
【解答过程】
当时，，满足题意.
当时，时，解得
综上所述，.
故答案为：.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，或.
(1)当时，求；
(2)在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解.若___________，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【解题思路】（1）求，利用并集的概念求解即可得到结果.
（2）若选①，分析和，利用子集的概念即可得到结果. 若选②，分析和，利用即可得到结果. 若选③：由可得，同①的分析可得结果.
【解答过程】（1）当时，，
因为或，所以，
故.
（2）若选①：当时，，，成立.
当时，，由可得，解得，所以.
综上，的取值范围是.
若选②：当时，，，成立.
当时，，
由可得，解得，所以.
综上，的取值范围是.
若选③：由可得.
当时，，，成立.
当时，，由可得解得，所以.
综上，的取值范围是.
5．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果；
（2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果.
【解答过程】（1）由题意知：；
因为，故；
①当，即时，满足，此时；
②当，若，则，解得；
综上所述：m的取值范围为
（2）因为，且，故，即，
解得，则，；
①当，即时，；
故，解得；
②当，即时，；
故，解得；
③当，即时，，不合题意；
综上所述，m的取值范围为.
题型7
1．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）对于集合，，定义，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案.
【解答过程】集合，，
则，，
由定义可得：且，且，
所以，
选项ABD错误，选项C正确．
故选：C.
2．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述：
①若为一个“封闭集”，则；
②若为一个“封闭集”且，则；
③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或；
④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或．
正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【解题思路】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可.
【解答过程】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确；
对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确；
对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误
对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”，
必要性：若是“封闭集”，令,
假设且．
则存在,,同时,
因为是“封闭集”，
所以,，分两类情况讨论
若,又则所以，这与假设矛盾；
若,又则所以，这与假设矛盾；
故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确；
故选：D.
3．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，定义集合，则中有 个元素．
【答案】63
【解题思路】根据题意，得到集合中有9个元素，集合中有35个元素，进而得到有9个值，有7个值，结合图形，进而求得集合中的元素个数，得到答案.
【解答过程】中有个元素（即9个点），
即图中正方形内部及其正方形边上的整点，
集合中有个元素（即42个点），
即图中长方形内部及其长方形边上的整点，
所以或或或或或或或或4，共有9个值，
或或或或或或，共有7个值，
所以中的元素可看作正方形中的整点，即个．
故答案为：63.

4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，.
(1)求集合；
(2)求集合；
(3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)集合能满足，实数的取值范围为.
【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解；
（2）根据新定义运算可得，代入即可求解；
（3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可.
【解答过程】（1）因为对任意的，有，，
全集且，
所以
因为，所以，或，或.
当时，；
当时，；
当时，，
所以.
（2）,
因为且，所以，
所以
所以.
（3）因为，，所以.
假设集合能满足，
则，或且.
又，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.
所以若且，则且.
综上所述，实数的取值范围为.
所以集合能满足，实数的取值范围为.
5．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”.
(1)判断集合是否具有性质，说明理由;
(2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”;
(3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”.
【答案】(1)不具有性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
（2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”；
（3）存在三个互不相同的，使得均属于,证明满足性质的三个条件即可.
【解答过程】（1）集合不具有性质，理由如下:从任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足③，
有一个为2时，不妨令，则，不满足②，
综上，集合不具有性质.
（2）因为集合具有性质，所以是偶数，必为奇数.
当时，由，则，不合题意;
当时，由，则，或（舍去）;所以，所以具有性质，
而中的元素1，2，3满足:，集合是的“期待子集”.
（3）当集合是集合的“期待子集”时，则在中存在三个互不相同的元素使得均属于，
不妨设，令，，则，满足①，
，满足②，
为偶数，满足③，所以集合具有性质，
所以集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”.
题型8
1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解.
【解答过程】令或，，
因是的充分不必要条件，可得真包含于，
可得.
故选：D.
2．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】当时，求出，由题意求得的范围.
【解答过程】根据题意，当时，，
则，
因为成立的充分条件是，
所以.
故选:B.
3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解.
【解答过程】因为是的必要非充分条件，
设集合 或，或， ,
当，得时，此时成立，，成立，
当时，即时，再满足，得：，此时的取值为，
所以
故答案为：.
4．（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知：或，：，：．
(1)若是的必要不充分条件，求的取值范围；
(2)若是的必要条件，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据充分条件与必要条件的定义列不等式，即可得参数范围；
（2）写出，再结合必要条件的定义列不等式，即可得参数最值.
【解答过程】（1）设命题与表示的集合分别为和，
即或，，
又是的必要不充分条件，
则，
所以，
即；
（2）设命题表示的集合为，
则，
又命题表示的集合为，
是的必要条件，
所以，
则，解得，
又，
所以，
即的最大值为.
5．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知．
(1)若是的充要条件，求的值；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解；
（2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解.
【解答过程】（1）因为是的充要条件，
所以，
解得.
（2）因为是的充分不必要条件，
所以 ，
即，解得，
所以的取值范围.
题型9
1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出；
【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，前两个等号不能同时取得，解得，
综上m的取值范围是，
故选：A.
2．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【解题思路】先举反例说明充分性不成立，再证必要性成立即可.
【解答过程】先看充分性：若，，则，不是奇数，故不成立；
所以“”是“”的不充分条件；
再证必要性：因为，所以，故“”是“”的必要条件.
综上：“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
3．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】通过集合关系即可求解.
【解答过程】由是成立的一个充分不必要条件，
可知：，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
4．（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合或，或.
(1)当时，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(3)若“”是“”的充分不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解；
（2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解；
（3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【解答过程】（1）解：当时，或，所以.
（2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
（3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集，
①当时，即时，此时，符合题意；
②当时，即时，则满足，即，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，.
(1)当时，求，；
(2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答.
问题：若_______，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)答案见解析
【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可；
（2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可；
【解答过程】（1）当时，，又，
∴，
又或 ，
∴或；
（2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
若，则，解得；
若，则且等号不能同时成立，解得，
综上，或，即的取值范围为
选②，因为，所以，下同选①.
选③，，所以，下同选①.
题型10
1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.
【解答过程】因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题；
因为集合，集合，
所以，当时，即时，成立，
当时，
由“，”得，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：A.
2．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知命题；命题，若命题均为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】求出为真命题时的范围，进一步可得答案．
【解答过程】由，得，
，，
则当时，取最小值2，所以，
命题，则，即，
若命题均为假命题，则且，即，
∴实数的取值范围为．
故选：B.
3．（24-25高一上·山东泰安·期中）已知命题，命题，若命题、一真一假，则实数的取值范围为 ．
【答案】或
【解题思路】先求出命题、分别为真命题时实数的取值范围，然后分真假，或假真两种情况可求得结果.
【解答过程】由命题为真命题，得，解得，
由命题为真命题，得，解得，
因为命题、一真一假，所以真假，或假真，
当真假时，，得，
当假真时，，得，
综上，或.
故答案为：或.
4．（24-25高一上·湖北黄冈·期中）已知命题关于的方程有实数根.命题，不等式恒成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围;
(2)若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）为真命题，则方程有实数根，分与两种情况讨论即可.
（2）由一元二次不等式恒成立求得当命题为真命题时的范围，利用交集运算求解即可.
【解答过程】（1）若命题为真命题，则关于的方程有实数根，
当时，有实数根，
当时，则，解得且，
综上，实数的取值范围为
（2）命题为真命题，则，不等式恒成立，
当时，，
则，解得
当真假时，有，则或；
当假真时，有，则解集为：
综上，或，
故实数m的取值范围为
5．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，命题．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由题意确定，即可求解；
（2）通过真真和假假两种情况讨论即可求解.
【解答过程】（1）因为命题为真命题，所以，故，故，
于是．因为，所以，即．
（2）①为真命题时，则，由于，所以，故，
于是．由知，所以；
②命题为真命题时，
（i）时，，符合题意；
（ii）时，，即，此时且；
故命题为真命题时，有；
由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知，
由两种情况：真真和假假，
所以，当真真时a不存在；当假假时．
综上所述，实数的取值范围．