2025—2026学年八年级数学上学期第一次月考卷03
（测试范围：八年级上册人教版2024，第13-14章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（ ）
A． B． C． D．
2．下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（ ）
A．B． C． D．
3．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，平分，，，于D，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ）
A． B． C． D．
8．能判定的条件是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在长方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
10．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：；平分；；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，则 ．
12．现有若干个三角形，在它们所有的内角中，有5个直角、3个钝角、28个锐角，那么在这些三角形中，共有 个锐角三角形．
13．如图，直线、交于点O，于点E，于点F，若，且，则的度数为 ．
14．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发，以秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动 秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等．
15．如图，若，，与交于点C，则的度数是 ．
16．如图，在中，，平分，若，则 ．
三、解答题
17．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数．
18．【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作， ．垂足分别为和．易知；由此可得角平分线的性质定理： ，
【探究】如图②， 在中，是它的角平分线． 若．求与的面积比；(写出完整的推理过程)
【应用】如图③、的周长是．分别平分和．于点． 若， 则的面积为 ．
19．如图，中，于点A，于点D，若．
求证：
(1)；
(2)若，求的度数．
20．如图，在中，．点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，与直线相交于点．过点作交于点，且．
(1)求证：；
(2)过点作交于点，且．在点从点向点运动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明如何变化．
21．如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)请你判断和的位置关系，并说明理由．
22．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知．
(1)求的面积；
(2)求的长．
23．已知的三边长分别为a，b，c，其中．
(1)求边长c的取值范围．
(2)化简：．
24．中，，点在直线上，点在直线上，．
(1)如图1，当点、分别在边、上时，求证：；
(2)如图2，当点在延长线上，点在延长线上时，、延长线交于点，作的角平分线交于点，若，求的度数；
(3)在（2）的条件下，如图3，连接，若点是线段的中点，，且时，求的面积．2025—2026学年八年级数学上学期第一次月考卷03
（测试范围：八年级上册人教版2024，第13-14章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A A C A A D C C
1．C
本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
利用三角形的三边关系进行求解即可．
解：根据三角形的三边关系可得，第三边的长度大于，小于，
∴符合题意，
故选：C．
2．C
本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义.
根据三角形的定义进行判断即可.
解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，
所以选项C符合题意.
故选： C．
3．A
本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．A
本题考查三角形的面积，解题的关键掌握三角形的面积公式．据此列式解答即可．
解：∵，分别是的边，的高线，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即的长为．
故选：A．
5．C
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图，作于T．由，推出即可解决问题．
解：如图，作于T．
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．A
本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，证明得出，求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
答案：A．
7．A
本题考查全等三角形的判定，已知，，满足一边一角相等，根据全等三角形判定定理逐项判断即可．
解：和中，，，
A．添加，依据不能判定，符合题意；
B．添加，依据能判定，不合题意；
C．添加，依据能判定，不合题意；
D．添加，依据能判定，不合题意；
故选A．
8．D
本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定条件逐项分析即可得出答案．
解：A、B、C中的条件都是，不能判定两个三角形是否全等，故不符合题意
D、满足“”，所以，符合题意，
故选：D．
9．C
本题考查了全等三角形的性质．
根据长方形的性质得到，进而分两种情况根据全等的性质列方程计算即可．
在长方形中，，
，
．
，
分两种情况：①当时，，点在上运动．
由题意，得
，
解得；
②当时，，点在上运动．
由题意，得
，
解得．
综上所述，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为1或7．
故选：C．
10．C
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，即可判断正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，即可判断正确；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，即可判断正确；根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
解：∵分别是与的角平分线，，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
过点作，，，
∵分别是与的角平分线，
∴是的平分线，故正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
同理，
∴，，
两式相加得，
∵，
∴，故正确；
没有条件得出，不正确；
综上可得：正确，
故选：．
11．4
本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积是解题的关键．根据三角形的中线平分面积得到，利用三角形的面积公式，列出等式进行计算即可．
解：∵在中，为中线，
∴，
∵和分别为和的高，
∴，
∵，
∴；
故答案为：4．
12．4
本题考查了三角形的定义和分类，先求出三角形的个数，再根据三角形的分类，即可得出锐角三角形的个数．
解：∵每个三角形有3个内角，
∴共有个三角形，
∵三角形中最多只有一个直角或钝角，
∴12个三角形有5个直角三角形，3个钝角三角形，
∴共有个锐角三角形，
故答案为：4．
本题考查了三角形内角和，掌握三角形的分类是解题的关键．
13．
本题考查了四边形内角和定理、同角的补角相等、角平分线的判定与性质．
根据平角的定义和四边形内角和为可得，，根据同角的补角相等可得，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知是的平分线，从而可求的度数.
解：根据平角的定义可知：，
在四边形中，，
于点，于点，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
14．0，2，6，8
本题考查了全等三角形的判定与性质，分四种情况，分别利用全等三角形的性质求解即可，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
解：①当E在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为（秒）；
②当E在上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为（秒）；
③当E在线段上，时，，这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在上，时，，
，
点E的运动时间为（秒），
综上所述，当点E运动0，2，6，8秒时，点B、D、E组成的三角形与点A、B、C组成的三角形全等
故答案为：0，2，6，8．
15．/度
本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义与性质等知识，证得是解题的关键．
根据全等三角形的性质先证明、，进而得到，再根据三角形外角的性质求解即可．
解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可．
解∶ ∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
17．；
本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，进行解答即可．
解：∵在中，是高，
∴，
∵在中，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵在中， ，是角平分线，
∴，，
∴．
18．（感知）角平分线上的点到两边距离相等
（探究）
（应用）
本题考查了角平分线的性质、三角形面积的计算以及角平分线交点（内心）的性质，解题的关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，将三角形面积进行分割求解．
（感知）根据题意总结即可得角平分线的性质定理．
（探究）根据角平分线性质，角平分线上的点到两边距离相等，可知与的高相等，面积比等于底边长的比．
（应用）确定点是的内心，内心到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积．
解：（感知）根据题意可得角平分线的性质定理：角平分线上的点到两边距离相等，
故答案为：角平分线上的点到两边距离相等．
（探究）∵是的角平分线，
∴点到和的距离相等（角平分线性质）．
设点到和的距离为，
则，，
∴，
∵，
∴与的面积比；
（应用）∵分别平分和，
∴点是的内心，内心到三边的距离相等，
∵，，
∴点到、的距离也为3，
的面积可分割为、、的面积之和（如图），
即，
∴
，
∵的周长是，即，
∴．
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)的度数为
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的外角的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键；
（1）利用题中条件，证明，可推出；
（2）设，则，由，推出，再利用直角三角形的两个锐角互余，求出，进一步可得，再利用三角形的外角的性质求．
（1），，
，
又，，
，
．
（2）设，则，
由（1）知，
，
又，
，
，解得，
，
．
故的度数为．
20．(1)见解析
(2)线段的长度保持不变，为3
此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）首先得到，由得到，然后证明即可；
（2）首先由得到，然后根据线段中点的性质求解即可．
（1）证明：∵点从点出发沿线段运动，同时点从点出发沿线段的延长线运动，点、运动的速度相同，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：线段的长度保持不变．理由如下：
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴．
21．(1)见解析
(2)，理由见解析
本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证；
（2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴．
22．(1)60
(2)24
本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键：
（1）求出的面积，再根据三角形的中线平分面积求出的面积；
（2）利用面积公式求出的长即可．
（1）解：∵的边上的高为，
∴，
∵为的中线，
∴；
（2）解：∵为的高，
∴，
∴．
23．(1)
(2)
本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系，进行求解即可；
（2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可．
（1）解：由三角形三边关系定理得到：，
∵，
∴，
∴．
（2）由三角形三边关系定理得到：，
∴，
∴
．
24．(1)见详解
(2)
(3)
（1）根据题意得，结合已知得得到，即可判定；
（2）过点G作交于点N，则，可得，进一步得到，由角平分线得，利用即可判定，有，结合，即可求得；
（3）设，，则，，，，由三角形面积公式得，进一步得．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则；
（2）解：过点G作交于点N，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
∴，
∵的角平分线交于点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，解得；
（3）解：设，，
∵，
∴，
则，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
则．
本题主要考查直角三角形的性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理以及中点的性质，解题的关键是熟悉三角形的性质和整体代入思想的应用．(共6张PPT)
人教版2024八年级上册
八年级数学第一次月考卷03
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 确定第三边的取值范围
2 0.94 三角形的识别与有关概念
3 0.85 根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质
4 0.75 与三角形的高有关的计算问题
5 0.65 角平分线的性质定理；全等的性质和HL综合（HL）
6 0.65 三角形内角和定理的应用；全等的性质和SAS综合（SAS）
7 0.65 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）
8 0.64 用SAS证明三角形全等（SAS）
9 0.65 全等三角形的性质
10 0.4 全等三角形综合问题；角平分线的性质定理；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 与三角形的高有关的计算问题；根据三角形中线求面积
12 0.85 三角形的分类
13 0.75 角平分线的性质定理
14 0.65 全等三角形综合问题
15 0.65 三角形的外角的定义及性质；全等三角形的性质
16 0.55 与角平分线有关的三角形内角和问题
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 与三角形的高有关的计算问题；与角平分线有关的三角形内角和问题
18 0.65 角平分线的有关计算；三角形内心有关应用
19 0.65 直角三角形的两个锐角互余；全等的性质和HL综合（HL）；三角形的外角的定义及性质
20 0.75 两直线平行内错角相等；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；线段中点的有关计算
21 0.75 全等三角形的性质；线段的和与差；根据平行线判定与性质证明
22 0.65 根据三角形中线求面积；与三角形的高有关的计算问题
23 0.65 带有字母的绝对值化简问题；确定第三边的取值范围
24 0.4 全等三角形综合问题；根据平行线判定与性质证明；直角三角形的两个锐角互余；角平分线的性质定理
