第24章 解直角三角形（培优）(含答案）

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第24章 解直角三角形（培优）
一、单选题
1．如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
2．如图，在四边形中，，与交于点，，，且平分．
下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确的结论是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③
3．如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF 相交于点E，作EG⊥AB于点G.已知∠1=∠2，有下列结论：①AE=BE；②BF⊥AD；③AC=2BF；④CE=BF+BG.其中正确的结论是 （　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°。若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（　　）
A． B．1 C．或1 D．或1或
6．如图，直角三角形纸片中，直角边BC=8cm，AC=6cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
二、填空题
7．如图，四边形的对角线交于点O，，，，，则　 　，　 　．
8．如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝　 　．
9．如图，在矩形中，已知，，点O，P分别是边，的中点，点H是边的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接﹐则长度的最小值是　 　．
10．如图，正方形的边长为6cm，E为的中点，连接AE，过点D作于点F，连接，过点C作于点G，交AE于点M，交AD于点N，则MN的长为　 　
11．如图，在中，，以斜边为边向下方作正方形，连结，作于点F，于点E，于点N，交于点M，若正方形与四边形的面积比为，则的值为　 　．
12．如图，在矩形中，，点分别为边的中点，连接，点为上一动点，连接的延长线交于点，若，则的长为　 　．
三、计算题
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在x轴，y轴的正半轴上，对角线，相交于点D，将正方形绕点O逆时针旋转α（）得正方形，点的对应点分别是，函数的图象记为图象G．
（1）当，时，点恰好在图象G上，求k的值；
（2）当点同时在图象G上时，点横坐标为4，求k的值；
（3）点P为x轴上一动点，当时，图象G过点D，且的值最小时，，求k的值．
14．根据以下素材，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
素材1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，出车库地面入口斜坡长．
素材2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，D，B，C三点共线．摄像头可以调整可识别角度，可识别角度的最大范围是，在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．(参考数据：)
素材3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．
问题解决 任务一 确定斜坡坡比；如图1，求的值．
任务二 判断车辆是否顺利通过：如图3，当时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明．
项目反思 任务三 能否通过调整摄像头的识别角度，使汽车以最高限速行驶时，可以顺利通过闸口，请计算的取值范围．
15．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）当四边形的面积为36时，求此时点C的坐标；
（3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题
17．如图①，在中，，是中线．点P从点D出发以速度沿向终点A运动，同时点Q从点D出发以速度沿向终点B运动，以为一边在上方作等边三角形，当点P到达终点时，两点间时停止运动．与的重叠部分的面积为，点P的运动时间为
（1） _________．（用含t的式子表示）
（2）当点M在边上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
18．如图，矩形的顶底、分别在轴和轴的正半轴上，反比例函数的图像分别交矩形的边、边点于、．
（1）若且点的坐标为，求点的坐标；
（2）若，四边形的的面积等于．
求的值；
若射线对应的函数表达式是，求线段的长；
（3）如图，若反比例函数的图像分别交边、于点、，连接．试判断与的位置关系，并说明理由．
19．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF= ，求BE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
2．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的判定；直角三角形斜边上的中线
3．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质
5．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的实际应用
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
7．【答案】8；
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
8．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
9．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
10．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正切的概念
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；求正切值
12．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
13．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
14．【答案】任务一：；任务二：闸门没有打开；任务三：
【知识点】解直角三角形
15．【答案】（1）mm，mm；（2）PN=60mm，mm．
【知识点】相似三角形的实际应用
16．【答案】（1），
（2）或
（3）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】函数解析式；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；解直角三角形
18．【答案】（1）；
（2）；
；
（3）．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；锐角三角函数的定义
19．【答案】解：∵AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，
∴∠AEB=∠AFE=90°．
∴∠B+∠BAE=∠BAE+∠AEF=90°．
∴∠B=∠AEF．
∵cos∠AEF= ，
∴cos∠B= ．
∵cos∠B= ，AB=BC，CE=2，
∴设BE=4a，则AB=5a，CE=a．
∴a=2．
∴BE=8
【知识点】解直角三角形
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