第22章 一元二次方程（培优）(含答案）

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第22章 一元二次方程（培优）
一、单选题
1．若定义：方程是方程的＂倒方程＂．则下列四个结论：①如果是的倒方程的一个解，则．②一元二次方程与它的倒方程有公共解．③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解．④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有（　　）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在自变量x的取值范围内，对于自变量时，函数值，则称a是函数的一个不动点，若函数恰有一个不动点，则实数的值不可能是（　　）
A． B．0 C．1 D．4
3．如图，，，，…，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法证明了勾股定理（如图）．设四个全等直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，五边形的面积为，的面积为，若，，则的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（　　）
A． B． C．2012 D．2011
6．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，正方形的顶点C、D在反比例函数的图像上，顶点A、B分别在轴和轴的正半轴上，再在其右侧作一个正方形，顶点G在反比例函数的图像上，顶点E在轴的正半轴上，则点D的坐标为　 　，点G的坐标为　 　 ．
8．若关于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有两个不相等的实根，且关于x的方程 的解为整数，则满足条件的所有整数a的和是　 　．
9．任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上数字的2倍，那么称这个数为“双倍快乐数”．例如：，因为所以234是“双倍快乐数”．则最小的的“双倍快乐数”为　 　；若是一个“双倍快乐数”，且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，设，若能被6整除，则所有满足条件的有　 　个．
10．如果，是正实数，方程 和方程都有实数解，那么的最小值是　 　．
11．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则　 　，若，为常数，则的值为　 　．
12．在△ABC中，BD为高，若AD+AB=CD，AD=1，BC=2 ，则AC=　 　。
三、计算题
13．关于x的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形：
变形
5
0 4 3
1 6
2 2 7
回答下列问题：
（1）表格中t的值为______；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______；
（3）记的两个变形为和，则的值______．
14．定义：若一个函数图象中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”．
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点” 如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点A、B，过点B作轴，垂足为，当面积为3时，求的值；
（3）若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，与组合成的图像上恰有两个“等值点”时，请求出的取值范围．
15．已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1，求 的值.
16．解方程或求值：
（1）
（2）
四、解答题
17．俗语有言“冬腊风腌，蓄以御冬”，没有腊味，如何能算得土是过冬？腊肉一直享有“一家煮肉百家香”的赞语，腌制好的腊肉，吃起来味道醇香，肥而不腻口，瘦而不塞牙，不论是煎，蒸，炒，炸，皆成美味．三口村店为迎接新年的到来，12月份购进了一批腊肉和香肠，已知用4000元购进腊肉的数量与用5000元购进香肠的数量一样多，其中每袋香肠的进价比每袋腊肉的进价多10元．
（1）每袋腊肉和香肠的进价分别是多少元？
（2）12月份上半月，该店每袋腊肉和香肠的售价分别为60元和80元，销售量之比为4：3，销售利润为3400元.12月份下半月，该店调整了销售价格，在上半月的基础上，每袋腊肉的售价增加了，每袋香肠的售价减少了元，结果腊肉的销售量比上半月腊肉的销售量增加了，香肠的销售量比上半月香肠的销售量增加了，下半月的销售利润比上半月的销售利润多864元．求a的值．
18．为全面贯彻落实“双减”政策，减轻学生负担，提高学生思维能力，数学学科命名一种“双减点”，定义如下：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点P为函数图象上的“双减点”．
（1）判断直线上是否有“双减点”？若有，直接写出其坐标；若没有，请说明理由．
（2）若反比例函数的图象上存在两个“双减点”C、D，且，请求出k的值．
（3）已知抛物线上存在唯一的“双减点”，且当时，n的最小值为t，求t值．
19．定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为，
（1）如果，
①求这两个函数的特征数；
②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标；
（2）如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
2．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
3．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的性质
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
7．【答案】；
【知识点】公式法解一元二次方程；三角形全等及其性质；正方形的性质
8．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式方程的解及检验
9．【答案】111；3
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
10．【答案】5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
11．【答案】-2；16
【知识点】解二元一次方程组；因式分解法解一元二次方程；算术平方根的性质（双重非负性）
12．【答案】4或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
13．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）解：，，，，
为一次项系数的相反数，
，
故答案为：；
（3）解：由（2）的结论可得：，，
，
，
．
故答案为：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
14．【答案】（1）函数的图象上存在“等值点”为；函数的图象上不存在个“等值点”
（2）b的值为或
（3）或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一次函数与一元一次方程的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
15．【答案】解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ≤ ，则方程 的两根为 ，由题意得 ，两式相加得 ， 即 ，所以 或 解得 或 又因为 所以 ；或者 ，故 ，或29.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
16．【答案】（1）解： ，
=0或 =0
解得：
（2）解：原式= = = =1
【知识点】二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
17．【答案】（1）每袋腊肉进价为40元，每袋香肠进价为50元；（2）10．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
18．【答案】（1）解：令，
解得，
，
存在“双减点”.
（2）解：∵“双减点”P在直线上，
∴设点C、D坐标分别为，，
∵，
∴，
∴，，
，且直线与轴的夹角为，
，
，
，
解得：，此时，，
.
（3）解：∵，由于“双减点”唯一，
此方程，，
∴，n为m的二次函数
当时，n的最小值为t，
∴当时，，此时t无解；
当时，，解得：，
当时，，解得：，（舍去），
综上所述，或.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数与一元一次方程的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
19．【答案】（1）①这两个函数的特征数为4；②
（2）
【知识点】公式法解一元二次方程；旋转的性质
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