第23章图形的相似（培优）(含答案）

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第23章图形的相似（培优）
一、单选题
1．如图，正方形中，是上一点，是延长线上一点，，连接为中点，连接．若，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形ABCD中，E在CD边上，F在BE边上，且AF=AB，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，若CG=2，DE=7，则BE的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（　　）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
4．如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为．若为的中点，则下列结论：
①；②；③；④其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法：“直角三角形斜边上正方形的面积等于两直角边上两个正方形的面积之和”．如图，中，，四边形、四边形和四边形都是正方形，过点作的平行线交于点，连接，，．若四边形的面积是四边形的面积的5倍，设与交于点，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG=FG；④EA平分∠GEF。其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
7．如图，在中，，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为　 　．
8．如图，已知等边△ABC的边长为4，BD⊥AB，且BD= ，连结AB，CD并延长交于点E，则线段BE的长度为　 　 。
9．如图，在中，，，点在上，连接，若，且，则的值为　 　．
10．如图，点O为等边边的中点.以为斜边作（点A与点D在同侧且点D在外），点F为线段上一点，延长到点E使，，若，，则　 　。
11．如图，在矩形中，，平分交于点，连接，将矩形沿翻折，翻折后点与点点对应，再将所得绕着点旋转，线段与线段交于点．当时，则的长为　 　．
12．在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 　 　．
三、计算题
13．在矩形中，为边上一点，且，点是线段上一动点，直线与直线相交于点，射线与直线相交于点，且．已知．
（1）用含有的代数式表示线段的长，______；
（2）①当点与点重合时，求线段的长；
②若点在线段上，求的范围；
（3）求的面积（用含的代数式表示）．
14．如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°
（1）计算：求BC的长；
（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．如图2，当点C1在线段CA的延长线上时．
①求∠CC1A1的度数；
②求四边形A1BCC1的面积；
（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A1BC1中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）点P是第一象限抛物线上一动点，连接，的延长线与x轴交于点Q，过点P作轴于点E，以为轴，翻折直线，与抛物线相交于另一点R．设P点横坐标为t，R点横坐标为s，求出s与t的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接，点G在上，且，连接，若，求点Q坐标．
16．已知中，，点D是边上的一个动点（不与点A、B重合），点F是边上的一点，且满足，过点C作交的延长线于E．
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，联结，设，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（3）过点C作射线的垂线，垂足为H，射线与射线交于点Q，当是等腰三角形时，求的长．
四、解答题
17．已知，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边的中点上，交于点，连接．
（1）如图，若，时
①_____
②求的长；
（2）若为的三等分点，求的值．
18．如图，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点和点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．
（1）用含t的代数式表示线段的长；
（2）当与矩形的对角线平行时，求t的值；
（3）若点M为的中点，求以M、P、C为顶点的三角形与相似时t的值；
（4）直接写出点B关于直线AP的对称点落在内部时t的取值范围．
19．在中，，点D是边上一点，，，和交于点E.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，如果，，，请直接写出的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
2．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
5．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
7．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
8．【答案】1
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
9．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
10．【答案】9
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
12．【答案】
【知识点】点到直线的距离；勾股定理的应用；三角形的中位线定理
13．【答案】（1）
（2）①或；②当时，点在线段上
（3）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
14．【答案】（1）BC＝7（2）①∠CC1A＝90°；②；（3）①最小值为﹣；最大值为：EP1＝BC+BE＝+7＝．
【知识点】相似三角形的判定与性质
15．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质
16．【答案】（1）
（2）函数关系式为，定义域为
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；等腰三角形的概念
17．【答案】（1）①，②
（2）或1
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
18．【答案】（1）当时，；当时，
（2）或
（3）或或
（4）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
19．【答案】（1）证明：作，交于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
作，交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴DE=10，
【知识点】平行线的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
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