1.1.1 课时2 共线向量与共面向量
【基础巩固】
1．在正方体中，下列向量与平行的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，则与，共面
B．若，则，，，共面
C．若，则，，，共面
D．若，则，，，共面
6．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则________．
7．已知，，，四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，均大于，则的最小值________．
8．如图，在四面体中，，，，，．
(1)求证：、、、四点共面．
(2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．
【能力拓展】
9．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10.（多选）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）
A．若点在直线上，则
B．若点在直线上，则
C．若点在平面内，则
D．若点在平面内，则
11．已知三棱锥，如图所示，为△重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若，，，四点共面，则________．
【拓展探究】
12．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点．仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于点，的分比为，；．
(1)设，；，为空间中任意取定的一点，求证：
；
(2)若，，，是共线的四个不同点，满足，；，；，求，，，；的值；
(3)如图，设，和分别是△的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，
求证：，；，；，；．
1.1.1 课时2 共线向量与共面向量
【基础巩固】
1．在正方体中，下列向量与平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在正方体中，根据共线向量的定义求出结果为．
故选：．
2．已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为，变形可得，
变形可得：，
又由为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线．
则有，解可得．
故选：．
3．下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是．
由此可得，，不正确；
选项：点为三角形的重心，所以共面．
故选：．
4．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，，
，
得，
即，
根据空间向量共面定理的推论，，解得．故选：．
5．（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若，则与，共面
B．若，则，，，共面
C．若，则，，，共面
D．若，则，，，共面
【答案】ABD
【解析】选项，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项是正确的；
选项，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，
所以，，，共面，故正确；
选项，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，
此时显然四个点，，，不在同一个平面上，所以选项是错误的；
选项，由可得，
则，即，
则，此时与选项一样，可以判断共面，即选项是正确的；
故选：.
6．若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则________．
【答案】
【解析】因为，，是三个不共面的非零向量，
，，，
又，，共面，所以存在实数，，使得，
则，
则，解得．故答案为：．
7．已知，，，四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，均大于，则的最小值________．
【答案】4
【解析】已知，，，四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，均大于，
则：，
故，解得；
故（当且仅当等号成立）．
故最小值为4．故答案为：4．
8．如图，在四面体中，，，，，．
(1)求证：、、、四点共面．
(2)若，设是和的交点，是空间任意一点，用、、、表示．
【答案】见解析；
【解析】(1)因为，
，
所以，则，因此、、、四点共面．
(2)由(1)知，，，因此，
、不在同一条直线上，，
则，则，即，
当时，，即，可得，
因为，即，可得，
所以，
．
【能力拓展】
9．正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，延长，，至点，，，
所以，
又由，所以，，，四点共面，
所以的最小值，即为点到平面的距离，
因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
又因为，所以三棱锥为正三棱锥，
取等边△的中心为，连接，，可得平面，
所以即为点到平面的距离，
在等边△，因为，可得，
在直角△中，可得，
即点到平面的距离为，所以的最小值为．
故选：．
10.（多选）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）
A．若点在直线上，则
B．若点在直线上，则
C．若点在平面内，则
D．若点在平面内，则
【答案】BCD
【解析】对于，若点在直线上，则，则，
由于，，三点共线，故，错误；
对于，若点在直线上，则，而，
结合，得，正确；
对于，若点在平面内，即，，，四点共面，则由，可知，正确，
对于，若点在平面内，则，则，
又，则，正确．故选：．
11．已知三棱锥，如图所示，为△重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若，，，四点共面，则________．
【答案】4
【解析】设中点为，连接，，如图所示：
因为点为△重心，所以点在线段上面，
因为，，，，
所以，
所以，
若，，，四点共面，则，解得．
故答案为：4．
【拓展探究】
12．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点．仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于点，的分比为，；．
(1)设，；，为空间中任意取定的一点，求证：
；
(2)若，，，是共线的四个不同点，满足，；，；，求，，，；的值；
(3)如图，设，和分别是△的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证：，；，；，；．
【答案】见解析
【解析】(1)由题意得，故，
，故，
(2)设，；，则，因为，，是共线的三个不同点，故，
所以，，
，即，
，故，因为，，是共线的三个不同点，故．
所以，，，故，；，；．
(3)设，；，，；，，；，
因为，和三点共线，，；，参照(1)证明可得：
①，
又因为，，三点共线，所以存在，使得，
代入①式可得：②，
同理，利用，；，，；，可以找到实数和，
使得③，④，
联立②③消去，联立②④消去，可得：
，，
又因为，和中任意两个向量互不共线，
故有，
由得，由得，又，故，即，
所以，；，；，；．得证．1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算
【基础巩固】
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．在三棱柱中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，空间四边形中，，，，点在上，
且满足，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在四面体中，，，，，是线段上靠近点的三等分点，且，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
5．（多选）下列命题中正确的是 （ ）
A．如果,是两个单位向量，则
B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同
C．若,，为非零向量，且，，则
D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
6．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，
设，，，则__________ （用表示）．
7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，，分别是，的中点，是的中点，若，则 ________．
8．如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心，
求下列各式中，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【能力拓展】
9．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为（ ）
A．24 B．18
C． D．12
10．（多选）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为__________．
【素养提升】
12．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，求的最小值.
1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算
【基础巩固】
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.
2．在三棱柱中，是的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为三棱柱中，是的中点，
所以．
故选：．
3．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，，，，点为的中点，
，
故选：．
4．在四面体中，，，，，是线段上靠近点的三等分点，且，则
A．1 B．
C．3 D．
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，如图所示：
因为，是线段上靠近点的三等分点，
所以，
又，所以．
故选：．
5．（多选）下列命题中正确的是 （ ）
A．如果,是两个单位向量，则
B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同
C．若,，为非零向量，且，，则
D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内
【答案】ACD
【解析】由单位向量的定义即得，故正确；
共线不一定同向，故错误；
因为,，为非零向量，且，，则，故正确；
在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故正确．
故选：.
6．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则__________ （用表示）．
【答案】．
【解析】由于在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则，
．
故答案为：．
7．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，，分别是，的中点，是的中点，若，则 ___________．
【答案】1
【解析】由题意，，分别是，的中点，是的中点，
则，
则有，解得，
所以．
故答案为：1．
8．如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中，的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】见解析
【解析】如图所示，
(1)正方体中，，所以；
(2)，
所以，；
(3)，
所以，．
【能力拓展】
9．已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为
A．24 B．18
C． D．12
【答案】A
【解析】由于动点满足，故点的轨迹是平面与长方体表面相交线围成的图形，取的中点，
如图所示：
连接，则，
又，所以四边形为等腰梯形，，
由此可得该梯形的高为，
所以．
故选：．
10．（多选）如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，
则
，
即有，故选项错误、选项正确；
，
即有，故选项错误，选项正确．
故选：BD．
11．已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】根据题意，点满足，其中，
所以，
可得，
因为点是平面内的一点，又正四面体棱长为1，
所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高，
此时且达到最小值．
故答案为：．
【素养提升】
12．正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，求的最小值.
【答案】见解析
【解析】因为正四面体的棱长为6，
所以，
同理可得，，
又因为以为球心且半径为1的球面上有两点，，，
所以，
由，
则
，
因为，所以，
当且仅当取等号，
此时，所以．
故的最小值为50．
