2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 2.4.2圆的一般方程 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 2.4.2圆的一般方程 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 67.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-26 11:14:16 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
第二章 2.4.2圆的一般方程
一、单选题
1.（2025江苏扬州中学月考）已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ）
A. 1或-3
B. 1
C. 3
D. -1或3
2.(2025浙江宁波镇海中学月考)已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（易错题）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（ ）。
选项：
A. 2
B. 4
C.
D.
5.（2025广东佛山期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.(2025河北衡水中学月考)已知圆的面积为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.已知三点A(4,3), B(5,2), C(1,0)，下列结论正确的是（ ）。
选项：
A. AB的距离为2
B. 直线BC的一般式方程为
C. 以BC为直径的圆方程为
D. 外接圆的方程为
8.在平面内，已知线段的长度为4，则满足下列条件的点的轨迹为圆的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.(2025湖南长沙模拟)方程所表示的圆的相关说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为
B. 圆的半径为
C. 圆的最大面积为
D. 当时，圆的半径最大
三、填空题
10.(2025湖南长沙长郡中学月考)已知，方程表示圆，则________.
11.(2024浙江台州期中)已知实数，满足方程，则的最小值为________.
12.(2025辽宁鞍山一中期中)已知圆，是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为________.
四、解答题
13.(2025广东茂名期中）已知平面直角坐标系中有，，，四点，则这四点是否在同一个圆上？若是，求出圆的一般方程；若不是，请说明理由。
14.(2025四川成都段考)某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥（如图1），该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系（，，）。
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽10m，水面以上高3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由（附：）。
15.(2024山东菏泽段考)已知点，，。
(1)求的外接圆的方程；
(2)在外接圆上任取一点，过点作轴的垂线，为垂足，当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程。
一、单选题
1.答案：B
解析：圆关于直线对称，需满足两个条件：①直线过圆心；②圆的一般方程满足“表示圆的条件”（）。
步骤1：将圆化为标准形式，圆心为，半径平方，故需（）；
步骤2：圆心在直线上，代入得，整理为，解得或；
步骤3：验证：时（符合），时（舍去），故。
2.答案：B
解析：圆的一般方程表示圆的条件为。
方程中，，，代入得，即；
化简得，解得，故的取值范围为。
3.答案：C
解析：点在圆外部需满足两个条件：①圆的一般方程表示圆（）；②点到圆心的距离平方大于半径平方（或点代入圆方程左边大于0）。
步骤1：圆，，，，故，即，解得；
步骤2：点在外部，代入圆方程左边得，即，解得；
综上，。
4.答案：D
解析：将圆C的方程化为标准形式：
配方得 ，
所以圆心C(1,2)，半径r=2。
设弦AB的中点为M。由于，根据弦长公式：
，其中d为圆心C到弦AB的距离（即|CM|）。
代入r=2：，解得，即d=1。
因此点M在以C(1,2)为圆心、半径为1的圆上。
，其中O为原点(0,0)。
问题转化为求|OM|的最小值，即点M到原点O的最小距离。
点C(1,2)到原点O的距离为。
点M在以C为圆心、半径为1的圆上，所以|OM|的最小值为。
因此的最小值为。
5.答案：A
解析：先求已知圆的圆心，再求新圆的半径，最后写圆的一般方程。
步骤1：已知圆，圆心为；
步骤2：新圆过点，半径，故半径平方；
步骤3：新圆的标准方程为，展开为，整理为。
6.答案：B
解析：圆的面积为，故半径（面积）。
圆，半径平方；
由得，即，解得，故。
二、多选题
7.答案：BCD
解析：选项A：
计算|AB|：点A(4,3)和B(5,2)，距离为，故A错误。
选项B：
求直线BC的方程：点B(5,2)和C(1,0)，斜率。
点斜式：，化为一般式：，即，故B正确。
选项C：
以BC为直径的圆：圆心为BC的中点，即。
半径。
圆方程：，展开得，故C正确。
选项D：
由于点A、B、C满足圆方程（验证：代入A、B、C坐标均使方程为0），且该圆是以BC为直径的圆（因三角形ABC为直角三角形，∠A=90°），故该圆也是△ABC的外接圆，D正确。
8.答案：BD
解析：设，（线段长4，简化坐标），，逐一分析：
A：，轨迹为以为直径的圆（除去），但题目未说明“不包括”，严格来说“轨迹为圆（含端点）”，但通常此类题中不与重合，需结合选项；
B：，代入坐标得，化简为，即（圆），正确；
C：，，，点积为，化简为无轨迹，排除C；
D：，代入得，平方化简为（圆），正确；
9.答案：ACD
解析：将圆的一般方程化为标准形式分析：
方程，配方得；
A：圆心为，正确；
B：半径（需），错误；
C：半径平方，最大值为9，故最大面积，正确；
D：当时，半径平方最大为9，半径最大为3，正确。
三、填空题
10.答案：-1
解析：方程表示圆的条件：①系数相等且不为0；②。
步骤1：，解得或；
步骤2：验证系数不为0：时，时；
步骤3：验证：
时，方程化为（即），，，，，舍去；
时，方程化为，，符合；
11.答案：
解析：表示点到原点的距离平方，求其最小值即求原点到圆上点的距离的最小值的平方。
步骤1：圆方程，配方得，圆心，半径；
步骤2：原点到圆心的距离；
步骤3：原点到圆上点的最小距离为，故的最小值为。
12.答案：
解析：用“相关点法”求轨迹：设，，因是中点，故，，即，。
步骤1：在圆上，代入圆方程；
步骤2：将，代入得；
步骤3：展开化简：，即，整理为（原答案可能有误，正确化简结果为）。
四、解答题
13.解：
四点共圆的判断方法：先求过三点的圆的方程，再验证第四点是否在圆上。
步骤1：设过、、的圆的一般方程为，代入三点坐标：
：，即（①）；
：，即（②）；
：，即（③）；
步骤2：解方程组：②-①得；代入①得（④）；代入③得（⑤）；④-⑤得，代入⑤得；
步骤3：圆的方程为，验证：代入左边得，满足方程；
结论：四点共圆，圆的一般方程为。
14.解：
(1) 求拱圆方程：设拱圆的一般方程为，代入、、：
：（①）；
：（②）；
：（③）；
①+②得，代入①得；代入③得；
拱圆方程为（或标准形式，，因是拱圆，取上半圆）。
(2) 判断游船能否通过：游船宽10m，水面以上高3m，即判断点（或）是否在拱圆内部（或下方）。
代入拱圆方程左边：；
因拱圆方程表示的圆，内部点满足，故在拱圆内部，游船能通过。
15.解：
(1) 求的外接圆方程：设一般方程，代入、、：
：（①）；
：（②）；
：（③）；
①+②得，代入①得；代入③得；
外接圆方程为（或）。
(2) 求的轨迹方程：设，，因是中点（），故，，即，。
因在圆上，代入；
得，整理为。
第二章 2.4.2圆的一般方程
一、单选题
1.（2025江苏扬州中学月考）已知圆关于直线对称，则实数的值为（ ）
A. 1或-3
B. 1
C. 3
D. -1或3
2.(2025浙江宁波镇海中学月考)已知是实常数，若方程表示的曲线是圆，则的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.（易错题）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（ ）。
选项：
A. 2
B. 4
C.
D.
5.（2025广东佛山期中）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.(2025河北衡水中学月考)已知圆的面积为，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题
7.已知三点A(4,3), B(5,2), C(1,0)，下列结论正确的是（ ）。
选项：
A. AB的距离为2
B. 直线BC的一般式方程为
C. 以BC为直径的圆方程为
D. 外接圆的方程为
8.在平面内，已知线段的长度为4，则满足下列条件的点的轨迹为圆的是（ ）
A.
B.
C.
D.
9.(2025湖南长沙模拟)方程所表示的圆的相关说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心坐标为
B. 圆的半径为
C. 圆的最大面积为
D. 当时，圆的半径最大
三、填空题
10.(2025湖南长沙长郡中学月考)已知，方程表示圆，则________.
11.(2024浙江台州期中)已知实数，满足方程，则的最小值为________.
12.(2025辽宁鞍山一中期中)已知圆，是圆上的动点，点，为线段的中点，则点的轨迹方程为________.
四、解答题
13.(2025广东茂名期中）已知平面直角坐标系中有，，，四点，则这四点是否在同一个圆上？若是，求出圆的一般方程；若不是，请说明理由。
14.(2025四川成都段考)某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥（如图1），该圆拱桥的圆拱跨度为16m，拱高为4m，在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系（，，）。
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽10m，水面以上高3m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由（附：）。
15.(2024山东菏泽段考)已知点，，。
(1)求的外接圆的方程；
(2)在外接圆上任取一点，过点作轴的垂线，为垂足，当点在圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程。
一、单选题
1.答案：B
解析：圆关于直线对称，需满足两个条件：①直线过圆心；②圆的一般方程满足“表示圆的条件”（）。
步骤1：将圆化为标准形式，圆心为，半径平方，故需（）；
步骤2：圆心在直线上，代入得，整理为，解得或；
步骤3：验证：时（符合），时（舍去），故。
2.答案：B
解析：圆的一般方程表示圆的条件为。
方程中，，，代入得，即；
化简得，解得，故的取值范围为。
3.答案：C
解析：点在圆外部需满足两个条件：①圆的一般方程表示圆（）；②点到圆心的距离平方大于半径平方（或点代入圆方程左边大于0）。
步骤1：圆，，，，故，即，解得；
步骤2：点在外部，代入圆方程左边得，即，解得；
综上，。
4.答案：D
解析：将圆C的方程化为标准形式：
配方得 ，
所以圆心C(1,2)，半径r=2。
设弦AB的中点为M。由于，根据弦长公式：
，其中d为圆心C到弦AB的距离（即|CM|）。
代入r=2：，解得，即d=1。
因此点M在以C(1,2)为圆心、半径为1的圆上。
，其中O为原点(0,0)。
问题转化为求|OM|的最小值，即点M到原点O的最小距离。
点C(1,2)到原点O的距离为。
点M在以C为圆心、半径为1的圆上，所以|OM|的最小值为。
因此的最小值为。
5.答案：A
解析：先求已知圆的圆心，再求新圆的半径，最后写圆的一般方程。
步骤1：已知圆，圆心为；
步骤2：新圆过点，半径，故半径平方；
步骤3：新圆的标准方程为，展开为，整理为。
6.答案：B
解析：圆的面积为，故半径（面积）。
圆，半径平方；
由得，即，解得，故。
二、多选题
7.答案：BCD
解析：选项A：
计算|AB|：点A(4,3)和B(5,2)，距离为，故A错误。
选项B：
求直线BC的方程：点B(5,2)和C(1,0)，斜率。
点斜式：，化为一般式：，即，故B正确。
选项C：
以BC为直径的圆：圆心为BC的中点，即。
半径。
圆方程：，展开得，故C正确。
选项D：
由于点A、B、C满足圆方程（验证：代入A、B、C坐标均使方程为0），且该圆是以BC为直径的圆（因三角形ABC为直角三角形，∠A=90°），故该圆也是△ABC的外接圆，D正确。
8.答案：BD
解析：设，（线段长4，简化坐标），，逐一分析：
A：，轨迹为以为直径的圆（除去），但题目未说明“不包括”，严格来说“轨迹为圆（含端点）”，但通常此类题中不与重合，需结合选项；
B：，代入坐标得，化简为，即（圆），正确；
C：，，，点积为，化简为无轨迹，排除C；
D：，代入得，平方化简为（圆），正确；
9.答案：ACD
解析：将圆的一般方程化为标准形式分析：
方程，配方得；
A：圆心为，正确；
B：半径（需），错误；
C：半径平方，最大值为9，故最大面积，正确；
D：当时，半径平方最大为9，半径最大为3，正确。
三、填空题
10.答案：-1
解析：方程表示圆的条件：①系数相等且不为0；②。
步骤1：，解得或；
步骤2：验证系数不为0：时，时；
步骤3：验证：
时，方程化为（即），，，，，舍去；
时，方程化为，，符合；
11.答案：
解析：表示点到原点的距离平方，求其最小值即求原点到圆上点的距离的最小值的平方。
步骤1：圆方程，配方得，圆心，半径；
步骤2：原点到圆心的距离；
步骤3：原点到圆上点的最小距离为，故的最小值为。
12.答案：
解析：用“相关点法”求轨迹：设，，因是中点，故，，即，。
步骤1：在圆上，代入圆方程；
步骤2：将，代入得；
步骤3：展开化简：，即，整理为（原答案可能有误，正确化简结果为）。
四、解答题
13.解：
四点共圆的判断方法：先求过三点的圆的方程，再验证第四点是否在圆上。
步骤1：设过、、的圆的一般方程为，代入三点坐标：
：，即（①）；
：，即（②）；
：，即（③）；
步骤2：解方程组：②-①得；代入①得（④）；代入③得（⑤）；④-⑤得，代入⑤得；
步骤3：圆的方程为，验证：代入左边得，满足方程；
结论：四点共圆，圆的一般方程为。
14.解：
(1) 求拱圆方程：设拱圆的一般方程为，代入、、：
：（①）；
：（②）；
：（③）；
①+②得，代入①得；代入③得；
拱圆方程为（或标准形式，，因是拱圆，取上半圆）。
(2) 判断游船能否通过：游船宽10m，水面以上高3m，即判断点（或）是否在拱圆内部（或下方）。
代入拱圆方程左边：；
因拱圆方程表示的圆，内部点满足，故在拱圆内部，游船能通过。
15.解：
(1) 求的外接圆方程：设一般方程，代入、、：
：（①）；
：（②）；
：（③）；
①+②得，代入①得；代入③得；
外接圆方程为（或）。
(2) 求的轨迹方程：设，，因是中点（），故，，即，。
因在圆上，代入；
得，整理为。