广东省广州市广州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题（本题包括8小题，每题有一个选项符合题意每题5分，共40分）
1．（2025高二上·广州期中）直线：与：的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·广州期中）已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高二上·广州期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高二上·广州期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2025高二上·广州期中）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高二上·广州期中）如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·广州期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·广州期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．向量与的夹角是
D．平面
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二上·广州期中）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量、、满足，，则
10．（2025高二上·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
11．（2025高二上·广州期中）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二上·广州期中）如图，正四面体的长为1，，则 ．
13．（2025高二上·广州期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ．
14．（2025高二上·广州期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二上·广州期中）已知空间内三点，，．
（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标．
16．（2025高二上·广州期中）已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
17．（2025高二上·广州期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程及过点的切线方程；
（2）直线与圆相交于两点，且，求实数的值．
18．（2025高二上·广州期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由.
19．（2025高二上·广州期中）长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立方程组解得，
故与的交点坐标为.
故答案为：A.
【分析】求两直线交点坐标，只需联立两直线方程，即可求出交点坐标.
2．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【解答】解：由于，，，
由空间向量共面基本定理知，，，均与共面，
不能构成一组基底，故ABD均错误.
故答案为：C.
【分析】根据空间向量基底定义（三个不共面的向量可为一组空间向量基底）和空间向量共面基本定理可得结果.
3．【答案】B
【知识点】平面内中点坐标公式；轨迹方程
【解析】【解答】解：设中点，，由中点坐标公式得，
则，即，
因为点A在圆上运动，所以，
化简得.
故答案为：B.
【分析】设中点，，利用中点坐标公式求得动点的坐标，代入圆方程化简即可得线段的中点的轨迹方程.
4．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由直线方程，令，解得，则直线过，
由直线的倾斜角为，则该直线的斜率，
故直线方程为：，化简可得：，
则点到直线的距离.
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合直线截距的定义， 直线在y轴上的截距 是指直线与y轴交点的纵坐标，可通过令直线方程中x=0求得直线在轴上的截距；根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，先求出直线方程，并化简为一般式方程，再结合点到直线的距离公式，可得答案.
5．【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；三角形五心
【解析】【解答】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为，由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为，
可得的垂直平分线所在直线的方程为，
又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程组，解得，即的外心的坐标为，
则，所以的方程为，即，
所以的欧拉线方程为.
故答案为：C.
【分析】要求直线方程，只需求出三角形外心和中心即可.根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程（平分求中点、垂直求斜率，利用点斜式可求得中垂线方程），联立方程组，求得外心的坐标，再结合点斜式方程（或两点式方程），即可求解.
6．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：取中点建立如图所示空间直角坐标系，
设正四面体边长为，则，，，
由正四面体性质可得，则，
即，则，，
，，
则，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】根据正四面体的定义，正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等.建立适当空间直角坐标系后，可结合正四面体性质得到各点坐标， 再通过向量法计算两异面直线的方向向量，进而求出夹角的余弦值 .
7．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因点在直线上运动，则设，于是有，
因此，，
于是得
则当时，，此时，点
故答案为：A.
【分析】根据向量共线定理可设，根据向量的运算性质得到Q的坐标，即可用t分别表示和，再利用向量数量积公式计算，最后求一元二次函数的最小值.
8．【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量基本定理；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，
A：，
又，则
，故A错误，
B：由于，
则，，
又，
则，故B错误，
C：由于 ，所以向量与的夹角即为与的夹角，
由于等边三角形，故为，
进而与的夹角为的补角，故与的夹角为，故C错误，
D：，
所以，进而可得 平面 ，
故 平面，故D正确，
故答案为：D.
【分析】若三个不共面向量 构成基底，则对于空间中任意向量 （），存在唯一的有序实数组 ( x， y， z )，使得（）.该定理表明，三个不共面的向量可唯一确定一个三维空间基底，用于表示空间中的任何向量.利用基底向量，结合向量模长公式即可判断A，利用向量的夹角公式即可判断BC，由向量垂直即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可判断D.
9．【答案】B,C
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，故A错误；
B：向量是向量的相反向量，则，故B正确；
C：在正方体中，四边形是矩形，故，故C正确；
D：若，则，，但、不一定共线，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】A选项， 两向量长度相等，但方向可能任意，不一定相同或相反 ，可知A错误；B选项，根据相反向量定义，与向量长度相等，方向相反的向量，叫作向量的相反向量 ，可知B正确；C选项，相等向量是指具有相同长度且方向完全一致的两个向量，可知C正确；D选项，零向量的方向与任一向量平行，与任意向量共线，与任意向量垂直， 若，则、不一定共线，若，则、共线，所以D错误.
10．【答案】A,C,D
【知识点】两条直线垂直的判定；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：A：由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确；
B：由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；
C：将直线方程变形为，由得，
直线过定点，斜率为.
当直线与垂直时，点到直线的距离最大.
因为，所以，选项C正确；
D：
如图，，
由图可知，当或时，直线与线段有交点.
故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据条件，结合也是直线的方向向量计算的值即可判断A；根据两直线互相垂直计算参数的值即可判断B，条件能推出结论，而结论推不出条件，因此是充分不必要条件；参数的系数为0和等式成立可求出直线恒过定点坐标，根据直线恒过定点可知当直线与垂直时，点到直线的距离最大即可判断C；计算直线的斜率，数形结合和正切函数图象和性质可确定直线斜率的取值范围即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，
A：，，
故，
故，即直线和所成的角为，故A错误；
B：易得四面体为正四面体，
则，故B正确；
C：，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，
故点到平面的距离，故C正确；
D：设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据正方体结构特征，建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线夹角、点到直线的距离和二面角，可判断A、C、D，利用割补法求出四面体的体积可判断B，或者是利用三棱锥体积公式（为点到平面的距离）求体积.
12．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】根据空间向量基本定理，选为基底，然后表示，利用正四面体的结构特征和向量的数量积公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.
由题可知，，，
设，则
在中，有
即，解得
故车辆通过隧道的限制高度是.
故答案为：
【分析】 首先，我们需要根据题目描述，建立一个平面直角坐标系，以便能够通过坐标来表示问题中的关键点.接着，通过已知的点坐标和圆的性质，我们可以设定一个圆的标准方程，并通过代入已知点来求解出圆心和半径的具体值.然后，利用所求得的圆的方程，结合题目中给出的限制条件，我们可以进一步求解出车辆通过隧道的限制高度.
14．【答案】
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：圆，即，
圆心为，半径
圆，即，
圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为 ，
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，
其圆心为，半径，
则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接，与直线交于点，
此时点是满足最小的点，
此时，
即的最小值为，
故答案为：.
【分析】 题目要求求解动点P在直线l上时，|MP|+|NP|的最小值，其中M和N分别在圆C1和C2上.通过几何变换（如对称性）将问题转化为两点间距离的最小值问题，利用圆心间的距离减去半径之和来求解.
15．【答案】（1）解：（1），，
，
又，，．
（2）解：（2）设，由，，得，，
解得或，
或．
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）由空间向量夹角公式求出，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）设，由，，可得向量数量积为0，列出方程组，求解即可．
（1），，
，
又，，．
（2）设，由，，得，，
解得或，
或．
16．【答案】（1）解：设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．∴．
（2）解：设，则，解得．∴．∴．
∴直线BC的方程为，即为．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）求顶点的坐标：利用中线的直线方程（在该直线上），以及与高垂直（两直线垂直斜率之积为 ），建立方程组求解.
（2）求直线的方程：先设出点坐标，利用在高上，且中点在中线上，求出点坐标，再用点斜式求直线方程.
（1）解：设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．
∴．
（2）设，则，
解得．
∴．
∴．
∴直线BC的方程为，即为．
17．【答案】（1）解：（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为，
当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
（2）解：（2）由（1）知，圆的圆心，半径，
由，得圆心到直线的距离，
则，即，则，解得或，
所以实数的值为或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）要求圆C的标准方程及过点M的切线方程，首先需要确定圆心坐标和半径， 由圆心所在的直线设出圆心坐标，然后利用点到圆心的距离等于半径的条件建立方程即可求得圆心和半径.对于切线方程，可以使用点斜式结合切线的性质（即切线与半径垂直）来求解，按切线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式求出切线方程.
（2）可以利用圆心角与弦长的关系，结合直线与圆的位置关系，将条件转化为圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求出参数值.
（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为，
当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
（2）由（1）知，圆的圆心，半径，
由，得圆心到直线的距离，
则，即，则，解得或，
所以实数的值为或.
18．【答案】（1）证明：（1）由平面，平面，则，
又，，平面，所以平面.
（2）解：（2）以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
为的中点，，得，，
则有，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得，
设直线与面所成角为，则有，
所以直线与面所成角的正弦值为1.
（3）解：（3）若线段上存在点使、、、四点共面，设，，
则，，
若、、、四点共面，则在平面内，
又平面的一个法向量为，则有，解得.
所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）.由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论；
（2）根据四棱锥结构特征，构建以A为原点的空间直角坐标系，根据已知条件确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值；
（3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量数量积的坐标表示求，即可确定结果.
（1）由平面，平面，则，
又，，平面，所以平面.
（2）以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
为的中点，，得，，
则有，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得，
设直线与面所成角为，则有，
所以直线与面所成角的正弦值为1.
（3）若线段上存在点使、、、四点共面，设，，
则，，
若、、、四点共面，则在平面内，
又平面的一个法向量为，则有，解得.
所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时.
19．【答案】（1）解：（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以，
所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆，
所以G的轨迹方程为.
（2）解：（2），证明如下：
依题意，下列各点坐标为，
直线的方程为.
因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点，
故设，且.
设直线的方程为，
，解得，即.
设直线的方程为，
，解得，即.
所以
，
又，
所以.
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）题意是求点G的轨迹方程，因此需要将条件转化为与G相关的结论. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长度，进而判断出G的轨迹，得到轨迹方程；
（2）写出四点的坐标，联立直线与直线的方程求出点M的坐标，联立直线与直线的方程求出N的坐标，再利用坐标求出并与进行比较即可， 如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果斜率互为负倒数，则它们垂直.
（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以，
所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆，
所以G的轨迹方程为.
（2），证明如下：
依题意，下列各点坐标为，
直线的方程为.
因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点，
故设，且.
设直线的方程为，
，解得，即.
设直线的方程为，
，解得，即.
所以
，
又，
所以.
1 / 1广东省广州市广州中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题（本题包括8小题，每题有一个选项符合题意每题5分，共40分）
1．（2025高二上·广州期中）直线：与：的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：联立方程组解得，
故与的交点坐标为.
故答案为：A.
【分析】求两直线交点坐标，只需联立两直线方程，即可求出交点坐标.
2．（2025高二上·广州期中）已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【解答】解：由于，，，
由空间向量共面基本定理知，，，均与共面，
不能构成一组基底，故ABD均错误.
故答案为：C.
【分析】根据空间向量基底定义（三个不共面的向量可为一组空间向量基底）和空间向量共面基本定理可得结果.
3．（2025高二上·广州期中）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面内中点坐标公式；轨迹方程
【解析】【解答】解：设中点，，由中点坐标公式得，
则，即，
因为点A在圆上运动，所以，
化简得.
故答案为：B.
【分析】设中点，，利用中点坐标公式求得动点的坐标，代入圆方程化简即可得线段的中点的轨迹方程.
4．（2025高二上·广州期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距与另一条直线在轴上的截距相同，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：由直线方程，令，解得，则直线过，
由直线的倾斜角为，则该直线的斜率，
故直线方程为：，化简可得：，
则点到直线的距离.
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合直线截距的定义， 直线在y轴上的截距 是指直线与y轴交点的纵坐标，可通过令直线方程中x=0求得直线在轴上的截距；根据倾斜角与斜率的定义，利用点斜式方程，先求出直线方程，并化简为一般式方程，再结合点到直线的距离公式，可得答案.
5．（2025高二上·广州期中）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（中垂线的交点）、重心（中线的交点）、垂心（高的交点）在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；三角形五心
【解析】【解答】解：因为的顶点，可得的重心的坐标为，由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为，
可得的垂直平分线所在直线的方程为，
又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为，
联立方程组，解得，即的外心的坐标为，
则，所以的方程为，即，
所以的欧拉线方程为.
故答案为：C.
【分析】要求直线方程，只需求出三角形外心和中心即可.根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程（平分求中点、垂直求斜率，利用点斜式可求得中垂线方程），联立方程组，求得外心的坐标，再结合点斜式方程（或两点式方程），即可求解.
6．（2025高二上·广州期中）如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：取中点建立如图所示空间直角坐标系，
设正四面体边长为，则，，，
由正四面体性质可得，则，
即，则，，
，，
则，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：A.
【分析】根据正四面体的定义，正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等.建立适当空间直角坐标系后，可结合正四面体性质得到各点坐标， 再通过向量法计算两异面直线的方向向量，进而求出夹角的余弦值 .
7．（2025高二上·广州期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；空间向量的数量积运算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因点在直线上运动，则设，于是有，
因此，，
于是得
则当时，，此时，点
故答案为：A.
【分析】根据向量共线定理可设，根据向量的运算性质得到Q的坐标，即可用t分别表示和，再利用向量数量积公式计算，最后求一元二次函数的最小值.
8．（2025高二上·广州期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．向量与的夹角是
D．平面
【答案】D
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量基本定理；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，
A：，
又，则
，故A错误，
B：由于，
则，，
又，
则，故B错误，
C：由于 ，所以向量与的夹角即为与的夹角，
由于等边三角形，故为，
进而与的夹角为的补角，故与的夹角为，故C错误，
D：，
所以，进而可得 平面 ，
故 平面，故D正确，
故答案为：D.
【分析】若三个不共面向量 构成基底，则对于空间中任意向量 （），存在唯一的有序实数组 ( x， y， z )，使得（）.该定理表明，三个不共面的向量可唯一确定一个三维空间基底，用于表示空间中的任何向量.利用基底向量，结合向量模长公式即可判断A，利用向量的夹角公式即可判断BC，由向量垂直即可得线线垂直，进而根据线面垂直的判断即可判断D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二上·广州期中）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则或
B．若向量是向量的相反向量，则
C．在正方体中，
D．若空间向量、、满足，，则
【答案】B,C
【知识点】空间向量的概念
【解析】【解答】解：A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，故A错误；
B：向量是向量的相反向量，则，故B正确；
C：在正方体中，四边形是矩形，故，故C正确；
D：若，则，，但、不一定共线，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】A选项， 两向量长度相等，但方向可能任意，不一定相同或相反 ，可知A错误；B选项，根据相反向量定义，与向量长度相等，方向相反的向量，叫作向量的相反向量 ，可知B正确；C选项，相等向量是指具有相同长度且方向完全一致的两个向量，可知C正确；D选项，零向量的方向与任一向量平行，与任意向量共线，与任意向量垂直， 若，则、不一定共线，若，则、共线，所以D错误.
10．（2025高二上·广州期中）下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
【答案】A,C,D
【知识点】两条直线垂直的判定；恒过定点的直线；平面内点到直线的距离公式；直线的方向向量
【解析】【解答】解：A：由是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确；
B：由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；
C：将直线方程变形为，由得，
直线过定点，斜率为.
当直线与垂直时，点到直线的距离最大.
因为，所以，选项C正确；
D：
如图，，
由图可知，当或时，直线与线段有交点.
故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据条件，结合也是直线的方向向量计算的值即可判断A；根据两直线互相垂直计算参数的值即可判断B，条件能推出结论，而结论推不出条件，因此是充分不必要条件；参数的系数为0和等式成立可求出直线恒过定点坐标，根据直线恒过定点可知当直线与垂直时，点到直线的距离最大即可判断C；计算直线的斜率，数形结合和正切函数图象和性质可确定直线斜率的取值范围即可判断D.
11．（2025高二上·广州期中）如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．直线和所成的角为
B．四面体的体积是
C．点到平面的距离为
D．平面与平面夹角的正弦值为
【答案】B,C
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，
A：，，
故，
故，即直线和所成的角为，故A错误；
B：易得四面体为正四面体，
则，故B正确；
C：，，，
设平面的法向量为，则有，
令，则，
故点到平面的距离，故C正确；
D：设平面的法向量为，则有，
令，则，所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据正方体结构特征，建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线夹角、点到直线的距离和二面角，可判断A、C、D，利用割补法求出四面体的体积可判断B，或者是利用三棱锥体积公式（为点到平面的距离）求体积.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二上·广州期中）如图，正四面体的长为1，，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】根据空间向量基本定理，选为基底，然后表示，利用正四面体的结构特征和向量的数量积公式计算即可.
13．（2025高二上·广州期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ．
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：如下图，圆弧的圆心O在直线MN上，过B作，交圆弧于点G，作于点H，连接OE、OG.
由题可知，，，
设，则
在中，有
即，解得
故车辆通过隧道的限制高度是.
故答案为：
【分析】 首先，我们需要根据题目描述，建立一个平面直角坐标系，以便能够通过坐标来表示问题中的关键点.接着，通过已知的点坐标和圆的性质，我们可以设定一个圆的标准方程，并通过代入已知点来求解出圆心和半径的具体值.然后，利用所求得的圆的方程，结合题目中给出的限制条件，我们可以进一步求解出车辆通过隧道的限制高度.
14．（2025高二上·广州期中）已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】圆的标准方程；关于点、直线对称的圆的方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：圆，即，
圆心为，半径
圆，即，
圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为 ，
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，
其圆心为，半径，
则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
如图所示：
连接，与直线交于点，
此时点是满足最小的点，
此时，
即的最小值为，
故答案为：.
【分析】 题目要求求解动点P在直线l上时，|MP|+|NP|的最小值，其中M和N分别在圆C1和C2上.通过几何变换（如对称性）将问题转化为两点间距离的最小值问题，利用圆心间的距离减去半径之和来求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二上·广州期中）已知空间内三点，，．
（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标．
【答案】（1）解：（1），，
，
又，，．
（2）解：（2）设，由，，得，，
解得或，
或．
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）由空间向量夹角公式求出，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）设，由，，可得向量数量积为0，列出方程组，求解即可．
（1），，
，
又，，．
（2）设，由，，得，，
解得或，
或．
16．（2025高二上·广州期中）已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
【答案】（1）解：设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．∴．
（2）解：设，则，解得．∴．∴．
∴直线BC的方程为，即为．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）求顶点的坐标：利用中线的直线方程（在该直线上），以及与高垂直（两直线垂直斜率之积为 ），建立方程组求解.
（2）求直线的方程：先设出点坐标，利用在高上，且中点在中线上，求出点坐标，再用点斜式求直线方程.
（1）解：设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．
∴．
（2）设，则，
解得．
∴．
∴．
∴直线BC的方程为，即为．
17．（2025高二上·广州期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程及过点的切线方程；
（2）直线与圆相交于两点，且，求实数的值．
【答案】（1）解：（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为，
当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
（2）解：（2）由（1）知，圆的圆心，半径，
由，得圆心到直线的距离，
则，即，则，解得或，
所以实数的值为或.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）要求圆C的标准方程及过点M的切线方程，首先需要确定圆心坐标和半径， 由圆心所在的直线设出圆心坐标，然后利用点到圆心的距离等于半径的条件建立方程即可求得圆心和半径.对于切线方程，可以使用点斜式结合切线的性质（即切线与半径垂直）来求解，按切线斜率存在与否分类，借助点到直线距离公式求出切线方程.
（2）可以利用圆心角与弦长的关系，结合直线与圆的位置关系，将条件转化为圆心到直线距离，再利用点到直线距离公式求出参数值.
（1）由圆心在直线上，设圆心，
由，得，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的标准方程为，
当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径3，则直线是符合题意的切线；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
，解得，直线方程为，
所以切线方程为或.
（2）由（1）知，圆的圆心，半径，
由，得圆心到直线的距离，
则，即，则，解得或，
所以实数的值为或.
18．（2025高二上·广州期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由.
【答案】（1）证明：（1）由平面，平面，则，
又，，平面，所以平面.
（2）解：（2）以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
为的中点，，得，，
则有，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得，
设直线与面所成角为，则有，
所以直线与面所成角的正弦值为1.
（3）解：（3）若线段上存在点使、、、四点共面，设，，
则，，
若、、、四点共面，则在平面内，
又平面的一个法向量为，则有，解得.
所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）.由线面垂直的性质有，又，根据线面垂直的判定即可证结论；
（2）根据四棱锥结构特征，构建以A为原点的空间直角坐标系，根据已知条件确定对应点坐标，求出平面的法向量，应用向量法求线面角的正弦值；
（3）设，根据点共面，利用与平面一个法向量垂直，由向量数量积的坐标表示求，即可确定结果.
（1）由平面，平面，则，
又，，平面，所以平面.
（2）以A为原点，平面内与垂直的直线为x轴，的正方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，
为的中点，，得，，
则有，，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得，
设直线与面所成角为，则有，
所以直线与面所成角的正弦值为1.
（3）若线段上存在点使、、、四点共面，设，，
则，，
若、、、四点共面，则在平面内，
又平面的一个法向量为，则有，解得.
所以线段上存在点，使得、、、四点共面，此时.
19．（2025高二上·广州期中）长度为6的线段，设线段中点为G，线段的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动.
（1）求点G的轨迹方程；
（2）设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N.试判断直线与的位置关系，并证明你的结论.
【答案】（1）解：（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以，
所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆，
所以G的轨迹方程为.
（2）解：（2），证明如下：
依题意，下列各点坐标为，
直线的方程为.
因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点，
故设，且.
设直线的方程为，
，解得，即.
设直线的方程为，
，解得，即.
所以
，
又，
所以.
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）题意是求点G的轨迹方程，因此需要将条件转化为与G相关的结论. 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG的长度，进而判断出G的轨迹，得到轨迹方程；
（2）写出四点的坐标，联立直线与直线的方程求出点M的坐标，联立直线与直线的方程求出N的坐标，再利用坐标求出并与进行比较即可， 如果两条直线的斜率相等，则它们平行；如果斜率互为负倒数，则它们垂直.
（1）在中，因为G是线段PQ的中点，所以，
所以G的轨迹为以O为圆心，以3为半径的圆，
所以G的轨迹方程为.
（2），证明如下：
依题意，下列各点坐标为，
直线的方程为.
因为H为第一象限内点G的轨迹上的动点，
故设，且.
设直线的方程为，
，解得，即.
设直线的方程为，
，解得，即.
所以
，
又，
所以.
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