1.1 动量定理 学案 (1)

第1讲　动量定理
[目标定位]　1.理解动量的概念，以及动量和动量变化量的矢量性.2.知道冲量的概念，以及冲量的矢量性.3.理解动量定理的确切含义及其表达式.4.会用动量定理解释碰撞、缓冲等生活中的现象．
一、动量
1．定义
运动物体的质量和速度的乘积叫动量；公式p＝mv；单位：千克·米/秒，符号：kg·m/s.
2．矢量性
方向与物体运动速度的方向相同．运算遵循平行四边形定则．
3．动量的变化量
物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差(也是矢量)，Δp＝mv2－mv1(矢量式)．
想一想　质量相同的两个物体动能相同，它们的动量也一定相同吗？
答案　不一定．动能和质量相同，则速度大小相同，方向不一定相同，又因为动量是矢量，有方向性，所以动量不一定相同．
二、动量定理
1．冲量
(1)定义：力和力的作用时间的乘积．公式：I＝Ft.单位：牛顿·秒，符号：N·s.
(2)矢量性：方向与力的方向相同．
2．动量定理
(1)内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量变化．
(2)公式：I＝Δp或Ft＝mv2－mv1.
3．动量与缓冲的实例分析
碰撞时可产生冲击力，要增大这种冲击力就要设法减少冲击力的作用时间；要防止冲击力带来的危害，就要减小冲击力，设法延长其作用时间．
想一想　跳高时在下落处要放厚厚的海绵垫子，跳远时要跳在沙坑中，这样做的目的是什么？
答案　这样做可以延长作用的时间，以减小地面对人的冲击力．
一、对动量的理解
1．动量的矢量性：动量的方向与物体的瞬时速度的方向相同．
2．动量的变化量：是矢量，其表达式Δp＝mv2－mv1＝p2－p1为矢量式，运算遵循平行四边形定则，当p2、p1在同一条直线上时，可规定正方向，将矢量运算转化为代数运算．
3．与动能的区别与联系：
(1)区别：动量是矢量，动能是标量．
(2)联系：动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，二者大小关系为Ek＝或p＝.
例1　关于物体的动量，下列说法中正确的是(　　)
A．运动物体在任一时刻的动量方向，一定是该时刻的速度方向
B．物体的动能不变，其动量一定不变
C．动量越大的物体，其速度一定越大
D．物体的动量越大，其惯性也越大
答案　A
解析　动量具有瞬时性，任一时刻物体动量的方向与该时刻物体的速度方向相同，选项A正确；动能不变，若速度方向变化，动量也发生变化，B项错误；物体动量的大小由物体质量及速度大小共同决定，不是由物体的速度唯一决定的，故物体的动量大，其速度不一定大，选项C错误；惯性由物体质量决定，物体的动量越大，其质量并不一定越大，惯性也不一定越大，故选项D错误．
例2　质量为0.5
kg的物体，运动速度为3
m/s，它在一个变力作用下速度变为7
m/s，方向和原来方向相反，则这段时间内动量的变化量为(　　)
A．5
kg·m/s，方向与原运动方向相反
B．5
kg·m/s，方向与原运动方向相同
C．2
kg·m/s，方向与原运动方向相反
D．2
kg·m/s，方向与原运动方向相同
答案　A
解析　以原来的方向为正方向，由定义式Δp＝mv′－mv得Δp＝(－7×0.5－3×0.5)
kg·m/s＝－5
kg·m/s，负号表示Δp的方向与原运动方向相反．
借题发挥　关于动量变化量的计算
1．若初、末动量在同一直线上，则在选定正方向的前提下，可化矢量运算为代数运算．
2．若初、末动量不在同一直线上，运算时应遵循平行四边形定则．
二、对冲量的理解和计算
1．冲量的理解
(1)冲量是过程量，它描述的是力作用在物体上的时间累积效应，求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量．
(2)冲量是矢量，当力是恒力时，冲量的方向与力的方向相同；当力是变力时，冲量的方向与动量变化量方向一致．
2．冲量的计算
(1)求某个恒力的冲量：等于该力和力的作用时间的乘积．
(2)求合冲量的两种方法：
可分别求每一个力的冲量，再求各冲量的矢量和；另外，如果各个力的作用时间相同，也可以先求合力，再用公式I合＝F合Δt求解．
(3)求变力的冲量：
①若力与时间成线性关系，则可用平均力求变力的冲量，平均力＝.
②若给出了力随时间变化的图象如图1所示，可用面积法求变力的冲量，即F t图线与时间轴围成图形的面积在数值上等于力在该段时间内的冲量．
图1
③利用动量定理求解．
例3　如图2所示，在倾角α＝37°的斜面上，有一质量为5
kg的物体沿斜面滑下，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体下滑2
s的时间内，物体所受各力的冲量．(g取10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
图2
答案　见解析
解析　重力的冲量：IG＝G·t＝mg·t＝5×10×2
N·s＝100
N·s，方向竖直向下．
支持力的冲量：IN＝N·t＝mgcos
α·t＝5×10×0.8×2
N·s＝80
N·s，方向垂直斜面向上．
摩擦力的冲量：If＝f·t＝μmgcos
α·t＝0.2×5×10×0.8×2
N·s＝16
N·s，方向沿斜面向上．
借题发挥　求各力的冲量或者合力的冲量，首先判断各力是否是恒力，若是恒力，可直接用力与作用时间的乘积、求解，若是变力，要根据力的特点求解，或者利用动量定理求解．
三、对动量定理的理解和应用
1．动量定理的理解
(1)动量定理的表达式Ft＝mv2－mv1是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义．
(2)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因．
(3)公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F应是合外力在作用时间内的平均值．
2．动量定理的应用
(1)定性分析有关现象：
①物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就越小．
②作用力一定时，力的作用时间越长，动量变化量越大；力的作用时间越短，动量变化量越小．
(2)应用动量定理定量计算的一般步骤：
①选定研究对象，明确运动过程．
②进行受力分析和运动的初、末状态分析．
③选定正方向，根据动量定理列方程求解．
例4　跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于(　　)
A．人跳在沙坑里的动量比跳在水泥地上的小
B．人跳在沙坑里的动量变化比跳在水泥地上的小
C．人跳在沙坑里受到的冲量比跳在水泥地上的小
D．人跳在沙坑里受到的平均作用力比跳在水泥地上的小
答案　D
解析　人跳远时从一定的高度落下，落地前的速度是一定的，初动量是一定的，所以选项A错误；落地后静止，末动量一定，人的动量变化是一定的，选项B错误；由动量定理可知人受到的冲量等于人的动量变化，所以两种情况下人受到的冲量相等，选项C错误；落在沙坑里力作用的时间长，落在水泥地上力作用的时间短，根据动量定理，在动量变化一定的情况下，时间t越长则受到的平均作用力F越小，故选项D正确．
例5　质量m＝70
kg的撑竿跳高运动员从h＝5.0
m高处落到海绵垫上，经Δt1＝1
s后停止，则该运动员身体受到的平均作用力约为多少？如果是落到普通沙坑中，经Δt2＝0.1
s停下，则沙坑对运动员的平均作用力约为多少？(g取10
m/s2)
答案　1
400
N　7
700
N
解析　以全过程为研究对象，初、末动量的数值都是0，所以运动员的动量变化量为零，根据动量定理，合力的冲量为零，根据自由落体运动的知识，物体下落到地面上所需要的时间是t＝＝1
s
从开始下落到落到海绵垫上停止时，mg(t＋Δt1)－FΔt1＝0
代入数据，解得F＝1
400
N
下落到沙坑中时，mg(t＋Δt2)－F′Δt2＝0
代入数据，解得F′＝7
700
N.
对动量和冲量的理解
1．关于动量，下列说法正确的是(　　)
A．速度大的物体，它的动量一定也大
B．动量大的物体，它的速度一定也大
C．只要物体运动的速度大小不变，物体的动量也保持不变
D．质量一定的物体，动量变化越大，该物体的速度变化一定越大
答案　D
解析　动量由质量和速度共同决定，只有质量和速度的乘积大，动量才大，A、B均错误；动量是矢量，只要速度方向变化，动量就发生变化，选项C错误；由Δp＝mΔv知D正确．
2.恒力F作用在质量为m的物体上，如图3所示，由于地面对物体的摩擦力较大，物体没有被拉动，则经时间t，下列说法正确的是(　　)
图3
A．拉力F对物体的冲量大小为零
B．拉力F对物体的冲量大小为Ft
C．拉力F对物体的冲量大小是Ftcos
θ
D．合力对物体的冲量大小为零
答案　BD
解析　拉力F对物体的冲量大小为Ft，A、C错误，B正确；合力对物体的冲量等于物体动量的变化，即等于零，选项D正确．
动量定理的理解和应用
3．一个小钢球竖直下落，落地时动量大小为0.5
kg·m/s，与地面碰撞后又以等大的动量被反弹．下列说法中正确的是(　　)
A．引起小钢球动量变化的是地面给小钢球的弹力的冲量
B．引起小钢球动量变化的是地面对小钢球弹力与其自身重力的合力的冲量
C．若选向上为正方向，则小钢球受到的合冲量是－1
N·s
D．若选向上为正方向，则小钢球的动量变化是1
kg·m/s
答案　BD
解析　根据动量定理可知，引起物体动量变化的是合外力的冲量，故A错，B对；若选向上为正方向，则Δp＝p2－p1＝[0.5－(－0.5)]kg·m/s＝1
kg·m/s，故C错，D对．
4．在2014年的澳大利亚网球公开赛上，中国选手李娜夺得冠军，比赛中，李娜挥拍将质量为m的网球击出，如果网球被球拍击打前、后瞬间速度的大小分别为v1、v2，v2与v1方向相反，且v2>v1.重力影响可忽略，则此过程中球拍对网球作用力的冲量大小为______；方向与______(填“v1”或“v2”)方向相同．
答案　m(v1＋v2)　v2
解析　取球拍击打前网球的速度v1的方向为正方向，根据动量定理得球拍对网球作用力的冲量为：I＝－mv2－mv1＝－m(v1＋v2)，即冲量大小为：m(v1＋v2)，方向与v1方向相反，与v2方向相同.
(时间：60分钟)
题组一　对动量和冲量的理解
1．下列说法中正确的是(　　)
A．物体的速度大小改变时，物体的动量一定改变
B．物体的速度方向改变时，其动量不一定改变
C．物体的动量不变，其速度一定不变
D．运动物体在任一时刻的动量方向，一定与该时刻的速度方向相同
答案　ACD
2．下列说法中正确的是(　　)
A．动能变化的物体，动量一定变化
B．动能不变的物体，动量一定不变
C．动量变化的物体，动能一定变化
D．动量不变的物体，动能一定不变
答案　AD
解析　动量是矢量，动能是标量，所以动能变化，则动量的大小一定变化，A正确；动能不变，速度的大小不变，但方向可能变化，所以动量可能变化，B错误；当动量的大小不变，只是方向变化时，物体的动能不变，C错误；动量不变的物体，速度一定不变，则动能一定不变，D正确．
3．下列说法正确的是(　　)
A．动能为零时，物体一定处于平衡状态
B．物体受到恒力的冲量也可能做曲线运动
C．物体所受合外力不变时，其动量一定不变
D．动能不变，物体的动量一定不变
答案　B
解析　动能为零时，速度为零，而加速度不一定等于零，物体不一定处于平衡状态，选项A错误；物体受恒力，也可能做曲线运动．如平抛运动，选项B正确；合外力不变，加速度不变，速度均匀变化，动量一定变化，C项错误；动能不变，若速度的方向变化，动量就变化，选项D错误．
4．在任何相等时间内，物体动量的变化总是相等的运动可能是(　　)
A．匀速圆周运动
B．匀变速直线运动
C．自由落体运动
D．平抛运动
答案　BCD
5．某物体受到－2
N·s的冲量作用，则(　　)
A．物体原来的动量方向一定与这个冲量的方向相反
B．物体的末动量一定是负值
C．物体的动量一定减小
D．物体的动量增量一定与规定的正方向相反
答案　D
解析　若选初动量的反方向为正方向，冲量方向与物体原来动量方向相同，A错；由动量定理可知I合＝p2－p1，I合<0，Δp<0，但p2不一定是负值，B错；由于动量是矢量，物体的动量不一定减小，C错．故选D.
题组二　动量定理的理解及定性分析
6．从同样高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，其原因是(　　)
A．掉在水泥地上的玻璃杯动量大，而掉在草地上的玻璃杯动量小
B．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大，掉在草地上的玻璃杯动量改变小
C．掉在水泥地上的玻璃杯动量改变快，掉在草地上的玻璃杯动量改变慢
D．掉在水泥地上的玻璃杯与地面接触时，相互作用时间短，而掉在草地上的玻璃杯与地面接触时相互作用时间长
答案　CD
解析　玻璃杯是否被撞碎，取决于撞击地面时，地面对玻璃杯的撞击力大小．规定竖直向上为正方向，设玻璃杯下落高度为h，它们从h高度落地瞬间的速度大小为，设玻璃杯的质量为m，则落地前瞬间的动量大小为p＝m，与水泥或草地接触Δt时间后，玻璃杯停下，在此过程中，玻璃杯的动量变化Δp＝－(－m)相同，再由动量定理可知(F－mg)·Δt＝－(－m)，所以F＝＋mg.由此可知，Δt越小，玻璃杯所受撞击力越大，玻璃杯就越容易碎，玻璃杯掉在草地上作用时间较长，动量变化慢，作用力小，因此玻璃杯不易碎，故A、B错误，C、D正确．
7．从高处跳到低处时，为了安全，一般都是先让脚尖着地，这样做是为了(　　)
A．减小冲量
B．减小动量的变化量
C．增大与地面的冲击时间，从而减小冲力
D．增大人对地面的压强，起到安全作用
答案　C
解析　脚尖先着地，接着逐渐到整只脚着地，延长了人落地时动量变化所用的时间，由动量定理可知，人落地动量变化一定，这样就减小了地面对人的冲力，故C正确．
8.如图1所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉到地面上的P点，若以2v速度抽出纸条，则铁块落地点(　　)
图1
A．仍在P点
B．在P点左侧
C．在P点右侧不远处
D．在P点右侧原水平位移的两倍处
答案　B
解析　以2v速度抽出纸条时，纸条对铁块作用时间减少，而纸条对铁块的摩擦力不变，故与以速度v抽出相比，纸条对铁块的冲量I减小，铁块获得的动量减小，平抛的速度减小，水平射程减小，故落在P点的左侧．
题组三　动量定理的定量计算
9．质量为m的钢球自高处落下，以速度大小v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的速度大小为v2.在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为(　　)
A．向下，m(v1－v2)
B．向下，m(v1＋v2)
C．向上，m(v1－v2)
D．向上，m(v1＋v2)
答案　D
解析　物体以大小为v1的竖直速度与地面碰撞后以大小为v2的速度反弹．物体在与地面碰撞过程的初、末状态动量皆已确定．根据动理定理便可以求出碰撞过程中钢球受到的冲量．设垂直地面向上的方向为正方向，对钢球应用动量定理得Ft－mgt＝mv2－(－mv1)＝mv2＋mv1.
由于碰撞时间极短，t趋于零，则mgt趋于零．所以Ft＝m(v2＋v1)，即弹力的冲量方向向上，大小为m(v2＋v1)．
10.质量为0.5
kg的小球沿光滑水平面以5
m/s的速度冲向墙壁后又以4
m/s的速度反向弹回，如图2所示，若球跟墙的作用时间为0.05
s，则小球所受到的平均力大小为________N.
图2
答案　90
解析　选定小球与墙碰撞的过程，取v1的方向为正方向，对小球应用动量定理得Ft＝－mv2－mv1
所以，F＝＝
N＝－90
N
“－”号说明F的方向与v1的方向相反．
11.如图3所示，质量为1
kg的钢球从5
m高处自由下落，又反弹到离地面3.2
m高处，若钢球和地面之间的作用时间为0.1
s，求钢球对地面的平均作用力大小．(g取10
m/s2)
图3
答案　190
N
解析　钢球落到地面时的速度大小为v0＝＝10
m/s，反弹时向上运动的速度大小为vt＝＝8
m/s，分析物体和地面的作用过程，取向上为正方向，因此有v0的方向为负方向，vt的方向为正方向，再根据动量定理得(N－mg)t＝mvt－(－mv0)，代入数据，解得N＝190
N，由牛顿第三定律知钢球对地面的平均作用力大小为190
N.
12．一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶来的轿车相撞，两车车身因相互挤压，皆缩短了0.5
m，据测算两车相撞前速度约为30
m/s，则：
(1)假设两车相撞时人与车一起做匀减速运动，试求车祸中车内质量约60
kg的人受到的平均冲力是多大？
(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1
s，求这时人体受到的平均冲力为多大？
答案　(1)5.4×104
N　(2)1.8×103
N
解析　(1)两车相撞时认为人与车一起做匀减速运动直到停止，位移为0.5
m.
设运动的时间为t，则由x＝t得，t＝＝
s.
根据动量定理得Ft＝Δp＝－mv0，解得F＝＝
N＝－5.4×104
N，方向与运动方向相反．
(2)若人系有安全带，则F′＝＝
N＝－1.8×103
N，方向与运动方向相反．
13．将质量为m＝1
kg的小球，从距水平地面高h＝5
m处，以v0＝10
m/s的水平速度抛出，不计空气阻力，g取10
m/s2.求：
(1)抛出后0.4
s内重力对小球的冲量；
(2)平抛运动过程中小球动量的增量Δp；
(3)小球落地时的动量大小p′.
答案　(1)4
N·s，方向竖直向下
(2)10
N·s，方向竖直向下
(3)10
kg·m/s
解析　(1)重力是恒力，0.4
s内重力对小球的冲量
I＝mgt0＝1×10×0.4
N·s＝4
N·s，方向竖直向下．
(2)由于平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，
故h＝gt2，落地时间t＝＝1
s.
小球飞行过程中只受重力作用，所以合外力的冲量为
I′＝mgt＝1×10×1
N·s＝10
N·s，方向竖直向下．
由动量定理得Δp＝I′＝10
N·s，方向竖直向下．
(3)小球落地时竖直分速度为vy＝gt＝10
m/s.由速度合成知，落地速度
v＝＝m/s＝10
m/s，
所以小球落地时的动量大小为p′＝mv＝10
kg·m/s.