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18.1.1 从分数到分式
第十八章 分式
人教版(新教材)数学八年级上册
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
学习目标
通过实际问题的探究，经历分式形成的过程，理解分式的意义．
一
类比分数，建构分式单元知识脉络和研究思路，探寻研究的方法，感悟类比的思想方法.
二
能从实际情境中发现并提出数学问题，初步形成分式的有关概念，提高数学抽象能力，增强数学应用意识.
三
情境引入
问题1 任意两个整数相除的结果一定是整数吗
两个整数相除
商不是整数
引入分数表示商
问题2 任意两个整式相除的结果还是整式吗
一般化
两个整式相除
商不是整式
引入新式表示商
3÷4
=
x÷(x+1)
=
情境引入
问题3 “新式”怎样命名？
两个整数相除
商不是整数
引入分数表示商
一般化
两个整式相除
商不是整式
一般化
引入新式表示商
3÷4
=
x÷(x+1)
=
引入分式表示商
情境引入
问题4 怎样研究分式？
分数的概念
分数的基本性质
分数的运算
分数的应用
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
分式的应用
类比
合作探究
思考1
（1）长方形的面积为10，长为7，则宽为 ；长方形的面积为
S，长为a，则宽为 ．
（2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他的平均速度为 km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用c h，则他的平均速度为 km/h．
合作探究
思考1
（3）一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，设江水流速为v km/h，则轮船顺流航行90 km所用的时间为 h，逆流航行60 km所用的时间为 h.
合作探究
思考2
式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相
同点和不同点？
答 这些式子与分数一样都是（即A÷B）的形式．
分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母．
合作探究
分 式 (fraction)的概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作分子，B叫作分母．
典例分析
例1 下列各式：① ；② ；③；④ +y；⑤ ；⑥ 3x2，
是分式的有 （只填序号）.
①③⑤
典例分析
例2 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
B
合作探究
思考3
我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0． 要使分式有意
义，分式中的分母应满足什么条件？
答 分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
解 （1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0 ；
（2）要使分式有意义，则分母x 1≠0，即x≠1 ；
（3）要使分式有意义，则分母5 3b≠0，即b≠ ；
（4）要使分式有意义，则分母x y≠0，即x≠y ．
典例分析
例3 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
巩固练习
1.列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为 hm2.
（2）△ABC的面积为S，边BC的长为a，则高AD为 ．
巩固练习
2.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
， ， ， ， ， ， ， .
整式
分式
分式
分式
分式
分式
分式
整式
分式的分母中含有字母
巩固练习
3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） ； （2） ； （3） ；
解 （1）要使分式有意义，则分母a≠0，即a≠0 ；
（2）要使分式有意义，则分母x 1≠0，即x≠1 ；
（3）要使分式有意义，则分母3m+2≠0，即m≠ ；
（4）要使分式有意义，则分母x y≠0，即x≠y ；
（5）要使分式有意义，则分母3a b≠0，即b≠3a ；
（6）要使分式有意义，则分母(x+2)2≠0，即x≠ 2 .
巩固练习
3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（4） ； （5） ； （6） .
解 ∵分式的值为0，
∴x2 4=0，且x 2≠0，
解得：x=±2且x≠2，
∴x= 2．
巩固练习
4.若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．±2 C．2 D． 2
D
当A=0且B≠0时，分式=0.
巩固练习
5.分式可以表示现实生活中的某些数量关系．请你构造一个问题情境，使
其中的数量关系可以用分式表示．
归纳总结
分式 分式的概念
分式有意义
分式值为0
B中含有字母
整式
B≠0
A=0且B≠0
感受中考
1.（2025·湖南怀化）代数式 ， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
B
感受中考
2.（2025·江苏常州）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠ 1 B．x= 1
C．x≥ 1 D．x> 1
A
感受中考
3.（2025·贵州）若分式的值为0，则实数x的值为（ ）
A．2 B．0 C． 2 D． 3
A
感受中考
4.（2025·广西）写出一个使分式有意义的x的值，可以是 ．
5.（2025·山东）写出使分式有意义的x的一个值 ．
6.（2024·吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值
为 ．
（答案不唯一）
2
（答案不唯一）
1
（答案不唯一）
0
感受中考
7.（2021·广西百色）当x= 2时，分式的值是（ ）
A． 15 B． 3 C．3 D．15
A
小结梳理
列式
实
际
问
题
分
式
类比分数
分式的概念
分式有意义的条件
分式值为0的条件
布置作业
必做题：习题18.1 第1，2，3题.
1
探究性作业：习题18.1 第11题.
2
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18.1.1 从分数到分式 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课由实际问题引入，通过类比分数的概念得到分式的概念，并进一步研究分式有意义的条件。
2. 内容分析
本节课是“分式”这一单元的起始课。起始课教学，承载着建构策略性知识的重要价值，因此，本节课需要引导学生类比分数的学习构建分式研究的整体思路和方法，同时在这一过程中，类比分数表示整数运算结果的方法，研究整式的运算，产生分式，抽象分式的概念；类比分数有意义的条件研究分式有意义的条件。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：经历分式形成的过程，理解分式的意义。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）通过实际问题的探究，经历分式形成的过程，理解分式的意义。
（2）类比分数，建构分式单元知识脉络和研究思路，探寻研究的方法，感悟类比的思想方法。
（3）能从实际情境中发现并提出数学问题，初步形成分式的有关概念，提高数学抽象能力，增强数学应用意识。
2. 目标解析
（1）学生需通过对实际问题的分析，发现仅用整式无法表示某些数量关系，从而自然引出分式的形式。在这一过程中，明确分式与实际问题的联系，理解分式的本质是表示两个整式相除（分母中含有字母）的代数式，进而掌握分式的定义。
（2）回顾分数的学习脉络（如分数的定义、基本性质、运算等）和研究思路（从实际意义到概念，再到性质和应用），将其迁移到分式的学习中。明确分式与分数在形式（分子、分母的构成）、研究逻辑（定义→性质→运算→应用）上的相似性，通过类比确定分式单元的学习重点，理解“类比”是数学中研究新问题的重要方法。
（3）学生须具备从实际情境中识别数量关系的能力，主动发现其中可用分式表示的关系，并提出与分式相关的数学问题。在提炼问题和分析关系的过程中，抽象出分式的概念，体会数学概念源于实际又服务于实际，增强用数学知识解决实际问题的意识。
三、教学问题诊断分析
学生已经学习过整式及其运算，分数及其运算，这为分式的学习奠定了知识基础，提供了学习经验。学生从字面上理解分式的概念并不困难，难的是理解分式所反映的数量关系的本质，理解分数与分式、整式与分式之间的联系与区别。因此，设计合理的活动，让学生类比分数，经历分式概念的形成过程是帮助学生突破难点的关键，也是发展学生数学抽象素养的抓手。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解分数与分式、整式与分式之间的联系与区别。
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题1 任意两个整数相除的结果一定是整数吗
问题2 任意两个整式相除的结果还是整式吗
问题3 “新式”怎样命名？
问题4 怎样研究分式？
设计意图：以“整数→整式”的一般化拓展为线索，用问题链驱动学生经历“发现需求（非整数/非整式商）→引入新表示（分数/分式）→构建研究框架（类比分数）”的完整过程，既自然生成分式概念，又渗透“类比、一般化”的数学思想，帮助学生建立“从已学知识迁移研究新知识”的思维模式，同时让学生清晰地看到知识的生长逻辑，提升数学抽象与知识体系构建能力。
（二）合作探究
思考1
（1）长方形的面积为10，长为7，则宽为 ；长方形的面积为S，长为a，则宽为 ．
（2）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行a km用时b h，则他的平均速度为 km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用c h，则他的平均速度为 km/h．
（3）一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，设江水流速为v km/h，则轮船顺流航行90 km所用的时间为 h，逆流航行60 km所用的时间为 h.
思考2
式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
答 这些式子与分数一样都是（即A÷B）的形式．
分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A与B都是整式，并且B中都含有字母．
归纳 分式(fraction)的概念
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．在分式中，A叫作分子，B叫作分母．
思考3
我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0． 要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
答 分式的分母表示除数，因为除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
设计意图：围绕“从分数到分式”的知识关联，通过生活实例引入→对比归纳概念→延伸意义理解的逻辑，让学生经历“感知—抽象—深化”的学习过程，实现从已有知识（分数）到新知识（分式）的自然迁移，同时渗透数学抽象、类比推理等核心素养。
（三）典例分析
例1 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式的有 ①③⑤ （只填序号）
例2 如图，甲、乙、丙、丁四人手中各有一张圆形卡片，则卡片中的式子不是分式的是（ B ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
例3 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） ； （2） ； （3） ； （4） .
解 （1）要使分式有意义，则分母3x≠0，即x≠0 ；
（2）要使分式有意义，则分母x 1≠0，即x≠1 ；
（3）要使分式有意义，则分母5 3b≠0，即b≠ ；
（4）要使分式有意义，则分母x y≠0，即x≠y ．
设计意图：例1、例2 让学生在分类判断中，主动回顾分式的定义，锻炼“依据概念辨析形式”的逻辑思维，巩固概念认知，夯实定义理解；再聚焦“分式有意义的条件”，通过具体的练习，让学生掌握“由分母≠0列不等式求解”的方法，强化知识的吸收与迁移能力。
（四）巩固练习
1. 列式表示下列各量：
（1）某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积为 hm2.
（2）△ABC的面积为S，边BC的长为a，则高AD为 ．
2.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
① ，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧.
分式：①③⑤⑥⑦⑧.
整式：②④.
区别：分式的分母中含有字母.
3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.
解 （1）要使分式有意义，则分母a≠0，即a≠0 ；
（2）要使分式有意义，则分母x 1≠0，即x≠1 ；
（3）要使分式有意义，则分母3m+2≠0，即m≠ ；
（4）要使分式有意义，则分母x y≠0，即x≠y ；
（5）要使分式有意义，则分母3a b≠0，即b≠3a ；
（6）要使分式有意义，则分母(x+2)2≠0，即x≠ 2 .
4.若分式的值为0，则x的值为（ D ）
A．0 B． C．2 D．
解 ∵分式的值为0，
∴x2 4=0，且x 2≠0，
解得：x=±2且x≠2，
∴x= 2．
总结 当A=0且B≠0时，分式=0.
5.分式可以表示现实生活中的某些数量关系．请你构造一个问题情境，使其中的数量关系可以用分式表示．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
（六）感受中考
1．（2022·湖南怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ B ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2025·江苏常州）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
3．（2025·贵州）若分式的值为0，则实数的值为（ A ）
A．2 B．0 C． D． 3
4．（2025·广西）写出一个使分式有意义的的值，可以是 2（答案不唯一） ．
5．（2025·山东）写出使分式有意义的的一个值 1（答案不唯一） ．
6．（2024·吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 0（答案不唯一） ．
7．（2021·广西百色）当x＝ 2时，分式的值是（ A ）
A． 15 B． 3 C．3 D．15
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：借助思维导图，以实际问题为起点，经“列式”生成“分式”，再延伸出分式的概念，帮学生逐步搭建分式的知识体系。借助类比思想，用已熟知的分数知识作为桥梁，降低分式概念的理解难度。
（八）布置作业
1.必做题：习题18.1 第1，2，3题.
2.探究性作业：习题18.1 第11题.
五、教学反思
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