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18.1.2 分式的基本性质（第2课时 约分通分）
教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课通过类比分数的约分与通分，学习分式的约分与通分。分式的约分是利用分式的基本性质约去公因式，将分式变形为最简分式或者整式。分式通分的依据仍然是分式的基本性质，关键在于确定最简公分母。
2. 内容分析
本节课是“分式的基本性质”的第二课时，核心内容是分式的约分与通分。分式的约分与通分都是重要的分式变形，它是学习分式运算的前提和基础，是分式加减运算的关键。课程设计通过类比分数的约分与通分展开，体现“数式通性”的数学思想，帮助学生借助已有知识（分数运算）迁移理解新内容（分式运算），降低认知难度。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能利用分式的基本性质进行约分、通分。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式。
（2）通过类比分数的约分与通分来探索分式的约分与通分，体会数式通性和类比的思想。
2. 目标解析
（1）学生需明确约分的依据（分式的基本性质）；能准确找出分子、分母的公因式；会通过约去公因式将分式化为最简分式或整式。学生能判断一个分式是否为最简分式，并理解最简分式是分式化简的最终形式。学生需知道最简公分母是各分母系数的最小公倍数与因式的最高次幂的积；能针对具体分式确定最简公分母。
（2）学生能回忆分数的约分与通分的过程和依据（分数的基本性质），并将其迁移到分式中，理解分式的约分与通分的操作原理。学生能认识到“分数”与“分式”在形式和运算规则上的共性，理解“用已知知识探索未知知识”的类比方法，为后续学习分式的四则运算奠定思想基础。
三、教学问题诊断分析
学生可能出现的问题：对“最简分式”的判断不准确，学生可能认为分子、分母没有相同字母就是最简分式，忽略系数的约分；确定最简公分母时存在困难，不会分解因式，导致无法确定最简公分母。
应对策略：通过对比练习，给出可继续约分和不可约分的分式，让学生辨析并说明理由，强化“是否有公因式”的核心判断标准，适当设计分母含负号、约分结果为整式的特殊练习，打破思维定式，巩固对基本性质的理解；针对最简公分母的确定设计分层练习，先练单项式分母，再练含多项式的分母，最后练混合类型。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：掌握分式的约分与通分。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题 回想一下，分式的基本性质是什么？请用符号表示分式的基本性质.
答 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
符号语言 = ， = ，
其中A，B，C(C≠0)是整式．
本节课，我们将类比分数的约分与通分研究分式的约分与通分.
设计意图：通过回顾分式的基本性质，建立与本节课分式约分、通分的知识关联，让学生明确后续学习的底层逻辑。渗透类比思想，引导学生迁移已有的分数学习经验，降低学习分式约分、通分的陌生感。
（二）合作探究
思考1 联想分数的约分，由例3（1）（2），你能想出如何对分式进行约分吗？
例3 （1） = ； （2） = .
分析 与分数的约分类似，在例3（1）中，我们利用分式的基本性质，约去的分子和分母的公因式x2，不改变分式的值，把化为．
概念 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式．
概念 像这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．
思考2 联想分数的通分，由例3 （3）（4），你能想出如何对分式进行通分吗？
例3 （3） = ； （4） = (b≠0) .
分析 与分数的通分类似，在例3（3）（4）中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把和化成分母相同的分式．
概念 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
概念 分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母.
思考3 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
设计意图：“合作探究”环节以“类比分数”为线索，通过“思考—实例—概念—对比”的层层推进，实现“分式约分、通分”知识的有效建构，提升知识归纳和自我反思能力，为后续分式运算的学习筑牢基础，同时培养学生类比、归纳、合作的数学能力与素养。
（三）典例分析
例4 约分：
（1） ；（2） ；（3） .
分析 为约分，要先找出分子和分母的公因式．
(1)定系数：系数取分子和分母系数的最大公约数；
(2)定字母：字母取分子和分母中都含有的相同字母；
(3)定指数：相同字母的指数取分子和分母中的最低指数．
解 （1） = = ；
（2） = = ；
（3） = = 2(x y) ；
例5 通分：
（1） 与 ； （2） 与 .
分析 为通分，要先确定最简公分母．
(1)定系数：系数取各分母系数的最小公倍数；
(2)定字母：字母取各分母中含有的所有字母；
(3)定指数：相同字母的指数取各分母中的最高指数．
解 （1） = = ； = = .
（2） = = = ；
= = = .
设计意图：通过“分步拆解 + 实例示范 + 流程图总结”，将抽象的“约分、通分”方法转化为可操作的步骤，实现知识从“理解”到“应用”的转化。通过不同类型的例题强化“类比”“转化”的思想方法，提升数学核心素养。
（四）巩固练习
1.约分：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解 （1） = = ；
= = ；
（3） = = ；
（4） = = .
2.通分：
（1） 与 ； （2） 与 ；
（3） 与 ； （4） 与 ．
解 （1） = = ； = = .
（2） = = ； = = .
（3） = = ； = = .
（4） = = ； = = .
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
（六）感受中考
1．（2023·甘肃兰州）计算：（ D ）
A． B． C．5 D．a
2．（2025·湖南）约分： ；
3．（广西桂林）分式与的最简公分母是 2a2b2 ．
4．（2023·安徽）先化简，再求值：，其中．
解： ，
当时，原式=．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理知识点之间的联系，让学生直观感知分式单元的学习脉络，构建清晰、完整的知识网络，强化对分式学习的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题18.1 第6，7题.
2.探究性作业：习题18.1 第12题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共32张PPT)
18.1.2 分式的基本性质
第2课时 约分通分
第十八章 分式
人教版(新教材)数学八年级上册
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
学习目标
能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式．
一
通过类比分数的约分与通分来探索分式的约分与通分，体会数式通性和类比的思想.
二
复习引入
原题重现 怎样研究分式？
分数的概念
分数的基本性质
分数的运算
分数的应用
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
分式的应用
类比
复习引入
问题 回想一下，分式的基本性质是什么？请用符号表示分式的基本性质.
答 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.
符号语言 = ， = ，
其中A，B，C(C≠0)是整式．
复习引入
原题重现 怎样研究分式？
分数的概念
分数的基本性质
分数的运算
分数的应用
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
分式的应用
类比
约分
通分
合作探究
思考1 联想分数的约分，由例3（1）（2），你能想出如何对分式进行约分吗？
例3 （1） = ； （2） = .
x
2x
分子分母同时除以公因式x2
分子分母同时除以公因式3x
分 式 的 约 分
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
合作探究
思考1 联想分数的约分，由例3（1）（2），你能想出如何对分式进行约分吗？
例3 （1） = ； （2） = .
x
2x
最 简 分 式
像这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．
典例分析
例4 约分：
（1） ；（2） ；（3） .
分析 为约分，要先找出分子和分母的公因式．
(1)定系数：系数取分子和分母系数的最大公约数；
(2)定字母：字母取分子和分母中都含有的相同字母；
(3)定指数：相同字母的指数取分子和分母中的最低指数．
典例分析
例4 约分：
（1） ；（2） ；（3） .
公因式：5abc
解 （1） = = ；
典例分析
例4 约分：
（1） ；（2） ；（3） .
分式的分子或分母是多项式
因式分解
确定公因式
约分
（2） = = ；
典例分析
例4 约分：
（1） ；（2） ；（3） .
分式的分子或分母是多项式
因式分解
确定公因式
约分
（3） = = 2(x y) ；
巩固练习
1.约分：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
解 （1） = = ；
（2） = = ；
巩固练习
1.约分：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
（3） = = ；
（4） = = .
合作探究
思考2 联想分数的通分，由例3 （3）（4），你能想出如何对分式进行通分吗？
例3 （3） = ； （4） = (b≠0).
分子分母同时乘以a
分子分母同时乘以b
分 式 的 通 分
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．
a
2ab b2
例3 （3） = ； （4） = (b≠0).
合作探究
思考2 联想分数的通分，由例3 （3）（4），你能想出如何对分式进行通分吗？
最 简 公 分 母
分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母.
a
2ab b2
典例分析
分析 为通分，要先确定最简公分母．
(1)定系数：系数取各分母系数的最小公倍数；
(2)定字母：字母取各分母中含有的所有字母；
(3)定指数：相同字母的指数取各分母中的最高指数．
例5 通分：
（1） 与 ； （2） 与 .
典例分析
解 （1） = = ；
= = .
最简公分母：6a2b2c
例5 通分：
（1） 与 ； （2） 与 .
典例分析
例5 通分：
（1） 与 ； （2） 与 .
（2） = = = ；
= = = .
分母是多项式
因式分解
确定最简公分母
通分
巩固练习
2.通分：
（1） 与 ； （2） 与 ；
解 （1） = = ；
= = .
（2） = = ；
= = .
巩固练习
2.通分：
（3） 与 ； （4） 与 ．
（3） = = ；
= = .
巩固练习
2.通分：
（3） 与 ； （4） 与 ．
（4） = = ；
= = .
合作探究
思考3 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
约分 通分
分数
分式
依据
找分子与分母的最大公约数
找分子与分母的公因式
找所有分母的最小公倍数
找所有分母的最简公分母
分数的基本性质
分式的基本性质
归纳总结
分式的约分与通分 约分 根据 ，把一个分式的分子与分母的 约去，叫作分式的约分．
最简 分式 的分式，叫作最简分式
通分 根据 ，把几个 的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式，叫作分式的通分．
最简 公分母 分式的通分，关键是确定几个分式的 ，一般取各分母的所有因式的 作公分母，它叫作最简公分母.
公因式
分式的基本性质
公分母
异分母
同分母
分子与分母没有公因式
分式的基本性质
最高次幂的积
归纳总结
分式的约分与通分
为约分，要先找出分子和分母的公因式．
(1)定系数：系数取分子和分母系数的 ；
(2)定字母：字母取分子和分母中都含有的 ；
(3)定指数：相同字母的指数取分子和分母中的 ．
为通分，要先确定最简公分母．
(1)定系数：系数取各分母系数的 ；
(2)定字母：字母取各分母中含有的 ；
(3)定指数：相同字母的指数取各分母中的 ．
最大公约数
相同字母
最低指数
最小公倍数
所有字母
最高指数
感受中考
1.（2023·甘肃兰州）计算： =（ ）
A．a 5 B．a+5
C．5 D．a
D
感受中考
2.（2025·湖南）约分： = ；
3.（广西桂林）分式 与 的最简公分母是 ．
x2
2a2b2
感受中考
4.（2023·安徽）先化简，再求值： ，其中x=．
解 = = x+1，
当x= 时，原式= .
小结梳理
列式
实
际
问
题
分
式
类比分数
分式的概念
分式的基本性质
分式的约分与通分
分式有意义的条件
分式值为0的条件
布置作业
必做题：习题18.1 第6，7题.
1
探究性作业：习题18.1 第12题.
2
人教版八年级上册
谢谢观看！
