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18.2 分式的乘法与除法
（第1课时）
第十八章 分式
人教版(新教材)数学八年级上册
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
学习目标
理解分式的乘除法法则，体会类比的思想．
一
会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理.
二
复习引入
原题重现 怎样研究分式？
分数的概念
分数的基本性质
分数的运算
分数的应用
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
分式的应用
类比
约分
通分
复习引入
分式的约分与通分 约分 根据 ，把一个分式的分子与分母的 约去，叫作分式的约分．
最简 分式 的分式，叫作最简分式
通分 根据 ，把几个 的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式，叫作分式的通分．
最简 公分母 分式的通分，关键是确定几个分式的 ，一般取各分母的所有因式的 作公分母，它叫作最简公分母.
公因式
分式的基本性质
公分母
异分母
同分母
分子与分母没有公因式
分式的基本性质
最高次幂的积
复习引入
分式的约分与通分
为约分，要先找出分子和分母的公因式．
(1)定系数：系数取分子和分母系数的 ；
(2)定字母：字母取分子和分母中都含有的 ；
(3)定指数：相同字母的指数取分子和分母中的 ．
为通分，要先确定最简公分母．
(1)定系数：系数取各分母系数的 ；
(2)定字母：字母取各分母中含有的 ；
(3)定指数：相同字母的指数取各分母中的 ．
最大公约数
相同字母
最低指数
最小公倍数
所有字母
最高指数
复习引入
原题重现 怎样研究分式？
分数的概念
分数的基本性质
分数的运算
分数的应用
分式的概念
分式的基本性质
分式的运算
分式的应用
类比
乘除
合作探究
思考1 计算：（1） ， （2） .
解
（1）=.
（2）==.
追问1 在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
合作探究
思考1 计算：（1） ， （2） .
分数的乘法法则：
分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
分数的除法法则：
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘．
追问2 如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
合作探究
分 式 的 乘 除 法 法 则
乘法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
符号语言： = ，
除法法则：
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？
= = .
典例分析
例1 计算：
（1） ； （2） .
解 （1）
= = ；
典例分析
例1 计算：
（1） ； （2） .
（2）
= = =.
运算结果应化为最简分式.
巩固练习
1.计算:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
解 （1）
巩固练习
1.计算:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
（2）
巩固练习
1.计算:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
（3）
巩固练习
1.计算:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
（4）
典例分析
例2 计算：
（1） （2）
解 （1）
；
.
=.
典例分析
例2 计算：
（1） （2）
（2）
；
.
= .
巩固练习
2.计算:
（1） ； （2） .
解 （1）
巩固练习
2.计算:
（1） ； （2） .
（2）
典例分析
例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a>1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a 1）m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
解 （1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2 1) m2，
单位面积产量是 kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田面积是(a 1)2 m2，
单位面积产量是 kg/m2．
如何比较两个分式的大小？
典例分析
因为a>1， 所以(a 1)2>0，a2 1>0．
由右图，可得 (a 1)2
所以 ．
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
因为a>1，
所以(a 1)2 (a2 1)=(a2 2a+1) (a2 1)
= 2(a 1)<0，
即(a 1)2(a 1)2
a2 1
几何法
代数法
作差法比较大小
典例分析
例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a>1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a 1）m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦．
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
（2）
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是 “丰收1号”小麦的单位面积产
量的 倍．
作商法比较大小
思考
巩固练习
3.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当
容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
解 长方体容器的高为： ，
所以水面的高度为： .
巩固练习
4.大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
解 大拖拉机的工作效率是： hm2/天，
小拖拉机的工作效率是： hm2/天.
因为 ，
所以大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的 倍.
归纳总结
分式的乘法与除法 乘法法则 分式乘分式，用 作为积的分子， 作为积的分母.
除法法则 分式除以分式，把 颠倒位置后，与被除式相乘.
符号语言
分母的积
分子的积
= ，
= = .
除式的分子、分母
感受中考
1.（2025·湖北随州） 的计算结果为( )
A. B. C. D.
B
感受中考
2.（2025·内蒙古）计算： .
解
感受中考
3.（2025·安徽）先化简，再求值： ，其中x=3.
解
当x=3时，原式
小结梳理
列式
实
际
问
题
分
式
类比分数
分式的概念
分式的基本性质
分式的约分与通分
分式有意义的条件
分式值为0的条件
分式的运算
分式的乘法与除法
布置作业
必做题：习题18.2 第1，2题.
1
探究性作业：习题18.2 第6题.
2
人教版八年级上册
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18.2 分式的乘法与除法（第1课时） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了分式基本性质和因式分解的基础上进一步学习分式的乘除法。通过类比分数的乘除法法则，引申得出分式的乘除法法则，并且能运用分式的乘除法法则进行计算。
2. 内容分析
本节课是分式运算的起始课，具有“承上启下”的关键作用。其核心是以分式基本性质和因式分解为基础，通过类比分数乘除法法则，推导并掌握分式乘除法法则，为后续学习分式混合运算、分式方程等内容奠定运算基础。本节课重点在于让学生理解法则的推导逻辑（类比思想）和掌握基本的运算步骤，帮助学生实现从“数的运算”到“式的运算”的思维过渡。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会根据分式的乘除法法则进行简单的运算。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解分式的乘除法法则，体会类比的思想。
（2）会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理。
2. 目标解析
（1）能准确回忆分数乘除法法则，明确分式的运算法则与分数的运算法则的关联与区别；能通过小组讨论或自主推导，说出分式的乘法法则和除法法则，理解法则中“分母不为0”的限制条件；初步形成“从已知知识迁移到未知知识”的数学思维习惯。
（2）能独立完成“分子分母为单项式”的分式的乘除运算；能完成“分子分母含多项式”的分式的乘除运算，明确“先因式分解、再约分”的关键步骤；能解释每一步运算的依据，而不是机械地套用公式。
三、教学问题诊断分析
1. 类比分数的运算法则时，忽略“分母不为0”的限制条件.应对策略：推导法则时，引导学生自主发现限制条件；运算练习后增加“纠错环节”，展示未注明分母不为0的错误案例，让学生指出问题并补充，强化条件意识。
2. 分子分母含多项式时，不进行因式分解而直接相乘，导致计算复杂。应对策略：课前复习因式分解，通过“口答练习”唤醒旧知； 示范分子分母含多项式的分式运算时，强调“因式分解是约分的前提”。
3. 约分不彻底，结果未化为最简分式. 应对策略：总结“约分步骤”：先找分子分母的公因式，再按分式的基本性质约去公因式；设计“对比练习”，展示“约分彻底”和“约分不彻底”的两种结果，让学生判断正误，并说明理由，强化“最简分式”的标准。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练运用分式的乘除法法则进行计算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 回忆分式的约分与通分的概念，最简分式与最简公分母的概念.
问题2 如何找出分子和分母的公因式？如何确定最简公分母？
与学习了整式的概念后要学习整式的运算类似，学习了分式的概念，接下来也要学习分式的运算．分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算法则．
设计意图：引导学生回忆旧知，为分式乘除运算奠定知识基础。将分式运算与整式运算、分式与分数进行联系，既为后续类比分数乘除法法则推导分式乘除法法则做铺垫，也潜移默化地渗透了“类比迁移”的数学思想方法，帮助学生形成良好的数学思维习惯。
（二）合作探究
思考1 计算：（1）， （2） .
解 （1） = .
（2） = = .
追问1 在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？
分数的乘法法则：
分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
分数的除法法则：
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘．
追问2 如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？
分式的乘除法法则
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
符号语言： = ，= = .
设计意图：通过计算分数的乘除法，引导学生回忆并明确分数乘除法的法则，为后续类比推导分式乘除法法则提供“旧知模板”，让学生感受到分式与分数在形式和运算逻辑上的关联，降低新知识的陌生感，同时深刻体会“类比”这一重要数学思想方法的价值。
（三）典例分析
例1 计算：（1） ； （2） .
解 （1） = = ；
（2） = = =.
例2 计算：（1） ； （2） .
解 （1）=.
（2）= .
例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a>1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a 1）m的正方形，两块试验田都收获了500 kg小麦．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解 （1）“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2 1) m2，单位面积产量是 kg/m2；
“丰收2号”小麦的试验田面积是(a 1)2 m2，单位面积产量是 kg/m2．
追问 如何比较两个分式的大小？
因为a>1， 所以(a 1)2>0，a2 1>0．
由图，可得 (a 1)2所以．
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
作差法比较大小
因为a>1，
所以(a 1)2 (a2 1)=(a2 2a+1) (a2 1)= 2(a 1)<0，
即(a 1)2（2）
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是 “丰收1号”小麦的单位面积产量的倍．
设计意图：通过例1、例2中不同类型的分式乘除法运算，让学生在具体计算中巩固分式乘除法法则，熟悉运算步骤，逐步提升分式运算的熟练度与准确性。例3将分式运算与实际生活问题相结合，让学生感受分式在解决实际问题中的应用，体会数学知识的实用性，同时也培养学生用数学眼光观察、分析实际问题的能力。
（四）巩固练习
1.计算:
（1） ； （2）；
（3） ； （4） .
解 （1）
（2）
（3）
（4）
2.计算:
（1） ； （2） .
解 （1）
（2）
3.一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？
解 长方体容器的高为： ，
所以水面的高度为： .
4.大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的多少倍？ .
解 大拖拉机的工作效率是： hm2/天，
小拖拉机的工作效率是： hm2/天.
因为，
所以大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
（五）归纳总结
（六）感受中考
1．（2020·湖北随州）的计算结果为（ B ）
A． B． C． D．
2．（2025·内蒙古）计算：．
解：．
3．（2025·安徽）先化简，再求值：，其中．
解：，
当时，原式．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理知识点之间的联系，让学生直观感知分式单元的学习脉络，构建清晰、完整的知识网络，强化对分式学习的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题18.2 第1，2题.
2.探究性作业：习题18.2 第6题.
五、教学反思
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