1.3 科学探究——一维弹性碰撞 学案 (2)

第3节科学探究——一维弹性碰撞
课　标　解　读
重　点　难　点
1.知道非弹性碰撞、完全非弹性碰撞和弹性碰撞的概念和特点．2.掌握弹性碰撞的规律，能根据弹性碰撞的规律解释判断有关现象和解决有关的问题.
1.用动量守恒定律、机械能守恒定律讨论碰撞问题．(重点)2.对各种碰撞问题的理解．(难点)3.应用动量守恒定律、机械能守恒定律解决碰撞问题．(难点)
不同类型的碰撞
1.基本知识
(1)非弹性碰撞
碰撞过程中物体往往会发生形变、发热、发声，一般会有动能损失．
(2)完全非弹性碰撞
碰撞后物体结合在一起，动能损失最大．
(3)弹性碰撞
碰撞过程中形变能够完全恢复，不发热、发声，没有动能损失．
2．思考判断
(1)弹性碰撞过程中动量守恒、动能不守恒．(×)
(2)完全非弹性碰撞，动量守恒，动能也守恒．(×)
(3)三种碰撞中，动量都守恒．(√)
3．探究交流
日常生活中哪些是弹性碰撞，哪些是完全非弹性碰撞？
【提示】　弹性碰撞：两钢球间的碰撞，台球中母球和子球间的碰撞．完全非弹性碰撞：子弹打入木块.
弹性碰撞的实验研究和规律
1.基本知识
(1)实验研究
①质量相等的两个钢球发生弹性碰撞，碰撞前后两球的总动能不变，碰撞后两球交换了速度．
②质量较大的钢球与静止的质量较小的钢球发生弹性碰撞，碰后两球运动方向相同，碰撞过程中两球总动能不变．
③质量较小的钢球与静止的质量较大的钢球发生弹性碰撞，碰后，质量较小的钢球被反弹回来，碰撞过程中两球总动能不变．
综上可知，弹性碰撞过程中，系统的动量与动能守恒．
(3)理论推导
质量m1的小球以速度v1与质量m2的静止小球发生弹性碰撞．根据动量守恒和动能守恒，得
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v′＋m2v′
碰后两球的速度分别为：
v′1＝，v′2＝
①若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向相同．(若m1 m2，v1′＝v1，v2′＝2v1，表示m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去)
②若m1③若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换．
2．思考判断
(1)速度不同的两小球碰撞后粘在一起，碰撞过程中没有能量损失．(×)
(2)微观粒子在碰撞时并不接触，所以不能算是碰撞．(×)
碰撞的特点和规律
【问题导思】　
1．在不光滑的水平面上两小球相碰后粘在一起运动，碰撞过程中动量守恒吗？
2．碰撞过程中机械能会增加吗？
3．碰撞分几种类型，哪种类型的碰撞动量、动能都守恒？
1．发生碰撞的物体间一般作用力很大，作用时间很短，各物体作用前后各自动量变化显著，物体在作用时间内的位移可忽略．
2．即使碰撞过程中系统所受合力不等于零，因为内力远大于外力，作用时间又很短，所以外力的作用可忽略，认为系统的动量是守恒的．
3．若碰撞过程中没有其他形式的能转化为机械能，则系统碰后的总机械能不可能大于碰前系统机械能．
4．对于弹性碰撞，碰撞前后无动能损失；对非弹性碰撞，碰撞前后有动能损失；对于完全非弹性碰撞，碰撞前后动能损失最大．
　下面关于碰撞的理解正确的是(　　)
A．碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生了显著变化的过程
B．在碰撞现象中，一般内力都远远大于外力，所以可以认为碰撞时系统的总动量守恒
C．如果碰撞过程中机械能也守恒，这样的碰撞叫做非弹性碰撞
D．微观粒子的碰撞由于不发生直接接触，所以不满足动量守恒的条件，不能应用动量守恒定律求解
【审题指导】　根据碰撞的特点和动量守恒的条件分析判断
【解析】　碰撞过程中机械能守恒的碰撞为弹性碰撞，C错；动量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一．不仅低速、宏观物体的运动遵守这一规律，而且高速、微观物体的运动也遵守这一规律，D错．
【答案】　AB
1．在两个物体碰撞前后，下列说法中可以成立的是
(　　)
A．作用后的总机械能比作用前小，但总动量守恒
B．作用前后总动量均为零，但总动能守恒
C．作用前后总动能为零，而总动量不为零
D．作用前后总动量守恒，而系统内各物体的动量增量的总和不为零
【解析】　选项A是非弹性碰撞，成立．选项B是完全弹性碰撞，成立；选项C不成立，因为总动能为零其总动量一定为零；选项D，总动量守恒则系统所受合外力一定为零，若系统内各物体的动量增量总和不为零的话，则系统一定受到外力的作用，D错．
【答案】　AB
碰撞过程的分析
【问题导思】　
1．碰撞过程中动量和动能满足什么条件？
2．在爆炸过程中，系统的动量守恒，机械能守恒吗？
3．同向运动的两小球相碰后同向运动，两小球的速度满足什么条件？
1．判断依据
在所给条件不足的情况下，碰撞结果有各种可能，但不管哪种结果必须同时满足以下三条：
(1)系统动量守恒，即p1＋p2＝p′1＋p′2.
(2)系统动能不增加，即Ekl＋Ek2≥E′kl＋E′k2或＋≥＋.
(3)符合实际情况，如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即v后＞v前，否则无法实现碰撞．碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度，即v′前≥v′后，否则碰撞没有结束．如果碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零．
2．爆炸与碰撞的异同
(1)共同点：相互作用的力为变力，作用力很大，作用时间极短，均可认为系统满足动量守恒．
(2)不同点：爆炸有其他形式的能转化为动能，所以动能增加；弹性碰撞时动能不变，而非弹性碰撞时通常动能要损失，动能转化为内能，动能减小．
　
1．在碰撞过程中，系统的动量守恒，但机械能不一定守恒．
2．在爆炸过程中，系统的动量守恒，机械能一定不守恒．
　(2013·福州八中检测)在一条直线上，运动方向相反的两球发生碰撞．以球1的运动方向为正，碰前球1、球2的动量分别是p1＝6
kg·m/s，p2＝－8
kg·m/s.若两球所在的水平面是光滑的，碰后各自的动量可能是(　　)
A．p1′＝4
kg·m/s，p2′＝－6
kg·m/s
B．p1′＝－4
kg·m/s，p2′＝2
kg·m/s
C．p1′＝－8
kg·m/s，p2′＝6
kg·m/s
D．p1′＝－12
kg·m/s，p2′＝10
kg·m/s
【审题指导】　由于本题为两球碰撞问题，一方面应满足动量守恒，另一方面动能不会增加，还要注意碰后若两球同向运动，则v前>v后．
【解析】　解答本题时要注意，两球的碰撞不一定是弹性碰撞，所以，它们在碰撞过程中动量守恒，但动能不一定守恒，一般情况下，要有一部分机械能转化为内能，除此之外，还要注意它们的速度关系．
经过计算可知，4种情况均符合动量守恒．一般来说，在碰撞过程中，要有一部分机械能转化为内能，即系统会损失一部分机械能，即有＋≥＋
经计算知，选项D不符合上述关系，所以选项D错误；再仔细分析选项A、B、C中的速度关系，发现在选项A中，碰后两小球的速度方向不变，好像二者相互穿过一样(如图所示)，这显然是不可能的，所以选项A错误；同样对选项B、C进行分析，可以判断B、C是正确的．
【答案】　BC
判断一个碰撞过程能否发生需从以下三个方面入手：
1．是否遵守动量守恒定律．
2．系统的动能如何变化，如果增加则碰撞不可能发生．
3．碰撞的结果与各物体的运动情况是否符合实际，比如A球去碰静止的B球，碰后若两球同向，A球的速度不能大于B球．
2．质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是7
kg·m/s，B球的动量是5
kg·m/s，当A球追上B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是(　　)
A．pA＝6
kg·m/s，pB＝6
kg·m/s
B．pA＝3
kg·m/s，pB＝9
kg·m/s
C．pA＝－2
kg·m/s，pB＝14
kg·m/s
D．pA＝－4
kg·m/s，pB＝17
kg·m/s
【解析】　从碰撞前后动量守恒pA＋pB＝pA′＋pB′验证，A、B、C三种皆有可能，D不可能；从总动能只有守恒或减少：＋≥＋来看，只有A可能．
【答案】　A
综合解题方略——与动量相关的临界问题
　　
　(2013·南平检测)两质量分别为M1和M2的劈A和B，高度相同，放在光滑水平面上，劈A和B的倾斜面都是光滑曲面，曲面下端与水平面相切，如图1－3－1所示，一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上，距水平面的高度为h.物块从静止开始滑下，然后又滑上劈B.求物块在劈B上能够达到的最大高度．
图1－3－1
【规范解答】　设物块到达劈A的底端时，物块和劈A的速度大小分别为v和V，由机械能守恒和动量守恒得
mgh＝mv2＋M1V2①
M1V＝mv②
设物块在劈B上达到的最大高度为h′，此时物块和劈B的共同速度大小为V′，由机械能守恒和动量守恒得
mgh′＋(M2＋m)V′2＝mv2③
mv＝(M2＋m)V′④
联立①②③④式得h′＝h.
【答案】　h
分析临界问题的关键是寻找临界状态，在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两个物体的相对速度关系和相对位移关系，分析时与追及问题模型联系，不难找到这类问题的切入点.
【备课资源】(教师用书独具)
安全气囊
安全气囊是安全气囊系统的一个辅助保护设备，设置在车内前方(正、副驾驶位)，侧方(车内前排和后排)和车顶三个方向．装有安全气囊系统的容器外部都印有SRS的字样，直译成中文为
图教1－3－1
“辅助可充气约束系统”．旨在减轻乘员的伤害程度，当发生碰撞事故时，避免乘员发生二次碰撞，或车辆发生翻滚等危险情况下被抛离座位．
汽车在行驶过程中，传感器系统不断向控制装置发送速度变化(或加速度)信息，由控制装置(中央控制器)对这些信息加以分析判断，如果所测的加速度、速度变化量或其他指标超过预定值(即真正发生了碰撞)，则控制装置向气体发生器发出点火命令或传感器直接控制点火，点火后发生爆炸反应，产生N2或将储气罐中压缩氮气释放出来充满碰撞气袋．乘员与气袋接触时，通过气袋上排气孔的阻尼吸收碰撞能量，达到保护乘员的目的．汽车的安全气囊内有氮化钠或硝酸铵等物质．当汽车在高速行驶中受到猛烈撞击时，这些物质会迅速发生分解反应，产生大量气体，充满气囊．
新型安全气囊加入了可分级充气或释放压力的装置，以防止一次突然点爆产生的巨大压力对人头部产生的伤害，特别在乘客未配戴安全带的时候，可导致生命危险．具体方式有：
1．分级点爆方式：气体发生器分两级点爆，第一级产生约40%的气体容积，远低于最大压力，对人头部移动产生缓冲作用，第二级点爆产生剩余气体，并且达到最大压力．总的来说，两级点爆的最大压力小于单级点爆．这种形式的压力逐步增加．
2．分级释放压力方式：囊袋上开有泄压孔或可调节压力的孔，分为完全凭借气体压力顶开的方式或电脑控制的拉片Tether.这种方式，一开始压力达到设定极限，然后瞬时释放压力，以避免过大伤害．
随着科技的发展和人们对汽车安全重视程度的提高，汽车安全技术中的安全气囊技术近年来也发展得很快，智能化、多安全气囊是今后整体安全气囊系统发展的必然趋势.
1．现有甲、乙两滑块，质量分别为3m和m，以相同的速率v在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞．已知碰撞后，甲滑块静止不动，那么这次碰撞是(　　)
A．弹性碰撞　　　　　
B．非弹性碰撞
C．完全非弹性碰撞
D．条件不足，无法确定
【解析】　由动量守恒得3mv－mv＝0＋mv′
所以v′＝2v
碰前总动能为
Ek＝·3mv2＋mv2＝2mv2
碰后总动能为Ek′＝mv′2＝2mv2，Ek＝Ek′，
所以A对．
【答案】　A
图1－3－2
2．(2013·宁德检测)如图1－3－2所示，光滑水平面上有大小相同的两球在同一直线上运动，mB＝2mA，规定向右为正，A、B两球动量均为6
kg·m/s，运动中两球碰撞后，A球的动量增量为－4
kg·m/s，则(　　)
A．左方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为2∶5
B．左方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为1∶10
C．右方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为2∶5
D．右方是A球，碰后A、B两球速度大小之比为1∶10
【解析】　由于向右为正，而A球动量增量为－4
kg·m/s，说明A受冲量向左，知A球在左方，C、D均错，由动量守恒知A、B碰后的动量分别为mAvA′＝2
kg·m/s，mBvB′＝10
kg·m/s.
则＝·＝
因此＝，选项A正确．
【答案】　A
3．A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，mA＝1
kg，mB＝2
kg，vA＝6
m/s，vB＝2
m/s.当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是(　　)
A．vA′＝5
m/s，vB′＝2.5
m/s
B．vA′＝2
m/s，vB′＝4
m/s
C．vA′＝－4
m/s，vB′＝7
m/s
D．vA′＝7
m/s，vB′＝1.5
m/s
【解析】　虽然题中四个选项均满足动量守恒定律，但A、D两项中，碰后A的速度vA′大于B的速度vB′，必然要发生第二次碰撞，不符合实际，即A、D项均错误；C项中，两球碰后的总动能为Ek后＝mAvA′2＋mBvB′2＝57
J，大于碰前的总动能Ek前＝22
J，违背了能量守恒，所以C项错；而B项既符合实际情况，也不违背能量守恒，所以B项对．
【答案】　B
4．(2013·济南检测)在光滑水平面上，甲、乙两物体的质量分别为m1、m2，它们沿同一直线相向运动，其中甲物体运动速度v1的大小是6
m/s，乙物体运动速度v2的大小是2
m/s.已知两物体碰撞后各自沿着相反的方向运动，速度v的大小都是4
m/s，甲、乙两物体的质量之比为________．
【解析】　选甲物体碰前的速度v1的方向为正方向，则由动量守恒定律，得m1v1－m2v2＝m2v－m1v
由上式得：＝＝.
【答案】　
图1－3－3
5．(2012·新课标全国高考)如图1－3－3所示，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O.让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平．从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°.忽略空气阻力，求：
(1)两球a、b的质量之比；
(2)两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比．
【解析】　(1)设球b的质量为m2，细线长为L，球b下落至最低点，但未与球a相碰时的速率为v，由机械能守恒定律得
m2gL＝m2v2①
式中g是重力加速度的大小．设球a的质量为m1；在两球碰后的瞬间，两球共同速度为v′，以向左为正．由动量守恒定律得
m2v＝(m1＋m2)v′②
设两球共同向左运动到最高处时，细线与竖直方向的夹角为θ，由机械能守恒定律得
(m1＋m2)v′2＝(m1＋m2)gL(1－cos
θ)③
联立①②③式得
＝－1④
代入题给数据得
＝－1.⑤
(2)两球在碰撞过程中的机械能损失是
Q＝m2gL－(m1＋m2)gL(1－cos
θ)⑥
联立①⑥式，Q与碰前球b的最大动能Ek，(Ek＝m2v2)之比为＝1－(1－cos
θ)⑦
联立⑤⑦式，并代入题给数据得
＝1－.⑧
【答案】　(1)－1　(2)1－
1．(2013·海口检测)相向运动的A、B两辆小车相撞后，一同沿A原来的方向前进，这是由于(　　)
A．A车的质量一定大于B车的质量
B．A车的速度一定大于B车的速度
C．A车的动量一定大于B车的动量
D．A车的动能一定大于B车的动能
【解析】　总动量与A车的动量方向相同，因此有A车动量大于B车的动量．
【答案】　C
2．在光滑水平面上，动能为E0、动量的大小为p0的小钢球1与静止小钢球2发生碰撞，碰撞前后球1的运动方向相反，将碰撞后球1的动能和动量的大小分别记为E1、p1，球2的动能和动量的大小分别记为E2、p2，则必有(　　)
A．E1＜E0　　　　　　
B．p1＜p0
C．E2＞E0
D．p2＞p0
【解析】　两个钢球在相碰过程中必同时遵守能量守恒和动量守恒定律．由于没有外界能量输入，而碰撞中可能产生热量，所以碰后的总动能不会超过碰前的总动能，即E1＋E2≤E0，可见A对，C错；另外，A也可写成＜，因此B对；根据动量守恒，设球1原来的运动方向为正方向，有p2－p1＝p0，所以D对．
【答案】　ABD
3．(2013·济南检测)质量为m的α粒子，其速度为v0，与质量为3m的静止碳核碰撞后沿着原来的路径被弹回，其速率为，则碳核获得的速度为(　　)
A.
B．2v0
C.　
　
　
D.
【解析】　由α粒子与碳核所组成的系统动量守恒，若碳核获得的速度为v，则mv0＝3mv－m×，所以v＝，C正确．
【答案】　C
4．如图1－3－4所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是(　　)
图1－3－4
A．A开始运动时　　　　　
B．A的速度等于v时
C．B的速度等于零时
D．A和B的速度相等时
【解析】　A、B两物体碰撞过程中动量守恒，当A、B两物体速度相等时，系统动能损失最大，损失的动能转化成弹簧的弹性势能．
【答案】　D
5．质量为M的木块在光滑的水平面上以速度v1向右运动，质量为m的子弹以速度v2向左射入木块并停留在木块中，要使木块停下来，发射子弹的数目是(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　设需发射n颗子弹，对整个过程由动量守恒定律可得：Mv1－nmv2＝0，所以n＝.
【答案】　D
6．(2013·西安一中检测)如图1－3－5所示，半径和动能都相等的两个小球相向而行．甲球质量m甲大于乙球质量m乙，水平面是光滑的，两球做对心碰撞以后的运动情况可能是下述哪些情况(　　)
图1－3－5
A．甲球速度为零，乙球速度不为零
B．两球速度都不为零
C．乙球速度为零，甲球速度不为零
D．两球都以各自原来的速率反向运动
【解析】　首先根据两球动能相等，m甲
v＝m乙
v，且Ek＝，得出两球碰前动量大小之比为：＝，因m甲＞m乙，则p甲＞p乙，则系统的总动量方向向右．根据动量守恒定律可以判断，碰后两球运动情况可能是A、B所述情况，而C、D情况是违背动量守恒的，故C、D情况是不可能的．
【答案】　AB
7．a、b两球在光滑的水平面上沿同一直线发生正碰，碰撞前a球的动量pa＝30
kg·m/s，b球的动量pb＝0，碰撞过程中，a球的动量减少了20
kg·m/s，则碰撞后b球的动量为(　　)
A．－20
kg·m/s
B．10
kg·m/s
C．20
kg·m/s
D．30
kg·m/s
【解析】　在碰撞过程中，a球的动量减少了20
kg·m/s，故此时a球的动量是10
kg·m/s，a、b两球碰撞前后总动量保持不变，为30
kg·m/s，则作用后b球的动量为20
kg·m/s.
【答案】　C
8．质量为M和m0的滑块用轻弹簧连接，以恒定的速度v沿光滑水平面运动，与位于正对面的质量为m的静止滑块发生碰撞，如图1－3－6所示，碰撞时间极短，在此过程中，下列哪个或哪些说法是可能发生的(　　)
图1－3－6
A．M、m0、m的速度都发生变化，分别变为v1、v2、v3，满足(M＋m0)v＝Mv1＋mv2＋m0v3
B．m0的速度不变，M和m的速度变为v1和v2，满足Mv＝Mv1＋mv2
C．m0的速度不变，M、m的速度都变为v′，满足Mv＝(M＋m)v′
D．M、m0、m的速度均发生变化，M和m0速度变为v，m速度变为v2，而且满足(M＋m)v0＝(M＋m0)v＋mv2
【解析】　因为碰撞时间极短，所以m0的速度应该不发生变化，A错，D错；碰后M与m的速度可能相同也可能不同，B对，C对．
【答案】　BC
9．A球的质量是m，B球的质量是2m，它们在光滑的水平面上以相同的动量运动．B在前，A在后，发生正碰后，A球仍朝原方向运动，但其速率是原来的一半，碰后两球的速率之比v′A∶v′B为(　　)
A.
B.
C．2
D.
【解析】　设碰前A球的速率为v，根据题意，pA＝pB，即mv＝2mvB，解得碰前vB＝.碰后v′A＝，由动量守恒定律，有mv＋2m×＝m×＋2mvB′，解得v′B＝v，所以＝＝.选项D正确．
【答案】　D
图1－3－7
10．(2012·琼海检测)A、B两物体发生正碰，碰撞前后物体A、B都在同一直线上运动，其位移—时间图象(s－t图)如图1－3－7中A、D、C和B、D、C所示．由图可知，物体A、B的质量之比为(　　)
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．3∶1
【解析】　由图象知：碰前vA＝4m/s，vB＝0.碰后vA′＝vB′＝1
m/s，由动量守恒可知mAvA＋0＝mAvA′＋mBvB′，解得mB＝3mA.故选项C正确．
【答案】　C
11．如图1－3－8所示，已知A、B两个钢性小球质量分别是m1、m2，小球B静止在光滑水平面上，A以初速度v0与小球B发生弹性碰撞，求碰撞后小球A的速度v1和小球B的速度v2的大小．
图1－3－8
【解析】　取小球A初速度v0的方向为正方向，因发生的是弹性碰撞，碰撞前后动量守恒、动能不变，有：
m1v0＝m1v1＋m2v2①
m1v＝m1v＋m2v②
由①②两式得：v1＝，v2＝.
【答案】　　
12．(2012·天津高考)如图1－3－9所示，水平地面上固定有高为h的平
图1－3－9
台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面高也为h，坡道底端与台面相切，小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半．两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.求
(1)小球A刚滑至水平台面的速度vA；
(2)A、B两球的质量之比mA∶mB.
【解析】　(1)小球从坡道滑至水平台面的过程中，机械能守恒，则：mAgh＝mAv
解得：vA＝.
(2)设两球碰撞后共同的速度为v，由动量守恒定律得：
mAvA＝(mA＋mB)v
粘在一起的两球飞出台面后做平抛运动，设运动时间为t，则在竖直方向上有：h＝gt2
在水平方向上有：＝vt
由以上各式联立解得：mA∶mB＝1∶3.
【答案】　(1)　(2)1∶3