第八单元数学广角-数与形（情境化试题专练）（含解析）——2025-2026学年人教版数学六年级上册
文档属性
| 名称 | 第八单元数学广角-数与形（情境化试题专练）（含解析）——2025-2026学年人教版数学六年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 645.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-26 15:40:10 | ||
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文档简介
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第八单元数学广角-数与形（情境化试题专练）
一、选择题
1．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（ ）个点。
A．29 B．31 C．33
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如下图，一位母亲在从右到左依次排在的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）。
A．60 B．42 C．24 D．18
3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列算式中，符合这一规律的是（ ）。
A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．100＝36＋64
4．“龟兔赛跑”是我们非常熟悉的故事。兔子跑得快，但太骄傲，在途中睡了一觉。 乌龟跑得慢，但一直不停地跑。结果乌龟先抵达终点，赢得胜利。下图中，（ ）基本反映了该比赛的过程。
A． B．
C． D．
5．搭建如图（1）所示的帐篷需要17根钢管,若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建,则可节省结合处的钢管,那么串搭20顶这样的帐篷需要( )根钢管。
A．340 B．225 C．226 D．227
6．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，做出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（ ）。
A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球。
B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球。
C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出三个球。
D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出三个球。
7．如图，现有A-I，共9个点，每个点代表一个数，满足每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，其中B=2，C=37，D=16，则A等于（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
8．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3、4、5这三个数，因为32＝9，42＝16，52＝25，可以计算得出32＋42＝52，所以3、4、5是勾股数。运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）。
A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、5、7 D．2、2、4
9．一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系图像如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图像如图中虚线部分AD所示。则关于该图像下列说法正确的是（ ）。
A．小狗的速度始终比兔子快 B．整个过程中小狗和兔子的平均速度相同
C．图中BC段表明兔子在做匀速直线运动 D．在前4秒内，小狗比兔子跑的快
10．用白色和灰色小正方形按下图的规律摆大正方形。第5幅图一共用了（ ）个灰色小正方形。
A．19 B．21 C．25 D．36
二、填空题
11．计算1＋3＋5＋7＋……＋29，如果我们用点子图来表示这个算式（如图），那么摆到最后一幅图得到的正方形，它的一条边上有( )个点，这个算式的和是( )。
12．观察下面的点子图，找一找有什么规律。想一想：第8个方框里有( )个点。
13．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观形少数时难入微”。把数和形结合起来思考，能把复杂问题简单化。仔细观察前三幅图与等式的规律照这样摆下去第四幅图下面的等式是( )，可得n2－（n－1）2＝( )。
14．苗族千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史。通常用于接亲嫁女、满月酒以及村寨联谊宴饮活动。在设定座位时如下图设计，认真观察，完成后面的问题。
(1)按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐( )人。
(2)如果安排n张桌子，那么可坐人数可以用式子( )表示。
15．李阿姨从家出发，沿着湖边散步，到达湖边长廊，停下来打了一段时间太极拳，又散步走去超市。请根据下面的图回答问题。
(1)她从家步行到湖边的平均速度是( )米/分；
(2)她在长廊里打了( )分钟太极拳；
(3)她从湖边长廊走了( )米到超市。
16．古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们经常研究用多少个点能排列成不同的正多边形，组成美丽的图案。如图是他们研究多少个点可以组成正五边形的研究过程，第5个正五边形是由( )个点组成，第6个正五边形是由( )个点组成。
17．《庄子 天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”照此说法，第( )天取得的长度是尺。
18．围棋，一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，春秋战国时期即有记载。隋唐时经朝鲜传入日本，流传到欧美各国。围棋使用长方形格状棋盘（看上去像正方形），棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点，棋子必须走在交叉点上，落子后不能移动，以围地多者为胜。因为黑方有先行占地之利，将黑、白两种颜色的围棋子自上而下一层层地排，每层又是从左到右逐颗地排。那么第8排是( )色围棋子，此时黑、白围棋子一共有( )颗。
19．古希腊的毕达哥拉斯喜欢用小石子摆数，他发现当小石子的数量是1、3、6、10…这些数时，都能摆成正三角形，于是把这样的数称为“三角形数”。如下图，第10个三角形数是( )，第100个三角形数是( )。
三、解答题
20．“黑洞”是宇宙空间中一种神秘的天体，能把接近它的物质吸引进去。在数学中也有神秘的黑洞现象。四位数的黑洞是6174，即：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是6174，6174就是四位数的黑洞。举例说明，例如3214：
4321－1234＝3087
8730－378＝8352
8532－2358＝6174
7641－1467＝6174
7641－1467＝6174
按此继续思考，你能找出三位数的黑洞吗？任选一个三位数试试吧。
21．八百多年前，意大利数学家莱昂纳多 斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。
（1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（ ）、（ ）、…
（2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。
22．你到过县城的拉面馆吗？拉面馆的师傅，能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细面条，如下图所示。请问这样第多少次可拉出256根面条？
23．在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。
（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。
（2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。
序号 1 2 3 4 ……
图形 ……
算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 ……
①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。
②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ）
③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（ ）。
24．仔细观察表3，完成下列问题。
（1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。
（2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母与的等式表示这两个数之间的关系（与的位置如图2）。
（3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。）
25．材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。
（1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
（2）
观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（ ）个点，第（7）个有（ ）个点。
那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。
参考答案
1．A
【分析】根据图示，第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）；第4个方框中的点为：1＋4＋4＋4＝12（个）；则第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。据此解答。
【详解】第⑧个方框里应画的点数为：
4n－3＝4×8－3
＝32－3
＝29（个）
则第⑧个方框里应画29个点。
故答案为：A
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
2．D
【分析】第1列是2个结，表示2个7；第2列是4个结，表示4，相加即可。
【详解】4＋7×2
＝4＋14
＝18（天）
孩子出生后的天数是18天。
故答案为：D
【点睛】此题的关键是先像十进制的数位一样找出每列代表的数是多少，然后再进一步解答。
3．B
【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49……＝，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项分析解答。
【详解】A．25＝9＋16；25＝52，是“正方形数”，9和16不是“三角形数”，不符合题意；
B．36＝15＋21；36＝62，是“正方形数”，15和21是“三角形数”，符合题意；
C．49＝18＋31；49＝72，是“正方形数”，18和31不是“三角形数”，不符合题意；
D．100＝36＋64；100＝102，是“正方形数”，36和64不是“三角形数”，不符合题意。
符合这一规律的是36＝15＋21。
故答案为：B
4．B
【分析】根据题意可知：由于乌龟有耐心， －直往目的地奔跑，可知表示乌龟赛跑的图像应该是一条一直上升的直线，且比兔子早到达终点；由于兔子没有耐心，一开始表示兔子的赛跑的图像应该是一条上升的直线，到中途睡 了一觉，由于路程不改变，所以图像变为水平直线，睡了一觉起来再跑，图像又变为上升；据此分析B与C符合，由于兔子的速度比乌龟快，也就是开始时同一时间内兔子比乌龟跑的路程多，由此可得B符合，C不符合，据此解答。
【详解】乌龟赛跑的图像应该是一条一直上升的直线，且比兔子早到达终点；兔子赛跑的图象应该是开始时是一条上升的直线，中途变为水平直线，然后又变为上升，且比乌龟晚到达终点；而且开始时，同一时间内兔子比乌龟跑的路程多，由此可得B符合。
故答案为：A。
【点睛】此题主要考查的是如何观察折线统计图并从图中获取信息。
5．C
【详解】略
6．C
【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球。
【详解】观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球。
【点睛】此题考查了用树状图法求概率的知识。
7．C
【解析】由于每一横行、每一竖行和对角线上三个数之和均相等，所以可以得到每一横行、每一竖行及对角线上的三个数之和为A+2+37=A+39，如图，根据图示可以得到G+16+A=A+39，由此求出G，同理用A求出其它数，根据A+E+I=A+39列出方程，进而求出A．
【详解】每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，B=2，C=37，和为A+2+37=A+39，
ADG这一列，G=（A+39）﹣D-A=39-D=39-16=23
CEG对角线，E=（A+39）-G﹣C=A+39-23-37=A-21
DEF这一行，F=（A+39）﹣E-D=（A+39）﹣（A﹣21）﹣16=A+39﹣A+21﹣16=44
CFI这一列，I=（A+39）﹣F-C=（A+39）﹣44﹣37=A﹣42；
所以：AEI对角线，A+E+I=A+39
E+I=39
（A﹣21）+（A﹣42）=39
2A-63=39
2A=102
A=51
故答案为C．
8．B
【分析】是勾股数的3个数其中任意两数之和大于3个数。于是就排除了A和D，只在B和C中找，据此解答即可。
【详解】根据其中任意两数之和大于第3个数，只计算B和C项；
62＋82＝102＝100
所以62＋82＝102，6，8，10是平方数。
32＋52＝34，72＝49，34≠49，所以3，5，7不是平方数。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了学生对数大小的感知能力，以及计算能力。
9．B
【分析】由图像可以看出：在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度（由此判断选项D错误）；在第4秒，小狗和兔子在相同时间内通过相同的路程，所以它们的平均速度相同；在4到8秒的时间段，小狗在相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项A是错误的，B正确。另外，图中的BC段表示兔子处于静止状态。
【详解】由分析得：在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度。由此判断选项A和D错误；
在第4秒，图中的BC段表示兔子处于静止状态，由此判断选项C是错误的；
在4到8秒的时间段，小狗在相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项B正确。
故选：B。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息作出判断和预测。
10．B
【分析】1；3；5；7；9；11；13……
可由上述数列得出摆放规律，奇数位上的数表示白色小正方形的个数，偶数位上的数字为灰色小正方形的个数。
第1幅图，取前2位数字进行摆放，1表示白色小正方形的个数，3表示灰色小正方形的个数。
第2幅图，取前3位数字进行摆放，1和5表示白色小正方形的个数，3表示灰色小正方形的个数。
第3幅图，取前4位数字进行摆放，1和5表示白色小正方形的个数，3和7表示灰色小正方形的个数。
第n幅图形，取前（n＋1）位数字进行摆放，奇数位上的数字表示白色小正方形的个数，偶数位上的数字为灰色小正方形的个数。
【详解】由分析得：
1；3；5；7；9；11；13……
第5幅图形，取前6位数字进行摆放，因为偶数位上的数字为灰色小正方形的个数，故：
3＋7＋11＝21（个）
故答案为：B。
【点睛】本题的规律具有一定的难度，因为其蕴含的规律较为隐秘，我们不妨在纸上画一画，继续补全第4幅图，第5幅图，再认真观察白色小正方形和灰色小正方形的排列方式，比较奇数位上的数字和偶数位上的数字的不同，从而得出一般规律。
11． 15 225
【分析】由图可知，图1中有1个点，点的总个数可以表示为12；图2中有（1＋3）个点刚好构成一个正方形，每条边上有2个点，点的总个数可以表示为22；图3中有（1＋3＋5）个点刚好构成一个正方形，每条边上有3个点，点的总个数可以表示为32……正方形边长上面点的个数等于奇数的个数，那么，1＋3＋5＋7＋……＋29个点刚好构成一个正方形，每条边上有15个点，点的总个数可以表示为152；据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋……＋29中奇数的个数为：（29－1）÷2＋1
＝28÷2＋1
＝14＋1
＝15
1＋3＋5＋7＋……＋29＝152＝225
计算1＋3＋5＋7＋……＋29，如果我们用点子图来表示这个算式（如图），那么摆到最后一幅图得到的正方形，它的一条边上有（ 15 ）个点，这个算式的和是（ 225 ）。
【点睛】从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方。
12．29
【分析】观察图形可知，第一个方框有1个点，第二个方框有（1＋4）个点，第三个方框有（1＋2×4）个点，第四个方框有（1＋3×4）个点，依次类推，则第n个方框就是[1＋4×（n－1）]个点，据此即可解答。
【详解】1＋4×（n－1）
＝1＋4×n－4×1
＝1＋4n－4
＝（4n－3）个
第n个方框有（4n－3）个点。
当n＝8时，
4×8－3
＝32－3
＝29（个）
即第8个方框里有29个点。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
13． 52－42＝5＋4 2n－1
【分析】由图可得：图一的算式为22－12＝2＋1，图二的算式为32－22＝3＋2，图三的算式为42－32＝4＋3，由此可得：两个相邻数的平方差等于这两个数的和，且第几幅图，减数就是几，由此列出第四幅图的等式即可，再根据规律算出n2－（n－1）2的结果即可。
【详解】图一：22－12＝2＋1
图二：32－22＝3＋2
图三：42－32＝4＋3
根据规律可得图四：52－42＝5＋4
n2－（n－1）2
＝n＋n－1
＝2n－1
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
14．(1)22
(2)4n＋2
【分析】（1）观察图形可知，安排1张桌子，可坐6人；安排2张桌子，可坐10人；安排3张桌子，可坐14人……发现：每增加一张桌子，可坐的人数增加4人，据此得出安排5张桌子最多可以坐的人数。
（2）由上一题，可得出：6＝4×1＋2，10＝4×2＋2，14＝4×3＋2……，据此找到规律，并按规律解答。
【详解】（1）安排1张桌子，可坐6人；
安排2张桌子，可坐6＋4＝10（人）；
安排3张桌子，可坐10＋4＝14（人）；
安排4张桌子，可坐14＋4＝18（人）；
安排5张桌子，可坐18＋4＝22（人）；
按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐22人。
（2）安排1张桌子，可坐6人，6＝4×1＋2；
安排2张桌子，可坐10人，10＝4×2＋2；
安排3张桌子，可坐14人，14＝4×3＋2；
……
如果安排n张桌子，那么可坐人数可以用式子（4n＋2）表示。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
15．(1)80
(2)45
(3)1200
【分析】图中显示的信息是，步行的路程随时间推移的变化情况。从湖边到湖边长廊，再从长廊到超市的这两段过程，随时间增大，路程都变大了；打太极拳这段过程，随着时间增大，路程是不变的。计算速度时应用公式“平均速度＝路程÷时间”，据此解答。
【详解】（1）李阿姨从家到湖边，走了1200米，花费15分钟。
（米/分）
她从家步行到湖边的平均速度是80米/分。
（2）从第15分钟到第60分钟，路程没变化，李阿姨在打太极拳。
（分）
她在长廊里打了45分钟太极拳。
（3）1200米的时候在长廊，2400米的时候在超市。
（米）
她从湖边长廊走了1200米到超市。
16． 51 70
【分析】观察图案，可以发现这组数是有规律的，1、5、12、22它们之间的差是每次多3；由此可以根据规律得出第5、第6个正五边形各由多少个点组成，据此解答。
【详解】①0个五边形的点数：1个；
②1个五边形的点数：5个，5＝1＋1＋3×1
③2个五边形的点数：12个，12＝5＋1＋3×2
④3个五边形的点数：22个，22＝12＋1＋3×3
⑤4个五边形的点数：22＋1＋3×4＝35（个）
⑥5个五边形的点数：35＋1＋3×5＝51（个）
⑦6个五边形的点数：51＋1＋3×6＝70（个）
第5个正五边形是由51个点组成，第6个正五边形是由70个点组成。
17．5
【分析】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，那么第n天取得的长度是尺（n为正整数）。已知取得的长度是尺，而，所以n＝5，即第5天取得的长度是尺。
【详解】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，第n天取得的长度是尺（n为正整数）。
所以n＝5；
第5天取得的长度是尺。
18． 白 64
【分析】观察图形发现，第1排是黑棋，第2排是白棋，第3排是黑棋，第4排是白棋……发现规律：排数为奇数的棋子是黑色，排数为偶数的棋子是白色；由此得出第8排围棋子的颜色。
1排共有1颗棋子，1＝1×1；
2排共有4颗棋子，4＝2×2；
3排共有9颗棋子，9＝3×3；
4排共有16颗棋子，16＝4×4；
……
据此规律，求出8排的棋子颗数。
【详解】8×8＝64（颗）
第8排是白色围棋子，此时黑、白围棋子一共有64颗。
【点睛】本题考查数与形，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
19． 55 5050
【分析】观察“三角形数”：第1个是1，第2个是3＝1＋2，第3个是6＝1＋2＋3，第4个是10＝1＋2＋3＋4 。据此发现规律：第n个三角形数是从1开始连续n个自然数相加的和，利用这个规律来计算第10和第100个三角形数，据此解答。
【详解】规律：第n个三角形数是1＋2＋3＋……＋n ；
计算第10个三角形数：
当n＝10时
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝ （1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋11＋11
＝11×5
＝55
当n＝100时
1＋2＋3＋……＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）
＝101＋101＋……＋101
＝101×50
＝5050
第10个三角形数是55，第100个三角形数是5050。
【点睛】关键是发现三角形数是连续自然数相加的规律，通过分组凑整的方法（如把首尾数相加），能简便算出连续自然数相加的和，利用这个规律就可以算出任意第n个三角形数，避免逐个累加的麻烦，要注意找对分组的数量。
20．495
【分析】任意写一个三位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差是几，三位数的黑洞就是几。
【详解】例如：576
765－567＝198
981－189＝792
792－279＝513
531－153＝378
873－378＝495
954－459＝495
954－459＝495
答：三位数的黑洞是495。
21．（1）55；89；
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项；
（2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。
【详解】（1）21＋34＝55
34＋55＝89
根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
22．第9次
【分析】根据图示可发现，后面每次的面条根数都是前面一次的2倍，据此采用列举法解答。
【详解】第4次：8根；
第5次：16根；
第6次：32根；
第7次：64根；
第8次：128根；
第9次：256根。
答：第9次可拉出256根面条。
【点睛】解答此题的关键是从第1次找出拉面的根数，依次进行，可发现规律。
23．见详解
【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示的积；
（2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52；
②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；
③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。
【详解】（1）可表示为：
；
（2）①
序号 1 2 3 4 ……
图形 ……
算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 ……
②将算式补充完整：
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝5×8
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21
③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
24．（1）3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
（2）b＝a＋11
（3）见详解
【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。
（2）根据数表中数的排列规律及、的位置关系可知：。
（3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。
【详解】（1）如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，这6个数的和为：
3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
答：这六个数的和为94。（答案不唯一）
（2）图2中b＝a＋11
（3）如图所示：
（答案不唯一，合理即可。）
【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
25．（1）相等；过程见详解
（2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解
【分析】
（1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。
（2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。
【详解】
（1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。
（2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。
第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个）
第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个）
第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个）
第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个）
第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个）
第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个）
第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个）
……
第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
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第八单元数学广角-数与形（情境化试题专练）
一、选择题
1．观察下面的点子图，如果按图中的规律画下去，第⑧个方框里应画（ ）个点。
A．29 B．31 C．33
2．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如下图，一位母亲在从右到左依次排在的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）。
A．60 B．42 C．24 D．18
3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列算式中，符合这一规律的是（ ）。
A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．100＝36＋64
4．“龟兔赛跑”是我们非常熟悉的故事。兔子跑得快，但太骄傲，在途中睡了一觉。 乌龟跑得慢，但一直不停地跑。结果乌龟先抵达终点，赢得胜利。下图中，（ ）基本反映了该比赛的过程。
A． B．
C． D．
5．搭建如图（1）所示的帐篷需要17根钢管,若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建,则可节省结合处的钢管,那么串搭20顶这样的帐篷需要( )根钢管。
A．340 B．225 C．226 D．227
6．有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，做出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（ ）。
A．随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球。
B．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球。
C．随机摸出一个球后放回，再随机摸出三个球。
D．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出三个球。
7．如图，现有A-I，共9个点，每个点代表一个数，满足每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，其中B=2，C=37，D=16，则A等于（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52
8．有三个正整数，如果其中两个数的平方的和等于第三个数的平方，那么这三个数就是勾股数，例如：3、4、5这三个数，因为32＝9，42＝16，52＝25，可以计算得出32＋42＝52，所以3、4、5是勾股数。运用上述信息进行判断，下列选项中是勾股数的是（ ）。
A．1、2、3 B．6、8、10 C．3、5、7 D．2、2、4
9．一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系图像如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图像如图中虚线部分AD所示。则关于该图像下列说法正确的是（ ）。
A．小狗的速度始终比兔子快 B．整个过程中小狗和兔子的平均速度相同
C．图中BC段表明兔子在做匀速直线运动 D．在前4秒内，小狗比兔子跑的快
10．用白色和灰色小正方形按下图的规律摆大正方形。第5幅图一共用了（ ）个灰色小正方形。
A．19 B．21 C．25 D．36
二、填空题
11．计算1＋3＋5＋7＋……＋29，如果我们用点子图来表示这个算式（如图），那么摆到最后一幅图得到的正方形，它的一条边上有( )个点，这个算式的和是( )。
12．观察下面的点子图，找一找有什么规律。想一想：第8个方框里有( )个点。
13．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观形少数时难入微”。把数和形结合起来思考，能把复杂问题简单化。仔细观察前三幅图与等式的规律照这样摆下去第四幅图下面的等式是( )，可得n2－（n－1）2＝( )。
14．苗族千人长桌宴是苗族宴席的最高形式与隆重礼仪，已有几千年的历史。通常用于接亲嫁女、满月酒以及村寨联谊宴饮活动。在设定座位时如下图设计，认真观察，完成后面的问题。
(1)按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐( )人。
(2)如果安排n张桌子，那么可坐人数可以用式子( )表示。
15．李阿姨从家出发，沿着湖边散步，到达湖边长廊，停下来打了一段时间太极拳，又散步走去超市。请根据下面的图回答问题。
(1)她从家步行到湖边的平均速度是( )米/分；
(2)她在长廊里打了( )分钟太极拳；
(3)她从湖边长廊走了( )米到超市。
16．古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们经常研究用多少个点能排列成不同的正多边形，组成美丽的图案。如图是他们研究多少个点可以组成正五边形的研究过程，第5个正五边形是由( )个点组成，第6个正五边形是由( )个点组成。
17．《庄子 天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”照此说法，第( )天取得的长度是尺。
18．围棋，一种策略型两人棋类游戏，中国古时称“弈”，春秋战国时期即有记载。隋唐时经朝鲜传入日本，流传到欧美各国。围棋使用长方形格状棋盘（看上去像正方形），棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点，棋子必须走在交叉点上，落子后不能移动，以围地多者为胜。因为黑方有先行占地之利，将黑、白两种颜色的围棋子自上而下一层层地排，每层又是从左到右逐颗地排。那么第8排是( )色围棋子，此时黑、白围棋子一共有( )颗。
19．古希腊的毕达哥拉斯喜欢用小石子摆数，他发现当小石子的数量是1、3、6、10…这些数时，都能摆成正三角形，于是把这样的数称为“三角形数”。如下图，第10个三角形数是( )，第100个三角形数是( )。
三、解答题
20．“黑洞”是宇宙空间中一种神秘的天体，能把接近它的物质吸引进去。在数学中也有神秘的黑洞现象。四位数的黑洞是6174，即：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是6174，6174就是四位数的黑洞。举例说明，例如3214：
4321－1234＝3087
8730－378＝8352
8532－2358＝6174
7641－1467＝6174
7641－1467＝6174
按此继续思考，你能找出三位数的黑洞吗？任选一个三位数试试吧。
21．八百多年前，意大利数学家莱昂纳多 斐波那契提出了“斐波拉契数列”，生活中又称“兔子数列”。意思是：假设有一对刚出生的兔子，它们在第一个月长大成年，并在之后的每个月都生出一对幼崽，而这些幼崽在长大后，也都会以同样的周期继续繁殖（如图所示），按照这种规律依此类推，在之后的每个月中各有多少对兔子呢？其结果就会形成这样一组数1、1、2、3、5、8、13、21、34…此时我们便会看到从这组数的第三项开始，每一项都是前两项之和，这便是神奇的“斐波拉契数列”，又因为从第三项起，前一项除以后一项所得商都接近0.618，所以称“黄金分割数列”。
（1）根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、（ ）、（ ）、…
（2）这组数的第100个数是奇数还是偶数？请说明理由。
22．你到过县城的拉面馆吗？拉面馆的师傅，能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根细面条，如下图所示。请问这样第多少次可拉出256根面条？
23．在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。
（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。
（2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。
序号 1 2 3 4 ……
图形 ……
算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 ……
①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。
②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝（ ）×（ ）
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（ ）×（ ）
③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（ ）。
24．仔细观察表3，完成下列问题。
（1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴影部分）。请你从中任选一组求这6个数的和。列式并写出计算过程。
（2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母与的等式表示这两个数之间的关系（与的位置如图2）。
（3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相应的方格里写上。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。）
25．材料：数形结合是一种重要的数学思想方法。在我国，“数形结合”最早出现在数学家华罗庚撰写的科普读物《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的一首词中：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。
（1）如下图，你能利用数形结合的知识发现（a＋b）（a－b）与a2－b2之间的关系吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
（2）
观察上面的点阵图规律，请问第（5）个有（ ）个点，第（7）个有（ ）个点。
那么：第（n）个点阵图有多少个点？请根据数与形结合的规律，分析和归纳，并表达你总结的方法。
参考答案
1．A
【分析】根据图示，第1个方框中的点为：1个；第2个方框中的点为：1＋4＝5（个）；第3个方框中的点为：1＋4＋4＝9（个）；第4个方框中的点为：1＋4＋4＋4＝12（个）；则第n个方框中的点为：1＋4（n－1）＝（4n－3）个。据此解答。
【详解】第⑧个方框里应画的点数为：
4n－3＝4×8－3
＝32－3
＝29（个）
则第⑧个方框里应画29个点。
故答案为：A
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
2．D
【分析】第1列是2个结，表示2个7；第2列是4个结，表示4，相加即可。
【详解】4＋7×2
＝4＋14
＝18（天）
孩子出生后的天数是18天。
故答案为：D
【点睛】此题的关键是先像十进制的数位一样找出每列代表的数是多少，然后再进一步解答。
3．B
【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49……＝，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项分析解答。
【详解】A．25＝9＋16；25＝52，是“正方形数”，9和16不是“三角形数”，不符合题意；
B．36＝15＋21；36＝62，是“正方形数”，15和21是“三角形数”，符合题意；
C．49＝18＋31；49＝72，是“正方形数”，18和31不是“三角形数”，不符合题意；
D．100＝36＋64；100＝102，是“正方形数”，36和64不是“三角形数”，不符合题意。
符合这一规律的是36＝15＋21。
故答案为：B
4．B
【分析】根据题意可知：由于乌龟有耐心， －直往目的地奔跑，可知表示乌龟赛跑的图像应该是一条一直上升的直线，且比兔子早到达终点；由于兔子没有耐心，一开始表示兔子的赛跑的图像应该是一条上升的直线，到中途睡 了一觉，由于路程不改变，所以图像变为水平直线，睡了一觉起来再跑，图像又变为上升；据此分析B与C符合，由于兔子的速度比乌龟快，也就是开始时同一时间内兔子比乌龟跑的路程多，由此可得B符合，C不符合，据此解答。
【详解】乌龟赛跑的图像应该是一条一直上升的直线，且比兔子早到达终点；兔子赛跑的图象应该是开始时是一条上升的直线，中途变为水平直线，然后又变为上升，且比乌龟晚到达终点；而且开始时，同一时间内兔子比乌龟跑的路程多，由此可得B符合。
故答案为：A。
【点睛】此题主要考查的是如何观察折线统计图并从图中获取信息。
5．C
【详解】略
6．C
【分析】根据树形图，可得此次摸球的游戏规则是：随机摸出一个球后放回，再随机摸出3个球。
【详解】观察树形图可得：袋子中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：随机摸出一个球后放回，再随机摸出1个球。
【点睛】此题考查了用树状图法求概率的知识。
7．C
【解析】由于每一横行、每一竖行和对角线上三个数之和均相等，所以可以得到每一横行、每一竖行及对角线上的三个数之和为A+2+37=A+39，如图，根据图示可以得到G+16+A=A+39，由此求出G，同理用A求出其它数，根据A+E+I=A+39列出方程，进而求出A．
【详解】每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，B=2，C=37，和为A+2+37=A+39，
ADG这一列，G=（A+39）﹣D-A=39-D=39-16=23
CEG对角线，E=（A+39）-G﹣C=A+39-23-37=A-21
DEF这一行，F=（A+39）﹣E-D=（A+39）﹣（A﹣21）﹣16=A+39﹣A+21﹣16=44
CFI这一列，I=（A+39）﹣F-C=（A+39）﹣44﹣37=A﹣42；
所以：AEI对角线，A+E+I=A+39
E+I=39
（A﹣21）+（A﹣42）=39
2A-63=39
2A=102
A=51
故答案为C．
8．B
【分析】是勾股数的3个数其中任意两数之和大于3个数。于是就排除了A和D，只在B和C中找，据此解答即可。
【详解】根据其中任意两数之和大于第3个数，只计算B和C项；
62＋82＝102＝100
所以62＋82＝102，6，8，10是平方数。
32＋52＝34，72＝49，34≠49，所以3，5，7不是平方数。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了学生对数大小的感知能力，以及计算能力。
9．B
【分析】由图像可以看出：在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度（由此判断选项D错误）；在第4秒，小狗和兔子在相同时间内通过相同的路程，所以它们的平均速度相同；在4到8秒的时间段，小狗在相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项A是错误的，B正确。另外，图中的BC段表示兔子处于静止状态。
【详解】由分析得：在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度。由此判断选项A和D错误；
在第4秒，图中的BC段表示兔子处于静止状态，由此判断选项C是错误的；
在4到8秒的时间段，小狗在相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项B正确。
故选：B。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息作出判断和预测。
10．B
【分析】1；3；5；7；9；11；13……
可由上述数列得出摆放规律，奇数位上的数表示白色小正方形的个数，偶数位上的数字为灰色小正方形的个数。
第1幅图，取前2位数字进行摆放，1表示白色小正方形的个数，3表示灰色小正方形的个数。
第2幅图，取前3位数字进行摆放，1和5表示白色小正方形的个数，3表示灰色小正方形的个数。
第3幅图，取前4位数字进行摆放，1和5表示白色小正方形的个数，3和7表示灰色小正方形的个数。
第n幅图形，取前（n＋1）位数字进行摆放，奇数位上的数字表示白色小正方形的个数，偶数位上的数字为灰色小正方形的个数。
【详解】由分析得：
1；3；5；7；9；11；13……
第5幅图形，取前6位数字进行摆放，因为偶数位上的数字为灰色小正方形的个数，故：
3＋7＋11＝21（个）
故答案为：B。
【点睛】本题的规律具有一定的难度，因为其蕴含的规律较为隐秘，我们不妨在纸上画一画，继续补全第4幅图，第5幅图，再认真观察白色小正方形和灰色小正方形的排列方式，比较奇数位上的数字和偶数位上的数字的不同，从而得出一般规律。
11． 15 225
【分析】由图可知，图1中有1个点，点的总个数可以表示为12；图2中有（1＋3）个点刚好构成一个正方形，每条边上有2个点，点的总个数可以表示为22；图3中有（1＋3＋5）个点刚好构成一个正方形，每条边上有3个点，点的总个数可以表示为32……正方形边长上面点的个数等于奇数的个数，那么，1＋3＋5＋7＋……＋29个点刚好构成一个正方形，每条边上有15个点，点的总个数可以表示为152；据此解答。
【详解】1＋3＋5＋7＋……＋29中奇数的个数为：（29－1）÷2＋1
＝28÷2＋1
＝14＋1
＝15
1＋3＋5＋7＋……＋29＝152＝225
计算1＋3＋5＋7＋……＋29，如果我们用点子图来表示这个算式（如图），那么摆到最后一幅图得到的正方形，它的一条边上有（ 15 ）个点，这个算式的和是（ 225 ）。
【点睛】从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方。
12．29
【分析】观察图形可知，第一个方框有1个点，第二个方框有（1＋4）个点，第三个方框有（1＋2×4）个点，第四个方框有（1＋3×4）个点，依次类推，则第n个方框就是[1＋4×（n－1）]个点，据此即可解答。
【详解】1＋4×（n－1）
＝1＋4×n－4×1
＝1＋4n－4
＝（4n－3）个
第n个方框有（4n－3）个点。
当n＝8时，
4×8－3
＝32－3
＝29（个）
即第8个方框里有29个点。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。
13． 52－42＝5＋4 2n－1
【分析】由图可得：图一的算式为22－12＝2＋1，图二的算式为32－22＝3＋2，图三的算式为42－32＝4＋3，由此可得：两个相邻数的平方差等于这两个数的和，且第几幅图，减数就是几，由此列出第四幅图的等式即可，再根据规律算出n2－（n－1）2的结果即可。
【详解】图一：22－12＝2＋1
图二：32－22＝3＋2
图三：42－32＝4＋3
根据规律可得图四：52－42＝5＋4
n2－（n－1）2
＝n＋n－1
＝2n－1
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
14．(1)22
(2)4n＋2
【分析】（1）观察图形可知，安排1张桌子，可坐6人；安排2张桌子，可坐10人；安排3张桌子，可坐14人……发现：每增加一张桌子，可坐的人数增加4人，据此得出安排5张桌子最多可以坐的人数。
（2）由上一题，可得出：6＝4×1＋2，10＝4×2＋2，14＝4×3＋2……，据此找到规律，并按规律解答。
【详解】（1）安排1张桌子，可坐6人；
安排2张桌子，可坐6＋4＝10（人）；
安排3张桌子，可坐10＋4＝14（人）；
安排4张桌子，可坐14＋4＝18（人）；
安排5张桌子，可坐18＋4＝22（人）；
按照上图所示规律，安排5张桌子最多可以坐22人。
（2）安排1张桌子，可坐6人，6＝4×1＋2；
安排2张桌子，可坐10人，10＝4×2＋2；
安排3张桌子，可坐14人，14＝4×3＋2；
……
如果安排n张桌子，那么可坐人数可以用式子（4n＋2）表示。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
15．(1)80
(2)45
(3)1200
【分析】图中显示的信息是，步行的路程随时间推移的变化情况。从湖边到湖边长廊，再从长廊到超市的这两段过程，随时间增大，路程都变大了；打太极拳这段过程，随着时间增大，路程是不变的。计算速度时应用公式“平均速度＝路程÷时间”，据此解答。
【详解】（1）李阿姨从家到湖边，走了1200米，花费15分钟。
（米/分）
她从家步行到湖边的平均速度是80米/分。
（2）从第15分钟到第60分钟，路程没变化，李阿姨在打太极拳。
（分）
她在长廊里打了45分钟太极拳。
（3）1200米的时候在长廊，2400米的时候在超市。
（米）
她从湖边长廊走了1200米到超市。
16． 51 70
【分析】观察图案，可以发现这组数是有规律的，1、5、12、22它们之间的差是每次多3；由此可以根据规律得出第5、第6个正五边形各由多少个点组成，据此解答。
【详解】①0个五边形的点数：1个；
②1个五边形的点数：5个，5＝1＋1＋3×1
③2个五边形的点数：12个，12＝5＋1＋3×2
④3个五边形的点数：22个，22＝12＋1＋3×3
⑤4个五边形的点数：22＋1＋3×4＝35（个）
⑥5个五边形的点数：35＋1＋3×5＝51（个）
⑦6个五边形的点数：51＋1＋3×6＝70（个）
第5个正五边形是由51个点组成，第6个正五边形是由70个点组成。
17．5
【分析】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，那么第n天取得的长度是尺（n为正整数）。已知取得的长度是尺，而，所以n＝5，即第5天取得的长度是尺。
【详解】“日取其半”表示每天取得的长度是前一天的，第n天取得的长度是尺（n为正整数）。
所以n＝5；
第5天取得的长度是尺。
18． 白 64
【分析】观察图形发现，第1排是黑棋，第2排是白棋，第3排是黑棋，第4排是白棋……发现规律：排数为奇数的棋子是黑色，排数为偶数的棋子是白色；由此得出第8排围棋子的颜色。
1排共有1颗棋子，1＝1×1；
2排共有4颗棋子，4＝2×2；
3排共有9颗棋子，9＝3×3；
4排共有16颗棋子，16＝4×4；
……
据此规律，求出8排的棋子颗数。
【详解】8×8＝64（颗）
第8排是白色围棋子，此时黑、白围棋子一共有64颗。
【点睛】本题考查数与形，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
19． 55 5050
【分析】观察“三角形数”：第1个是1，第2个是3＝1＋2，第3个是6＝1＋2＋3，第4个是10＝1＋2＋3＋4 。据此发现规律：第n个三角形数是从1开始连续n个自然数相加的和，利用这个规律来计算第10和第100个三角形数，据此解答。
【详解】规律：第n个三角形数是1＋2＋3＋……＋n ；
计算第10个三角形数：
当n＝10时
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝ （1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋11＋11
＝11×5
＝55
当n＝100时
1＋2＋3＋……＋100
＝（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）
＝101＋101＋……＋101
＝101×50
＝5050
第10个三角形数是55，第100个三角形数是5050。
【点睛】关键是发现三角形数是连续自然数相加的规律，通过分组凑整的方法（如把首尾数相加），能简便算出连续自然数相加的和，利用这个规律就可以算出任意第n个三角形数，避免逐个累加的麻烦，要注意找对分组的数量。
20．495
【分析】任意写一个三位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差是几，三位数的黑洞就是几。
【详解】例如：576
765－567＝198
981－189＝792
792－279＝513
531－153＝378
873－378＝495
954－459＝495
954－459＝495
答：三位数的黑洞是495。
21．（1）55；89；
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
【分析】（1）根据题意可知，从这组数据的第三项开始，每一项都是前两项之和，所以用前两项相加即可求出后一项；
（2）根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，找出几个数为一组，求第100个数是奇数还是偶数，用100除以几，如果没有余数，则第100个数是一组规律中的最后一个数，如果有余数，则看其排在一组规律中的第几个数，再看看相应位置是奇数还是偶数；据此解答。
【详解】（1）21＋34＝55
34＋55＝89
根据这组数的规律填一填：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…
（2）100÷3＝33（组）……1（个）
答：这组数是按奇数、奇数、偶数……每3个数为一组，第100个数刚好是一组中的第一个数，所以是奇数。
22．第9次
【分析】根据图示可发现，后面每次的面条根数都是前面一次的2倍，据此采用列举法解答。
【详解】第4次：8根；
第5次：16根；
第6次：32根；
第7次：64根；
第8次：128根；
第9次：256根。
答：第9次可拉出256根面条。
【点睛】解答此题的关键是从第1次找出拉面的根数，依次进行，可发现规律。
23．见详解
【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示的积；
（2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52；
②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；
③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。
【详解】（1）可表示为：
；
（2）①
序号 1 2 3 4 ……
图形 ……
算式 12＋12 12＋12＋22 12＋12＋22＋32 12＋12＋22＋32＋52 ……
②将算式补充完整：
12＋12＝1×2
12＋12＋22＝2×3
12＋12＋22＋32＝3×5
12＋12＋22＋32＋52＝5×8
12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21
③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。
【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。
24．（1）3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
（2）b＝a＋11
（3）见详解
【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。
（2）根据数表中数的排列规律及、的位置关系可知：。
（3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。
【详解】（1）如果最上层的这个数为3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，这6个数的和为：
3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
答：这六个数的和为94。（答案不唯一）
（2）图2中b＝a＋11
（3）如图所示：
（答案不唯一，合理即可。）
【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
25．（1）相等；过程见详解
（2）18；24；（3n＋3）个；过程见详解
【分析】
（1）利用长方形和正方形面积公式，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，如图，红色长方形的长（a＋b），宽（a－b），面积（a＋b）（a－b）；，边长a的正方形面积－边长b的正方形面积＝ a2－b2，只要说明两个黄色部分的面积相等即可发现（a＋b）（a－b）与a2－b2是相等的。
（2）观察可知，点的个数＝第几个图形就用几×3＋3，据此分析。
【详解】
（1）如图，①＋②是个长方形，长（a＋b），宽（a－b），面积：（a＋b）（a－b）；①＋③的面积：a2－b2。长方形②的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b；长方形③的长＝（a－b），宽＝b，面积：（a－b）b，即②＝③，所以①＋②＝①＋③，即（a＋b）（a－b）＝a2－b2。
（2）如图将最左侧3个点圈起来，右边斜着每列3个点，第几个图形就有斜着几列。
第（1）个点阵图：1×3＋3＝3＋3＝6（个）
第（2）个点阵图：2×3＋3＝6＋3＝9（个）
第（3）个点阵图：3×3＋3＝9＋3＝12（个）
第（4）个点阵图：4×3＋3＝12＋3＝15（个）
第（5）个点阵图：5×3＋3＝15＋3＝18（个）
第（6）个点阵图：6×3＋3＝18＋3＝21（个）
第（7）个点阵图：7×3＋3＝21＋3＝24（个）
……
第（n）个点阵图：n×3＋3＝（3n＋3）个
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
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