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绝密★考试结束前
2025-2026学年湖南省长沙市高一上学期期中数学练习卷02
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2021·湖北黄石·高一期中）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为全集，2，3，4，5，6，，，3，5，，
所以，4，，
又，2，4，，则，2，4，5，，故选：C．
2．（2022·湖北·黄石一中高一期中）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】命题“”的否定为“”.故选：C
3．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】时，，故充分性成立，
，解得：或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
4．（2020·江苏镇江·高一期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】D
【解析】根据题意，任意实数都有成立，
所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：,.故选：D.
5．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知，，那么，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，，
所以.故选：B.
6．（2021·湖南·高一期中）下列各组函数中，为同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】A：的定义域为，
的定义域为，故A中的两个函数不是同一函数；
B：的定义域为，
的定义域为，故B中的两个函数不是同一函数；
C：，定义域为R，
的定义域为R，故C中的两个函数是同一函数；
D：与的解析式不同．所以D中的两个函数不是同一函数．
故选：C．
7．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.
【详解】由题意令，得，又不是常数函数，
所以，再令，得，
即，则，
即，故，
所以函数的周期为，
所以，
故选：D.
8．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得的解析式，判断出在区间上的单调性，由此列方程组来求得正确答案.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以.
因为当时，，所以当时，，
所以，
则当时，单调递减，
设，由，
得，
解得，
所以在区间内的“8倍倒域区间”为.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一期中）已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】如图所示
根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误
故选：AD
10．（2022·安徽·高一期中）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的不等式解集为
D．关于的不等式解集为
【答案】ABD
【解析】因为不等式的解集为，
所以，故，此时，所以A正确, B正确；
，解得：或.
所以D正确；C错误.故选：ABD
11．（2021·广东·金山中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上为增函数
C．不等式的解集为D．不等式在上恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项：因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，故A正确；
对于B选项：因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，则，
所以，当时，，
所以，所以函数是定义在上的增函数，故B正确；
对于C选项：易知，所以不等式 可化为，
因为函数是定义在上的增函数，所以解得，
即不等式的解集为，故C正确；
对于D选项：当时，，
所以，
当时，恒成立，但可正可负，
故不一定不一定恒成立，
当时，不一定恒成立，故D选项错误.
故选：ABC.
12．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
【答案】ACD
【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.
【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，
所以，故A对，
若，则，得，故B错，
若，则或，因为，所以或，故C正确，
因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷
填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分
13．（2022·河南南阳·高一期末）集合的子集个数为______．
【答案】32
【解析】由题意得，则A的子集个数为．
故答案为：32.
14．（2022·河南·沁阳市永威学校高一阶段练习）已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，
又或，，
所以，即；
故答案为：
15．（2021·湖北孝感·高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时_______
【答案】
【解析】设，则，
因为函数为奇函数，且当时，，
可得，
故当时.
故答案为：.
16．某学校计划在运动场内规划面积为的矩形区域ABCD用于全校师生核酸检测.矩形区域内布置成如右图所示的三个检测点（阴影部分）.已知下方是两个相同的矩形检查点，每个检测点区域四周各留下宽的间隔，若上方矩形宽LO是下方矩形边长EH的一半，为使三个检测点面积之和达到最大值，则 m.
【答案】
【分析】设，，利用变量，表示三个检测点的面积和，结合矩形的面积为，利用基本不等式求其最大值，由此确定.
【详解】设，，则，，，，
所以三个检测点面积之和，因为矩形的面积为，所以，所以，
所以，令，则，，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，即时，三个检测点面积之和达到最大值，此时，
故答案为：.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·山东·陵城一中高一期中）设集合，
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由是的充分不必要条件，所以，
等号不同时成立得
∴实数的取值范围为
（2）由题意知
当，
当，，
综上所述：实数的取值范围为.
18．（2021·河北唐山·高一期中）解答下列问题：
（1）设正数满足，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为正数满足，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为
19．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量（条）是售价（元）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．
（1）试写出围巾销售每日的毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？
【答案】（1）；定价为22元或23元（2）25元
【解析】设，∴，解得，b=70，∴．
（1），
∵，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高．
（2）设售价x（元）时总利润为z（元），
∴
元，
当时，即时，取得等号，
∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.
20．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知二次函数的图像经过原点O，满足对任意实数x都有，且关于x的方程有两个相等的实数根.
（1）求函数的解析式：
（2）是否存在实数m、，使得的定义域为，值域为 若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）经过原点，故，
，即有两个相等的实数根，由知，
，故的对称轴为，即，，
函数的解析式为．
（2），故，
故在上单调递增，
由题意得又，解得
存在满足题意
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求实数和的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)函数在上是增函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.
（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.
（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，
所以得，
又因为，所以，
经检验，当，时，是奇函数，
所以，
（2）由（1）可知，设
所以
因为，所以，，
所以，即，
所以函数在上是增函数．
（3）由函数是定义在上的奇函数且，
则，
所以，解得，
所以的取值范围是.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调减区间为
(2)或
【分析】（1）代入，将表达为分段函数判断即可；
（2）将函数取绝对值可得函数单调性，结合题意可得函数在上最大值，最小值，再结合函数函数单调性与最值分析临界条件可得，进而求解绝对值不等式即可.
【详解】（1）当时，，
由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减，
∴的单调递减区间为
（2）当时，，
故在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，
又函数在上既有最大值又有最小值，则最大值，最小值.
当且时，有，解得，故，
当且时，由，解得，故，
∵，
∴，
∴，
∴或.
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绝密★考试结束前
2025-2026学年湖南省长沙市高一上学期期中数学练习卷02
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2021·湖北黄石·高一期中）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北·黄石一中高一期中）命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·江苏镇江·高一期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
5．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知，，那么，，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·湖南·高一期中）下列各组函数中，为同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
7．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
8．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一期中）已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·安徽·高一期中）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．关于的不等式解集为
D．关于的不等式解集为
11．（2021·广东·金山中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在定义域上为增函数
C．不等式的解集为D．不等式在上恒成立
12．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2022·河南南阳·高一期末）集合的子集个数为______．
14．（2022·河南·沁阳市永威学校高一阶段练习）已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．
15．（2021·湖北孝感·高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时_______
16．某学校计划在运动场内规划面积为的矩形区域ABCD用于全校师生核酸检测.矩形区域内布置成如右图所示的三个检测点（阴影部分）.已知下方是两个相同的矩形检查点，每个检测点区域四周各留下宽的间隔，若上方矩形宽LO是下方矩形边长EH的一半，为使三个检测点面积之和达到最大值，则 m.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·广西北海·高二期末（文））已知集合，，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2022·全国·高一期中）（1）设，，且，求的取值范围；
（2）设，若，求的最大值．
19．（2021·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量（条）是售价（元）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．
（1）试写出围巾销售每日的毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？
20．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知二次函数的图像经过原点O，满足对任意实数x都有，且关于x的方程有两个相等的实数根.
（1）求函数的解析式：
（2）是否存在实数m、，使得的定义域为，值域为 若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求实数和的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)若，求的取值范围．
22．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.
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