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湖南省湘潭市2025-2026学年高一上学期期中数学练习卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2021·河北唐山·高一期中）已知集合，，.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故选：A.
2．（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）条件“”是“”成立的 条件
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】解得或，
则“”可推得“”，反之不成立，
故条件“”是“”成立的充分不必要条件，故选B．
3．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为命题“”为全称命题，
所以它的否定为特称命题即：.故选：C.
4．设函数，且，则等于（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】C
【分析】代入求和，找两式之间的关系，即可求解.
【详解】，即，
则.
故选：C
5．已知函数，且，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．
【详解】令，则，
由，
可得，
则，
解得，
故选：．
6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（ ）
A． B．10 C． D．2
【答案】B
【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可.
【详解】由图知，过点，过点，
则，有 解得，
所以，
故选：B.
7．（2022·安徽·高一期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，解得，故选：B
8．（2022·全国·高一期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，两个正实数x，y满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
又由恒成立，可得，即，
解得，即实数m的取值范围是.故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·湖北黄石·高一期中）已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】如图所示
根据图像可得,故A正确；由于 ，故B错误； ,故C错误
故选：AD
10．（2021·辽宁·大连市第十五中学高一期中）有以下说法，其中正确的为（ ）
A．“是有理数”是“是实数“的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的充分条件
【答案】ACD
【解析】．是有理数是实数，
因此“是有理数”是“是实数“的充分条件，正确．
．，反之不成立，
因此”是“”的充分不必要条件，不正确．
．由，”
因此：””是“”的必要条件，正确；
．“” 或，
“”是“”的充分条件，因此正确．
故选：．
11．已知函数则以下说法正确的是（ ）
A．若，则是上的减函数
B．若，则有最小值
C．若，则的值域为
D．若，则存在，使得
【答案】ABC
【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.
【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；
对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；
对于D，若，当时，；
当时，；
当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.
故选：ABC
12．（2022·福建福州·高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（ ）
A．的最小值为-1
B．在上单调递减
C．的解集为
D．存在实数x满足
【答案】ACD
【解析】依题意，作出函数的图象，如图所示：
观察图象可得：的最小值为-1，A正确；
在和上单调递减，B错误；
的解集为，C正确；
令，则有，D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．
【答案】
【解析】设，
则，解得．
因为，，
所以，即．
故答案为：.
14．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以要使函数有意义，只需，即，
所以函数的定义城是.
故答案为：
15．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；
【详解】因为是偶函数，所以
所以，
又因为在上单调递增，
所以，
解得：，故答案为：.
16．（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·山东·陵城一中高一期中）设集合，
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由是的充分不必要条件，所以，
等号不同时成立得
∴实数的取值范围为
（2）由题意知
当，
当，，
综上所述：实数的取值范围为.
18．（2021·河北唐山·高一期中）解答下列问题：
（1）设正数满足，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为正数满足，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为
19．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）
【答案】(1)(2)25艘/海里，最大值为625．
【分析】（1）根据题意分段求解函数解析式，即可得答案；
（2）由（1）可得的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案.
【详解】（1）由题意知时，海里/小时；
当时，设，
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，
当时，，此时；
当时，，
当时，取到最大值为625；
由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，
最大值为625．
20．已知函数.
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集；
(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).
【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.
（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.
（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.
【详解】（1）当时，则，
由，得，
原不等式的解集为；
（2）由，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（3）由即在上恒成立，得.
令，则，
当且仅当 ，即时取等号.
则，.故实数a的范围是
21．（2022·广西柳州·高一期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．
（1）试求y关于x的函数解析式；
（2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
【答案】（1）；（2）公司乙，理由见解析.
【解析】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米，
于是得，，
所以y关于x的函数解析式是.
（2）由（1）知，对于公司甲，，
当且仅当，即时取“=”，
则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元，
对于乙，函数在上单调递增，，
即乙公司最高报价为22900元，
因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，
所以公司乙能竞标成功.
22．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
（1）求，并证明函数的奇偶性；
（2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），证明见解析；（2）.
【解析】（1）令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
（2），即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
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（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（2021·河北唐山·高一期中）已知集合，，.则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）条件“”是“”成立的 条件
A．必要不充分 B．充分不必要
C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．（2021·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数，且，则等于（ ）
A． B．3 C． D．5
5．已知函数，且，则
A． B． C． D．
6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（ ）
A． B．10 C． D．2
7．（2022·安徽·高一期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高一期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·湖北黄石·高一期中）已知集合A，B均为R的子集，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·辽宁·大连市第十五中学高一期中）有以下说法，其中正确的为（ ）
A．“是有理数”是“是实数“的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的充分条件
11．已知函数则以下说法正确的是（ ）
A．若，则是上的减函数
B．若，则有最小值
C．若，则的值域为
D．若，则存在，使得
12．（2022·福建福州·高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（ ）
A．的最小值为-1
B．在上单调递减
C．的解集为
D．存在实数x满足
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（2021·福建·厦门市国祺中学高一期中）若，，，则t的取值范围为______．
14．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
15．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为 ．
16．（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2021·山东·陵城一中高一期中）设集合，
（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2021·河北唐山·高一期中）解答下列问题：
（1）设正数满足，求的最小值；
（2）已知，求函数的最小值．
19．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整数）
20．已知函数.
(1)当时，求关于x的不等式的解集；
(2)求关于x的不等式的解集；
(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.
21．（2022·广西柳州·高一期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元．
（1）试求y关于x的函数解析式；
（2）现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．
22．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
（1）求，并证明函数的奇偶性；
（2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
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