16.1.2 幂的乘方与积的乘方（26页）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

(共26张PPT)
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
第十六章 整式的乘法
01
理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则.
02
能够运用幂的乘方与积的乘方的运算法则灵活解决问题.
1.一个正方体棱长是102，你能表示出它的体积吗？
(102)3
2.根据乘方的意义，(102)3的意义是什么？
(102)3的意义是3个102相乘，即102×102×102
任务一：幂的乘方的运算性质及应用.
活动1：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
乘方运算的结果叫幂，那么这个结果再进行自乘就叫幂的乘方运算，
（1）(32)3 = 32×32 ×32 = 3( )
（2）(a2)3 =_________= a( )
（3）(am)3 =_________= a( )
a2·a2 ·a2
am·am ·am
6
6
3m
猜想： ， (m、n都是正整数).
验证猜想： ， (m、n都是正整数).
（幂的意义）
（同底数幂的乘法性质）
（乘法的意义）
思考： （m， n，p都是正整数）是否依旧满足底数不变，指数相乘呢？
性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
符号表示： (m、n都是正整数).
幂的乘方法则：
幂的乘方法则的逆用：
(m、n都是正整数).
注意：幂的底数和指数不仅仅是单独字母或数字，也可以是某个单项式和多项式.
思考： （m， n，p都是正整数）是否依旧满足底数不变，指数相乘呢？
当幂进行三次或三次以上乘方运算时，依旧满足底数不变，指数相乘.
判断下列各式是否正确.
(1) (a4)3=a7 ( )
(2) a4 a3=a12 ( )
(3) (a2)3+(a3)2=(a6)2 ( )
×
×
×
活动2：根据幂的乘方法则解答下列问题.
(1)若 　　　　　　　　 比较a、b、c 的大小．和同伴交流.
　　 　　　　　　　
比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:
(1)底数相同,指数越大,幂就越大;
(2)指数相同,底数越大,幂就越大.
①公式的逆用之比较数的大小
　解： ∵
∴
(2)已知 am=2，an=3,
解:(1) a2m
= (am)2
= 22 = 4，
a3n
= (an)3
= 33= 27；
(3) a2m+3n
= a2m·a3n
= (am)2·(an)3
= 4×27 = 108.
（3） a2m+3n 的值.
（2） am+n 的值.
(2) am+n
= am·an
=2×3=6；
②公式的逆用之整体代入.
求：（1）a2m ，a3n的值；
活动2：根据幂的乘方法则解答下列问题.
③幂的多重乘方.
(3)计算. （1） [(0.52)3]5 （2） [(a2)m]4
解:(1)原式=0.52×3×5=0.530
(2)原式=a2×m×4=a8m
活动2：根据幂的乘方法则解答下列问题.
(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号.
不相同.
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号.
n为偶数
n为奇数
想一想：(-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
填空.
(1)x13·x7=x( )=( )5=( )4=( )10；
(2)a2m =( )2 =( )m (m为正整数).
20
x4
±x5
±x2
±am
a2
小结：(xm)2n=(-xm)2n (m、n为正整数).
任务二：积的乘方法则及应用.
活动1：在手工课上,小明制作了一个正方体的模具,其棱长是4×102mm，问该模具的体积是多少
底数是4和102的乘积，虽然102 是幂，但总体来看，它是积的乘方，积的乘方如何运算呢
V=(4×102)3
思考：所得结果是幂的乘方形式吗？
活动2：填空，运算过程用到哪些运算律？从运算结果看能发现什么规律？和同伴交流.
规律：以上式子都是积的乘方的形式，积的乘方的计算结果中，都是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(1) (3x)2=3x·3x=(3·3)(x·x)=3( ) ·x ( );
(2) (ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)(b·b)=a( )b( ) ；
(3) (ab)3=_________=____________=a( )b( ).
2
2
ab·ab·ab
(a·a·a)(b·b·b)
3
3
2
2
运用了乘法交换律、结合律.
证明：
因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数).
(ab)n=anbn (n为正整数)
n个a
n个ab
n个b
(ab)n
=(ab)·(ab)·…·(ab)
= a·a·…·a·b·b·…·b
=anbn
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
验证猜想：
积的乘方法则：
性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
符号表示：(ab)n=anbn（n为正整数）.
当三个或三个以上因式的积乘方时, 也具有这一性质.
(abc)n = anbncn （n为正整数）.
(1)(2a)3 ； (2)(–5b)3 ；
(3)(xy2)2 ； (4)(–2x3)4.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 8a3；
= –125b3；
=x2y4；
=16x12.
(2)3a3
(–5)3b3
x2(y2)2
(–2)4(x3)4
计算:
(1)如何简便计算(0.04)2004×[(–5)2004]2 和同伴交流.
=(0.22)2004 × 54008
=(0.2)4008 × 54008
=(0.2 ×5)4008
=14008
(0.04)2004×[(–5)2004]2
=1.
解法一：
=(0.04)2004 × [(–5)2]2004
=(0.04×25)2004
=12004
=1.
= (0.04)2004 ×(25)2004
(0.04)2004×[(–5)2004]2
解法二：
小结：积的乘方的性质可以逆用，即anbn=(ab)n（n为正整数）.可进行一些复杂的化简.
活动2：根据积的乘方法则解答下列问题.
(2)含有积的乘方的混合运算:
–4xy2·(xy2)2·(–2x2)3； (–a3b6)2＋(–a2b4)3.
解：原式= –4xy2·x2y4·(–8x6)
=[–4×(–8)]x1+2+6y2+4
=32x9y6;
原式=a6b12+(–a6b12)
=0;
=[1+(–1)]a6b12
方法总结：涉及积的乘方的混合运算，一般按照以下步骤进行计算：
①先算积的乘方再算乘法； ②算加减； ③合并同类项.
活动2：根据积的乘方法则解答下列问题.
幂的乘方与积的乘方
幂的乘方
法则
(am)n=amn (m,n都是正整数)
注意
幂的乘方法则的逆用：amn=(am)n=(an)m
积的乘方
法则
(ab)n=anbn (n是正整数)
注意
(abc)n=anbncn (n是正整数)
积的乘方法则的逆用：anbn=(ab)n
[(am)n]p=(amn)p=am·n·p(m,n,p都是正整数)
1．(m2)3·m4等于(
)
B
A．m9
B．m10
C．m12
D．m14
2．已知 10a＝5,10b＝6，则 102a＋103b的值为________．
241
点拨：102a＋103b＝(10a)2＋(10b)3＝52＋63＝241.
(1) (ab2)3=ab6 ( )
×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×
(3) (-2a2)2=-4a4 ( )
(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
3.判断下面计算是否正确.如果错误，请给出正确答案.
原式=a3b6
原式=27x3y3
原式=4a4
原式=-a2b4
（1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7
解：(1)原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
= 2x9-27x9+25x9
(2)原式=9x2y4 +4x2y4
(3)原式= -8x9·x4
4.计算:
=13x2y4
=-8x13
= 0
（2）(3xy2)2+(-4xy3) · (-xy)
（3）(-2x3)3·(x2)2
5.计算
(1)3n×4n (2)0.22019×52020 (3)0.51000×4500
解:(1)原式=(3×4)n=12n
(3)原式=0.51000×(22)500=0.51000×21000=(0.5×2)1000=1
(2)原式=0.22019×52019×5 =(0.2×5)2019×5=5
6. 已知n为正整数，且x2n＝4.
(1)求xn－3·x3(n＋1)的值；
解：(1)∵x2n＝4，
∴xn－3·x3(n＋1)＝xn－3·x3n＋3
＝x4n＝(x2n)2＝42＝16.
(2)求(3x3n)2－13(x2)2n的值.
(2)∵x2n＝4，
∴(3x3n)2－13(x2)2n
＝9x6n－13x4n
＝9(x2n)3－13(x2n)2
＝9×43－13×42＝576－208＝368.