16.3.2 完全平方公式 课件(共33张PPT)2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册

(共33张PPT)
16.3.2 完全平方公式
课时1 完全平方公式
第十六章 整式的乘法
01
会推导完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征.
02
能够灵活运用完全平方公式进行计算.
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
b
b
a
a
比较之后可得：
任务一：推导并理解完全平方公式.
活动：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？和同伴交流.
问题1：类比平方差公式的探究过程，你能写出下列式子的答案吗？
（1） (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） (m+2)2=( )( )= .
m2+4m+4
（3） (p-1)2=( )( )= .
p2-2p+1
（4） (m-2)2=( )( )= .
m2-4m+4
(a+b)2= ，
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
m+2
m+2
p-1
p-1
m-2
m-2
验证猜想：(a+b)2 = a2+2ab+b2， (a b)2 = a2 2ab+b2．
(a+b)2
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
=(a+b)(a+b)
(a-b)2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
=(a-b)(a-b)
文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式：
(a+b)2 = a2+2ab+b2， (a b)2 = a2 2ab+b2．
（简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”)
问题2：观察上面两个完全平方公式，比一比，回答下列问题.
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a、b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a、b有什么关系？它的符号与什么有关？
完全平方公式：(a+b)2 = a2+2ab+b2， (a b)2 = a2 2ab+b2．
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
完全平方公式：(a+b)2 = a2+2ab+b2， (a b)2 = a2 2ab+b2．
思考：你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗？
a2
ab
b2
ab
a2
面积：
ab
ab
b2
(a+b)2
+
+
+
=
a2+2ab+b2 ．
和的完全平方公式：(a+b)2=
①和的完全平方公式
(a b)b
(a b)2
b2
(a b)b
a2
面积：
ab
ab
b2
(a-b)2
-
-
+
=
a2-2ab+b2 ．
差的完全平方公式：(a-b)2=
②差的完全平方公式
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1) (x+y)2=x2 +y2
(2) (x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
(2x+y)2 =4x2+4xy +y2
(-x+y)2 =x2 -2xy +y2
(x-y)2 =x2 -2xy +y2
(x+y)2 =x2+2xy+y2
( )
( )
( )
( )
注意：运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2 = a2±b2 .
×
×
×
×
问题1：你能用什么方法简便计算下面的式子？和同伴一起交流.
任务二：灵活运用完全平方公式进行计算.
(1)1022 ； (2)992 .
解：
(1)原式=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404；
(2)原式=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式.
活动：小组合作讨论，完成以下问题.
问题2: (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？为什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2
互为相反数的两个数平方相等，故(-a-b)2=(a+b)2，(b-a)2=(a-b)2.
(a+b)2= (-a-b)2
(a-b)2=(b-a)2
活动：小组合作讨论，完成以下问题.
问题3:若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
完全平方公式的变形：a2+b2=(a+b)2-2ab，ab=[(a+b)2 -(a2+b2)]÷2；
同理可得:a2+b2=(a-b)2+2ab，ab=[(a2+b2)-(a-b)2 ]÷2.
活动：小组合作讨论，完成以下问题.
针对本课关键词“完全平方公式”，回答以下问题.
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）完全平方公式的结构特征是什么？
（3）应用完全平方公式时要注意什么？
1.将1052变形正确的是（ ）
解： 1052=(100+5)2=1002+2×100×5+52.
A. 1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
C
解：(1) (-2m-n)2
=(2m+n)2
=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2 ；
(2) (2x+3y)(-2x-3y)
=-(2x+3y)2
=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]
=-4x2-12xy-9y2 .
2.计算下列式子：
(1) (-2m-n)2 ； (2) (2x+3y)(-2x-3y) .
3.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：∵x+y=8,
∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4,
∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②得4xy=48
∴xy=12.
16.3.2 完全平方公式
课时2 添括号法则
第十六章 整式的乘法
01
理解添括号法则.
02
会运用添括号法则进行计算.
已经学过的去括号法则是什么？
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
任务一：推导并理解添括号法则.
活动：根据去括号法则填空.
(1)a+(b-c)=_______； (2)a+ (-b-c)=_______；
(3)a- (-b+c)=_______； (4)a- (b-c)=_______；
a+b-c
a-b-c
a+b-c
a-b+c
(1)a+b-c=a+(b-c) (2)a-b-c=a+(-b-c)
(3)a+b-c=a-(-b+c) (4)a-b+c=a-(b-c)
思考:观察上面的四个等式，你发现了添括号的规律吗？
把上面四个等式左右两边交换位置会得到：
(2) a b c=a (b+c)
符号不变
符号不变
添上“+( )”，括号里的各项都不变符号.
符号改变
符号改变
添上“ ( )”，括号里的各项都改变符号.
(1) a+b c=a+(b c)
添括号时,如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
符号表示：a+b+c=a+(b+c);
a-b-c=a-(b+c).
添括号法则：
简单概括为：遇“加”不变，遇“减”改变.
(1) a+b+c = a+( ); (2) a-b-c = a -( ) ;
(3) a-b+c = a-( ); (4) a+b+c = a -( ) .
b+c
-b-c
b+c
b-c
检验：可以用去括号法则来检验添加括号是否正确.
(1) a+(b+c) = a+b+c; (2) a-(b+c) = a-b-c;
(3) a-(b-c) = a-b+c; (4) a-(-b-c) = a+b+c .
在等号右边的括号内填上适当的项.
任务二：运用添括号法则进行计算.
活动1：和同伴交流，按照下列要求，给多项式3x3－5x2－3x＋4添括号.
(1)把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；
(2)把多项式的前两项括起来，括号前面带“－”号；
(3)把多项式后三项括起来，括号前面带有“－”号；
(4)把多项式中间的两项括起来，括号前面“－”号．
解：(1) 3x3＋(－5x2－3x＋4)． (2) －(－3x3＋5x2)－3x＋4.
(3) 3x3－(5x2＋3x－4)． (4) 3x3－(5x2＋3x)＋4.
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)； (2) (a+b+c)2 .
解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9；
(2) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
小结：有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式.
活动2：运用乘法公式计算下列各式，说说你有什么发现.
三数和的平方公式:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
c2
a2
ab
ac
ab
b2
bc
bc
ac
a
b
c
a
b
c
添括号法则
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号
a+b+c=a+(b+c)
a-b-c=a- (b+c)
1.判断下列添括号是否正确，如果错误请改正.
×
×
×
×
（1）2a-b-2c=2a -(b-2c)
（2）m-3n+2a-b=m+(3n+2a-b)
（3）2y-3y+2=-(2y+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=(a-2b)-(4c+5)
( )
( )
( )
( )
原式=2a -(b+2c）
原式=m+(-3n+2a-b)
原式=-(-2y+3y-2）
原式=(a-2b)-(4c-5)
2.计算：
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
解：(2) (x－y－m＋n)(x－y＋m－n)
＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
解：(1) (3a＋b－2)(3a－b＋2)
＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)2－(b－2)2
＝9a2－b2＋4b－4.　
3.当x2-xy=18，xy-y2=-15时，求x2-2xy+y2的值.
解：x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=(x2-xy)-(xy-y2).
因为x2-xy=18，xy-y2=-15，
所以x2-2xy+y2 =18-(-15) =18+15=33.