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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解三角形的基本元素（边、角）及其关系，掌握三角形内角和定理及其推论；5.了解命题、定理、证明的概念，能进行简单的几何推理与证明；
内容分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
学情分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
单元目标 （一）教学目标1.掌握三角形的基本元素及其分类，理解三角形的边角关系；2.掌握三角形内角和定理、外角定理及其推论，并能初步应用；3.了解命题、定理、证明的概念，能写出简单的几何命题并尝试证明；4.初步掌握几何证明的基本步骤和书写规范，发展逻辑推理能力。（二）教学重点、难点重点：1.三角形内角和定理及其应用；2.几何证明的基本结构与书写规范难点：1.几何证明的逻辑推理与语言表达；2.外角定理的理解与应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 三角形中的边角关系313.2 命题与证明4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中边的关系1.通过动手操作和实验探究，理解三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。2.掌握判断三条线段能否组成三角形的方法，并能运用定理解决实际问题。3.培养观察、比较、分析和归纳的数学思维能力，发展空间观念。1.学生能准确表述三角形三边关系定理，并能举例说明。2.能正确判断给定三条线段能否组成三角形，正确率达到85%以上。3.能运用三角形三边关系解决简单的实际问题（如选择木料、计算取值范围等）任务一：给定多组不同长度的小棒，让学生实际操作选择能组成三角形的小棒组合，并记录说明理由。任务二：提供若干组线段长度数据，让学生判断哪些能组成三角形，并说明依据。任务三：设计实际问题情境，让学生运用三边关系解决问题。13.1.2 三角形中角的关系1.通过测量、撕拼等操作活动，发现并验证三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.掌握利用三角形内角和定理求未知角度的方法，并能解决相关问题。3.培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。1.学生能通过实验操作准确得出三角形内角和为180°的结论。2.能正确运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，正确率达到90%以上。3.能解决与三角形内角相关的实际问题（如判断三角形类型、解决角度计算问题等）任务一：提供各种类型的三角形纸片，让学生通过测量或撕拼的方法验证三角形内角和定理。任务二：给出三角形中两个角的度数，让学生计算第三个角的度数，并说明计算依据。任务三：设计实际问题让学生运用三角形内角和定理解决问题。13.1.3 三角形中几条重要线段1.理解三角形的中线、角平分线和高线的定义，掌握它们的性质和作图方法。2.能够识别和画出三角形的中线、角平分线和高线，了解它们的应用。3.培养几何直观和空间想象能力，提高动手操作和解决问题的能力。1.学生能准确说出三角形的中线、角平分线和高线的定义和性质。2.能正确使用尺规作出三角形的中线、角平分线和高线，正确率达到85%以上。3.能运用重要线段的性质解决简单的几何问题（如计算长度、证明等）。任务一：给定一个三角形，让学生用尺规分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高线。任务二：提供几个三角形中的重要线段问题，让学生计算并说明理由。任务三：设计实际问题，让学生运用重要线段的知识解决。13.2命题与证明(第一课时)1.理解命题的概念，能够区分命题与非命题，并能判断命题的真假。2.掌握命题的组成结构，能够将命题改写成“如果...那么...”的形式。3.初步了解证明的必要性，培养逻辑思维能力和严谨的数学态度。1.学生能准确判断一个语句是否为命题，并能区分真命题与假命题。2.能正确分析命题的条件和结论，并能将命题改写成标准形式。3.能通过举反例的方法判断命题的真假，并初步尝试简单的逻辑证明。任务一：给出多个语句，让学生判断哪些是命题，并说明理由。任务二：提供几个简单命题，让学生改写成“如果...那么...”的形式，并指出条件和结论。任务三：设计几个真假命题，让学生判断真假，并通过举反例或简单推理说明理由。13.2命题与证明(第二课时)1.掌握数学证明的基本方法和步骤，能够进行简单的几何证明。2.理解直接证明法的推理过程，能够规范书写证明过程。3.培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯1.学生能准确理解证明的步骤，能够按照规范格式书写证明过程。2.能运用直接证明法完成简单的几何命题证明，正确率达到80%以上。3.能在证明过程中正确使用数学符号和术语，表述清晰、推理严谨。任务一：给出简单几何命题，让学生写出完整的证明过程，包括已知、求证和证明。任务二：提供有缺陷的证明过程，让学生找出错误并改正，说明理由。任务三：设计几个需要证明的几何问题，让学生独立完成证明并相互评价。13.2命题与证明(第三课时)1.掌握三角形内角和定理的证明方法，理解其证明过程。2.理解直角三角形的性质与推论，能够进行相关证明。3.培养逻辑推理能力，掌握几何证明的基本方法和技巧。1.学生能独立完成三角形内角和定理的证明，正确率达到85%以上。2.能运用三角形内角和定理解决角度计算问题，正确率达到90%以上。3.能证明直角三角形的性质与推论，并运用于相关问题解决。任务一：让学生用至少两种方法（如辅助线法、拼图法等）证明三角形内角和等于180°。任务二：给出几个三角形角度计算问题，要求学生运用内角和定理求解并说明理由。任务三：设计直角三角形性质证明题，要求学生完成证明过程。任务四：提供综合应用题，要求学生运用直角三角形性质解决实际问题。13.2命题与证明(第四课时)1.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角定理及其证明方法。2.能够运用外角性质解决角度计算和证明问题。3.掌握外角推论的证明和应用，培养逻辑推理能力。1.学生能准确表述三角形外角定理，正确完成其证明过程。2.能运用外角性质解决角度计算问题，正确率达到85%以上。3.能独立证明外角推论，并运用于几何证明中。任务一：给出三角形图形，让学生指出外角并说明外角定理的内容。任务二：设计角度计算题，要求运用外角定理求解。任务三：提供证明题，要求学生用外角定理证明几何命题。任务四：设计综合应用题，让学生运用外角性质解决实际问题。
《三角形中的边角关系、命题与证明》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究三角形的分类
13.1.1三角形中边的关系
活动3：探究三角形边的基本关系
活动4：例题讲解
活动1：温故知新，引入课题
13.1.2三角形中角的关系
活动2：实验探究，发现内角和定理
活动3：例题讲解与应用
三角形中的边角关系、命题与证明
活动1：创设情境，引入课题
13.1.3三角形中几条重要线段
活动2：分组探究三条重要线段。
活动3：例题讲解
活动1：生活中的判断与推理
13.2命题与证明(第一课时)
活动2：探究命题的结构与类型
活动3：命题的真假判断与证明初探
活动4：例题讲解
活动1：复习巩固，温故知新
活动2：探究证明的方法与步骤
13.2命题与证明(第二课时)
活动3：分组实践，证明训练
三角形中的边角关系、命题与证明
活动4：例题讲解
活动3：探究直角三角形的性质与推论
活动2：证明三角形内角和等于180°
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第三课时)
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第四课时)
活动2：探究三角形外角的推论
活动3：例题讲解
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第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2.2命题与证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解和掌握定理的概念，了解证明（演绎推理）的概念;
01
了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题
02
通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣
03
02
复习旧知
前面已学过的基本事实有：
如:经过两点有且只有一条直线 .
两点之间线段最短 .
经过直线外一点，有且只有一条直线平行于
已知直线.
★所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
02
创设情境
几位小朋友在交流“如何证实一个命题是真命题”时产生了困惑，我们一起来看看吧 ~
03
新知探究
论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式.
要求：
★每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论；
★所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
03
新知探究
有些命题，如“对顶角相等”“同角的补角相等”等，是从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的,并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方法称为演绎推理(或演绎法).
演绎推理的过程,就是演绎证明,简称证明 .
03
新知探究
例3、已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
分析：①已知∠1=∠2；
②∠1=∠3(对顶角相等)；
③学过的判断平行的依据“同位角相等，两直线平行”.
1
2
3
c
a
b
03
新知探究
又因为∠1=∠3，(对顶角相等)
因为∠1=∠2，(已知)
所以∠2=∠3.(等量代换)
所以a∥b.(同位角相等，两直线平行)
证明过程
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
03
新知探究
命题证明的一般步骤:
(1) 分清命题的条件(已知),结论(求证)
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路;
(5)写出证明过程.
归纳
注意数学符号的运用！
03
新知探究
例4、已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
A
O
C
B
E
F
1
2
证明 ∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（已知）
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.（角平分线定义）
又∵∠AOB+∠BOC=180°，（已知）
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC)=90°.（等式性质）
∴OE⊥OF.（垂直的定义）
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列定理的逆命题是假命题的是 ( )
A.内错角相等,两直线平行 B.两直线平行,同旁内角互补
C.同角(或等角)的补角相等 D.对顶角相等
2.如图,下列推论及所注理由正确的是 ( )
A.∵∠1=∠B,∴DE∥BC(两直线平行,同位角相等)
B.∵∠2=∠C,∴DE∥BC(两直线平行,同位角相等)
C.∵∠2+∠3+∠B=180°,∴DE∥BC(同旁内角互补,两直线平行)
D.∵∠4=∠1,∴DE∥BC(对顶角相等)
D
C
3.已知:如图13-2-4,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角.
求证:∠1=∠2.
证明:∵a∥b,( )
∴∠3=∠2.( )
∵∠1=∠3,( )
∴∠1=∠2.( )
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
已知
两直线平行,同位角相等
对顶角相等
等量代换
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知:如图,已知AB⊥AC,DE⊥AC,∠B=∠D.
求证:AD∥BC.
证明:∵AB⊥AC,DE⊥AC,(已知)
∴ ∥ .(在同一平面内,
垂直于同一条直线的两条直线平行)
∴∠B=∠DEC.( )
又∵∠B=∠D,(已知)∴∠D= .(等量代换)
∴AD∥BC.( )
AB
DE
两直线平行,同位角相等
∠DEC
内错角相等,两直线平行
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：∠A＝∠F.
证明：∵∠1＝∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F.
05
课堂小结
命题的证明
定理：
演绎推理：
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
证明：
演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
命题“对顶角相等”是( D )
A. 角的定义 B. 假命题
C. 基本事实 D. 定理
2. 下列说法正确的是( A )
A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题
D
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.在括号内填写推理依据：
如图， AB ⊥ BC ， BC ⊥ CD ，∠1＝∠2，∠ E ＝62°，求∠ F 的度数.
解：∵ AB ⊥ BC ， BC ⊥ CD ，(已知)
∴∠ ABC ＝∠ BCD ＝90°.( )
又∵∠1＝∠2，(已知)
∴∠ EBC ＝∠ BCF . ( )
∴ EB ∥ CF . ( )
∴∠ F ＝∠ E . ( )
∵∠ E ＝62°，(已知)
∴∠ F ＝62°.(等量代换)
垂直的定义
等式的性质
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.在下面的括号内，填上推理的根据：
已知：如图，∠A＋∠B＝180°，求证：∠C＋∠D＝180°.
证明：∵∠A＋∠B＝180°(__________)，
∴AD∥BC(______________________________)．
∴∠C＋∠D＝180°(________________________________)．
已知
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
06
作业布置
5.如图，已知∠B＝65°，∠EAC＝130°，AD平分∠EAC，能否判断AD∥BC？为什么？
【综合拓展类作业】
解：AD∥BC.理由如下：
∵AD平分∠EAC，∠EAC＝130°，
∴∠EAD＝ ∠EAC＝65°(角平分线定义)．
∵∠B＝65°(已知)，
∴∠EAD＝∠B(等量代换)．
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．
Thanks!
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13.2.2命题与证明教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 13
课题 13.2.2命题与证明 课时 2
教材分析 本节以证明的逻辑与格式为核心，教材通过典型命题（如平行线、三角形性质）引导学生理解证明的必要性，强调“已知-求证-证明”三步骤，注重严谨性与规范性。内容层层递进，从直接证明到间接推理，突出反例的作用，为后续几何证明打下基础。
学情 分析 学生已初步接触命题概念，但逻辑思维尚不成熟，易混淆条件与结论。部分学生缺乏条理性，书写证明时逻辑跳跃。需通过实例化解抽象性，强化步骤训练，同时关注个体差异，帮助克服畏难情绪，逐步建立证明信心。
核心素养目标 1. 理解和掌握定理的概念，了解证明（演绎推理）的概念； 2.了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题 3.通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的探索精神，培养学习数学的兴趣
教学重点 理解和掌握定理的概念，了解证明（演绎推理）的概念
教学难点 了解证明的基本步骤和书写格式，能运用已学过的几何知识证明一些简单的几何问题
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 前面已学过的基本事实有： 如：经过两点有且只有一条直线 . 两点之间线段最短 . 经过直线外一点，有且只有一条直线平行于 已知直线. 所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 几位小朋友在交流“如何证实一个命题是真命题”时产生了困惑，我们一起来看看吧 ~ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式. 要求： 每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论； 所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实. 有些命题，如“对顶角相等”“同角的补角相等”等，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明 已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2. 求证：a∥b. 证明： 因为∠1=∠2，(已知) 又因为∠1=∠3，(对顶角相等) 所以∠2=∠3.(等量代换) 所以a∥b.(同位角相等，两直线平行) 归纳 命题证明的一般步骤： (1) 分清命题的条件(已知)，结论(求证) (2)根据题意，画出图形； (3)结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”； (4)分析题意，探索证明思路； (5)写出证明过程. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例4、已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求证：OE⊥OF. 证明 ∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（已知） ∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.（角平分线定义） 又∵∠AOB+∠BOC=180°，（已知） ∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC)=90°.（等式性质） ∴OE⊥OF.（垂直的定义） 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.下列定理的逆命题是假命题的是 ( ) A.内错角相等，两直线平行 B.两直线平行，同旁内角互补 C.同角(或等角)的补角相等 D.对顶角相等 2.如图，下列推论及所注理由正确的是 ( ) A.∵∠1=∠B，∴DE∥BC(两直线平行，同位角相等) B.∵∠2=∠C，∴DE∥BC(两直线平行，同位角相等) C.∵∠2+∠3+∠B=180°，∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行) D.∵∠4=∠1，∴DE∥BC(对顶角相等) 3.已知：如图13-2-4，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 证明：∵a∥b，( ) ∴∠3=∠2.( ) ∵∠1=∠3，( ) ∴∠1=∠2.( ) 4.已知：如图，已知AB⊥AC，DE⊥AC，∠B=∠D. 求证：AD∥BC. 证明：∵AB⊥AC，DE⊥AC，(已知) ∴ ∥ .(在同一平面内， 垂直于同一条直线的两条直线平行) ∴∠B=∠DEC.( ) 又∵∠B=∠D，(已知)∴∠D= .(等量代换) ∴AD∥BC.( ) 5.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：∠A＝∠F. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.定理 2.演绎推理 3.证明的步骤 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.命题“对顶角相等”是( ) A. 角的定义 B. 假命题 C. 基本事实 D. 定理 2. 下列说法正确的是( ) A命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 3.在括号内填写推理依据： 如图， AB ⊥ BC ， BC ⊥ CD ，∠1＝∠2，∠ E ＝62°，求∠ F 的度数. 解：∵ AB ⊥ BC ， BC ⊥ CD ，(已知) ∴∠ ABC ＝∠ BCD ＝90°.( ) 又∵∠1＝∠2，(已知) ∴∠ EBC ＝∠ BCF . ( ) ∴ EB ∥ CF . ( ) ∴∠ F ＝∠ E . ( ) ∵∠ E ＝62°，(已知) ∴∠ F ＝62°.(等量代换) 4.在下面的括号内，填上推理的根据： 已知：如图，∠A＋∠B＝180°，求证：∠C＋∠D＝180°. 证明：∵∠A＋∠B＝180°(__________)， ∴AD∥BC(______________________________)． ∴∠C＋∠D＝180°(__________________)． 5.如图，已知∠B＝65°，∠EAC＝130°，AD平分∠EAC，能否判断AD∥BC？为什么？
教学反思 本节课通过案例剖析和互动探究，学生基本掌握证明格式，但部分学生仍机械模仿，未真正理解逻辑关联。未来需增加生活化实例，激发兴趣；加强小组互评，深化思维训练；注重错误分析，引导自主纠偏，提升推理能力。
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