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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解三角形的基本元素（边、角）及其关系，掌握三角形内角和定理及其推论；5.了解命题、定理、证明的概念，能进行简单的几何推理与证明；
内容分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
学情分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
单元目标 （一）教学目标1.掌握三角形的基本元素及其分类，理解三角形的边角关系；2.掌握三角形内角和定理、外角定理及其推论，并能初步应用；3.了解命题、定理、证明的概念，能写出简单的几何命题并尝试证明；4.初步掌握几何证明的基本步骤和书写规范，发展逻辑推理能力。（二）教学重点、难点重点：1.三角形内角和定理及其应用；2.几何证明的基本结构与书写规范难点：1.几何证明的逻辑推理与语言表达；2.外角定理的理解与应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 三角形中的边角关系313.2 命题与证明4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中边的关系1.通过动手操作和实验探究，理解三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。2.掌握判断三条线段能否组成三角形的方法，并能运用定理解决实际问题。3.培养观察、比较、分析和归纳的数学思维能力，发展空间观念。1.学生能准确表述三角形三边关系定理，并能举例说明。2.能正确判断给定三条线段能否组成三角形，正确率达到85%以上。3.能运用三角形三边关系解决简单的实际问题（如选择木料、计算取值范围等）任务一：给定多组不同长度的小棒，让学生实际操作选择能组成三角形的小棒组合，并记录说明理由。任务二：提供若干组线段长度数据，让学生判断哪些能组成三角形，并说明依据。任务三：设计实际问题情境，让学生运用三边关系解决问题。13.1.2 三角形中角的关系1.通过测量、撕拼等操作活动，发现并验证三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.掌握利用三角形内角和定理求未知角度的方法，并能解决相关问题。3.培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。1.学生能通过实验操作准确得出三角形内角和为180°的结论。2.能正确运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，正确率达到90%以上。3.能解决与三角形内角相关的实际问题（如判断三角形类型、解决角度计算问题等）任务一：提供各种类型的三角形纸片，让学生通过测量或撕拼的方法验证三角形内角和定理。任务二：给出三角形中两个角的度数，让学生计算第三个角的度数，并说明计算依据。任务三：设计实际问题让学生运用三角形内角和定理解决问题。13.1.3 三角形中几条重要线段1.理解三角形的中线、角平分线和高线的定义，掌握它们的性质和作图方法。2.能够识别和画出三角形的中线、角平分线和高线，了解它们的应用。3.培养几何直观和空间想象能力，提高动手操作和解决问题的能力。1.学生能准确说出三角形的中线、角平分线和高线的定义和性质。2.能正确使用尺规作出三角形的中线、角平分线和高线，正确率达到85%以上。3.能运用重要线段的性质解决简单的几何问题（如计算长度、证明等）。任务一：给定一个三角形，让学生用尺规分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高线。任务二：提供几个三角形中的重要线段问题，让学生计算并说明理由。任务三：设计实际问题，让学生运用重要线段的知识解决。13.2命题与证明(第一课时)1.理解命题的概念，能够区分命题与非命题，并能判断命题的真假。2.掌握命题的组成结构，能够将命题改写成“如果...那么...”的形式。3.初步了解证明的必要性，培养逻辑思维能力和严谨的数学态度。1.学生能准确判断一个语句是否为命题，并能区分真命题与假命题。2.能正确分析命题的条件和结论，并能将命题改写成标准形式。3.能通过举反例的方法判断命题的真假，并初步尝试简单的逻辑证明。任务一：给出多个语句，让学生判断哪些是命题，并说明理由。任务二：提供几个简单命题，让学生改写成“如果...那么...”的形式，并指出条件和结论。任务三：设计几个真假命题，让学生判断真假，并通过举反例或简单推理说明理由。13.2命题与证明(第二课时)1.掌握数学证明的基本方法和步骤，能够进行简单的几何证明。2.理解直接证明法的推理过程，能够规范书写证明过程。3.培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯1.学生能准确理解证明的步骤，能够按照规范格式书写证明过程。2.能运用直接证明法完成简单的几何命题证明，正确率达到80%以上。3.能在证明过程中正确使用数学符号和术语，表述清晰、推理严谨。任务一：给出简单几何命题，让学生写出完整的证明过程，包括已知、求证和证明。任务二：提供有缺陷的证明过程，让学生找出错误并改正，说明理由。任务三：设计几个需要证明的几何问题，让学生独立完成证明并相互评价。13.2命题与证明(第三课时)1.掌握三角形内角和定理的证明方法，理解其证明过程。2.理解直角三角形的性质与推论，能够进行相关证明。3.培养逻辑推理能力，掌握几何证明的基本方法和技巧。1.学生能独立完成三角形内角和定理的证明，正确率达到85%以上。2.能运用三角形内角和定理解决角度计算问题，正确率达到90%以上。3.能证明直角三角形的性质与推论，并运用于相关问题解决。任务一：让学生用至少两种方法（如辅助线法、拼图法等）证明三角形内角和等于180°。任务二：给出几个三角形角度计算问题，要求学生运用内角和定理求解并说明理由。任务三：设计直角三角形性质证明题，要求学生完成证明过程。任务四：提供综合应用题，要求学生运用直角三角形性质解决实际问题。13.2命题与证明(第四课时)1.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角定理及其证明方法。2.能够运用外角性质解决角度计算和证明问题。3.掌握外角推论的证明和应用，培养逻辑推理能力。1.学生能准确表述三角形外角定理，正确完成其证明过程。2.能运用外角性质解决角度计算问题，正确率达到85%以上。3.能独立证明外角推论，并运用于几何证明中。任务一：给出三角形图形，让学生指出外角并说明外角定理的内容。任务二：设计角度计算题，要求运用外角定理求解。任务三：提供证明题，要求学生用外角定理证明几何命题。任务四：设计综合应用题，让学生运用外角性质解决实际问题。
《三角形中的边角关系、命题与证明》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究三角形的分类
13.1.1三角形中边的关系
活动3：探究三角形边的基本关系
活动4：例题讲解
活动1：温故知新，引入课题
13.1.2三角形中角的关系
活动2：实验探究，发现内角和定理
活动3：例题讲解与应用
三角形中的边角关系、命题与证明
活动1：创设情境，引入课题
13.1.3三角形中几条重要线段
活动2：分组探究三条重要线段。
活动3：例题讲解
活动1：生活中的判断与推理
13.2命题与证明(第一课时)
活动2：探究命题的结构与类型
活动3：命题的真假判断与证明初探
活动4：例题讲解
活动1：复习巩固，温故知新
活动2：探究证明的方法与步骤
13.2命题与证明(第二课时)
活动3：分组实践，证明训练
三角形中的边角关系、命题与证明
活动4：例题讲解
活动3：探究直角三角形的性质与推论
活动2：证明三角形内角和等于180°
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第三课时)
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第四课时)
活动2：探究三角形外角的推论
活动3：例题讲解
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第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2.1命题与证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过具体实例，了解命题的意义
01
通过具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立
02
理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件和结论，知道反例的作用于意义
03
02
复习旧知
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形
2.什么是三角形？
3.什么是三角形角平分线？
三角形中,一个角的平分线与这个角对边相交， 顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数
像这样，能明确界定某个对象含义的语句叫作定义
02
创设情境
研究几何图形,如果仅限于观察、操作和实验等方法,难以使人确信结果的正确性,比如上一节研究三角形性质时，通过折叠、剪拼或度量得到三角形三个内角的和是180°(图中是剪拼).
02
创设情境
对于上面的结果,如果有同学提出以下疑问:
(1)在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值;
(2)度量三个角,然后相加,有的接近179°,有的接近181°,不是很准确地都得180°.
你能回答上面的问题吗？
学习几何需要观察和实验,同时也需要学会推理.从这一章起我们将系统学习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证.
03
新知探究
推理是一种思维活动。人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断。判断是通过语言来表达的，例如：
（1）北京是中华人民共和国的首都；
（2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2；
（3）1+1<2;
（4）如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除.
从上面各语句中可以看出，人们对于客观事物的判断可能是正确的，也可能是错误的.上述语句（１）（２）（４）是正确的判断，（３）是错误的判断．
03
新知探究
对某一件事情作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫命题。
（1）正确的命题叫真命题。
（2）错误的命题叫假命题。
03
新知探究
(1)你的作业做完了吗
(2)欢迎前来参观!
(3)以点О为圆心，3 cm长为半径画弧.
下面语句是命题吗？
像这样对某一事件的正确与否没有给出任何判断就不是命题.
思考
注意：祈使句、疑问句、感叹句都不是命题.
判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
（1）对顶角相等吗？
小试牛刀
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由：（1）是问句，故不是命题；
（2）是做一件事情没有进行判断，也不是命题.
03
新知探究
数学命题通常由题设和结论两部分组成，命题通常写成“如果……那么……”的形式.
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件
结论
命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
03
新知探究
命题的一般形式：如果p，那么q（若p，则q），其中p是条件（或题设），q是结论（或题断）
有时为了叙述简便,也可以省略关联词“如果”“那么”.
如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”.
03
新知探究
归纳
将命题“如果p，那么q”中的条件和结论互换，得到一个新命题”如果q ，那么p“，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。
03
新知探究
如果原命题正确，那么它的逆命题也正确吗？你能举例说明吗？
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
例如“如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题.
它的逆命题“如果∠1=∠2 ，那么∠1与∠2是对顶角”是假命题.
怎样说明这个命题是假的呢？只要举出一个例子即可．
如图,画出一个角的平分线后,可得∠1 =∠2,显然,这里∠1与∠2不是对顶角.
03
新知探究
像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.
要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.
归纳
03
新知探究
例1 指出下列命题的条件与结论：
(1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；
(2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等.
解：(1)条件：两条直线都平行于同一条直线，
结论：两条直线平行.
(2)条件：∠A=∠B，
结论：∠A的补角与∠B的补角相等.
03
新知探究
例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例：
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果a=0，那么ab=0.
解：(1)两直线平行，内错角相等.
(2)如果ab=0，那么a=0.
真命题
假命题
反例，当a=1，b=0时，ab=0.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.有下列命题:①对顶角相等;②在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等.其中假命题有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列命题中，是真命题的是( )
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．在平面直角坐标系内，点P(－2,3)到x轴的距离等于2
C．无限小数都是无理数
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3. 命题“如果 a ＋ b ＞0，那么 a ＞0， b ＞0”的逆命题是 命题.
(填“真”或“假”)
真
4．在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是________________，结论是________________；它的逆命题是：__________________________，该逆命题是_____(“真”/“假”)命题.
同位角相等
两直线平行
两直线平行，同位角相等
真
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
(3) 大于 90° 的角是钝角；
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
(3) 180° 的角大于 90°，但 180° 不是钝角，而是平角．
05
课堂小结
命题
定义
组成
分类
若p,则q”,其中p是这个命题的条件(或题设),
q是这个命题的结论(或题断).
对某一事件作出正确或不正确判断的语句
正确的命题叫做真命题;
错误的命题叫做假命题.
互逆命题
将命题的条件与结论互换,便得到一个新命题,这样
的两个命题称为互逆命题.其中一个叫做原命题;
另一个就叫做原命题的逆命题.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( )
C
2.下列语句中，不是命题的有( C )
①作线段BC的垂直平分线；②延长线段AB到C；③已知∠AOB＝36°，求它的补角的度数；④若a2＝b2，则a＝b.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.有下列语句:(1)内错角相等吗 (2)好美丽的彩虹!(3)过一点作已知直线的垂线;(4)同旁内角互补.其中是命题的是 .(填序号)
4.命题“如果∠1=∠2,∠2=∠3,那么∠1=∠3”的题设是 ,题断是 ,它是 (填
“真”或“假”)命题.
(4)
∠1=∠2,∠2=∠3
∠1=∠3
真
Thanks!
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13.2.1命题与证明教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 13
课题 13.2.1命题与证明 课时 1
教材分析 本节“命题与证明”是初中几何的逻辑基础，教材通过生活实例引入命题概念，区分真命题与假命题，并初步介绍证明的必要性。内容编排由浅入深，注重直观到抽象的过渡，但证明方法的规范性要求较高，需教师细化引导。
学情 分析 学生已具备三角形基本概念，但对复杂几何语言和抽象性质理解仍存困难，命题的学习是学生学习用几何语言进行推理证明的基础，是从直观到抽象的过渡。而现阶段学生思维更多依赖具体直观的形象，学习抽象知识较为困难，为此课堂上多从学生熟悉的事物入手，引起学生兴趣，鼓励学生积极思考，逐步掌握命题的相关知识。
核心素养目标 1. 通过具体实例，了解命题的意义 2. 通过具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立 3. 理解命题、真命题、假命题的意义，会区分命题的条件和结论，知道反例的作用与意义
教学重点 区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题
教学难点 会区分命题的条件和结论
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1.什么是有理数？ 2.什么是三角形？ 3.什么是三角形角平分线？ 像这样，能明确界定某个对象含义的语句叫作定义 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 研究几何图形，如果仅限于观察、操作和实验等方法，难以使人确信结果的正确性，比如上一节研究三角形性质时，通过折叠、剪拼或度量得到三角形三个内角的和是180°(图中是剪拼）. 对于上面的结果，如果有同学提出以下疑问： (1)在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平角，只是接近180°的某个值； (2)度量三个角，然后相加，有的接近179°，有的接近181°，不是很准确地都得180°. 你能回答上面的问题吗？ 学习几何需要观察和实验，同时也需要学会推理.从这一章起我们将系统学习用逻辑推理方法对几何中的结论进行论证. 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 推理是一种思维活动。人们在思维活动中，常要对事物的情况作出种种判断。判断是通过语言来表达的，例如： （1）北京是中华人民共和国的首都； （2）如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2； （3）1+1<2； （4）如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数，那么这个数能被3整除. 从上面各语句中可以看出，人们对于客观事物的判断可能是正确的，也可能是错误的.上述语句（1）（2）（4）是正确的判断，（3）是错误的判断． 对某一件事情作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫命题。 （1）正确的命题叫真命题。 （2）错误的命题叫假命题。 思考 下面语句是命题吗？ (1)你的作业做完了吗？ (2)欢迎前来参观! (3)以点О为圆心，3 cm长为半径画弧. 像这样对某一事件的正确与否没有给出任何判断就不是命题. 小试牛刀： 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由： (1)对顶角相等吗？ (2)画一条线段AB=2cm; (3)两条直线平行，同位角相等； (4)相等的两个角，一定是对顶角。 注意：祈使句、疑问句、感叹句都不是命题. 数学命题通常由题设和结论两部分组成，命题通常写成“如果……那么……”的形式. 命题都可以写成“如果……那么……”的形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论. 命题的一般形式：如果p，那么q（若p，则q），其中p是条件（或题设），q是结论（或题断） 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”“那么”. 如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”. 归纳： 将命题“如果p，那么q”中的条件和结论互换，得到一个新命题”如果q ，那么p“，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。 如果原命题正确，那么它的逆命题也正确吗？你能举例说明吗？ 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题 例如“如果∠1与∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题. 它的逆命题“如果∠1=∠2 ，那么∠1与∠2是对顶角”是假命题. 怎样说明这个命题是假的呢？只要举出一个例子即可． 如图，画出一个角的平分线后，可得∠1 =∠2，显然，这里∠1与∠2不是对顶角. 归纳： 像这种符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例，要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可. 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
四、变式 师生互动，变式深化 例1 指出下列命题的条件与结论： (1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行； (2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等. 解：(1)条件：两条直线都平行于同一条直线， 结论：两条直线平行. (2)条件：∠A=∠B， 结论：∠A的补角与∠B的补角相等. 例2 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命题的真假，如果是假命题，请举一个反例： (1)内错角相等，两直线平行； (2)如果a=0，那么ab=0. 解：(1)两直线平行，内错角相等. 真命题 (2)如果ab=0，那么a=0. 假命题 反例，当a=1，b=0时，ab=0., 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.有下列命题:①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列命题中，是真命题的是( ) A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．在平面直角坐标系内，点P(－2，3)到x轴的距离等于2 C．无限小数都是无理数 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 3. 命题“如果 a ＋ b ＞0，那么 a ＞0， b ＞0”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”) 4．在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是________________，结论是________________；它的逆命题是：__________________________，该逆命题是_____(“真”/“假”)命题. 5.举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab＝0，则a＋b＝0. (3) 大于 90° 的角是钝角； 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
六、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1. 什么是命题？ 2. 区分真假命题？ 3. 反例 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是( ) 2.下列语句中，不是命题的有( C ) ①作线段BC的垂直平分线；②延长线段AB到C；③已知∠AOB＝36°，求它的补角的度数；④若a2＝b2，则a＝b. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.有下列语句:(1)内错角相等吗 (2)好美丽的彩虹!(3)过一点作已知直线的垂线；(4)同旁内角互补.其中是命题的是 .(填序号) 4.命题“如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3”的题设是 ，题断是 ，它是 (填 “真”或“假”)命题.
教学反思 本节课应强化学生自主探究，鼓励多样化的证明方法，在操作中渗透转化与归纳思想。需关注学生思维盲点，及时点拨引导，同时联系生活实例增强应用意识，提升逻辑推理与解决实际问题的能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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