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13.2.3命题与证明教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 13
课题 13.2.3命题与证明 课时 3
教材分析 本节教材以“三角形内角和定理”为核心，从直观剪拼到严格证明，引导学生体会数学的严谨性。其编排遵循从实验几何到论证几何的过渡，重点突出了证明的必要性和基本方法（如添加辅助线）。教材通过定理的证明与应用，旨在培养学生的逻辑推理能力和转化思想，为后续学习四边形、相似形等内容奠定了坚实的理论基础。
学情 分析 学生在小学已通过操作感知内角和为180°，具备一定的直观基础，但缺乏严谨的证明能力。进入初中，他们正处在从感性认知向理性逻辑转变的关键期。部分学生对抽象证明感到困难，尤其是辅助线的添加感到突兀。教学中需搭建“脚手架”，引导学生理解证明思路的来源，化解思维难点，激发其探究欲望，逐步适应逻辑推理的要求。
核心素养目标 1.掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2 2.了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处 3.经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力
教学重点 掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2
教学难点 辅助线的添加
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 回想一下证明的一般步骤是什么？ ①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)； ②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固上节内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 我们之前通过剪拼或者测量，认识到三角形内角和为180°，但是实际的操作中总是有一些误差，这节课，我们将给出严谨的证明过程，证明三角形内角和为180°.并得到直角三角形的内角关系. 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证. 命题：三角形的内角和等于180°. 已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：延长BC到D，过点C作CE∥AB， 如图13-2-7， ∴∠1=∠ ，( ) ∠2=∠ ，( ) ∵∠ +∠ +∠ACB=180°，( ) ∴∠ +∠ +∠ACB=180°.( ) 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结：为了证明三个角的和为180°，将三个内角转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法. 在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和应为90°. 推论1：直角三角形的两个锐角互余． 应用格式：在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠A +∠B =90°． 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论． 在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠A+∠B=90°， ∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°. 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 应用格式：在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90°， ∴△ABC 是直角三角形°． 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式 师生互动，变式深化 例、已知：△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C =180°. 证明：D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF ∥ AC，分别交AC，AB于点E，F. ∵DE∥AB，DF∥AC， ∴∠A=∠4 ，∠B=∠3 ，( ) ∠C=∠1 . ( ) ∠2=∠4 . ( ) ∴∠2=∠A . ( ) ∵∠1＋∠ 2＋∠3 =180°，( ) ∴∠B＋∠ BAC＋∠C =180°. (等量代换) 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( ) A.90° B.135° C.270° D.315° 2.在△ABC中，若∠A=40°，∠B=100°，则∠C的度数为 ( ) A.70° B.60° C.50° D.40° 3.如图，AD⊥BC，垂足为D，点E在AC上，且∠A=30°， ∠B=40°，则∠BFD的度数为 ，∠C的度数为 . 4.如图，∠1= °. 5.如图，AD、BE分别是BC、AC边上的高，O是AD、BE的交点，若∠AOB＝∠C＋20°.求∠OBD、∠C. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 1.三角形内角和定理的证明 2.三角形内角和定理的推论1和推论2 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书设计
作业设计 1.一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，这个三角形一定( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 2. 如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（ ） A.60 ° B.65 C.75 ° D.80 ° 3.如图，把△ABC沿直线DE翻折，若∠1＋∠2＝70°，则∠B＝ . 4.在Rt△ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝2∶ m ∶4，则 m 的的值是 . 5.已知：如图所示，△ABC中，∠AFB=135°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，试证明△ABC为直角三角形．
教学反思 本节课成功引导学生完成了从实验猜想到逻辑证明的跨越。通过动手操作激发了兴趣，但证明环节部分学生思维受阻。今后需更细致地剖析添加辅助线的动机，采用问题串引导学生自主发现证明思路。同时，应增加变式练习，帮助学生灵活应用定理，并渗透“转化”的数学思想，使知识掌握得更系统、更深刻。
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第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2.3命题与证明
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，理解和掌握三角形内角和定理的推论1和推论2
01
了解辅助线的概念，理解辅助线在解题过程中的用处
02
经历思考、操作、推理等学习活动，培养学生的推理能力和表达能力
03
02
复习旧知
回想一下证明的一般步骤是什么？
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
02
创设情境
我们之前通过剪拼或者测量，认识到三角形内角和为180°，但是实际的操作中总是有一些误差，这节课，我们将给出严谨的证明过程，证明三角形内角和为180°.并得到直角三角形的内角关系.
03
新知探究
在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证.
命题：三角形的内角和等于180°.
已知：△ABC， 求证：∠A+∠B+∠C=180°
03
新知探究
证明:延长BC到D,过点C作CE∥AB,
如图13-2-7,
∴∠1=∠ ,
( )
∠2=∠ ,( )
∵∠ +∠ +∠ACB=180°,( )
∴∠ +∠ +∠ACB=180°.( )
A
两直线平行,内错角相等
B
两直线平行,同位角相等
1
2
平角的定义
A
B
等量代换
03
新知探究
思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
E
2
1
D
A
B
C
辅助线
03
新知探究
直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°．
推论1：
A
C
B
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论．
在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和应为90°.
03
新知探究
在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形°．
A
C
B
03
新知探究
4
2
C
B
A
1
3
证明:D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF ∥ AC，分别交AC，AB于点E，F.
∴∠A=∠4 ，∠B=∠3 ，( )
∴∠2=∠A . ( )
∵∠1＋∠ 2＋∠3 =180°，( )
∴∠B＋∠ BAC＋∠C =180°. (等量代换)
平角定义
两直线平行，同位角相等
例、已知：△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C =180°.
∵DE∥AB，
DF∥AC，
∠C=∠1 . ( )
∠2=∠4 . ( )
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等量代换
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于( )
A.90° B.135° C.270° D.315°
2.在△ABC中,若∠A=40°,∠B=100°,则∠C的度数为 ( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
C
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图,AD⊥BC,垂足为D,点E在AC上,且∠A=30°, ∠B=40°,则∠BFD的度数为 ,∠C的度数为 .
4.如图,∠1= °.
50°
60°
10
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图，AD、BE分别是BC、AC边上的高，O是AD、BE的交点，若∠AOB＝∠C＋20°.求∠OBD、∠C.
解:∵∠AOB＋∠BOD＝180°(平角的定义)，
∠BDO＋∠OBD＋∠BOD＝180°
(三角形内角和定理)，
∴∠AOB＝∠BDO＋∠OBD＝90°＋∠OBD＝∠C＋20°(等式性质).
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
又∵∠OBD＋∠C＝90°(直角三角形的两锐角互余)，
∴∠C＝90°－∠OBD(等式性质)，
∴90°＋∠OBD＝90°－∠OBD＋20°(等量代换)，
∴∠OBD＝10°，∠C＝80°.
05
课堂小结
三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：
三角形内角和定理推论1：
三角形的内角和等于180°.
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和定理推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.一个三角形三个内角的度数之比为2∶4∶6，这个三角形一定( A )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
2. 如图，AB∥CD，∠A+∠E=75°，则∠C为（ ）
A.60 ° B.65 ° C.75 ° D.80 °
A
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，把△ABC沿直线DE翻折，若∠1＋∠2＝70°，则∠B＝ 35° .
4.在Rt△ ABC 中，∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝2∶ m ∶4，则 m 的的值是 .
35°
2或6
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.已知：如图所示，△ABC中，∠AFB=135°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，试证明△ABC为直角三角形．
证明：∵在△AFB中，∠AFB=135°，(已知)
∴∠FAB+∠FBA=180°-135°=45°(三角形内角和定理)
∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，(已知)
∴∠CAB=2∠FAB，∠CBA=2∠FBA(角平分线的性质)
∴∠CAB+∠CBA=2(∠FAB+∠FBA)=90°，(等量代换)
∴△ABC为直角三角形．(有两个角互余的三角形是直角三角形)
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解三角形的基本元素（边、角）及其关系，掌握三角形内角和定理及其推论；5.了解命题、定理、证明的概念，能进行简单的几何推理与证明；
内容分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
学情分析 本章是初中几何推理与证明的入门章节，内容涵盖三角形的基本性质、边角关系、命题结构与证明方法。学生将通过观察、操作、推理等活动，理解三角形内角和定理、外角定理、三边关系等基本结论，并初步接触几何证明的书写规范与逻辑结构，为后续学习全等三角形、相似三角形等打下基础。
单元目标 （一）教学目标1.掌握三角形的基本元素及其分类，理解三角形的边角关系；2.掌握三角形内角和定理、外角定理及其推论，并能初步应用；3.了解命题、定理、证明的概念，能写出简单的几何命题并尝试证明；4.初步掌握几何证明的基本步骤和书写规范，发展逻辑推理能力。（二）教学重点、难点重点：1.三角形内角和定理及其应用；2.几何证明的基本结构与书写规范难点：1.几何证明的逻辑推理与语言表达；2.外角定理的理解与应用。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1 三角形中的边角关系313.2 命题与证明4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1.1三角形中边的关系1.通过动手操作和实验探究，理解三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边。2.掌握判断三条线段能否组成三角形的方法，并能运用定理解决实际问题。3.培养观察、比较、分析和归纳的数学思维能力，发展空间观念。1.学生能准确表述三角形三边关系定理，并能举例说明。2.能正确判断给定三条线段能否组成三角形，正确率达到85%以上。3.能运用三角形三边关系解决简单的实际问题（如选择木料、计算取值范围等）任务一：给定多组不同长度的小棒，让学生实际操作选择能组成三角形的小棒组合，并记录说明理由。任务二：提供若干组线段长度数据，让学生判断哪些能组成三角形，并说明依据。任务三：设计实际问题情境，让学生运用三边关系解决问题。13.1.2 三角形中角的关系1.通过测量、撕拼等操作活动，发现并验证三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。2.掌握利用三角形内角和定理求未知角度的方法，并能解决相关问题。3.培养动手操作能力、空间想象能力和逻辑推理能力。1.学生能通过实验操作准确得出三角形内角和为180°的结论。2.能正确运用三角形内角和定理计算三角形中未知角的度数，正确率达到90%以上。3.能解决与三角形内角相关的实际问题（如判断三角形类型、解决角度计算问题等）任务一：提供各种类型的三角形纸片，让学生通过测量或撕拼的方法验证三角形内角和定理。任务二：给出三角形中两个角的度数，让学生计算第三个角的度数，并说明计算依据。任务三：设计实际问题让学生运用三角形内角和定理解决问题。13.1.3 三角形中几条重要线段1.理解三角形的中线、角平分线和高线的定义，掌握它们的性质和作图方法。2.能够识别和画出三角形的中线、角平分线和高线，了解它们的应用。3.培养几何直观和空间想象能力，提高动手操作和解决问题的能力。1.学生能准确说出三角形的中线、角平分线和高线的定义和性质。2.能正确使用尺规作出三角形的中线、角平分线和高线，正确率达到85%以上。3.能运用重要线段的性质解决简单的几何问题（如计算长度、证明等）。任务一：给定一个三角形，让学生用尺规分别作出它的三条中线、三条角平分线和三条高线。任务二：提供几个三角形中的重要线段问题，让学生计算并说明理由。任务三：设计实际问题，让学生运用重要线段的知识解决。13.2命题与证明(第一课时)1.理解命题的概念，能够区分命题与非命题，并能判断命题的真假。2.掌握命题的组成结构，能够将命题改写成“如果...那么...”的形式。3.初步了解证明的必要性，培养逻辑思维能力和严谨的数学态度。1.学生能准确判断一个语句是否为命题，并能区分真命题与假命题。2.能正确分析命题的条件和结论，并能将命题改写成标准形式。3.能通过举反例的方法判断命题的真假，并初步尝试简单的逻辑证明。任务一：给出多个语句，让学生判断哪些是命题，并说明理由。任务二：提供几个简单命题，让学生改写成“如果...那么...”的形式，并指出条件和结论。任务三：设计几个真假命题，让学生判断真假，并通过举反例或简单推理说明理由。13.2命题与证明(第二课时)1.掌握数学证明的基本方法和步骤，能够进行简单的几何证明。2.理解直接证明法的推理过程，能够规范书写证明过程。3.培养逻辑推理能力和严谨的数学思维习惯1.学生能准确理解证明的步骤，能够按照规范格式书写证明过程。2.能运用直接证明法完成简单的几何命题证明，正确率达到80%以上。3.能在证明过程中正确使用数学符号和术语，表述清晰、推理严谨。任务一：给出简单几何命题，让学生写出完整的证明过程，包括已知、求证和证明。任务二：提供有缺陷的证明过程，让学生找出错误并改正，说明理由。任务三：设计几个需要证明的几何问题，让学生独立完成证明并相互评价。13.2命题与证明(第三课时)1.掌握三角形内角和定理的证明方法，理解其证明过程。2.理解直角三角形的性质与推论，能够进行相关证明。3.培养逻辑推理能力，掌握几何证明的基本方法和技巧。1.学生能独立完成三角形内角和定理的证明，正确率达到85%以上。2.能运用三角形内角和定理解决角度计算问题，正确率达到90%以上。3.能证明直角三角形的性质与推论，并运用于相关问题解决。任务一：让学生用至少两种方法（如辅助线法、拼图法等）证明三角形内角和等于180°。任务二：给出几个三角形角度计算问题，要求学生运用内角和定理求解并说明理由。任务三：设计直角三角形性质证明题，要求学生完成证明过程。任务四：提供综合应用题，要求学生运用直角三角形性质解决实际问题。13.2命题与证明(第四课时)1.理解三角形外角的定义，掌握三角形外角定理及其证明方法。2.能够运用外角性质解决角度计算和证明问题。3.掌握外角推论的证明和应用，培养逻辑推理能力。1.学生能准确表述三角形外角定理，正确完成其证明过程。2.能运用外角性质解决角度计算问题，正确率达到85%以上。3.能独立证明外角推论，并运用于几何证明中。任务一：给出三角形图形，让学生指出外角并说明外角定理的内容。任务二：设计角度计算题，要求运用外角定理求解。任务三：提供证明题，要求学生用外角定理证明几何命题。任务四：设计综合应用题，让学生运用外角性质解决实际问题。
《三角形中的边角关系、命题与证明》单元教学设计
活动1：引入课题
活动2：探究三角形的分类
13.1.1三角形中边的关系
活动3：探究三角形边的基本关系
活动4：例题讲解
活动1：温故知新，引入课题
13.1.2三角形中角的关系
活动2：实验探究，发现内角和定理
活动3：例题讲解与应用
三角形中的边角关系、命题与证明
活动1：创设情境，引入课题
13.1.3三角形中几条重要线段
活动2：分组探究三条重要线段。
活动3：例题讲解
活动1：生活中的判断与推理
13.2命题与证明(第一课时)
活动2：探究命题的结构与类型
活动3：命题的真假判断与证明初探
活动4：例题讲解
活动1：复习巩固，温故知新
活动2：探究证明的方法与步骤
13.2命题与证明(第二课时)
活动3：分组实践，证明训练
三角形中的边角关系、命题与证明
活动4：例题讲解
活动3：探究直角三角形的性质与推论
活动2：证明三角形内角和等于180°
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第三课时)
活动1：引入课题
13.2命题与证明(第四课时)
活动2：探究三角形外角的推论
活动3：例题讲解
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