4.3一次函数的图象
【知识点1】一次函数的图象 1
【知识点2】正比例函数的图象 3
【知识点3】正比例函数的性质 4
【知识点4】一次函数的性质 4
【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值 6
【题型2】一次函数的图象 7
【题型3】确定点在正比例函数的图象上 10
【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点 11
【题型5】一次函数的性质 14
【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值 17
【题型7】正比例函数的性质 19
【题型8】已知一点求一次函数的表达式 22
【题型9】求正比例函数表达式 24
【题型10】正比例函数的图象 26
【知识点1】一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
1.（2025春 临泽县校级期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y＞0时，x的值是（ ）
A．x＜-2 B．x＞-2 C．x＞2 D．x＜2
【答案】B
【分析】直接根据函数y=x+2的图象进行解答即可．
【解答】解：由函数y=x+2的图象可知，当x＞-2时，函数图象在x轴上方，
故当y＞0时，x的值是x＞-2．
故选：B．
2.（2025春 花都区期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵b=k＞0，
∴一次函数y=x+k的图象经过一、二、三象限，
故选：A．
3.（2024春 鼓楼区校级期中）若k＞0，b＜0，则函数y=kx+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可．
【解答】解：∵k＞0，b＜0，
∴y=kx+b的图象在一、三、四象限，
故选B．
【知识点2】正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
1.如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【答案】B
【分析】根据所在象限判断出a、b、c的符号，再根据直线越陡，则|k|越大可得答案．
【解答】解：∵y=ax,y=bx,y=cx的图象都在第一三象限，
∴a＞0，b＞0，c＞0，
∵直线越陡，则|k|越大，
∴c＞b＞a,
故选：B．
2.（2023春 南开区期末）函数y=3x的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质，可以得到函数y=3x经过哪几个象限．
【解答】解：∵y=3x,3＞0，
∴函数y=3x经过第一、三象限且经过原点，
故选：A．
【知识点3】正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
1.（2024春 武威校级期末）点A（1，m）在函数y=2x的图象上，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】用代入法即可．
【解答】解：把x=1，y=m代入y=2x,
解得：m=2．
故选：B．
2.（2023春 马尾区校级期末）正比例函数y=-2x的图象经过的象限是（ ）
A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四
【答案】B
【分析】根据k=-2＜0和正比例函数的性质即可得到答案．
【解答】解：∵k=-2＜0，
∴正比例函数y=-2x的图象经过二、四象限．
故选：B．
【知识点4】一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
1.（2025春 长寿区期末）关于x的一次函数y=-3x+m的图象上有三个点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c），则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【答案】B
【分析】由k=-3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-2＜-1＜4，即可得出b＜c＜a.
【解答】解：∵k=-3＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c）是一次函数y=-3x+m的图象上的点，且-2＜-1＜4，
∴b＜c＜a.
故选：B．
2.（2025春 长沙期末）已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【答案】C
【分析】由k=-2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合-2＜3，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），且-2＜3，
∴y1＞y2．
故选：C．
【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值
【典型例题】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而增大，则m＝ ．
【答案】1
【解析】∵正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），y随x的增大而增大，
∴，解得m＝1．
故答案为：1．
【举一反三1】已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝ ．
【答案】﹣2
【解析】由题意得：m2﹣3＝1，且m+1＜0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【举一反三2】已知正比例函数y＝kx．
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？
（2）点（1，﹣2）在它的图象上，求它的表达式．
【答案】解（1）∵函数图象经过第二、四象限，
∴k＜0；
（2）当x＝1，y＝﹣2时，则k＝﹣2，
即：y＝﹣2x．
【举一反三3】已知函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数，求m的值，并写出其图象经过哪个象限．
【答案】解∵函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数，
∴5﹣m＝1，
∴m＝4，
∴1﹣m＝﹣3＜0，
∴其图象经过二.四象限．
【题型2】一次函数的图象
【典型例题】若式子+（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵式子+（k﹣2）0有意义，
∴，
解得k＞2，
∴k﹣2＞0，2﹣k＜0，
∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一.三.四象限，
故选：A．
【举一反三1】一次函数y＝kx﹣b（k≠0）的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A.x＜0 B.x＞0 C.x＞2 D.x＜2
【答案】D
【解析】根据图象可知，当y＞0时，一次函数的图象位于x轴上方，
∴x＜2．
故选：D．
【举一反三2】一次函数y＝kx+k的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据图象知：
A.k＜0；k＞0．解集没有公共部分，所以不可能；
B.k＞0；k＞0．解集有公共部分，但是k不一定为1；
C.k＜0；k＜0．解集有公共部分，所以有可能；
D.k＜0；k＝0．解集没有公共部分，所以不可能，
则符合题意的选项为C．
故选：C．
【举一反三3】如图，直线l是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则b＝ ．
【答案】1
【解析】∵直线与y轴交于点（0，1），
∴b＝1．
故答案为：1
【举一反三4】一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 ．
【答案】0＜x＜4
【解析】根据图象知，当y＝3时，x＝0；
当y＝﹣3时，x＝4；
∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【举一反三5】求作y＝x﹣2的图象．
（1）写出与x轴、y轴的交点A.B的坐标；
（2）求三角形AOB的面积．
【答案】解y＝x﹣2图象如图所示：
（1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2；
故A（2，0）.B（0，﹣2），
（2）由图象可知：
△AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2，
∴S△AOB＝＝＝2．
【题型3】确定点在正比例函数的图象上
【典型例题】关于正比例函数y＝ x，下列结论正确的是（ ）
A.k=-2 B.图象必经过点（-1，2） C.图象不经过原点 D.y随x的增大而减小
【答案】C
【解析】因为k= ，所以A错误；因为当x=-1时，y=，所以B错误；因为正比例函数的图象必经过原点，所以C错误，故D正确．
【举一反三1】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（ ）
A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝ x
【答案】B
【解析】把x=2代入y=-2x得y=-2×2=-4，所以y=-2x的图象恰好经过点（2，-4）．
【举一反三2】下列各点中，在函数y=-3x的图象上的是（ ）
A.(，1) B.( ，1) C.( ， 1) D.（0，1）
【答案】B
【解析】把x= 代入y=-3x得y=-3×（ ）=1，所以y=-3x的图象恰好经过点( ，1)．
【举一反三3】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（ ）
A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝ x
【答案】B
【解析】把x=2代入y=-2x得y=-2×2=-4，所以y=-2x的图象恰好经过点（2，-4）．
【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点
【典型例题】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0）
【答案】A
【解析】∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，
∴当x＝1时y＝kx+b＝0，
∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0），
故选：A．
【举一反三1】一次函数y＝kx+b的部分x和y的部分对应值如表所示，下列结论正确的是（ ）
A.y随x的增大而增大 B.x＝2是kx+b＝0方程的解 C.此函数图象不经过第三象限 D.此函数图象与x轴交于点
【答案】C
【解析】由表格可得，
y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意；
当x＝0时，y＝2，可知b＝2，y随x的增大而减小，可知k＜0，则该函数图象经过第一.二.四象限，故选项C正确，符合题意；
x＝2时，y＝﹣4，故x＝2不是方程kx+b＝0的解，故选项B错误，不符合题意；
∵点（0，2），（1，﹣1）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴y＝﹣3x+2，
当y＝0时，0＝﹣3x+2，得x＝，
即一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（，0），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A.y随x的增大而增大
B.该函数的图象经过一.二.三象限
C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1
D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2）
【答案】C
【解析】由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝3，
即函数的解析式是y＝﹣2x+3，
A．∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k＝﹣2，b＝3，
∴函数的图象经过第一.二.四象限，故本选项不符合题意；
C．当y＝1时，﹣2x+3＝1，
解得：x＝1，
即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意；
D．∵b＝3，
∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A.y随x的增大而增大
B.该函数的图象经过一.二.三象限
C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1
D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2）
【答案】C
【解析】由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入y＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝3，
即函数的解析式是y＝﹣2x+3，
A．∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k＝﹣2，b＝3，
∴函数的图象经过第一.二.四象限，故本选项不符合题意；
C．当y＝1时，﹣2x+3＝1，
解得：x＝1，
即方程kx+b＝1的解是x＝1，故本选项符合题意；
D．∵b＝3，
∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三4】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0）
【答案】A
【解析】∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，
∴当x＝1时y＝kx+b＝0，
∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0），
故选：A．
【题型5】一次函数的性质
【典型例题】对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A.k＞0 B.kb＜0 C.k+b＞0 D.k＝﹣b
【答案】C
【解析】∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一.三.四象限，
∴k＞0，k＝﹣b，
∴kb＜0，
∴k+b＝b＜0，
∴错误的是k+b＞0．
故选：C．
【举一反三1】下列关于一次函数y＝﹣2x+4的性质说法不正确的是（ ）
A.函数图象不经过第三象限
B.函数图象与y轴交于点（0，4）
C.函数图象与x轴交于点（2，0）
D.y的值随着x值的增大而增大
【答案】D
【解析】A.函数y＝2x+4图象经过第一.二.四象限，不经过第三象限，故原说法正确，不符合题意；
B.当x＝0时，y＝4，则函数图象与y轴交于点（0，4），故原说法正确，不符合题意；
C.当y＝0时，由﹣2x+4＝0得x＝2，则函数图象与x轴交于点（2，0），故原说法正确，不符合题意；
D.由k＝﹣2＜0得y的值随着x值的增大而减小，故原说法错误，符合题意，
故选：D．
【举一反三2】一次函数y＝﹣x﹣2的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】∵一次函数y＝﹣x﹣2，k＝﹣1＜0，b＝﹣2＜0，
∴该函数图象经过第二.三.四象限，
∴该函数图象不经过第一象限，
故选：A．
【举一反三3】已知直线y＝kx+1的函数值y随着x的增大而减小，请写出来这样的一条直线： ．（答案不唯一）
【答案】y＝﹣x+1（答案不唯一）
【解析】∵直线y＝kx+1的函数值y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴符合这样要求的直线可以是y＝﹣x+1．
故答案为：y＝﹣x+1．
【举一反三4】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＜0？
【答案】解函数y＝﹣2x+2的图象为：
（1）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降．
（2）由图象知：当x＝1时，y＝0．
（3）由图象知：当x＞1时，y＜0．
【举一反三5】已知：一次函数y＝﹣2x+3．
（1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
（2）当x为何值时，y≤0？
（3）当x为何值时，y≤1？
（4）当﹣2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？
（5）当1＜y＜5时，求x的变化范围．
【答案】解（1）∵一次函数y＝﹣2x+3的图象是一条直线，
当x＝0时，解得y＝3；当y＝0时，解得x＝，
∴直线与坐标轴的两个交点分别是（0，3）和（，0），
其图象如下：
（2）由图可知，当x≥时，y≤0．
（3）由题意得：
﹣2x+3≤1，
解得：x≥1，
即当x≥1时，y≤1．
（4）∵y＝﹣2x+3，
∴用含y的式子表示x得：x=，
又∵﹣2≤x≤3，
∴-2≤，
解得：﹣3≤y≤7．
y的最大值为7．
（5）∵1＜y＜5．
∴1＜﹣2x+3＜5
解得：﹣1＜x＜1．
【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值
【典型例题】已知一次函数y＝ax﹣4（a常数），若y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2
【答案】D
【解析】∵一次函数y＝ax﹣4（a≠0），y随x的增大而增大，
∴a＞0，
因为﹣2＜0，
所以A不符合题意；
因为﹣1＜0，
所以B不符合题意；
因为a≠0，
所以C不符合题意，
因为2＞0，
所以D符合题意，
故选：D．
【举一反三1】若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是（ ）
A.k＜0 B.k＞0 C.k＜2 D.k＞2
【答案】A
【解析】∵一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k＜0．
故选：A．
【举一反三2】已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】﹣2（答案不唯一）
【解析】∵一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，
∴m＜0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【举一反三3】已知一次函数y＝（6+3m）x+（m﹣4）.
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，函数图象交y轴于负半轴？
（3）m为何值时，函数图象不经过第二象限．
【答案】解（1）根据题意，得6+3m＜0，
解得m＜﹣2，
∴当m＜﹣2时，y随x的增大而减小；
（2）根据题意，得m﹣4＜0，
解得m＜4，
∵y＝（6+3m）x+（m﹣4）是一次函数，
∴m≠﹣2，
∴m＜4且m≠﹣2时，函数图象交y轴于负半轴；
（3）根据题意，得，
解不等式组，得﹣2＜m≤4，
∴当﹣2＜m≤4时，函数图象不经过第二象限．
【题型7】正比例函数的性质
【典型例题】P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.不能确定
【答案】B
【解析】∵k＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，且﹣2＜7，
∴y1＜y2．
故选：B．
【举一反三1】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.以上都有可能
【答案】B
【解析】∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小．
又∵x1＞x2，
∴y1＜y2．
故选：B．
【举一反三2】关于函数y＝2x，下列说法错误的是（ ）
A.它是正比例函数 B.图象经过（1，2） C.图象经过一、三象限 D.当x＞0，y＜0
【答案】D
【解析】关于函数y＝2x，
A.它是正比例函数，说法正确，不合题意；
B.当x＝1时，y＝2，图象经过（1，2），说法正确，不合题意；
C.图象经过一、三象限，说法正确，不合题意；
D.当x＞0时，y＞0，说法错误，符合题意；
故选：D．
【举一反三3】写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式 ．
【答案】答案不唯一：y＝﹣2x、y＝﹣3x
【解析】∵正比例函数的一般形式为y＝kx，并且y随x的增大而减小，
∴答案不唯一：y＝﹣2x、y＝﹣3x等．
【举一反三4】已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过 象限．
【答案】一、三、四
【解析】∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过一、三、四象限．
故答案为：一、三、四．
【举一反三5】已知函数y＝（k+）（k为常数）．
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？请画出它的图象．
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？请画出它的图象．
（4）点A（2，5）与点B（2，﹣3）分别在哪条直线上？
【答案】解（1）由题意得k2﹣3＝1且k+≠0，
解得k＝±2．
∴正比例函数的表达式为：y＝x或y＝﹣x．
（2）∵正比例函数y随x的增大而增大，
∴k+＞0．
解得k＞﹣．
∴k＝．
函数图象如图；
（3）∵正比例函数y随x的增大而减小，
∴k+＜0．
解得k＜﹣．
∴k＝﹣．
函数图象如图；
（4）∵当x＝2时，y＝5，
∴点A（2，5）在函数y＝x上．
∵当x＝2时，y＝﹣3，
∴点B（2，﹣3）函数y＝﹣x上．
【举一反三6】探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．
（1）下表见y与x的几组对应值．
直接写出m的值是 ．
（2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象．
（3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质： ．
【答案】解（1）当x＝﹣2时，y＝|﹣2|＝2，
∴m＝2，
故答案为：2．
（2）如图：
（3）由图象可知，图象关于y轴对称．
故答案为：图象关于y轴对称．
【题型8】已知一点求一次函数的表达式
【典型例题】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10
【答案】D
【解析】设一次函数解析式为y＝kx+b，
由题意可得出方程组，
解得：，
那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10．
故选：D．
【举一反三1】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10
【答案】D
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，
∴k＝﹣1，
∵一次函数过点（8，2），
∴2＝﹣8+b
解得b＝10，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+10．
故选：D．
【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10
【答案】D
【解析】设一次函数解析式为y＝kx+b，
由题意可得出方程组，
解得：，
那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10．
故选：D．
【举一反三3】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10
【答案】D
【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，
∴k＝﹣1，
∵一次函数过点（8，2），
∴2＝﹣8+b
解得b＝10，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+10．
故选：D．
【题型9】求正比例函数表达式
【典型例题】已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣5x B.y＝5x C.y＝3x D.y＝﹣3x
【答案】A
【解析】由题意知m2﹣3＝1且2m﹣1＜0，
解得m＝±2，且m＜，
∴m＝﹣2．
∴y＝﹣5x．
故选：A．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（4，b），B（a，3）两点，则a，b一定满足的关系式为（ ）
A.a﹣b＝1 B.a+b＝7 C.ab＝12 D.a/b=3/4
【答案】C
【解析】设正比例函数的解析式为y＝kx，
将A（4，b），B（a，3）代入，
得k＝＝，
∴ab＝12．
故选：C．
【举一反三2】已知函数图象如图所示，那么这个函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣2x B.y＝ C.y＝﹣2x（﹣1≤x≤0） D.y＝-
【答案】A
【解析】设这个函数的解析式为y＝kx，
把（﹣1，2）代入y＝kx得，2＝﹣k，
∴k＝﹣2，
∴这个函数的解析式为y＝﹣2x，
故选：A．
【举一反三3】正比例函数的图象过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ．
【答案】y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x
【解析】∵A点的横坐标为3，且A点到x轴的距离为2，
∴A（3，2）或（3，﹣2），
设正比例函数的解析式为y＝kx，
∴2＝3k或﹣2＝3k，
∴k＝ 或k＝﹣ ，
∴此函数解析式是y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x，
故答案为：y＝2/3 x或y＝﹣2/3 x．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则经过点N的正比例函数解析式为 ．
【答案】y＝1/2 x
【解析】∵点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，
∴N((0+4)/2,(2+0)/2)，即N（2，1），
设正比例函数解析式为y＝kx，
将N（2，1）代入得出：1＝2k，
解得：k＝1/2，
∴经过点N的正比例函数解析式为y＝1/2 x
故答案为：y＝1/2 x．
【举一反三5】已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．
【答案】解（1）设y＝kx（k≠0），把x＝﹣1，y＝3代入y＝kx，
得k＝﹣3，
所以y＝﹣3x．
（2）把x＝2代入y＝﹣3x，
得y＝﹣3×2＝﹣6．
【题型10】正比例函数的图象
【典型例题】正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为正比例函数y＝kx（k＞0），
所以正比例函数y＝kx的图象在第一.三象限，
故选：D．
【举一反三1】函数y＝x的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数y＝x的图象经过原点和第一.三象限．
故选：C．
【举一反三2】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，
∴此时图象则第一象限，
∵当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，
∴此时图象则第二象限，
故选：C．
【举一反三3】如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值： ．
【答案】﹣1（答案不唯一）
【解析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二.四象限，
∴k＜0．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【举一反三4】请画出正比例函数y＝2x和y＝x的图象（写出作图过程）．
【答案】解对于正比例函数y＝2x，
当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝2×2＝4，
即函数y＝2x的图象经过点（0，0）和（2，4），过这两点作直线即为此函数的图象．
对于正比例函数y＝，
当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝，
即函数y＝的图象经过点（0，0）和（2，1），过这两点作直线即为此函数的图象．
画出这两个函数的图象如下：4.3一次函数的图象
【知识点1】一次函数的图象 1
【知识点2】正比例函数的图象 2
【知识点3】正比例函数的性质 3
【知识点4】一次函数的性质 3
【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值 4
【题型2】一次函数的图象 4
【题型3】确定点在正比例函数的图象上 6
【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点 6
【题型5】一次函数的性质 7
【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值 8
【题型7】正比例函数的性质 9
【题型8】已知一点求一次函数的表达式 10
【题型9】求正比例函数表达式 10
【题型10】正比例函数的图象 11
【知识点1】一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（-，0）或（1，k+b）作直线y=kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x=a，y=b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
1.（2025春 临泽县校级期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y＞0时，x的值是（ ）
A．x＜-2 B．x＞-2 C．x＞2 D．x＜2
2.（2025春 花都区期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3.（2024春 鼓楼区校级期中）若k＞0，b＜0，则函数y=kx+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【知识点2】正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
1.如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
2.（2023春 南开区期末）函数y=3x的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
【知识点3】正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
1.（2024春 武威校级期末）点A（1，m）在函数y=2x的图象上，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2.（2023春 马尾区校级期末）正比例函数y=-2x的图象经过的象限是（ ）
A．一、二 B．二、四 C．一、三 D．三、四
【知识点4】一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
1.（2025春 长寿区期末）关于x的一次函数y=-3x+m的图象上有三个点A（-2，a），B（4，b），C（-1，c），则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
2.（2025春 长沙期末）已知一次函数y=-2x+2的图象上有两点A（-2，y1），B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2 B．y1≤y2 C．y1＞y2 D．y1≥y2
【题型1】利用正比例函数的性质求字母的取值
【典型例题】已知正比例函数y＝（2m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而增大，则m＝ ．
【举一反三1】已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m＝ ．
【举一反三2】已知正比例函数y＝kx．
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？
（2）点（1，﹣2）在它的图象上，求它的表达式．
【举一反三3】已知函数y＝（1﹣m）x5﹣m是正比例函数，求m的值，并写出其图象经过哪个象限．
【题型2】一次函数的图象
【典型例题】若式子+（k﹣2）0有意义，则一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】一次函数y＝kx﹣b（k≠0）的图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（ ）
A.x＜0 B.x＞0 C.x＞2 D.x＜2
【举一反三2】一次函数y＝kx+k的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，直线l是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则b＝ ．
【举一反三4】一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 ．
【举一反三5】求作y＝x﹣2的图象．
（1）写出与x轴、y轴的交点A.B的坐标；
（2）求三角形AOB的面积．
【题型3】确定点在正比例函数的图象上
【典型例题】关于正比例函数y＝ x，下列结论正确的是（ ）
A.k=-2 B.图象必经过点（-1，2） C.图象不经过原点 D.y随x的增大而减小
【举一反三1】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（ ）
A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝ x
【举一反三2】下列各点中，在函数y=-3x的图象上的是（ ）
A.(，1) B.( ，1) C.( ， 1) D.（0，1）
【举一反三3】下列正比例函数中，其图象恰好经过点（2，-4）的是（ ）
A.y=2x B.y=-2x C.y＝x D.y＝ x
【题型4】一次函数的图象与坐标轴的交点
【典型例题】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0）
【举一反三1】一次函数y＝kx+b的部分x和y的部分对应值如表所示，下列结论正确的是（ ）
A.y随x的增大而增大 B.x＝2是kx+b＝0方程的解 C.此函数图象不经过第三象限 D.此函数图象与x轴交于点
【举一反三2】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A.y随x的增大而增大
B.该函数的图象经过一.二.三象限
C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1
D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2）
【举一反三3】已知一次函数y＝kx+b（k≠0），如表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
A.y随x的增大而增大
B.该函数的图象经过一.二.三象限
C.关于x的方程kx+b＝1的解是x＝1
D.该函数的图象与y轴的交点是（0，2）
【举一反三4】关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A.（1，0） B.（0，1） C.（0，0） D.（﹣1，0）
【题型5】一次函数的性质
【典型例题】对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A.k＞0 B.kb＜0 C.k+b＞0 D.k＝﹣b
【举一反三1】下列关于一次函数y＝﹣2x+4的性质说法不正确的是（ ）
A.函数图象不经过第三象限
B.函数图象与y轴交于点（0，4）
C.函数图象与x轴交于点（2，0）
D.y的值随着x值的增大而增大
【举一反三2】一次函数y＝﹣x﹣2的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【举一反三3】已知直线y＝kx+1的函数值y随着x的增大而减小，请写出来这样的一条直线： ．（答案不唯一）
【举一反三4】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？
（2）当x取何值时，y＝0？
（3）当x取何值时，y＜0？
【举一反三5】已知：一次函数y＝﹣2x+3．
（1）在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
（2）当x为何值时，y≤0？
（3）当x为何值时，y≤1？
（4）当﹣2≤x≤3时，求y的变化范围，并指出当x为何值时，y有最大值？
（5）当1＜y＜5时，求x的变化范围．
【题型6】利用一次函数的性质求字母的取值
【典型例题】已知一次函数y＝ax﹣4（a常数），若y随x的增大而增大，则a的值可以是（ ）
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2
【举一反三1】若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是（ ）
A.k＜0 B.k＞0 C.k＜2 D.k＞2
【举一反三2】已知一次函数y＝mx+1的图象经过第一、二、四象限，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【举一反三3】已知一次函数y＝（6+3m）x+（m﹣4）.
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，函数图象交y轴于负半轴？
（3）m为何值时，函数图象不经过第二象限．
【题型7】正比例函数的性质
【典型例题】P1（﹣2，y1），P2（7，y2）是正比例函数y＝kx（k＞0）的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.不能确定
【举一反三1】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.以上都有可能
【举一反三2】关于函数y＝2x，下列说法错误的是（ ）
A.它是正比例函数 B.图象经过（1，2） C.图象经过一、三象限 D.当x＞0，y＜0
【举一反三3】写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式 ．
【举一反三4】已知正比例函数y＝kx中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝﹣2kx+k的图象经过 象限．
【举一反三5】已知函数y＝（k+）（k为常数）．
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？请画出它的图象．
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？请画出它的图象．
（4）点A（2，5）与点B（2，﹣3）分别在哪条直线上？
【举一反三6】探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整．
（1）下表见y与x的几组对应值．
直接写出m的值是 ．
（2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象．
（3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质： ．
【题型8】已知一点求一次函数的表达式
【典型例题】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10
【举一反三1】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10
【举一反三2】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣1 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣2 D.y＝﹣x+10
【举一反三3】若一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），则此一次函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣x﹣2 B.y＝﹣x﹣6 C.y＝﹣x﹣1 D.y＝﹣x+10
【题型9】求正比例函数表达式
【典型例题】已知y＝（2m﹣1）是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣5x B.y＝5x C.y＝3x D.y＝﹣3x
【举一反三1】在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（4，b），B（a，3）两点，则a，b一定满足的关系式为（ ）
A.a﹣b＝1 B.a+b＝7 C.ab＝12 D.a/b=3/4
【举一反三2】已知函数图象如图所示，那么这个函数的解析式为（ ）
A.y＝﹣2x B.y＝ C.y＝﹣2x（﹣1≤x≤0） D.y＝-
【举一反三3】正比例函数的图象过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ．
【举一反三4】在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则经过点N的正比例函数解析式为 ．
【举一反三5】已知y与x之间成正比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝2时，求y的值．
【题型10】正比例函数的图象
【典型例题】正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】函数y＝x的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值： ．
【举一反三4】请画出正比例函数y＝2x和y＝x的图象（写出作图过程）．
