5.3二元一次方程组的应用
【知识点1】由实际问题抽象出二元一次方程组 1
【知识点2】二元一次方程组的应用 3
【题型1】生产配套问题 5
【题型2】综合问题 7
【题型3】追及问题 8
【题型4】积分问题 9
【题型5】合理分配问题 11
【题型6】求进价 13
【题型7】航行问题 14
【题型8】和差倍分问题 17
【题型9】数字问题 18
【题型10】求现有量 19
【题型11】相遇问题 21
【题型12】盈余问题 23
【题型13】求标价 24
【题型14】工作量问题 26
【知识点1】由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
1.（2025春 邗江区校级月考）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
2.（2025 张店区二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，并深y尺，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据“用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺”，即可列出关于x,y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，
∴-y=4；
∵如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，
∴-y=1．
∴根据题意可列出方程组．
故选：C．
【知识点2】二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
1.（2023秋 清镇市期末）小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1h看到的里程情况．
时刻 12：00 13：00 14：00
里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与12：00时所看到的正好互换了 比12：00时看到的两位数中间多了一个0
小明在13：00时看到的数是（ ）
A．16 B．61 C．72 D．94
【答案】B
【分析】设小明在12：00时看到的两位数的十位上的数字为x,个位上的数字为y,根据“两个数之和为7，且每小时行驶的路程相同”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之可得出x,y的值，再将其代入（10y+x）中，即可求出结论．
【解答】解：设小明在12：00时看到的两位数的十位上的数字为x,个位上的数字为y,
根据题意得：，
解得：，
∴10y+x=10×6+1=61．
故选：B．
2.（2024春 五华区校级期中）在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】“某队保持连续不败，”则说明该队每场比赛只有胜、平两种结果，设该队胜的场数是x,平了y场，根据题意可得等量关系：胜场数+平场数=11场，胜场得分+平场得分=23分，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设该队胜的场数是x,平了y场，由题意得：
，
解得：，
故选：C．
3.（2024 台安县一模）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）
A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱
【答案】C
【分析】设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，
依题意得：，
解得：．
故选：C．
【题型1】生产配套问题
【典型例题】某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，已知一个螺栓与两个螺母配成一套，设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套．则所列的方程组是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可知，设分配x人生产螺栓，y人生产螺母，根据等量关系：“现有工人120人”和“一个螺栓要两个螺母配套”，列方程组求解即可．根据题意，得故选D.
【举一反三1】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的工人分别为( )
A.50人，40人 B.30人，60人 C.40人，50人 D.60人，30人
【答案】A
【解析】设分配x人生产的螺栓，y人生产螺帽刚好配套，根据等量关系：生产螺栓的工人数＋生产螺帽的工人数＝90；螺栓总数×2＝螺帽总数，把相关数值代入列方程组求解可得．根据题意，得解得故选A.
【举一反三2】包装厂有工人42人，每个工人平均每天可以生产圆形零件120个或方形零件80个，两个圆形零件与一个方形零件组合可配成一个圆柱形．如果你是这家包装厂的厂长，为使生产的零件能合理的配套，你认为应安排______名工人生产圆形零件，______名工人生产方形零件．
【答案】24，18
【解析】由题意可知，包装厂的工人只能一部分生产圆形零件一部分生产方形零件，则存在两个等量关系，即生产圆形零件人数＋生产方形零件人数＝42人，＝生产方形零件总数，据此可列方程组求解．设安排工人生产圆形零件x人，方形零件y人．列方程组解得答：需安排24人生产圆形零件，18人生产方形零件．
【举一反三3】某工厂有A、B、C、D四个小组制造同一型号的螺栓与螺母，A组每天能制造螺栓8个或者螺母10个，B组每天能制造螺栓9个或者螺母12个，C组每天能制造螺栓7个或者螺母11个，D组每天能制造螺栓6个或者螺母7个．现在把一个螺母和一个螺栓配套组装成一个新型零件，则7天中这四个小组最多可组装________个零件．
【答案】120
【解析】四个工作小组每天能制造螺栓：8＋9＋7＋6＝30(个)，四个工作小组每天能制造螺母：10＋12＋11＋7＝40(个)．设四个工作小组制造螺栓x天；四个工作小组制造螺母y天．则解得所以30x＝120.答：7天中这四个小组最多可组装120个零件．故答案为120.
【举一反三4】现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
【答案】解设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底．
根据题意得解得
答：110张制盒身，80张制盒底，可正好制成一批完整的盒子．
【举一反三5】某工厂要生产某种型号方桌一批，已知每3立方米的材料可做桌面2个或桌腿5个，一个桌面和四个桌腿组成一个方桌．计划用130立方米的这种材料生产桌椅，应分别用多少材料生产桌面才能和桌腿恰好配套？共能生产多少套？
【答案】解设用x立方米木料做桌面，y立方米做桌腿，恰好能配成方桌，
根据题意得解得
所以x＝，
答：用50立方米木料做桌面，80立方米做桌腿，恰好能配成方桌．共能生产套．
【题型2】综合问题
【典型例题】已知某座桥长1 000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车在桥上的时间为40秒．则火车的速度和车长分别是( )
A.20米/秒，200米 B.30米/秒，300米 C.15米/秒，180米 D.25米/秒，240米
【答案】A
【解析】通过理解题意可知，本题存在两个等量关系，即整列火车过桥通过的路程＝桥长＋车长，整列火车在桥上通过的路程＝桥长－车长，根据这两个等量关系可列出方程组求解．1分钟＝60秒，全通过：s1＝L桥＋L，t1＝60 s，全在桥上：s2＝L桥－L，t2＝40 s，设火车的速度为v米/秒，火车长为L米，则60v=1000+L,40v=1000-L,解得v=20,L=200.即火车的长度为200 m，速度为20 m/s.故选A.
【举一反三1】学校到县城有28千米，全程需1小时，除乘汽车外，还需要步行一段路，已知汽车的速度为36千米/时，人步行的速度为4千米/时，则步行用了( )
A.13分钟 B.14分钟 C.15分钟 D.16分钟
【答案】C
【解析】问题求的是时间，速度比较明显，那么一定是根据路程公式来列等量关系．本题的等量关系为步行路程＋坐车路程＝28.设步行用x小时，汽车行驶时间为y，依题意得解得小时＝15分钟．故选C.
【举一反三2】已知某铁桥长2 000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用55秒，整列火车在桥上的时间为45秒，则火车的速度为______米/秒，车长______米．
【答案】40 200
【解析】首先设火车的速度为x米/秒，车长为y米，根据关键语句“火车开始上桥到完全过桥共用55秒”可得方程55x＝2 000＋y，根据关键语句“整列火车在桥上的时间为45秒，”可得方程45x＝2 000－y，联立两个方程，再解方程组即可．由题意，得解得故答案为40,200.
【举一反三3】两人骑自行车在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒名相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个的速度各是多少？
【答案】解 设两个人中较快者的速度为x米/秒、较慢者的速度为y米/秒，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：两个人的速度分别为12米/秒，8米/秒．
【题型3】追及问题
【典型例题】现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6 h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇，则速度快的汽车和速度慢的汽车的速度分别为( )
A.60 km/h和40 km/h B.80 km/h和60 km/h C.40 km/h和20 km/h D.80 km/h和40 km/h
【答案】A
【解析】设速度快的车的速度是x km/h，速度慢的车的速度是y km/h，根据“两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6 h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇”列出方程组并解答．依题意，得解得故选A.
【举一反三1】甲，乙两人驾车都从某地出发，同向而行，甲车出发半小时后，乙车开始追赶，乙车行驶了1.5小时追上甲车，已知乙车速度比甲车速度的2倍少40千米/小时，那么甲乙两车的速度分别为( )
A.60千米/时、80千米/时 B.80千米/时、60千米/时 C.32千米/时、24千米/时 D.24千米/时、32千米/时
【答案】A
【解析】根据乙车速度比甲车速度的2倍少40千米/小时，以及甲车出发半小时后，乙车行驶了1.5小时追上甲车，分别得出等式求出即可．设甲车的速度为x千米/时、乙车的速度为y千米/时，根据题意，可得解得故甲车的速度为60千米/时、乙车的速度为80千米/时．故选A.
【举一反三2】现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6 h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇，则速度快的汽车和速度慢的汽车的速度分别为( )
A.60 km/h和40 km/h B.80 km/h和60 km/h C.40 km/h和20 km/h D.80 km/h和40 km/h
【答案】A
【解析】设速度快的车的速度是x km/h，速度慢的车的速度是y km/h，根据“两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6 h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇”列出方程组并解答．依题意，得解得故选A.
【举一反三3】甲，乙两人驾车都从某地出发，同向而行，甲车出发半小时后，乙车开始追赶，乙车行驶了1.5小时追上甲车，已知乙车速度比甲车速度的2倍少40千米/小时，那么甲乙两车的速度分别为( )
A.60千米/时、80千米/时 B.80千米/时、60千米/时 C.32千米/时、24千米/时 D.24千米/时、32千米/时
【答案】A
【解析】根据乙车速度比甲车速度的2倍少40千米/小时，以及甲车出发半小时后，乙车行驶了1.5小时追上甲车，分别得出等式求出即可．设甲车的速度为x千米/时、乙车的速度为y千米/时，根据题意，可得解得故甲车的速度为60千米/时、乙车的速度为80千米/时．故选A.
【题型4】积分问题
【典型例题】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了( )
A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
【答案】C
【解析】设做对了x道，做错了y道，则解得即答对了19道．故选C.
【举一反三1】足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了( )
A.5场 B.7场 C.9场 D.11场
【答案】C
【解析】根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可．设这支球队胜了x场，平了y场，则,解得所以球队胜了9场．故选C.
【举一反三2】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了( )
A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
【答案】C
【解析】设做对了x道，做错了y道，则解得即答对了19道．故选C.
【举一反三3】在某校举办的足球比赛中规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？( )
A.胜了5场，平了5场 B.胜了4场，平了6场 C.胜了6场，平了4场 D.胜了7场，平了3场
【答案】C
【解析】首先设这支足球队胜x场，平y场，由题意得等量关系：平的场数＋负的场数＋胜的场数＝12，平场得分＋胜场得分＋负场得分＝22分，根据等量关系列出方程组即可．依题意，得解得答：这支足球队胜了6场，平了4场．故选C.
【举一反三4】中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球．
【答案】8，3
【解析】由题意可的本题存在两个等量关系，即投中3分球＋投中2分球＋罚球＝总投中球数，2分球得分＋3分球得分＋罚球得分＝总得分数，根据这两个等量关系可列出方程组．设2分球投中了x个，罚球罚进y个．则可列方程组为,解得故投中了8个2分球和3个罚球．
【举一反三5】足球赛的积分方法如下：赢一场比赛得3分，平一场得一分，输一场得0分；某小组四个队进行单循环赛，其中一队积7分，该队赢____场，平了____场．
【答案】2，1
【解析】4个小组进行单循环赛，每个队共赛3场；因为输一场不得分，所以最后积分只与胜场数和平场数有关．设该队胜x场，平y场，则,解得∴该队赢2场，平了1场．故答案为2；1.
【举一反三6】某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛(即每队均需26场)，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是____________．
【答案】7,13,6
【解析】设这个队在第一赛季中胜了x场，负了y场，平了(y＋7)场，根据总共赛了26场以及共得34分即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．根据题意，得,解得∴y＋6＝13.故答案为7、13、6.
【举一反三7】中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球．
【答案】8，3
【解析】由题意可的本题存在两个等量关系，即投中3分球＋投中2分球＋罚球＝总投中球数，2分球得分＋3分球得分＋罚球得分＝总得分数，根据这两个等量关系可列出方程组．设2分球投中了x个，罚球罚进y个．则可列方程组为,解得故投中了8个2分球和3个罚球．
【题型5】合理分配问题
【典型例题】某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是( )
A.12人，15人 B.14人，13人 C.15人，12人 D.13人，14人
【答案】C
【解析】用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．本题中有2个定量：工程队的人数，沙的吨数，可根据定量找到两个等量关系：挖沙人数＋运沙人数＝27,4×挖沙人数＝5×运沙人数．根据这两个等量关系可列出方程组．设分配挖沙x人，运沙y人，则解得∴应分配挖沙15人，运沙12人．故选C.
【举一反三1】甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队的23，则甲、乙两队各分到多少人？( )
A.50,40 B.36,54 C.28,62 D.20,70
【答案】C
【解析】设甲队分到x人，乙队分到y人．依据“现在从外部调90人充实两队”、“调配后甲23队人数是乙队的”列出方程组并解答．依题意得解得即甲队分到28人，乙队分到62人．故选C.
【举一反三2】某自然村共135人参加挖渠劳动，其中挖土人数是运土人数的3倍少1人，问挖土和运土各多少人根据题意列出了方程组其中x表示____________；y表示____________．
【答案】运土人数，挖土人数
【解析】∵挖土人数是运土人数的3倍少1人，对应的方程是y＝3x－1，
∴x表示运土人数；y表示挖土人数．
【举一反三3】2010年江西水灾期间，某抗洪救灾小组A地段28人，B地段有15人，现又调来29人分配在A、B两个地段，要求使A地段的人数是B地段人数的2倍，则调往A地段和B地段的人数分别为________________．
【答案】20，9
【解析】设调往A地段x人，B地段y人，根据总共调来29人；
A地段的人数是B地段人数的2倍，可得出方程组，解出即可．
由题意，得解得
所以调往A、B地段分别是20人，9人．故答案为20,9.
【举一反三4】2002年世界杯足球赛韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格为：一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元．某商场在促销活动期间，组织获奖的36名顾客到韩国观看2002年世界杯足球赛四分之一决赛，除去其他费用后，计划用5 025美元购买两种门票(钱全部用完)，请你设计出几种方案供该商场选择，并说明理由．
【答案】解 ①设一等席的是x张，二等席的是y张．则有
此时x与y不是正整数，应舍去；
②设一等席的是x张，三等席的是y张．
则有解得
③设二等席的是x张，三等席的是y张．则有解得
答：有两种方案：一、三等席各为3张，33张；二、三等席各为7张，29张.
【题型6】求进价
【典型例题】某商场以每件a元购进一批服装，如果规定以每件b元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22 500元．为了尽快回收资金，商场决定将每件服装降价20%出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22 500元，则a，b的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】等量关系：①规定以每件b元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22 500元，即30×15(b－a)＝22 500；②将每件服装降价20%出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22 500元，即30×25[b(1－20%)－a]＝22 500.根据题意，得, 解得故选D.
【举一反三1】某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是( )
A.200元，150元 B.210元，280元 C.280元，210元 D.150元，200元
【答案】D
【解析】设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元，结合“购进商品后加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元”列出方程组并解答．设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元，依题意，得解得故选：D.
【举一反三2】某销售公司按定价销售某种电话，每部可获利48元；按定价的九折销售该电话6部与将定价降低30元销售9部所获利润相等，则该电话的进价为________，定价为________．
【答案】162元 210元
【解析】根据题意可知，本题的两个等量关系，即定价－进价＝48,6×(90%×定价－进价)＝9×(定价－30－进价)，根据这两个等量关系可列出方程组，求解即可．设该电器每台的进价为x元，定价为y元，由题意，得,解得答：该电器每台的进价是162元，定价是210元．故答案为162元，210元．
【举一反三3】某商场购进物品后，加价20%作为销售价．商场为了搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折和九折，共付款360元，两种商品原销售价之和为540元，两种商品的进价分别是多少元．
【答案】解 设甲种商品进价为x元，乙种商品进价为y元．
根据题意，得,
化简得解得
答：甲种商品进价为350元，乙种商品进价为100元．
【题型7】航行问题
【典型例题】某船由A地顺水而下到B地，然后又逆水而上到C地，共行驶了4小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时．如果A、C两地相距10千米，设A、B的距离为x千米，B、C的距离为y千米，则x、y的值为( )
A. B. C. D.都不对
【答案】C
【解析】设A、B的距离为x千米，B、C的距离为y千米，由题意，得解得故选C.
【举一反三1】甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是( )
A.24 km/h,8 km/h B.22.5 km/h,2.5 km/h C.18 km/h,24 km/h D.12.5 km/h,1.5 km/h
【答案】B
【解析】设这艘轮船在静水中的船速为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意，得解得故选B.
【举一反三2】一艘船在相距120千米的两个码头间航行，去时顺水用了4小时，回来时逆水用了5小时，则水速为( )
A.2千米/小时 B.3千米/小时 C.4千米/小时 D.5千米/小时
【答案】B
【解析】设静水速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意，得
解得答：静水速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时．故选B.
【举一反三3】甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是( )
A.24 km/h,8 km/h B.22.5 km/h,2.5 km/h C.18 km/h,24 km/h D.12.5 km/h,1.5 km/h
【答案】B
【解析】设这艘轮船在静水中的船速为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意，得解得故选B.
【举一反三4】一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则x，y的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】用二元一次方程组解决应用题的关键是：找到2个合适的等量关系．关于船航行的问题有2个不变的等量关系：(静水速度＋水流速度)×顺水时间＝顺水路程；(静水速度－水流速度)×逆水时间＝逆水路程．根据题意，得
解得故选B.
【举一反三5】一只船在A、B两码头间航行，从A到B顺流航行需2小时，从B到A逆流航行需3小时，那么一只救生圈从A顺流漂到B需要______小时．
【答案】12
【解析】设A、B两码头间的距离为a，船在静水中的速度为x，水流的速度为y，
由题意，得解得
∴只救生圈从A顺流漂到B需要的时间为12y÷y＝12小时．
故答案为12.
【举一反三6】一只船在A、B两码头间航行，从A到B顺流航行需2小时，从B到A逆流航行需3小时，那么一只救生圈从A顺流漂到B需要______小时．
【答案】12
【解析】设A、B两码头间的距离为a，船在静水中的速度为x，水流的速度为y，
由题意，得解得
∴只救生圈从A顺流漂到B需要的时间为12y÷y＝12小时．
故答案为12.
【举一反三7】轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时(m－6)千米/小时，则水流速度是______．
【答案】3千米/时
【解析】设轮船在静水中航行的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，根据“顺流航行速度＝轮船速度＋水流速度”与“逆流航行速度＝轮船速度－水流速度”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出y值即可．依题意，得解得y＝3.故答案为3千米/时．
【题型8】和差倍分问题
【典型例题】甲、乙两人年收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为( )
A.15 000元，12 000元 B.12 000元，15 000元 C.15 000元，11 250元 D.11 250元，15 000元
【答案】C
【解析】本题的两个等量关系为∶甲的年收入－甲的年支出＝5 000元；乙的年收入－乙的年支出＝5 000元，据此可列出方程组求解．设甲的收入为4x元，支出为8y元，乙的收入为3x元，支出分别为5y元，则解得所以甲的年收入为4x＝15 000元，乙的年收入为3x＝11 250元．故选C.
【举一反三1】七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，这时男女同学之比为5∶3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有( )
A.39名 B.43名 C.47名 D.55名
【答案】C
【解析】首先设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，由题意得等量关系：①男生最初人数∶(女生最初人数－14)＝5∶3，②男生最初人数－22＝女生最初人数－14，根据等量关系列出方程组，再解即可．设最初的女同学有x人，最初的男同学有y人，由题意，得解得故选C.
【举一反三2】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明现在年龄是______．妈妈现在年龄是______．
【答案】15岁 40岁
【解析】设小明现在的年龄为x岁，妈妈现在的年龄为y岁，分别表示出十年前和十年后他们的年龄，根据题意列方程组求解即可．由题意，得解得
答：小明现在的年龄为15岁，妈妈现在的年龄为40岁．故答案为15岁，40岁．
【举一反三3】学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是__________岁．
【答案】25
【解析】本题中明显的等量关系有两个：学生现在的年龄－年龄差＝1；老师现在的年龄＋年龄差＝37，据此可以现设学生和老师现在的年龄为x、y，再列方程组求解．设老师现在x岁，学生现在y岁，则解得
答：老师现在25岁．故填25.
【举一反三4】某中学七年级(六)班共50名同学在“六·一”儿童节举行联欢活动，由于天气较热，班长决定用班费给每名同学买一支雪糕，给女同学买的是每支4元的蓝花牌雪糕，给男同学买的是每支3.5元的剑锋牌雪糕，共用了189元钱，问该班男、女同学各有多少名？
【答案】解设该班男同学有x名，女同学有y名，
根据题意，得
解得
答：该班男同学有22名，女同学有28名．
【题型9】数字问题
【典型例题】一个两位数，十位上数字比个位上数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数为( )
A.46 B.64 C.57 D.75
【答案】D
【解析】设个位上的数字是x，十位上的数字是y，依题意，得解得则这个两位数是75.故选D.
【举一反三1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7.如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的二位数，则这个二位数是( )
A.36 B.25 C.61 D.16
【答案】D
【解析】首先设个位数字为x，十位数字为y，由题意得等量关系：①十位数字与个位数字的和是7；②原两位数＋45＝对调后组成的二位数，根据等量关系列出方程再解即可．设个位数字为x，十位数字为y，由题意，得解得则这个二位数是16.故选D.
【举一反三2】有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，原来的两位数是________．
【答案】24
【解析】设原来两位数的十位为x，个位为y，根据个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，列方程组求解．设原来两位数的十位为x，个位为y，由题意，得解得即原来的两位数为24.故答案为24.
【举一反三3】一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是______________．
【答案】12,24,36,48
【解析】设个位数字为x，十位数字为y，由题意，得当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝2，当x＝6时，y＝3，当x＝8时，y＝4，故答案为12,24,36,48.
【举一反三4】有一个两位数，除以它的各位数字之和，商为7，余数是6，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新数除以其各位数字之和，商为3，余数是5，求这个两位数．
【答案】解设两位数的十位数为x，个位数为y，
则由题意，得
解得
所以这个两位数是83.答：这个两位数是83.
【题型10】求现有量
【典型例题】甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%.结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】要求甲，乙仓库原来存粮分别为多少，就要先设出未知数，找出题中的等量关系列方程求解．题中的等量关系为：从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%.结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨，甲仓库、乙仓库共存粮450吨．设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨．根据题意，得故选C.
【举一反三1】国家财政部网站公告，汽车购置税优惠政策2010年12月31日到期后停止执行，实施了两年的汽车购置税优惠政策“寿终正寝”，让去年年末汽车市场的火爆程度超乎想象，某经销商在公告之前的11月份共销售某种品牌汽车的手动型和自动型共960台，12月份出售这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比11月份增长30%和25%，若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，那么政府对这1 228台汽车用户共补贴了( )
A.642.5万元 B.516.2万元 C.219.2万元 D.225万元
【答案】B
【解析】根据①11月份共销售某种品牌汽车的手动型和自动型共960台；②12月份出售这两种型号的汽车共1 228台，列方程组求解，再进一步求得政府对这1 228台汽车用户共补贴的钱数．设11月份手动型汽车、自动型汽车分别出售了x台、y台．根据题意，得,解得则政府对这1 228台汽车用户共补贴了(560×1.3×8＋400×1.25×9)×5%＝516.2(万元)．故选B.
【举一反三2】小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．仔细阅读小明父母之间的对话：妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明听后很快计算出今天排骨的单价为______元/斤．
【答案】18
【解析】设上个月萝卜的单价为x元，排骨的单价为y元，由题意，得，解得则这个月排骨的单价为15×(1＋20%)＝18(元)．答；今天排骨的单价为18元/斤．故答案为18.
【举一反三3】CNI公司去年的利润(总收入－总支出)为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入是______，去年的总支出是________．
【答案】2 000万元，1 800万元
【解析】设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，由题意，得,解得答：去年的总收入为2 000万元，总支出为1 800万元．故答案为2 000万元，1 800万元．
【举一反三4】某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产17吨，其中水稻超产10%，小麦超产15%，求去年计划生产水稻和小麦各多少吨．
【答案】解设去年计划生产水稻和小麦各x，y吨．
根据题意，得，解得
答：去年计划生产水稻和小麦各5,10吨．
【举一反三5】某工厂去年的利润(总产值－总支出)为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？
【答案】解设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，
根据题意，得,
解得
答：去年的总产值为2 000万元，总支出为1 800万元．
【题型11】相遇问题
【典型例题】甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行，2 h相遇，若甲比乙每小时多骑2.5 km，则乙的速度是每小时( )
A.12.5 km B.15 km C.17.5 km D.20 km
【答案】B
【解析】本题中的两个等量关系为甲速度＝乙速度＋2.5；2×甲速度＋2×乙速度＝65.设甲的速度是每小时x千米，乙的速度是每小时y千米．则解得∴乙的速度是每小时15千米．故选B.
【举一反三1】甲、乙二人相距42 km，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙14小时才能追上甲，则甲乙二人每小时各走( )
A.12 km,9 km B.9 km,12 km C.10 km,11 km D.11 km,10 km
【答案】B
【解析】设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意，得
解得故选B.
【举一反三2】甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发，若同向而行，则5小时后，快者追上慢者；若相向而行，则2小时后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度(单位：千米/小时)分别是( )
A.14和6 B.24和16 C.28和12 D.30和10
【答案】A
【解析】根据题意可知，本题中的等量关系是“快者走过的路程减去慢者走过的路程为40千米”和“快者走过的路程加上慢者走过的路程为40千米”，列方程组求解即可．设快者速度和慢者速度分别是x，y，则解得故选A.
【举一反三3】甲、乙二人相距42 km，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙14小时才能追上甲，则甲乙二人每小时各走( )
A.12 km,9 km B.9 km,12 km C.10 km,11 km D.11 km,10 km
【答案】B
【解析】设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，由题意，得
解得故选B.
【举一反三4】甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？
【答案】解 设甲，乙速度分别为x，y千米/时，
根据题意，得
解得
答：甲的速度是3.6千米/时，乙的速度是6千米/时．
【举一反三5】甲，乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行95小时相遇．如果甲比乙先出发23小时，那么乙出发后32小时两人相遇．求：两人的速度各是多少？
【答案】解 设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，
根据题意列出方程组，得
解得
答：甲的速度是4.5千米/时，乙的速度是5.5千米/时．
【题型12】盈余问题
【典型例题】《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有x个人，物品价格为y钱，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据“每人出8钱，则多出3钱”可列8x-3=y；根据“每人出7钱，则还差4钱”可列7x+4=y．
【举一反三1】七年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是( )
A.14 B.13 C.12 D.15
【答案】C
【解析】设这间会议室的座位排数是x排，人数是y人．等量关系：①每排座位坐12人，则有11人没有座位，即12x＋11＝y；②每排座位坐14人，则余1人独坐一排，即14(x－1)＋1＝y.根据题意，得解得故选C.
【举一反三2】《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴x+1＝y．
∴所列方程组为，
即．
【举一反三3】《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有x个人，物品价格为y钱，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据“每人出8钱，则多出3钱”可列8x-3=y；根据“每人出7钱，则还差4钱”可列7x+4=y．
【举一反三4】七年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是( )
A.14 B.13 C.12 D.15
【答案】C
【解析】设这间会议室的座位排数是x排，人数是y人．等量关系：①每排座位坐12人，则有11人没有座位，即12x＋11＝y；②每排座位坐14人，则余1人独坐一排，即14(x－1)＋1＝y.根据题意，得解得故选C.
【题型13】求标价
【典型例题】某顾客在商场搞活动期间购买了甲、乙两种商品，分别是以7折和9折的优惠购买的，共付款386元，这两种商品原价和为500元，则甲、乙两商品的原价分别是( )
A.320元，180元 B.300元，200元 C.330元，170元 D.310元，190元
【答案】A
【解析】根据题意可知，本题中的等量关系是以7折优惠价购买甲种商品所付钱数＋以9折优惠价购买乙种商品所付钱数＝386元，甲种商品原价＋乙种商品原价＝500元．根据这两个等量关系可以列出方程组，然后求解即可．设甲、乙两商品的原价分别是x元，y元．则，解得故选A.
【举一反三1】春节前夕，唐狮服装专卖店按标价打折销售．茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共计260元，付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元，则这两件衣服的原标价各是( )
A.100元，300元 B.100元，200元 C.200元，300元 D.150元，200元
【答案】A
【解析】设这两件衣服的原标价各是x元，y元，根据题意可得：第一件打七折，第二件打五折，共计260元，第二件打七折，第一件打五折，共计260－40元，据此列方程组求解．设这两件衣服的原标价各是x元，y元，由题意，得，解得即这两件衣服的原标价各是300元，100元．故选A.
【举一反三2】已知甲、乙两种商品原来单价和为160元，因市场变化，销售时甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，则甲种商品原来的单价是________元，乙种商品原来的单价是_______元．
【答案】57.6 134.4
【解析】如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为160元”可得出方程为x＋y＝160，根据“甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了20%”，可得出方程为x(1－10%)＋y(1＋40%)＝160(1＋20%)．设甲种商品原来的单价是x元，乙种商品原来的单价是y元，依题意得解得(1－10%)×64＝57.6(元)，(1＋40%)×96＝134.4(元)．即：甲种商品现在的单价是57.6元，乙种商品现在的单价是113.4元．故答案是57.6；102.4.
【举一反三3】甲乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按照40%的利润定价，在实际出售时候，应顾客的要求，两件衣服均按9折销售，这样商店共获利157元，甲乙两件衣服的定价各是多少钱？
【答案】解 设甲衣服的成本为x元，乙衣服的成本为y元，
则有方程组：，
解得
则甲衣服的定价为(1＋50%)×300＝450元，乙衣服的定价为(1＋40%)×200＝280元，
答：甲衣服的定价为450元，乙衣服的定价为280元．
【题型14】工作量问题
【典型例题】某市准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则(x＋y)的值为( )
A.20 B.15 C.10 D.5
【答案】A
【解析】设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，由题意，得解得∴x＋y＝20.故选A.
【举一反三1】2台大收割机5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时，共收割小麦8公顷，每台大、小收割机每小时收割小麦分别为( )
A.0.4公顷和0.2公顷 B.0.5公顷和0.3公顷 C.0.2公顷和0.4公顷 D.0.3公顷和0.5公顷
【答案】A
【解析】设每台大、小收割机每小时收割小麦分别为x公顷，y公顷，由题意，得,解得即每台大、小收割机每小时收割小麦分别为0.4公顷，0.2公顷．故选A.
【举一反三2】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟．
【答案】40
【解析】设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，根据题中“加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟”列出方程组并解答．依题意，得由①＋②，得7x＋14y＝140，所以x＋2y＝20，则2x＋4y＝40，所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．故答案是40.
【举一反三3】甲，乙两场计划在上月共生产冰箱360台，结果甲厂完成计划的112%，乙场完成任务的110%，两厂共生产冰箱400台．则甲厂商上个月生产了______台冰箱，乙厂上个月生产了______台．
【答案】200，160
【解析】首先设甲厂计划生产零件为x个，乙厂计划生产零件为y个，根据题意可得两个等量关系，即两厂计划生产零件数＝甲厂计划生产零件数＋乙厂计划生产零件数，两厂实际生产零件数＝甲厂实际生产零件数＋乙厂实际生产零件数，根据这两个等量关系可列出方程组，再解即可．由此可得方程组解方程组得答：五月份甲、乙两厂超额生产的零件分别为200个，160个．故答案为200,160.
【举一反三4】杭州地铁5号线全长48.18公里，投资315.9亿元，规划建设预期2014－2019年，杭州工程地铁队负责建设，分两个班组分别从杭州南站外香樟路站和余杭科技岛站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．
(1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进1.7米，乙组平均每天能比原来多掘进1.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【答案】解 (1)设甲、乙班组平均每天掘进x米，y米，
由题意，得, 解得
答：甲班组平均每天掘进12.2米，乙班组平均每天掘进9.8米．
(2)设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需a天，b天完成任务，
则a＝(48 180－110)÷(12.2＋9.8)＝2 185(天)，
b＝(48 180－110)÷(12.2＋1.7＋9.8＋1.3)＝1 922.8(天)，
因此a－b＝2 185－1 922.8＝262.2(天)．
答：少用262.2天完成任务．
【举一反三5】为了解决居民饮水问题，我县政府决定修一条总长为1 800米的引水渠，并将工程承包给甲，乙两工程队来施工，若甲，乙两队合作10天后，再由甲单独完成剩下的工程，刚好20天完成，若甲先做了12天后，剩下的由乙单独做还需40天才能完工．问甲队，乙队每天各施工多少米工程？
【答案】解 设甲队每天各施工x米工程，乙队每天各施工y米工程，
由题意，得解得
答：甲队每天各施工50米工程，乙队每天各施工30米工程；5.3二元一次方程组的应用
【知识点1】由实际问题抽象出二元一次方程组 1
【知识点2】二元一次方程组的应用 2
【题型1】生产配套问题 3
【题型2】综合问题 4
【题型3】追及问题 4
【题型4】积分问题 5
【题型5】合理分配问题 6
【题型6】求进价 7
【题型7】航行问题 7
【题型8】和差倍分问题 8
【题型9】数字问题 8
【题型10】求现有量 9
【题型11】相遇问题 10
【题型12】盈余问题 11
【题型13】求标价 11
【题型14】工作量问题 12
【知识点1】由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
1.（2025春 邗江区校级月考）古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2025 张店区二模）我国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？其大意为：用绳子测量井的深度，如果将绳子折成三等份，则一份绳长比井深多4尺，如果将绳子折成四等份，则一份绳长比井深多1尺，则绳长、井深各是多少尺？若设绳长x尺，并深y尺，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识点2】二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
1.（2023秋 清镇市期末）小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1h看到的里程情况．
时刻 12：00 13：00 14：00
里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与12：00时所看到的正好互换了 比12：00时看到的两位数中间多了一个0
小明在13：00时看到的数是（ ）
A．16 B．61 C．72 D．94
2.（2024春 五华区校级期中）在全国足球甲级A组的前11轮比赛中，某队保持不败，共积累23分．按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队胜的场数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3.（2024 台安县一模）如图，我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？该问题中的羊价为（ ）
A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱
【题型1】生产配套问题
【典型例题】某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，已知一个螺栓与两个螺母配成一套，设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套．则所列的方程组是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的工人分别为( )
A.50人，40人 B.30人，60人 C.40人，50人 D.60人，30人
【举一反三2】包装厂有工人42人，每个工人平均每天可以生产圆形零件120个或方形零件80个，两个圆形零件与一个方形零件组合可配成一个圆柱形．如果你是这家包装厂的厂长，为使生产的零件能合理的配套，你认为应安排______名工人生产圆形零件，______名工人生产方形零件．
【举一反三3】某工厂有A、B、C、D四个小组制造同一型号的螺栓与螺母，A组每天能制造螺栓8个或者螺母10个，B组每天能制造螺栓9个或者螺母12个，C组每天能制造螺栓7个或者螺母11个，D组每天能制造螺栓6个或者螺母7个．现在把一个螺母和一个螺栓配套组装成一个新型零件，则7天中这四个小组最多可组装________个零件．
【举一反三4】现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问：用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
【举一反三5】某工厂要生产某种型号方桌一批，已知每3立方米的材料可做桌面2个或桌腿5个，一个桌面和四个桌腿组成一个方桌．计划用130立方米的这种材料生产桌椅，应分别用多少材料生产桌面才能和桌腿恰好配套？共能生产多少套？
【题型2】综合问题
【典型例题】已知某座桥长1 000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用了1分钟，这列火车在桥上的时间为40秒．则火车的速度和车长分别是( )
A.20米/秒，200米 B.30米/秒，300米 C.15米/秒，180米 D.25米/秒，240米
【举一反三1】学校到县城有28千米，全程需1小时，除乘汽车外，还需要步行一段路，已知汽车的速度为36千米/时，人步行的速度为4千米/时，则步行用了( )
A.13分钟 B.14分钟 C.15分钟 D.16分钟
【举一反三2】已知某铁桥长2 000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用55秒，整列火车在桥上的时间为45秒，则火车的速度为______米/秒，车长______米．
【举一反三3】两人骑自行车在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒名相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个的速度各是多少？
【题型3】追及问题
【典型例题】现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6 h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇，则速度快的汽车和速度慢的汽车的速度分别为( )
A.60 km/h和40 km/h B.80 km/h和60 km/h C.40 km/h和20 km/h D.80 km/h和40 km/h
【举一反三1】甲，乙两人驾车都从某地出发，同向而行，甲车出发半小时后，乙车开始追赶，乙车行驶了1.5小时追上甲车，已知乙车速度比甲车速度的2倍少40千米/小时，那么甲乙两车的速度分别为( )
A.60千米/时、80千米/时 B.80千米/时、60千米/时 C.32千米/时、24千米/时 D.24千米/时、32千米/时
【举一反三2】现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6 h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇，则速度快的汽车和速度慢的汽车的速度分别为( )
A.60 km/h和40 km/h B.80 km/h和60 km/h C.40 km/h和20 km/h D.80 km/h和40 km/h
【举一反三3】甲，乙两人驾车都从某地出发，同向而行，甲车出发半小时后，乙车开始追赶，乙车行驶了1.5小时追上甲车，已知乙车速度比甲车速度的2倍少40千米/小时，那么甲乙两车的速度分别为( )
A.60千米/时、80千米/时 B.80千米/时、60千米/时 C.32千米/时、24千米/时 D.24千米/时、32千米/时
【题型4】积分问题
【典型例题】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了( )
A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
【举一反三1】足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了( )
A.5场 B.7场 C.9场 D.11场
【举一反三2】一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错1题倒扣1分，某学生做了全部试题共得70分，他做对了( )
A.17道 B.18道 C.19道 D.20道
【举一反三3】在某校举办的足球比赛中规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？( )
A.胜了5场，平了5场 B.胜了4场，平了6场 C.胜了6场，平了4场 D.胜了7场，平了3场
【举一反三4】中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球．
【举一反三5】足球赛的积分方法如下：赢一场比赛得3分，平一场得一分，输一场得0分；某小组四个队进行单循环赛，其中一队积7分，该队赢____场，平了____场．
【举一反三6】某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛(即每队均需26场)，其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在第一赛季中胜、平、负的场数依次是____________．
【举一反三7】中国CBA篮球赛中，八一队某主力队员在一场比赛中22投14中，得了28分，除了3个三分球全中外，他还投中了______个2分球和______个罚球．
【题型5】合理分配问题
【典型例题】某工程队共有27人，每天每人可挖土4方，或运土5方，为使挖出的土及时运走，应分配挖土和运土的人分别是( )
A.12人，15人 B.14人，13人 C.15人，12人 D.13人，14人
【举一反三1】甲、乙两个工程队各有员工80人、100人，现在从外部调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队的23，则甲、乙两队各分到多少人？( )
A.50,40 B.36,54 C.28,62 D.20,70
【举一反三2】某自然村共135人参加挖渠劳动，其中挖土人数是运土人数的3倍少1人，问挖土和运土各多少人根据题意列出了方程组其中x表示____________；y表示____________．
【举一反三3】2010年江西水灾期间，某抗洪救灾小组A地段28人，B地段有15人，现又调来29人分配在A、B两个地段，要求使A地段的人数是B地段人数的2倍，则调往A地段和B地段的人数分别为________________．
【举一反三4】2002年世界杯足球赛韩国组委会公布的四分之一决赛门票价格为：一等席300美元，二等席200美元，三等席125美元．某商场在促销活动期间，组织获奖的36名顾客到韩国观看2002年世界杯足球赛四分之一决赛，除去其他费用后，计划用5 025美元购买两种门票(钱全部用完)，请你设计出几种方案供该商场选择，并说明理由．
【题型6】求进价
【典型例题】某商场以每件a元购进一批服装，如果规定以每件b元出售，平均每天卖出15件，30天共可获利22 500元．为了尽快回收资金，商场决定将每件服装降价20%出售，结果平均每天比减价前多卖出10件，这样30天仍可获利22 500元，则a，b的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】某商场购进商品后，加价40%作为销售价．商场搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款399元，两种商品原售价之和为490元，甲、乙两种商品的进价分别是( )
A.200元，150元 B.210元，280元 C.280元，210元 D.150元，200元
【举一反三2】某销售公司按定价销售某种电话，每部可获利48元；按定价的九折销售该电话6部与将定价降低30元销售9部所获利润相等，则该电话的进价为________，定价为________．
【举一反三3】某商场购进物品后，加价20%作为销售价．商场为了搞优惠促销，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折和九折，共付款360元，两种商品原销售价之和为540元，两种商品的进价分别是多少元．
【题型7】航行问题
【典型例题】某船由A地顺水而下到B地，然后又逆水而上到C地，共行驶了4小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时．如果A、C两地相距10千米，设A、B的距离为x千米，B、C的距离为y千米，则x、y的值为( )
A. B. C. D.都不对
【举一反三1】甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是( )
A.24 km/h,8 km/h B.22.5 km/h,2.5 km/h C.18 km/h,24 km/h D.12.5 km/h,1.5 km/h
【举一反三2】一艘船在相距120千米的两个码头间航行，去时顺水用了4小时，回来时逆水用了5小时，则水速为( )
A.2千米/小时 B.3千米/小时 C.4千米/小时 D.5千米/小时
【举一反三3】甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是( )
A.24 km/h,8 km/h B.22.5 km/h,2.5 km/h C.18 km/h,24 km/h D.12.5 km/h,1.5 km/h
【举一反三4】一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则x，y的值为( )
A. B. C. D.
【举一反三5】一只船在A、B两码头间航行，从A到B顺流航行需2小时，从B到A逆流航行需3小时，那么一只救生圈从A顺流漂到B需要______小时．
【举一反三6】一只船在A、B两码头间航行，从A到B顺流航行需2小时，从B到A逆流航行需3小时，那么一只救生圈从A顺流漂到B需要______小时．
【举一反三7】轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时(m－6)千米/小时，则水流速度是______．
【题型8】和差倍分问题
【典型例题】甲、乙两人年收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为( )
A.15 000元，12 000元 B.12 000元，15 000元 C.15 000元，11 250元 D.11 250元，15 000元
【举一反三1】七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了14名，这时男女同学之比为5∶3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有( )
A.39名 B.43名 C.47名 D.55名
【举一反三2】10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明现在年龄是______．妈妈现在年龄是______．
【举一反三3】学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是__________岁．
【举一反三4】某中学七年级(六)班共50名同学在“六·一”儿童节举行联欢活动，由于天气较热，班长决定用班费给每名同学买一支雪糕，给女同学买的是每支4元的蓝花牌雪糕，给男同学买的是每支3.5元的剑锋牌雪糕，共用了189元钱，问该班男、女同学各有多少名？
【题型9】数字问题
【典型例题】一个两位数，十位上数字比个位上数字大2，且十位上数字与个位上数字之和为12，则这个两位数为( )
A.46 B.64 C.57 D.75
【举一反三1】一个两位数的十位数字与个位数字的和是7.如果把这个两位数加上45，那么恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的二位数，则这个二位数是( )
A.36 B.25 C.61 D.16
【举一反三2】有一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为6，把个位上的数字与十位上的数字调换位置后，得到新的两位数比原数大18，原来的两位数是________．
【举一反三3】一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是______________．
【举一反三4】有一个两位数，除以它的各位数字之和，商为7，余数是6，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新数除以其各位数字之和，商为3，余数是5，求这个两位数．
【题型10】求现有量
【典型例题】甲仓库乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的60%，从乙仓库运出存粮的40%.结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨．若设甲仓库原来存粮x吨，乙仓库原来存粮y吨，则有( )
A. B. C. D.
【举一反三1】国家财政部网站公告，汽车购置税优惠政策2010年12月31日到期后停止执行，实施了两年的汽车购置税优惠政策“寿终正寝”，让去年年末汽车市场的火爆程度超乎想象，某经销商在公告之前的11月份共销售某种品牌汽车的手动型和自动型共960台，12月份出售这两种型号的汽车共1 228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比11月份增长30%和25%，若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元，根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，那么政府对这1 228台汽车用户共补贴了( )
A.642.5万元 B.516.2万元 C.219.2万元 D.225万元
【举一反三2】小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．仔细阅读小明父母之间的对话：妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；小明听后很快计算出今天排骨的单价为______元/斤．
【举一反三3】CNI公司去年的利润(总收入－总支出)为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总收入是______，去年的总支出是________．
【举一反三4】某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产17吨，其中水稻超产10%，小麦超产15%，求去年计划生产水稻和小麦各多少吨．
【举一反三5】某工厂去年的利润(总产值－总支出)为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元．去年的总产值、总支出各是多少万元？
【题型11】相遇问题
【典型例题】甲、乙两人骑自行车同时从相距65 km的两地相向而行，2 h相遇，若甲比乙每小时多骑2.5 km，则乙的速度是每小时( )
A.12.5 km B.15 km C.17.5 km D.20 km
【举一反三1】甲、乙二人相距42 km，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙14小时才能追上甲，则甲乙二人每小时各走( )
A.12 km,9 km B.9 km,12 km C.10 km,11 km D.11 km,10 km
【举一反三2】甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发，若同向而行，则5小时后，快者追上慢者；若相向而行，则2小时后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度(单位：千米/小时)分别是( )
A.14和6 B.24和16 C.28和12 D.30和10
【举一反三3】甲、乙二人相距42 km，若相向而行，2小时相遇；若同向而行，乙14小时才能追上甲，则甲乙二人每小时各走( )
A.12 km,9 km B.9 km,12 km C.10 km,11 km D.11 km,10 km
【举一反三4】甲乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么在乙出发后3小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么在甲出发后2.5小时相遇．甲、乙两人每小时各走多少千米？
【举一反三5】甲，乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行95小时相遇．如果甲比乙先出发23小时，那么乙出发后32小时两人相遇．求：两人的速度各是多少？
【题型12】盈余问题
【典型例题】《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有x个人，物品价格为y钱，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】七年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是( )
A.14 B.13 C.12 D.15
【举一反三2】《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有x个人，物品价格为y钱，则下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】七年级学生在会议室开会，每排座位坐12人，则有11人没有座位；每排座位坐14人，则余1人独坐一排，则这间会议室的座位排数是( )
A.14 B.13 C.12 D.15
【题型13】求标价
【典型例题】某顾客在商场搞活动期间购买了甲、乙两种商品，分别是以7折和9折的优惠购买的，共付款386元，这两种商品原价和为500元，则甲、乙两商品的原价分别是( )
A.320元，180元 B.300元，200元 C.330元，170元 D.310元，190元
【举一反三1】春节前夕，唐狮服装专卖店按标价打折销售．茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共计260元，付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元，则这两件衣服的原标价各是( )
A.100元，300元 B.100元，200元 C.200元，300元 D.150元，200元
【举一反三2】已知甲、乙两种商品原来单价和为160元，因市场变化，销售时甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%，则甲种商品原来的单价是________元，乙种商品原来的单价是_______元．
【举一反三3】甲乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按照40%的利润定价，在实际出售时候，应顾客的要求，两件衣服均按9折销售，这样商店共获利157元，甲乙两件衣服的定价各是多少钱？
【题型14】工作量问题
【典型例题】某市准备对一段长120 m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道x m，乙工程队平均每天疏通河道y m，则(x＋y)的值为( )
A.20 B.15 C.10 D.5
【举一反三1】2台大收割机5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机均工作5小时，共收割小麦8公顷，每台大、小收割机每小时收割小麦分别为( )
A.0.4公顷和0.2公顷 B.0.5公顷和0.3公顷 C.0.2公顷和0.4公顷 D.0.3公顷和0.5公顷
【举一反三2】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟．
【举一反三3】甲，乙两场计划在上月共生产冰箱360台，结果甲厂完成计划的112%，乙场完成任务的110%，两厂共生产冰箱400台．则甲厂商上个月生产了______台冰箱，乙厂上个月生产了______台．
【举一反三4】杭州地铁5号线全长48.18公里，投资315.9亿元，规划建设预期2014－2019年，杭州工程地铁队负责建设，分两个班组分别从杭州南站外香樟路站和余杭科技岛站同时开工掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进2.4米，经过5天施工，两组共掘进了110米．
(1)求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进1.7米，乙组平均每天能比原来多掘进1.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【举一反三5】为了解决居民饮水问题，我县政府决定修一条总长为1 800米的引水渠，并将工程承包给甲，乙两工程队来施工，若甲，乙两队合作10天后，再由甲单独完成剩下的工程，刚好20天完成，若甲先做了12天后，剩下的由乙单独做还需40天才能完工．问甲队，乙队每天各施工多少米工程？
