第一单元 预备知识
第1讲 集合
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)确定性 互异性 (2)①∈ ② (3)描述法 图示法(Venn图)
(4)N N*或N+ Z Q R
2.任意一个元素 B A 至少
相同 A=B 不含
3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不
UA
4.(1) (2)B∪A A (3) A ∩
( UA) ( UB)
【对点演练】
1.∈ = [解析] 由x2-5x+6=0,解得x=2或x=3,所以A={2,3},所以3∈A,{2} A,{2,3}=A.
2.{(1,1)} [解析] 由得所以D={(1,1)}.显然点(1,1)在直线y=x上,所以C D.
3.{x|x≤2或x≥10} {x|2
4.-1 [解析] 因为集合{1,a}={a,a2},所以a2=1,即a=1或a=-1,当a=1时,与集合中元素的互异性矛盾,当a=-1时,{1,-1}={-1,1},故a=-1.
5.[-4,+∞) [解析] A={x|y=ln(x-1)}={x|x>1},因为y=x2-4x=(x-2)2-4≥-4,当且仅当x=2时取等号,所以B={y|y=x2-4x,x∈A}={y|y≥-4},所以A∪B=[-4,+∞).
6. [解析] 因为A∩B=B,所以B A.若B为空集,则关于x的方程ax=1无解,可得a=0;若B不为空集,则a≠0,由ax=1,得x=,所以=2或=3,可得a=或a=.综上,实数a的所有可能取值组成的集合为.
7.{x|x≤-1} [解析] 因为A∪B={x|x>-1},所以( RA)∩( RB)= R(A∪B)={x|x≤-1}.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据集合中的元素之和为1,确定一元二次方程的根,即可得出a的所有取值组成的集合.(2)利用列举法得集合B={(2,1),(4,2)},即可求解.
(1)D (2)2 [解析] (1)由题得,当一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有两个相等的实根时,得a2=1,即a=±1;当一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有两个不相等的实根时,得a2=0,即a=0.综上,实数a的所有取值组成的集合为{0,1,-1}.故选D.
(2)当x=1,y=1,2,4时,x-y分别为0,-1,-3,均不满足x-y∈A.当x=2,y=1时,满足x-y∈A;当x=2,y=2时,不满足x-y∈A;当x=2,y=4时,不满足x-y∈A.当x=4,y=1时,不满足x-y∈A;当x=4,y=2时,满足x-y∈A;当x=4,y=4时,不满足x-y∈A.所以B={(2,1),(4,2)},故集合B中的元素有2个.
变式题 (1)A (2)-1 [解析] (1)当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=-1,0,1.所以集合A={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1)},共有9个元素.
(2)由题意得a≠0,a≠1,则可得经验证,符合题意,所以(a+b)2025=-1.
例2 [思路点拨] (1)先求出集合B,再根据集合的包含关系,求得C,即可得集合C的个数.(2)由已知可得0∈B,结合A B得到结果.
(1)4 (2)B [解析] (1)由x2-5x<0,得0(2)由A B,可得0∈B.若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足A B.故选B.
变式题 (1)A (2)D [解析] (1)M==,N==,因为2k+1,k∈Z表示所有的奇数,而k+2,k∈Z表示所有的整数,所以M N.故选A.
(2)由x-a≥0可得x≥a,由4x-8≥0可得x≥2.依题意得[a,+∞) [2,+∞),所以a≥2.故选D.
例3 [思路点拨] (1)根据根式、一元二次不等式和指数函数的性质求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.(2)由交集、并集和补集的运算得到结果.
(1)A (2)A [解析] (1)因为A={x|2x-x2≥0}={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∩B=(1,2].故选A.
(2)由题意得M∪N={x|x<2},所以{x|x≥2}= U(M∪N),故选A.
变式题 (1)A (2)B [解析] (1)易知0∈A,-1∈A,-3 A,2 A,3 A,则A∩B={-1,0}.故选A.
(2)∵A={x||x-2|≥1}={x|x≤1或x≥3},∴ RA={x|1例4 [思路点拨] 先求出集合A,再根据A∩B= 求得a的取值范围.
[1,+∞) [解析] 由题意知A={x|-1a,a∈R}且A∩B= ,所以a≥1,即a的取值范围是[1,+∞).
变式题 B [解析] 因为S={x|x<-1或x>5},T={x|a例5 [思路点拨] (1)设该中学的学生总数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,根据集合A,B,A∪B,A∩B中元素个数的关系可得答案.(2)由“真分拆”的定义即可求解.
(1)C (2)A [解析] (1)设该中学的学生总数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,则card(A)=60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=46%m.故选C.
(2)由题意,集合U={1,2,3,4,5,6}的“真分拆”有A1={5},A2={1,2,3,4,6};A1={1,4},A2={2,3,5,6};A1={3,4},A2={1,2,5,6};A1={4,5},A2={1,2,3,6};A1={4,6},A2={1,2,3,5}.共5种,故选A.
变式题 AD [解析] 因为P是一个数集,且至少含有两个数,所以P中必有一个非零实数.对于选项A,若P为数域,a,b∈P,则当a=b≠0时,a-b=0∈P,=1∈P,故A正确;对于选项B,取a=1,b=2,但 Z,不满足条件,故B错误;对于选项C,例如M=Q∪{},取a=1,b=,但1+ M,所以数集M不是一个数域,故C错误;对于选项D,由选项A可知,数域中必含有0,1两个数,根据数域的定义可知,数域必为无限集,故D正确.故选AD.第一单元 预备知识
第1讲 集合
1. C [解析] 由题意可得A∩B={0,1}.故选C.
2.D [解析] 全集U={x|-2≤x≤2},集合A={x|-1≤x<2},所以 UA=[-2,-1)∪{2}.故选D.
3.B [解析] A={x|x2-2x-3<0}={x|-14.D [解析] A={y|y=ex,x<0}=(0,1),B={y|y=ln x}=R,故A∪B=R.故选D.
5.C [解析] 由y=∈N且x∈N可知,x+3的值可以是3,4,6,12,则x的值可以是0,1,3,9,即A={0,1,3,9},故集合A的真子集个数为24-1=15.故选C.
6.B [解析] 由不等式x2-x-6>0,解得x<-2或x>3,所以B={x|x<-2或x>3},则 RB={x|-2≤x≤3}.由A={x|x>2},可得 RA={x|x≤2},则图中阴影部分所表示的集合为 R(A∪B)=( RA)∩( RB)={x|x≤2}∩{x|-2≤x≤3}={x|-2≤x≤2}.故选B.
7.2 [解析] 由A={1,3,a2},得a2≠1,即a≠±1,此时a+2≠1,a+2≠3,由B A,得a2=a+2,而a≠-1,所以a=2.
8.D [解析] 由集合M={x|x=2k+1,k∈Z},N={x|x=3k-1,k∈Z},得M∩N中k前面的系数应为2,3的最小公倍数,故排除A,B.对于C,当k=1时,x=7,而令3k-1=7,可得k不为整数,故N={x|x=3k-1,k∈Z}中不包含7,可得M∩N中不包含7,故C错误.故选D.
9.B [解析] 由2x>8,得x>3,故A={x∈N*|x>3}.由x2-7x-8<0,得-110.AC [解析] 当a=1时,由(a,b)∈{(x,y)|y=x+1}得b=2,满足b∈{1,2,3},所以=21=2;当a=2时,由(a,b)∈{(x,y)|y=x+1}得b=3,满足b∈{1,2,3},所以=28=256;当a=3时,由(a,b)∈{(x,y)|y=x+1}得b=4,不满足b∈{1,2,3}.故=2或256.故选AC.
11.BCD [解析] 对于A,由题意知,A={x|012.ABD [解析] 设A={x|x是参加“100米”的同学},B={x|x是参加“400米”的同学},C={x|x是参加“1500米”的同学},则card(A)=8,card(B)=7,card(C)=5,且card(A∩B)=4,card(A∩C)=3,card(B∩C)=3,则card(A∩B∩C)=12-[(8+7+5)-(4+3+3)]=2,所以三项比赛都参加的有2人,只参加“100米”的有3人,只参加“400米”的有2人,只参加“1500米”的有1人.故选ABD.
13.1或2 [解析] 因为A∪B=A,所以B A.当a=0时,B={0,-1},不满足B A;当a=1时,B={1,0},满足B A;当a=2时,B={2,3},满足B A;当a=3时,B={3,8},不满足B A.故实数a的值为1或2.
14.7 [解析] 集合A={x|x2-5x+6=0}={2,3},B={x∈N|-115.D [解析] 不妨设I={1,2,3,4},则I={2,3,4}∪{1}={1,3,4}∪{2}={1,2,4}∪{3}={1,2,3}∪{4}={1,2}∪{3,4}={1,3}∪{2,4}={1,4}∪{2,3},故I的2划分有7个;I={1,2}∪{3}∪{4}={1,3}∪{2}∪{4}={1,4}∪{2}∪{3}={2,3}∪{1}∪{4}={2,4}∪{1}∪{3}={3,4}∪{1}∪{2},故I的3划分有6个,I={1}∪{2}∪{3}∪{4},故I的4划分有1个.综上,I的划分共有7+6+1=14(个).故选D.第一单元 预备知识
第1讲 集合
【课标要求】 1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
1.集合及其表示方法
(1)集合中元素的性质: 、 、无序性.
(2)集合与元素的关系:①属于,记为 ;②不属于,记为 .
(3)集合的表示方法:列举法、 、 和区间法.
(4)常见数集及记法
数集 自然 数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号
2.集合间的基本关系
文字语言 符号语言 记法
子集 集合A中 都是集合B中的元素 x∈A x∈B A B或
集合A是集合B的子集,并且B中 有一个元素不属于A ①A B; ② x∈B,x A A B或B A
相等 集合A,B中的元素完全 A B,B A
(续表)
文字语言 符号语言 记法
空集 任何元素的集合,空集是任何集合的子集 ① x,x ;② A
3.集合的基本运算
表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 由所有属于A 属于B的元素组成的集合 {x|x∈A, x∈B}
并集 由所有属于A 属于B的元素组成的集合 {x|x∈A, x∈B}
补集 全集U中 属于A的所有元素组成的集合 {x|x∈U, x A}
4.集合的运算性质
(1)交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩ = ∩A= ;A∩B=A A B.
(2)并集的运算性质:A∪B= ;A∪A=A;A∪ = ∪A=A;A∪B= B A.
(3)补集的运算性质:A∪( UA)=U;A∩( UA)= ; U( UA)= ;
U(A∪B)=( UA) ( UB); U(A∩B)= ∪ .
常用结论
1.集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.
2.子集的传递性:A B,B C,则A C(真子集也满足).
3.A B A∩B=A A∪B=B ( UA) ( UB).
4.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知集合A={x|x2-5x+6=0},则3 A,{2} A,{2,3} A(从“∈, , ,=”中选择合适的符号填空).
2.[教材改编] 已知集合C={(x,y)|y=x},集合D=,集合D用列举法表示为 ,并且 C D(从“=”“ ”“ ”中选一个合适的填入).
3.[教材改编] 设全集为R,集合A={x|3≤x<7},B={x|2题组二 常错题
◆索引:忽视集合中元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况致错;忽视集合运算中端点取值致错.
4.已知集合{1,a}={a,a2},则实数a= .
5.已知集合A={x|y=ln(x-1)},B={y|y=x2-4x,x∈A},则A∪B= .
6.已知集合A={2,3},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,则实数a的所有可能取值组成的集合为 .
7.已知集合A={x|-10},则( RA)∩( RB)= .
集合的概念
例1 (1)[2024·济南模拟] 已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}中的元素之和为1,则实数a的所有取值组成的集合为 ( )
A.{0} B.{1}
C.{-1,1} D.{0,-1,1}
(2)[2024·南京二模] 已知集合A={1,2,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中的元素个数为 .
总结反思
解决集合概念问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素是什么;二是看这些元素的限制条件是什么;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合中的元素是否满足互异性.
变式题 (1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 ( )
A.9 B.8 C.5 D.4
(2)设a,b∈R,已知集合={0,a2,a+b},则(a+b)2025= .
例2 (1)已知集合A={1,2},B={x∈N|x2-5x<0},则满足条件A C B的集合C的个数为 .
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a= ( )
A.2 B.1 C. D.-1
总结反思
(1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合的关系,对于含有参数的集合,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数进行分类讨论.
(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是非空集合的真子集.
(3)根据集合的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系.
变式题 (1)已知集合M=,N=,则 ( )
A.M N B.N M
C.M=N D.M∩N=
(2)[2024·广东佛山顺德区模拟] 已知集合A={x|x-a≥0},B={x|y=},若A B,则a的值可以是 ( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
集合的基本运算
角度1 集合的运算
例3 (1)[2024·南昌三模] 已知集合A={x|y=},B={y|y=2x+1},则A∩B= ( )
A.(1,2] B.(0,1] C.[1,2] D.[0,2]
(2)[2023·全国乙卷] 设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N) B.N∪( UM)
C. U(M∩N) D.M∪( UN)
总结反思
对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.
变式题 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知集合A={x|-5A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
(2)[2024·河北沧州三模] 已知集合A={x||x-2|≥1},B={x|2≤x<4},则图中阴影部分表示的集合是 ( )
A.{x|1C.{x|1≤x<4} D.{x|2角度2 利用集合的运算求参
例4 已知集合A={x|x2<1},B={x|x>a,a∈R},若A∩B= ,则a的取值范围为 .
总结反思
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.
(2)若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.
变式题 [2024·阜阳一模] 设集合S={x|x<-1或x>5},集合T={x|aA.(-∞,-3)∪(-1,+∞)
B.(-3,-1)
C.(-∞,-3]∪[-1,+∞)
D.[-3,-1]
角度3 集合语言的运用
例5 (1)某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 ( )
A.62% B.56%
C.46% D.42%
(2)已知U是非空数集,若非空集合A1,A2满足以下三个条件,则称(A1,A2)为集合U的一种“真分拆”,并规定(A1,A2)与(A2,A1)为集合U的同一种“真分拆”.
①A1∩A2= ;
②A1∪A2=U;
③Ai(i=1,2)中的元素个数不是Ai中的元素.
则集合U={1,2,3,4,5,6}的“真分拆”的种数是 ( )
A.5 B.6
C.10 D.15
总结反思
以集合语言为背景的新定义问题,需正确理解新定义(即分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚),转化成熟知的数学情境,并能够应用到具体的解题过程中,这是破解新定义集合问题的关键所在.
变式题 (多选题)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对于任意a,b∈P,都有a+b,a-b,ab∈P,且当b≠0时,∈P,则称P是一个数域.例如,有理数集Q是数域.下列说法正确的有 ( )
A.数域中必含有0,1两个数
B.整数集是数域
C.若有理数集Q M,则数集M一定是数域
D.数域中有无限多个元素第一单元 预备知识
第1讲 集合
1. [2025·八省联考] 已知集合A={-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B= ( )
A.{0}
B.{1}
C.{0,1}
D.{-1,0,1,4}
2.[2024·北京海淀区一模] 已知全集U={x|-2≤x≤2},集合A={x|-1≤x<2},则 UA= ( )
A.(-2,-1)
B.[-2,-1)
C.(-2,-1)∪{2}
D.[-2,-1)∪{2}
3.[2024·武汉调研] 已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x∈Z|x2-4x<0},则A∩B= ( )
A.{2,3,4} B.{1,2}
C.{0,1,2} D.{1,2,3}
4.已知集合A={y|y=ex,x<0},B={y|y=ln x},则A∪B= ( )
A.(-∞,1) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.R
5.设集合A=,则集合A的真子集个数为 ( )
A.7 B.8
C.15 D.16
6.已知全集是实数集R,集合A={x|x>2},B={x|x2-x-6>0},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A.{x|x>2}
B.{x|-2≤x≤2}
C.{x|x≤2}
D.{x|x<-2或x>2}
7.[2024·广东广州一模] 设集合A={1,3,a2},B={1,a+2},若B A,则a= .
8.[2024·浙江杭州二中、温州中学、金华一中联考] 设集合M={x|x=2k+1,k∈Z},N={x|x=3k-1,k∈Z},则M∩N= ( )
A.{x|x=2k+1,k∈Z}
B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=6k+1,k∈Z}
D.{x|x=6k-1,k∈Z}
9.[2024·湖南邵阳模拟] 若集合A={x∈N*|2x>8},集合B={x|x2-7x-8<0},则A∩B的真子集个数为 ( )
A.14 B.15
C.16 D.31
10.(多选题)[2024·河南部分学校联考] 已知{a,b} {1,2,3},(a,b)∈{(x,y)|y=x+1},则的值可以为 ( )
A.2 B.64
C.256 D.1024
11.(多选题)已知集合A={x|log2x≤1},B={x||x|≤1},则 ( )
A.A={x|0≤x≤2}
B.A∩B={x|0C.A∪B={x|-1≤x≤2}
D.N*∩B的子集个数为2
12.(多选题)[2024·石家庄质检] 某校五一田径运动会上,共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目,其中有8人参加“100米”,有7人参加“400米”,有5人参加“1500米”,“100米”和“400米”都参加的有4人,“100米”和“1500米”都参加的有3人,“400米”和“1500米”都参加的有3人,则下列说法正确的是 ( )
A.三项比赛都参加的有2人
B.只参加“100米”的有3人
C.只参加“400米”的有3人
D.只参加“1500米”的有1人
13.[2024·山东烟台二模] 已知集合A={0,1,2,3},B={a,a2-1},若A∪B=A,则实数a的值为 .
14.[2024·重庆八中三模] 已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x∈N|-115.如果集合U存在一组两两不交(当两个集合的交集为空集时,称为不交)的非空子集A1,A2,…,Ak(k∈N*,k≥2),且满足A1∪A2∪…∪Ak=U,那么称无序子集组A1,A2,…,Ak构成集合U的一个k划分.若集合I中含有4个元素,则集合I的所有划分的个数为 ( )
A.7 B.9
C.10 D.14(共70张PPT)
第1讲 集合
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的关系.
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻
画集合.
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.
7.能使用 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象
概念的作用.
◆ 知识聚焦 ◆
1.集合及其表示方法
（1）集合中元素的性质：________、________、无序性.
（2）集合与元素的关系：①属于，记为___；②不属于，记为___.
（3）集合的表示方法：列举法、________、__________________和
区间法.
（4）常见数集及记法
确定性
互异性
描述法
图示法（图）
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ___ _________ ___ ___ ___
或
2.集合间的基本关系
文字语言 符号语言 记法
子集
真子 集
相等 _______
空集 ______任何元素的集合，空 集是任何集合的子集
任意一个元素
至少
相同
不含
3.集合的基本运算
表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法
交集 __________________________________________ _____
并集 _______________________________________ _____
且
且
或
或
表示 运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法
补集 ________________________________________ _____
续表
不
4.集合的运算性质
（1）交集的运算性质：; ;
;___ .
（2）并集的运算性质：_______; ;
;___ .
（3）补集的运算性质：； ___；
____；
___；_______ _______.
常用结论
1.集合子集的个数:集合中有个元素,则集合有个子集、
个真子集、个非空子集、个非空真子集.
2.子集的传递性:,,则（真子集也满足）.
3..
4.集合元素个数:
（常用在实际问题中）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知集合，则3___，
___，___（从“ ， ， ， ”中选择合适的符号填空）.
[解析] 由,解得或，所以 ，所以
，， .
2.［教材改编］ 已知集合 ，集合
，集合 用列举法表示为________，并且
___（从“”“ ”“ ”中选一个合适的填入）.
[解析] 由得所以.
显然点 在直线上，所以 .
3.［教材改编］ 设全集为，集合 ，
，则 __________________，
__________________________.
或
或
[解析] ， ，
，或 .
又或， 或
.
题组二 常错题
◆ 索引：忽视集合中元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到
位致错;忘记空集的情况致错;忽视集合运算中端点取值致错.
4.已知集合，,，则实数 ____.
[解析] 因为集合，,，所以，即或 ，
当时，与集合中元素的互异性矛盾，
当时， ,,，故 ．
5.已知集合，， ，则
__________.
[解析] ，
因为，当且仅当 时取等号，
所以,，
所以 .
6.已知集合,,若,则实数 的所
有可能取值组成的集合为_ _______.
[解析] 因为,所以.
若为空集,则关于的方程 无解,可得;
若不为空集,则,
由,得,所以 或,可得或.
综上,实数 的所有可能取值组成的集合为 .
7.已知集合， ，则
___________.
[解析] 因为 ，所以
.
探究点一 集合的概念
例1（1）[2024·济南模拟]已知集合 中的元素之
和为1，则实数 的所有取值组成的集合为( )
A. B. C.， D.,，
√
［思路点拨］根据集合中的元素之和为1，确定一元二次方程的根，
即可得出 的所有取值组成的集合.
[解析] 由题得，当一元二次方程 有两个相等的
实根时，得，即；
当一元二次方程 有两个不相等的实根时，
得，即.
综上，实数 的所有取值组成的集合为,1, .故选D.
（2）[2024·南京二模] 已知集合, ,
，，则集合 中的元素个数为___.
2
［思路点拨］利用列举法得集合, ，即可求解.
[解析] 当，，2，4时，分别为0,, ,均不满足
.
当，时，满足;
当， 时，不满足；
当，时，不满足.
当 ，时，不满足；
当，时，满足 ；
当，时，不满足.
所以,，故集合 中的元素有2个.
[总结反思]
解决集合概念问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素是什么;
二是看这些元素的限制条件是什么;三是根据元素的特征（满足的条
件）构造关系式解决相应问题.特别提醒：含字母的集合问题,在求出
字母的值后,需要验证集合中的元素是否满足互异性.
变式题（1）已知集合,,｝,则 中元
素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
[解析] 当时，,0,1;
当时，,0,1;
当 时，,0,1.
所以集合,,,, ,
,,, ，共有9个元素.
√
（2）设,,已知集合,,,则 ____.
[解析] 由题意得,,则可得 经
验证,符合题意,所以 .
探究点二 集合间的基本关系
例2（1）已知集合， ，则满足条
件的集合 的个数为___.
4
［思路点拨］先求出集合，再根据集合的包含关系，求得 ，即可
得集合 的个数.
[解析] 由，得 ，所以
，
因为， ，
所以或或或，所以集合 的个数为4.
（2）[2023· 新课标Ⅱ卷]设集合，，， ，
，若，则 ( )
A.2 B.1 C. D.
［思路点拨］由已知可得,结合 得到结果.
[解析] 由，可得.
若，则，此时 ，，，0，，
不满足；
若，则 ，此时，，，，，
满足 .故选B.
√
[总结反思]
（1）一般利用数轴法、图法以及结构法判断两集合的关系,对
于含有参数的集合,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数进行
分类讨论.
（2）确定非空集合的子集的个数,需先确定集合中的元素的个数.
特别提醒：不能忽略任何非空集合是它自身的子集，空集是非空集
合的真子集.
（3）根据集合的关系求参数值（或取值范围）的关键是将条件转化
为元素满足的式子或区间端点间的关系.
变式题（1）已知集合 ，
，则( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，
因为， 表示所有的奇数，而，表示所有的
整数，所以 ．故选A．
√
（2）[2024·广东佛山顺德区模拟]已知集合 ,
，若，则 的值可以是( )
A. B. C.1 D.4
[解析] 由可得，由可得 .
依题意得，所以 .故选D.
√
探究点三 集合的基本运算
角度1 集合的运算
例3（1）[2024·南昌三模]已知集合 ，
，则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据根式、一元二次不等式和指数函数的性质求出集
合， ，然后进行交集的运算即可．
[解析] 因为， ，
所以 .故选A．
√
（2）[2023·全国乙卷]设集合，集合 ,
,则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］由交集、并集和补集的运算得到结果.
[解析] 由题意得,所以 ,故选A.
√
[总结反思]
对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求
解,必要时可结合数轴以及图求解.
变式题（1）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知集合 ,
,,0,2,，则 ( )
A.， B.，
C.，， D.，0，
[解析] 易知,,,,,则, .故选A.
√
（2）[2024·河北沧州三模]已知集合
， ，则图中
阴影部分表示的集合是( )
A. B.
C. D.
[解析] 或 ，
，
图中阴影部分表示的集合是 .故选B.
√
角度2 利用集合的运算求参
例4 已知集合,，，若 ,
则 的取值范围为________.
[解析] 由题意知，
又， }且 ，
所以，即的取值范围是 .
［思路点拨］ 先求出集合，再根据 求得 的取值范围.
[总结反思]
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否
取到．
（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合
中元素之间的关系，再列方程（组）求解.
变式题 [2024·阜阳一模] 设集合或 ，集合
，且，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为或， ，且
，所以解得，即实数 的取值范围
为 .故选B.
√
角度3 集合语言的运用
例5（1）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 的学生喜欢
足球或游泳，的学生喜欢足球， 的学生喜欢游泳，则该中
学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］设该中学的学生总数为,喜欢足球的学生组成集合 ,
喜欢游泳的学生组成集合,根据集合,，， 中元素个数
的关系可得答案.
√
[解析] 设该中学的学生总数为，喜欢足球的学生组成集合 ，喜欢
游泳的学生组成集合，
则， ， ，
所以 故选C.
（2）已知是非空数集，若非空集合， 满足以下三个条件，则
称为集合的一种“真分拆”，并规定与 为集合
的同一种“真分拆”.
① ；
② ；
③中的元素个数不是 中的元素.
则集合，2，3，4，5， 的“真分拆”的种数是( )
A.5 B.6 C.10 D.15
［思路点拨］由“真分拆”的定义即可求解.
√
[解析] 由题意，集合，2，3，4，5，的“真分拆”有 ,
；
,；
,；
,；
, .共5种，故选A.
[总结反思]
以集合语言为背景的新定义问题,需正确理解新定义（即分析新定义的
特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚）,转化成熟知的数学情境,
并能够应用到具体的解题过程中,这是破解新定义集合问题的关键所在.
变式题 （多选题）设 是一个数集，且至少含有两个数，若对于任
意,，都有,,，且当时，，则称 是
一个数域.例如，有理数集 是数域.下列说法正确的有( )
A.数域中必含有0，1两个数
B.整数集是数域
C.若有理数集，则数集 一定是数域
D.数域中有无限多个元素
√
√
[解析] 因为是一个数集，且至少含有两个数，所以 中必有一个非
零实数.
对于选项A，若为数域，,，则当 时，
，，故A正确；
对于选项B，取, ，但，不满足条件，故B错误；
对于选项C，例如 ，取，，但，
所以数集 不是一个数域，故C错误；
对于选项D，由选项A可知，数域中必含有0，1两个数，根据
数域的定义可知，数域必为无限集，故D正确.故选 .
【备选理由】例1考查集合的概念与表示；
例1 ［配例1使用］ [2024·山东菏泽二模] 已知集合 ,
，,,，则集合 中所有元素之和为
___.
5
[解析] 由题得，则集合 中所有元素之和为
.
例2 ［配例2使用］ [2024·黑龙江部分学校二模] 已知
,，若，则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得 ，
，
因为，所以 ，解得 .故选A.
√
【备选理由】例2考查利用集合间的包含关系求参数；
例3 ［配例3使用］ [2024·河南三门峡部分名校模拟] 已知全集
，集合, ，则图中阴影部分
表示的集合为( )
A.B.
C.D.
√
【备选理由】例3考查集合的化简、集合间关系、交补运算及
图的识别；
[解析] 因为集合或, ，所以
，所以 .故选C.
例4 ［配例5使用］ [2024·北京朝阳区一模] 设， 为两个非空有
限集合，定义，其中表示集合 的元素个数.某
学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化
学、生物这6门科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考
科目组成的集合分别为，，，.已知 物理，化学，
生物，地理，物理，化学，思想政治，历史，地理 ，
给出下列四个结论：
【备选理由】例4考查新定义问题及集合的相关运算,主要考查学生的运算能力和转换能力.
①若，则 思想政治，历史，生物}；
②若，则 地理，物理，化学}；
③若思想政治，物理，生物 ，则 ；
④若，则 思想政治，地理，化
学}.
其中所有正确结论的序号是______.
①③
[解析] 对于①，因为，所以 ，
所以 ，又地理，物理，化学，
所以 思想政治，历史，生物，①正确；
对于②， ，即，
所以，所以 必为偶数，
易知，
当 时，，不符合，
所以 ，且，此时不唯一，
比如物理，地理，生物 ，②错误；
对于③，若思想政治，物理，生物 ，则,
, ，
所以，③正确；
对于④，当 物理，地理，历史}时，,
, ，
满足 ，④错误. 故填①③.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1. [2025·八省联考] 已知集合A={1,0,1},B={0,1,4},则A∩B= （ ）
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{1,0,1,4}
[解析]由题意可得A∩B={0,1}.故选C.
√
2.[2024·北京海淀区一模]已知全集 ，集合
，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 全集，集合 ，所以
.故选D.
√
3.[2024· 武汉调研]已知集合 ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] ，
，所以 .故选B.
√
4.已知集合，，，则
( )
A. B. C. D.
[解析] ，， ，故
.故选D.
√
5.设集合，则集合 的真子集个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16
[解析] 由且可知，的值可以是3,4,6,12，
则 的值可以是0,1,3,9，即，
故集合 的真子集个数为 .故选C.
√
6.已知全集是实数集，集合， ，
则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B.
C. D.或
[解析] 由不等式，解得或 ，所以
或，则.
由 ，可得 ，则图中阴影部分所表示的集合为
.故选B.
√
7.[2024·广东广州一模] 设集合,3,，, ，若
，则 ___.
2
[解析] 由,3,，得，即，此时 ,
，
由，得，而，所以 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·浙江杭州二中、温州中学、金华一中联考]设集合
,，,},则 ( )
A.,} B., }
C.,} D., }
[解析] 由集合,，, ，
得中 前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除A，B.
对于C，当时，，而令，可得 不为整数，故
,}中不包含7，可得 中不包含7，故C错
误.故选D.
√
9.[2024·湖南邵阳模拟]若集合 ,集合
，则 的真子集个数为( )
A.14 B.15 C.16 D.31
[解析] 由，得，故 .
由，得，故 ，则
，
故的真子集个数为 .故选B.
√
10.（多选题）[2024·河南部分学校联考] 已知, ,
,则 的值可以为( )
A.2 B.64 C.256 D.1024
[解析] 当时，由得 ，满足
，所以；
当 时，由得，满足 ，
所以；
当时，由得 ，不满足.
故或256.故选 .
√
√
11.（多选题）已知集合, ，则( )
A. B.
C. D. 的子集个数为2
[解析] 对于A，由题意知， ，
，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D，因为，所以的子集为 ， ，共2个，
故D正确.故选 .
√
√
√
12.（多选题）[2024·石家庄质检] 某校五一田径运动会上，共有12
名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100
米”，有7人参加“400米”，有5人参加“1500米”，“100米”和“400米”都
参加的有4人，“100米”和“1500米”都参加的有3人，“400米”和“1500
米”都参加的有3人，则下列说法正确的是( )
A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加“100米”的有3人
C.只参加“400米”的有3人 D.只参加“1500米”的有1人
√
√
√
[解析] 设是参加“100米”的同学， 是参加“400米”
的同学，是参加“1500米”的同学，
则 ,,,且,
， ，
则 ，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加“100米”的有3人，
只参加“400米”的有2人，只参加“1500米”的有1人.故选 .
13.[2024·山东烟台二模] 已知集合,, ，若
,则实数 的值为______.
1或2
[解析] 因为，所以.
当时，, ，不满足；
当时，，满足;
当时， ,满足；
当时，，不满足.
故实数 的值为1或2.
14.[2024·重庆八中三模] 已知集合 ，
，则满足的集合 的个数为___.
7
[解析] 集合 ,
,
所以满足的集合 中必有元素2，3，
所以求满足的集合 的个数即求集合的真子集个数，
所以满足的集合 的个数为 .
◆ 能力拓展 ◆
15.如果集合 存在一组两两不交（当两个集合的交集为空集时，称
为不交）的非空子集,, , ，且满足
，那么称无序子集组,, ,构成集合 的
一个划分．若集合中含有4个元素，则集合 的所有划分的个数为
( )
A.7 B.9 C.10 D.14
√
[解析] 不妨设，则 ，
2，，2，，，， ，
，，，故的2划分有7个；
，故的3划分有6个，
，故 的4划分有1个.
综上，的划分共有 （个）.故选D.
【知识聚焦】1.(1)确定性 互异性 (2)①∈ ② (3)描述法 图示法(Venn图)
(4)N 或 Z Q R
2.任意一个元素 B A 至少 相同 A=B 不含
3.且 且 A∩B 或 或 A∪B 不 UA
4.(1) (2)B∪A A (3) A ∩ ( UA) ( UB)
【对点演练】1.∈ = 2.{(1,1)} 3.{x|x≤2或x≥10} {x|24. 1 5.[4,+∞) 6. 7.{x|x≤1}
课堂考点探究
例1(1)D (2)2 变式题(1)A (2) 1 例2(1)4 (2)B 变式题(1)A (2)D
例3(1)A (2)A 变式题(1)A (2)B 例4[1,+∞) 变式题B 例5(1)C (2)A 变式题 AD
教师备用习题
例1 5 例2 A 例3C 例4 ①③
基础热身
1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.2
综合提升
8.D 9.B 10.AC 11.BCD 12.ABD 13.1或2 14.7
能力拓展
15.D