第2讲 常用逻辑用语
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.充分 必要 充分不必要 必要不充分
充要 既不充分也不必要
2.(1)全称量词 (2)存在量词
(3) x∈M, p(x) x∈M, p(x)
【对点演练】
1.充分不必要 [解析] 由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形,但反之不成立,所以“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件.
2.存在 真 x∈Q,|x| N [解析] 命题“ x∈Q,|x|∈N”含有存在量词,所以是存在量词命题,因为1∈Q,|1|∈N成立,所以该命题是真命题.存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词,并否定结论,所以“ x∈Q,|x|∈N”的否定是“ x∈Q,|x| N”.
3.充要 [解析] 当a2+b2=c2时, △ABC为直角三角形,充分性成立;当△ABC为直角三角形时,因为a≤b≤c,所以a2+b2=c2,必要性也成立.故“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件.
4.3 [解析] 因为“ x∈[-1,2],x2-m≤1”为真命题,所以m≥x2-1对x∈[-1,2]恒成立,所以m≥3,故m的最小值为3.
5.①a<3 ②a>3 ③a=3
[解析] ①因为x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以A B,则a<3;②因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B A,则a>3;③因为x∈A是x∈B的充分必要条件,所以A=B,则a=3.
6.存在一个奇数,它的立方不是奇数
[解析] 命题“奇数的立方是奇数”是省略了全称量词 “所有的”的全称量词命题,由全称量词命题的否定是存在量词命题,可得命题“奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数,它的立方不是奇数”.
7.充分不必要 [解析] 依题意知p r,r / p,r s,s q,所以p q,q / p,故p是q的充分不必要条件.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)解不等式,确定集合A,B,由集合的包含关系判断即可.(2)根据向量数量积的求法可知(a+b)·(a-b)=0等价于|a|=|b|,结合充分、必要条件分析判断即可.(3)根据充分不必要条件的概念,逐项判断即可.
(1)A (2)B (3)D [解析] (1)由ln x≤0,解得0
(2)由(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,得a2=b2,即|a|=|b|,可知(a+b)·(a-b)=0等价于|a|=|b|.若a=b或a=-b,则|a|=|b|,即(a+b)·(a-b)=0,可知必要性成立;若(a+b)·(a-b)=0,则|a|=|b|,无法推出a=b或a=-b,例如a=(1,0),b=(0,1),满足|a|=|b|,但a≠b且a≠-b,可知充分性不成立.综上所述,“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的必要不充分条件.故选B.
(3)|x|>|y|等价于x2>y2,推不出x>y,排除A,B;由>1,可得>0,解得x>y>0或x1是x>y的既不充分也不必要条件,排除C;由2x-y>2,得x-y>1,即x>y+1,x>y+1可以推出x>y,反之推不出,D正确.故选D.
变式题 (1)B (2)C [解析] (1)若a<-1,且b<-1,则根据不等式的性质可得a+b<-2,且ab>1,即必要性成立,当a=-3,b=-时,满足a+b<-2,且ab>1,但是b=->-1,故充分性不成立.所以“a+b<-2,且ab>1”是“a<-1,且b<-1”的必要不充分条件.故选B.
(2)因为α∩β=l,所以l α且l β.若l⊥γ,则α⊥γ且β⊥γ,故充分性成立;若α⊥γ且β⊥γ,设α∩γ=m,β∩γ=n,则存在直线a γ,使得a⊥m,所以a⊥α,由于l α,故a⊥l,同理存在直线b γ,使得b⊥n,所以b⊥β,由于l β,故b⊥l,易知a,b不平行,即a,b是平面γ内的两条相交直线,所以l⊥γ,故必要性成立.故选C.
例2 [思路点拨] 根据充分不必要条件的定义进行转化即可得解.
A [解析] 由1<2x<4,得0变式题 (-∞,-1] [解析] 由|x+2a|<3,得-2a-3例3 [思路点拨] 举例说明A,B中命题是真命题,C中命题是假命题,根据指数函数的性质,判断D中命题是真命题.
C [解析] 因为log2=-1,cos 0=1,02=0,所以选项A,B中命题均为真命题,选项C中命题为假命题;因为y=2x,x∈R的值域为(0,+∞),所以2x>0,所以D中命题为真命题.故选C.
变式题 BD [解析] 对于选项A,当x>0时,=<1,所以2x<3x恒成立,故A中命题是假命题;对于选项B,当x∈(1,+∞)时,=×=>1,且log3x>0,所以log2x>log3x,故B中命题是真命题;对于选项C,D,当x∈时,<1,log x>log=1,则例4 [思路点拨] (1)根据全称量词命题的否定为存在量词命题,将“ ”改为“ ”并否定原结论即可.(2)根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可.
(1) x∈,x≤sin x (2)D [解析] (1)命题p: x∈,x>sin x的否定是“ x∈,x≤sin x”.
(2)因为命题p是存在量词命题,存在量词命题的否定为全称量词命题,所以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”.故选D.
变式题 (1)D (2)B [解析] (1)命题“ m∈N,∈N”为存在量词命题,其否定是“ m∈N, N”,故选D.
(2)当x=-时,=<1,故p是假命题,则 p是真命题;当x=1时,13=1,故q是真命题,则 q是假命题.故选B.
例5 [思路点拨] 根据条件可得ax2-2ax+2a-3>0对任意x∈[2,6]恒成立,令h(x)=ax2-2ax+2a-3,利用二次函数的性质列不等式组求解即可得解.
A [解析] 因为“ x∈[2,6],f(x)≤-2a+3”是假命题,所以“ x∈[2,6],f(x)>-2a+3”是真命题,则ax2-2ax+2a-3>0对任意x∈[2,6]恒成立.令h(x)=ax2-2ax+2a-3,当a=0时,h(x)=-3<0,不符合题意,故a≠0,则函数h(x)的图象的对称轴为直线x=1,要使得对任意x∈[2,6],h(x)>0恒成立,只需解得a>,所以实数a的取值范围是.故选A.
变式题 (-1,+∞) [解析] 若“ α∈[0,+∞),cos α(cos α)min,α∈[0,+∞).因为y=cos α在[0,+∞)上的最小值为-1,所以m>-1.第2讲 常用逻辑用语
1.D [解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题,所以“ x∈R,x2-4x+6<0”的否定为“ x∈R,x2-4x+6≥0”,故选D.
2.B [解析] 由a2=b2可得a=±b,由a2+b2=2ab可得a=b,∴“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.
3.C [解析] 由题得a∥b λμ=8,故“λμ=8”是“a∥b”的充要条件.故选C.
4.A [解析] 由指数、对数函数的图象知,命题p: x∈(0,+∞),ex>ln x是真命题, p: x∈(0,+∞),ex≤ln x.故选A.
5.B [解析] 设p:x+y>0的一个充分不必要条件为q,则q能推出p,但p不能推出q.对于A,“x+y>-1”不能推出“x+y>0”,故A错误;对于B,“x>y>0”能推出“x+y>0”,且“x+y>0”不能推出“x>y>0”,故B正确;对于C,“xy>0”不能推出“x+y>0”,故C错误;对于D,“x2-y2>0”不能推出“x+y>0”,故D错误.故选B.
6.BD [解析] 对于A,“ x∈R,x2-3x+5>0”是全称量词命题,A错误;对于B,“ x∈R,x2-3x+<0”是存在量词命题,且12-3×1+<0,B正确;对于C,只有质数2的平方为偶数,即不存在两个质数的平方是偶数,C错误;对于D,该命题是存在量词命题,内角为30°,60°,90°的直角三角形的三个内角成等差数列,D正确.故选BD.
7.(1) (2) [解析] (1)由已知可得A=B,则x=2是方程bx=1的解,且b>0,故b=.
(2)∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,∴A B.当b<0时,B={x|bx>1}=,不符合题意;当b=0时,B= ,不符合题意;当b>0时,B={x|bx>1}=,由A B,得<2,即b>,故b的取值范围是.
8.A [解析] 当m∈(0,6)时,曲线C:+=1表示焦点在x轴上的椭圆,故充分性成立;当m<0时,曲线C:+=1表示焦点在x轴上的双曲线,故“曲线C的焦点在x轴上”推不出“m∈(0,6)”,故必要性不成立.所以“m∈(0,6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件.故选A.
9.A [解析] 如图,设α∩β=l,n⊥l,m∥l,则n⊥α,又m α,所以m⊥n,此时m∥β;若m⊥β,则由n β,得m⊥n.所以“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件,故选A.
10.C [解析] 在△ABC中,由A,B,C成等差数列,得2B=A+C,又A+B+C=π,所以B=.由sin A,sin B,sin C成等比数列,得sin2B=sin Asin C,由正弦定理得b2=ac,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即ac=a2+c2-ac,解得a=c,因此△ABC是正三角形.若△ABC是正三角形,则A=B=C=,sin A=sin B=sin C=,因此A,B,C成等差数列且sin A,sin B,sin C成等比数列.所以“内角A,B,C成等差数列且sin A,sin B,sin C成等比数列”是“△ABC是正三角形”的充要条件.故选C.
11.AD [解析] 对于A,因为a>0,b>0,所以< a>b,选项A正确;对于B,a=1<2=b满足|a-2|>|b-2|,选项B错误;对于C,a2b+b>a+ab2 (ab-1)(a-b)>0,当ab<1时,aln(b2+1) a2>b2 (a+b)(a-b)>0,因为a>0,b>0,所以a>b,选项D正确.故选AD.
12. [解析] 由-≥-,解得x∈,由2x,即a>,故实数a的取值范围是.
13.(-∞,1] [解析] 因为 p是假命题,所以p是真命题,所以m=-4x+2x+1,x∈R有解.令y=-4x+2x+1=-(2x)2+2×2x,由2x>0及二次函数的性质可知y≤1,故m≤1.
14.BD [解析] 对于A,当x∈Z时,f(x)=x,当x Z时,f(x)∈Z,而x-1 Z,因此f(x)≠x-1,A错误;对于B, x∈R,n∈Z,令f(x)=m,则m≤x15.(3,+∞) [解析] 因为f(x)==x+,所以f'(x)=1-,当x∈(2,+∞)时,f'(x)=1->0,则函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(2)=3,即f(x)∈(3,+∞).因为存在x∈(2,+∞),使得f(x)3,即实数m的取值范围是(3,+∞).第2讲 常用逻辑用语
【课标要求】 1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系.
2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的 条件,q是p的 条件
p是q的 条件 p q且q p
p是q的 条件 pq且q p
p是q的 条件 p q
p是q的 条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作 ,用符号“ ”表示.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作 ,用符号“ ”表示.
(3)含有一个量词的命题的否定:
全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定是 .
存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定是 .
3.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
题组一 常识题
1.[教材改编] “三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的 条件.
2.[教材改编] 命题“ x∈Q,|x|∈N”是 量词命题,并且是 命题(填“真”或“假”),它的否定是 .
3.[教材改编] 已知△ABC的三边的长分别为a,b,c,且a≤b≤c,那么“a2+b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的 条件.
4.[教材改编] 若“ x∈[-1,2],x2-m≤1”为真命题,则实数m的最小值为 .
题组二 常错题
◆索引:对充分、必要条件判断错误;全称量词命题的否定出错;充分、必要条件的推理考虑不全面.
5.已知A=(-∞,a],B=(-∞,3].
①若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则a的取值范围是 ;
②若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则a的取值范围是 ;
③若x∈A是x∈B的充分必要条件,则a的值为 .
6.命题“奇数的立方是奇数”的否定是 .
7.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的 条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”和“充要”中选填一个)
充分条件与必要条件的判断
例1 (1)[2024·江西南昌二模] 已知集合A={x|ln x≤0},B={x|2x≤2},则“x∈A”是“x∈B”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2024·北京卷] 设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)若x,y∈R,则“x>y”的一个充分不必要条件可以是 ( )
A.|x|>|y| B.x2>y2
C.>1 D.2x-y>2
总结反思
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法:适用于定义、定理的判断问题;
(2)集合法:多适用于条件中涉及参数的取值范围的推断问题.
变式题 (1)[2024·山东聊城三模] “a+b<-2,且ab>1”是“a<-1,且b<-1”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2024·浙江宁波二模] 已知三个不同的平面α,β,γ与直线l,若α∩β=l,则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
充分条件与必要条件的应用
例2 [2024·山东烟台二模] 已知p:1<2x<4,q:x2-ax-1<0,若p是q的充分不必要条件,则 ( )
A.a≥ B.0C.a>2 D.0总结反思
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数的求解问题上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间的端点值.
变式题 [2024·山西阳泉三模] 已知p:x≥a,q:|x+2a|<3,且p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
全称量词与存在量词
角度1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例3 下列命题中的假命题是 ( )
A. x∈R,log2x<0 B. x∈R,cos x=1
C. x∈R,x2>0 D. x∈R,2x>0
总结反思
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法:
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象使命题为假 否定为真
存在量词命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为真 否定为真
变式题 (多选题)下列命题中是真命题的是 ( )
A. x∈(0,1),2x>3x
B. x∈(1,+∞),log2x>log3x
C. x∈,>lox
D. x∈,角度2 含有一个量词的命题的否定
例4 (1)命题p: x∈,x>sin x,则 p: .
(2)命题p:有的等差数列是等比数列,则其否定为 ( )
A.有的等差数列不是等比数列
B.有的等比数列是等差数列
C.所有的等差数列都是等比数列
D.所有的等差数列都不是等比数列
总结反思
全称量词命题与存在量词命题的否定:
①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写;
②否定结论:对原命题的结论进行否定.
变式题 (1)[2024·天津河西区二模] 命题“ m∈N,∈N”的否定是 ( )
A. m∈N,∈N
B. m N, N
C. m∈N, N
D. m∈N, N
(2)[2024·新课标Ⅱ卷] 已知命题p: x∈R,|x+1|>1,命题q: x>0,x3=x,则 ( )
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
角度3 含量词命题的应用
例5 [2024·安徽六安一中四模] 设函数f(x)=ax2-2ax,若“ x∈[2,6],f(x)≤-2a+3”是假命题,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.(3,+∞)
C.(2,+∞) D.
总结反思
根据命题的真假求参数的一般步骤:
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
变式题 [2024·福建漳州质检] 若“ α∈[0,+∞),cos α1.[2024·湖南邵阳联考] 命题“ x∈R,x2-4x+6<0”的否定为 ( )
A. x∈R,x2-4x+6>0
B. x∈R,x2-4x+6≤0
C. x∈R,x2-4x+6<0
D. x∈R,x2-4x+6≥0
2.[2023·天津卷] “a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
3.[2024·南通一模] 若向量a=(λ,4),b=(2,μ),则“λμ=8”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知命题p: x∈(0,+∞),ex>ln x,则 ( )
A.p是真命题, p: x∈(0,+∞),ex≤ln x
B.p是真命题, p: x∈(-∞,0),ex≤ln x
C.p是假命题, p: x∈(0,+∞),ex≤ln x
D.p是假命题, p: x∈(-∞,0),ex≤ln x
5.[2024·重庆八中月考] 若x,y∈R,则x+y>0的一个充分不必要条件是 ( )
A.x+y>-1 B.x>y>0
C.xy>0 D.x2-y2>0
6.(多选题)[2025·山西晋城模拟] 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A. x∈R,x2-3x+5>0
B. x∈R,x2-3x+<0
C.至少存在两个质数的平方是偶数
D.存在一个直角三角形的三个内角成等差数列
7.若集合A={x|x>2},B={x|bx>1},其中b为实数.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充要条件,则b= ;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则b的取值范围是 .
8.[2024·石家庄二模] 已知曲线C:+=1(m≠0),则“m∈(0,6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.[2024·辽宁辽阳二模] 已知α,β是两个平面,m,n是两条直线,且α⊥β,m α,n β,则“m⊥n”是“m⊥β”的 ( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.[2024·浙江金丽衢十二校联考] 在△ABC中,“内角A,B,C成等差数列且sin A,sin B,sin C成等比数列”是“△ABC是正三角形”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.(多选题)[2024·沈阳模拟] 若a>0,b>0,则使“a>b”成立的一个充分条件可以是 ( )
A.<
B.|a-2|>|b-2|
C.a2b+b>a+ab2
D.ln(a2+1)>ln(b2+1)
12.若“存在实数x,使不等式组成立”为真命题,则实数a的取值范围是 .
13.已知p: x∈R,4x-2x+1+m=0.若 p是假命题,则实数m的取值范围是 .
14.(多选题)[2024·河南开封质检] 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯函数(也称为取整函数)为f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大整数,例如[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命题是真命题的有 ( )
A. x∈R,f(x)=x-1
B. x∈R,n∈Z,f(x+n)=f(x)+n
C. x,y>0,f(lg x)+f(lg y)=f[lg(xy)]
D. n∈N*,f(lg 1)+f(lg 2)+f(lg 3)+…+f(lg n)=92
15.[2025·广东肇庆模拟] 已知函数f(x)=(x>2),若存在x∈(2,+∞),使得f(x)第2讲 常用逻辑用语
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教师备用习题
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答案核查【作】
【课标要求】 1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性
质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义
与充要条件的关系.
2.理解全称量词与存在量词的意义,能正确使用存在量词对全称量词
命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
◆ 知识聚焦 ◆
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作__________,用符号
“___”表示.
（2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作__________,用
符号“___”表示.
全称量词
存在量词
（3）含有一个量词的命题的否定:
全称量词命题:, ,它的否定是______________.
存在量词命题:, ,它的否定是______________.
,
,
3.常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 是
否定词语 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ “三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的
____________条件.
充分不必要
[解析] 由三角形是等边三角形可得到该三角形一定是等腰三角形，
但反之不成立，所以“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”
的充分不必要条件.
2.［教材改编］ 命题“， ”是______量词命题，并且是
____命题（填“真”或“假”），它的否定是________________.
存在
真
，
[解析] 命题“， ”含有存在量词，所以是存在量词命题，
因为， 成立，所以该命题是真命题.
存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论，
所以“， ”的否定是“， ”.
3.［教材改编］ 已知的三边的长分别为,,,且 ，
那么“”是“ 为直角三角形”的______条件.
充要
[解析] 当时,为直角三角形,充分性成立;
当 为直角三角形时，因为，所以 ，
必要性也成立.
故“”是“ 为直角三角形”的充要条件.
4.［教材改编］ 若“，”为真命题，则实数
的最小值为___.
3
[解析] 因为“，”为真命题，所以
对恒成立，所以，故 的最小值为3.
题组二 常错题
◆ 索引：对充分、必要条件判断错误;全称量词命题的否定出错;充
分、必要条件的推理考虑不全面.
5.已知， .
①若是的充分不必要条件，则 的取值范围是______；
②若是的必要不充分条件，则 的取值范围是______；
③若是的充分必要条件，则 的值为______.
[解析] ①因为是的充分不必要条件，所以 ，则
；
②因为是的必要不充分条件，所以 ，则；
③因为是的充分必要条件，所以，则 .
6.命题“奇数的立方是奇数”的否定是______________________________.
存在一个奇数,它的立方不是奇数
[解析] 命题“奇数的立方是奇数”是省略了全称量词 “所有的”的全称
量词命题，
由全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“奇数的立方是
奇数”的否定是“存在一个奇数，它的立方不是奇数”.
7.已知是的充分不必要条件,是的必要条件,是 的必要条件,那么
是 的____________条件.（在“充分不必要”、“必要不充分”和“充要”
中选填一个）
充分不必要
[解析] 依题意知,,,,所以，，故
是 的充分不必要条件.
探究点一 充分条件与必要条件的判断
例1（1）[2024·江西南昌二模]已知集合 ,
,则“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
［思路点拨］解不等式，确定集合, ，由集合的包含关系判断即可.
√
[解析] 由，解得，则.
由 ，解得，则.
因为，所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
（2）[2024·北京卷]设，是向量，则“ ”是
“或 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
［思路点拨］根据向量数量积的求法可知 等价
于 ，结合充分、必要条件分析判断即可.
√
[解析] 由，得，即 ，
可知等价于.
若或 ，则，即 ，
可知必要性成立；
若，则，无法推出或 ，
例如,，满足，但且 ，
可知充分性不成立.
综上所述，“”是“或 ”的必要不充分
条件.故选B.
（3）若,，则“ ”的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据充分不必要条件的概念，逐项判断即可.
[解析] 等价于，推不出,排除A，B；
由 ，可得，解得或，
所以是 的既不充分也不必要条件，排除C；
由，得 ，即，可以推出 ,
反之推不出，D正确.故选D.
√
[总结反思]
充分条件、必要条件的两种判定方法
（1）定义法:适用于定义、定理的判断问题;
（2）集合法:多适用于条件中涉及参数的取值范围的推断问题.
变式题（1）[2024·山东聊城三模]“，且 ”是
“，且 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若，且，则根据不等式的性质可得 ，
且，即必要性成立，
当,时，满足 ，且，
但是，故充分性不成立.
所以“ ，且”是“，且 ”的必要不充分
条件.故选B.
√
（2）[2024·浙江宁波二模]已知三个不同的平面 , , 与直线 ，若
，则“ ”是“ 且 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 因为，所以 且 .
若 ，则 且 ，故充分性成立；
若 且 ，设 ，，则存在直线 ,
使得，所以 ，
由于 ，故，同理存在直线 ,使得，所以 ，
由于 ，故，易知,不平行，即,是平面 内的两条相交
直线，所以 ，故必要性成立.故选C.
探究点二 充分条件与必要条件的应用
例2 [2024·山东烟台二模]已知， ，
若是 的充分不必要条件，则( )
A. B. C. D.
［思路点拨］ 根据充分不必要条件的定义进行转化即可得解.
[解析] 由，得.
因为是 的充分不必要条件，所以在上恒成立，
所以 解得 .故选A.
√
[总结反思]
充分条件、必要条件的应用一般表现在参数的求解问题上,解题时通
常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根
据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.解题
过程中要注意检验区间的端点值.
[解析] 由，得 ，
记，.
因为是 的必要不充分条件，所以，所以，
解得 .
变式题 [2024·山西阳泉三模] 已知， ，且
是的必要不充分条件，则实数 的取值范围是__________.
探究点三 全称量词与存在量词
角度1 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例3 下列命题中的假命题是( )
A., B.,
C., D.,
［思路点拨］ 举例说明A，B中命题是真命题，C中命题是假命题，
根据指数函数的性质，判断D中命题是真命题.
√
[解析] 因为,, ，所以选项A，B中命题均
为真命题，选项C中命题为假命题；
因为， 的值域为，所以 ，
所以D中命题为真命题.故选C.
[总结反思]
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：
命题名称 真假 判断方法一 判断方法二
全称量词命 题 真 所有对象使命题为真 否定为假
假 存在一个对象使命题为假 否定为真
存在量词命 题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假
假 所有对象使命题为真 否定为真
变式题 （多选题）下列命题中是真命题的是( )
A.， B.，
C., D.，
√
√
[解析] 对于选项A，当时，，所以 恒成立，
故A中命题是假命题；
对于选项B，当 时，，
且，所以 ，故B中命题是真命题；
对于选项C,D，当时， ,，
则 ，故C中命题是假命题，D中命题是真命题.故选 .
角度2 含有一个量词的命题的否定
例4（1）命题,，则
_ _____________________.
，
［思路点拨］根据全称量词命题的否定为存在量词命题，将“ ”改
为“ ”并否定原结论即可.
[解析] 命题，的否定是“,” .
（2）命题 有的等差数列是等比数列，则其否定为( )
A.有的等差数列不是等比数列
B.有的等比数列是等差数列
C.所有的等差数列都是等比数列
D.所有的等差数列都不是等比数列
［思路点拨］根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可.
[解析] 因为命题 是存在量词命题，存在量词命题的否定为全称量词
命题，所以命题 的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”.故选D.
√
[总结反思]
全称量词命题与存在量词命题的否定：
①改写量词：确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含
义加上量词,再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定.
[解析] 命题“， ”为存在量词命题，其否定是
“， ”，故选D.
变式题（1）[2024·天津河西区二模]命题“， ”的
否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
√
（2）[2024· 新课标Ⅱ卷]已知命题, ,命题
, ,则( )
A.和都是真命题 B.和 都是真命题
C.和都是真命题 D.和 都是真命题
[解析] 当时，,故是假命题，则 是真命题；
当时，，故是真命题，则 是假命题.故选B.
√
角度3 含量词命题的应用
例5 [2024·安徽六安一中四模]设函数 ，若
“，”是假命题，则实数 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
［思路点拨］ 根据条件可得对任意
恒成立，令 ，利用二次函数的性质列不
等式组求解即可得解.
√
[解析] 因为“， ”是假命题，
所以“，”是真命题，
则 对任意恒成立.
令，
当 时，，不符合题意，
故，则函数 的图象的对称轴为直线，
要使得对任意， 恒成立，只需
解得，所以实数的取值范围是 .故选A.
[总结反思]
根据命题的真假求参数的一般步骤：
（1）根据题目条件,推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情
况）;
（2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
（3）根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.
变式题 [2024·福建漳州质检] 若“， ”为真命
题，则实数 的取值范围为__________.
[解析] 若“， ”为真命题，
则，.
因为 在 上的最小值为，所以 .
【备选理由】例1考查了充要条件的判定;
例1 ［配例1使用］ [2023·北京卷] 若，则“ ”是
“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 方法一:充分性：因为，且，所以 ，
所以 ，所以充分性成立；
必要性：因为，且，所以 ，
即，即，所以 ，
所以必要性成立.
所以“”是“ ”的充要条件.
方法二:充分性：因为，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为，且 ，
所以 ，
所以，所以，所以 ，所以必要性成立.
所以“”是“ ”的充要条件.故选C.
例2 ［配例2使用］ [2024·宁波期末] “， ”
为假命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】 例2结合含有量词命题的应用考查充分条件、必要条件;
[解析] 若“， ”为假命题，则“，
”为真命题，即在 上恒成立，
令，，
当时， 取得最大值6，所以.
选项中只有是 的真子集，
所以“， ”为假命题的一个充分不必要条件
为 .故选D.
例3 ［配例3使用］ [2024·福建泉州模拟] 函数在 上
的最大值为，在上的最大值为 ，则以下命题为假命题的是
( )
A.，且 B.，且
C.，且 D.，且
√
【备选理由】 例3考查含有一个量词命题的真假判断;
[解析] 对于A，若，，则 ，
从而，所以，故 ，
所以，，从而 ，
故，无解，矛盾，故A为假命题；
对于B，当 时，函数在上的最大值为，
在上的最大值为 ，此时，，
故，且 ，故B为真命题；
对于C，当时，函数在上的最大值为，
在 上的最大值为，此时，，
故，且 ，故C为真命题；
对于D，当时，函数在 上的最大值为，
在上的最大值为1，此时， ，
故，且 ，故D为真命题.故选A.
例4 ［配例5使用］ 已知， .
（1）若，，使得，则实数 的
取值范围是_ _______；
[解析] 当时，，
当 时，，
由题意得 ，即，所以 .
【备选理由】 例4考查根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围.
（2）若，，使得，则实数 的
取值范围是_ _______.
[解析] 当时， ，
由题意得，即，所以 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.[2024·湖南邵阳联考]命题“, ”的否定为( )
A., B.,
C., D.,
[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“ ,
”的否定为“, ”，故选D.
√
2.[2023·天津卷]“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
[解析] 由可得，由可得，
“”是“ ”的必要不充分条件.
√
3.[2024·南通一模]若向量,，则“”是“ ”
的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由题得，故“”是“ ”的充要条件.故选C.
√
4.已知命题， ，则( )
A.是真命题，，
B.是真命题，，
C.是假命题，，
D.是假命题，，
[解析] 由指数、对数函数的图象知，命题 ，
是真命题，
， .故选A.
√
5.[2024·重庆八中月考]若，，则 的一个充分不必要
条件是( )
A. B. C. D.
[解析] 设的一个充分不必要条件为，则能推出 ，但
不能推出.
对于A，“”不能推出“ ”，故A错误；
对于B，“”能推出“”，且“ ”不能推出
“”，故B正确；
对于C，“”不能推出“ ”，故C错误；
对于D，“”不能推出“ ”，故D错误.故选B.
√
6.（多选题）[2025·山西晋城模拟] 下列命题既是存在量词命题又是
真命题的是( )
A.，
B.，
C.至少存在两个质数的平方是偶数
D.存在一个直角三角形的三个内角成等差数列
√
√
[解析] 对于A，“， ”是全称量词命题，A错误；
对于B，“， ”是存在量词命题，
且 ，B正确；
对于C，只有质数2的平方为偶数，即不存在两个质数的平方是偶
数，C错误；
对于D，该命题是存在量词命题，内角为 ， ， 的直角三
角形的三个内角成等差数列，D正确.故选 .
7.若集合，，其中 为实数.
（1）若“”是“”的充要条件，则 _ _；
[解析] 由已知可得，则是方程的解，且 ，故
.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，则 的取值范围是
_ ________.
[解析] “”是“”的充分不必要条件，.
当 时，，不符合题意；
当时， ，不符合题意；
当时，，
由 ，得，即，故的取值范围是 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·石家庄二模]已知曲线，则“ ”
是“曲线的焦点在 轴上”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆，
故充分性成立；
当时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线，
故“曲线的焦点在轴上”推不出“ ”，故必要性不成立.
所以“”是“曲线的焦点在 轴上”的充分不必要条件.故选A.
√
9.[2024·辽宁辽阳二模]已知 , 是两个平面，, 是两条直线，且
, , ，则“”是“ ”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 如图，设，，，则 ，
又 ，所以，此时 ；
若 ，则由 ，得.
所以“”是“ ”的必要不充分条件，故选A.
√
10.[2024·浙江金丽衢十二校联考]在中，“内角，， 成等差
数列且,,成等比数列”是“ 是正三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 在中，由，，成等差数列，得 ，
又 ，所以.
由,, 成等比数列，得，
由正弦定理得 ，由余弦定理得，
即，解得 ，因此是正三角形.
若是正三角形，则 ，，
因此，，成等差数列且, ,成等比数列.
所以“内角，，成等差数列且,, 成等比数列”是
“ 是正三角形”的充要条件.故选C.
11.（多选题）[2024·沈阳模拟] 若,，则使“ ”成立的
一个充分条件可以是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A，因为,，所以 ，选项A正确；
对于B，满足 ，选项B错误；
对于C，，
当时， ，选项C错误；
对于D， ，
因为,，所以，选项D正确.故选 .
√
√
12.若“存在实数，使不等式组 成立”为真命题，则实数
的取值范围是_ ________.
[解析] 由,解得，
由，解得 .
由题意知 ，所以，即,
故实数 的取值范围是 .
13.已知，.若是假命题，则实数 的
取值范围是________.
[解析] 因为是假命题，所以是真命题，所以 ，
有解.
令，
由 及二次函数的性质可知，故 .
◆ 能力拓展 ◆
14.（多选题）[2024·河南开封质检] 高斯是德国著名的数学家，近
代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯函数（也称为取整函数）为
，表示不超过的最大整数，例如 ，
.下列命题是真命题的有( )
A.，
B.，，
C.,，
D.，
√
√
[解析] 对于A，当时，，当时， ，而
，因此，A错误；
对于B，， ，令，则，
，因此，B正确；
对于C，取, ，又，则,，
，显然 ，C错误；
对于D，当，时，，当，
时，，而 ，因此
，D正确. 故选 .
15.[2025·广东肇庆模拟] 已知函数 ，若存在
，使得成立，则实数 的取值范围是________.
[解析] 因为，所以 ，
当时，，则函数在 上单
调递增，所以，即 .
因为存在，使得成立，所以，
即实数 的取值范围是 .
【知识聚焦】1.充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要
2.(1)全称量词 (2)存在量词 (3) x∈M, p(x) x∈M, p(x)
【对点演练】1.充分不必要 2.存在 真 x∈Q,|x| N 3.充要 4.3
5. ①a<3 ②a>3 ③a=3 6.存在一个奇数,它的立方不是奇数 7.充分不必要
课堂考点探究
例1(1)A (2)B (3)D 变式题(1)B (2)C 例2 A 变式题 (∞, 1]
例3 C 变式题BD 例4 (1) ， (2)D 变式题(1)D (2)B
例5 A 变式题 (1,+∞)
教师备用习题
例1 C 例2 D 例3A 例4 (1) (2)
基础热身
1.D 2.B 3.C 4.A 5.B 6.BD 7. (1) (2)
综合提升
8.A 9.A 10.C 11.AD 12. 13.
能力拓展
14.BD 15.