第一单元 第3讲 等式与不等式（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

第3讲　等式与不等式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)>　=　<　(2)>　=　<
2.(2)=　=　(3)=　=
3.(1)b　(4)>　<
(5)a+c>b+d　(6)>　(7)>
【对点演练】
1.M>N　[解析] M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N.
2.(-π,0)　[解析] 由已知得-<α<,-<-β<,所以-π<α-β<π,又α<β,所以α-β<0,故-π<α-β<0.
3.①②④　[解析] 对于①,若ac2>bc2,则c2>0,所以a>b,故①为真命题;对于②,若a>b>0,则a2>b2,故②为真命题;对于③,若a=-2,b=-1,则a2>ab>b2,故③为假命题;对于④,若a0,所以>,故④为真命题.
4.(2,5)　[解析] 因为25.(-24,8)　[解析] 当-36.p≥q　[解析] p-q=2x4+1-2x3-x2=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(x3-x+x3-1)=(x-1)[x(x-1)(x+1)+(x-1)(x2+x+1)]=(x-1)2(x2+x+x2+x+1)=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x2+x)+1]=(x-1)2=(x-1)2≥0,故p≥q.
● 课堂考点探究
例1　[思路点拨] (1)把(x2-y2)2,xy(x-y)2作差分解因式后判断符号,进而得出结论.(2)把aabb与abba作商后对a,b的大小关系分类,借助指数函数的性质比较大小.
解:(1)(x2-y2)2-xy(x-y)2=(x+y)2(x-y)2-xy(x-y)2=(x-y)2(x2+xy+y2)=(x-y)2≥0,
∴(x2-y2)2≥xy(x-y)2.
(2)=aa-b·bb-a=.
当a>b>0时,>1,a-b>0,
∴>1,∴aabb>abba;
当a=b>0时,=1,a-b=0,
∴=1,∴aabb=abba;
当b>a>0时,0<<1,a-b<0,
∴>1,∴aabb>abba.
综上所述,aabb≥abba.
变式题　(1)D　(2)B　[解析] (1)b==,∵+>+1>0,a=,∴b>a.又00,∴a>c,∴b>a>c.故选D.
(2)方法一:易知a,b,c都是正数.∵==log8164<1,∴a>b,∵==log6251024>1,∴b>c,∴c方法二:构造函数f(x)=(x>0),则f'(x)=.令f'(x)>0,得0e.∴f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,∴f(3)>f(4)>f(5),即a>b>c.故选B.
例2　[思路点拨] (1)举反例判断A,B,C选项,根据不等式的性质判断D选项.(2)由题得c≠0,分c>0和c<0两种情况判断A,D;由<<0,得-=<0,由ab>0,得c与a-b同号,即可判断B,C.
(1)D　(2)ACD　[解析] (1)取a=1,b=-1,则==,a2b=-1,ab2=1,则a2bb,所以2a>b+a>2b,所以a>>b,故D正确.故选D.
(2)由<<0得c≠0.当c>0时,由<<0,得<<0,即b|a|,0<<1;当c<0时,由<<0,得>>0,即b>a>0,所以|b|>|a|,0<<1,故A,D正确;由<<0,得-=<0,由上述分析可知a与b同号,即ab>0,所以c与b-a异号,即c与a-b同号,故C正确;由c(a-b)>0,得ac>bc,故B错误.故选ACD.
变式题　(1)D　(2)ABC　[解析] (1)当a=1,b=-1时,满足a>b,但>,故A中不等式不一定成立;当a=1,b=-1时,满足a>b,但a2=b2,故B中不等式不一定成立;当a=1,b=-1时,满足a>b,但ln b不存在,故C中不等式不一定成立;由a>b,得a-b>0,则2a-b>1,故D中不等式一定成立.故选D.
(2)对于A,因为a+c>b+c,所以a>b,故A符合题意;对于B,因为>>0,所以-=>0,所以a-b>0,即a>b,故B符合题意;对于C,因为>,所以-=>0,即a>b,故C符合题意;对于D,取a=-1,b=0,满足a2>b2,但a例3　[思路点拨] 利用不等式的性质可得结论.
　[解析] ∵-3变式题　　[解析] 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-a-c.由b=-a-c-c,故>-2.由b=-a-c>c,得-a>2c,故<-,所以-2<<-.第3讲　等式与不等式
1.D　[解析] ∵P-Q=a2+3a+2-(a+1)=a2+2a+1=(a+1)2≥0,∴P≥Q.故选D.
2.D　[解析] 对于A选项,令a=-1,b=1,满足ab≠0且ab,但a2b,c>d,但acb及不等式的性质可得a+c>b+c,故D正确.故选D.
3.B　[解析] 由题知x>0,y>0,因为==<1,所以x4.D　[解析] 当a=-1,b=-1时,a+b=-2,所以A错误.当a<0,b>0时,ab>0,则>>0,则a+>b+,所以D正确.故选D.
5.C　[解析] 当ab<0时,或则+=0,即充分性成立;当+=0时,=->0,则ab<0,即必要性成立.所以“ab<0”是“+=0”的充要条件.故选C.
6.1　2(答案不唯一)　[解析] 因为“若m为正数,则<”是真命题,所以-=>0,因为a,b,m均为正数,所以07.[0,6]　[解析] 因为x>0,y>0,所以>0,又-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,所以lg=lg=lg+lg x∈[0,6],所以lg的取值范围是[0,6].
8.C　[解析] 由-10.由对勾函数的性质可得b=t+<-(1+1)=-2,c=t(2+t)<0,且c=t(2+t)=t2+2t=(t+1)2-1>-1.综上所述,b9.B　[解析] 根据题意得,M=,N=,P===.对于A,N-P=-=,∵a>b>c,∴a-c>0,b-c>0,∴a+b-2c>0,∴N-P=>0,∴N>P,故A错误.对于B,M-P=-=,∵a>b>c,∴a-c>0,b-c>0,∴a+b-2c>0,∴M-P=>0,∴M>P,故B正确.对于C,M-N=-=,∵a>b>c,∴c-a<0,c-b<0,∴2c-a-b<0,∴M-N=<0,∴MP,N>P,∴M+N>2P,故D错误.故选B.
10.B　[解析] 对于①,由b≥>0得b2≥4,所以b≥2,故①正确;对于②,b=2,a=1,显然满足条件,故②错误;对于③,由2a≥>0得ab≥2,故③正确;对于④,a2+b2≥b2+b-1,由于f(b)=b2+b-1在[2,+∞)上单调递增,故a2+b2的最小值为f(2)=5,故④错误.故正确的结论有2个.
11.ABD　[解析] 因为c<0,故C错误;因为c<0>0,所以<,所以>,故D正确.故选ABD.
12.ABD　[解析] 对于A,由a+b=2,得a-1=1-b,因此|a-1|=|b-1|,故A正确;对于B,由a+b=2,得2a+2b≥2=2=4,当且仅当a=b=1时取等号,故B正确;对于C,取a=,b=,满足a+b=2,但lg a=lg <0,即b-<-1,故D正确.故选ABD.
13.>　[解析] 由题意得
所以所以A-B>25>0,则A>B.
14.[15,19]　[解析] 因为x+y=4-z,2x-y=5-z,所以x=3-,y=1-,由x,y,z≥0得解得0≤z≤3,故M=4x+3y+5z=4+3+5z=+15∈[15,19].
15.BCD　[解析] 对于A,由00,故>,所以A错误;对于B,由00,故a+b>ab,所以B正确;对于C,令f(x)=,则f'(x)=,当00,f(x)单调递增,因为0【课标要求】　梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)如果a=b,b=c,那么a=c.
(2)如果a=b,那么a+c　　　　b+c,a-c　　　　b-c.
(3)如果a=b,那么ac　　　　bc,　　　 (c≠0).
3.不等式的性质
(1)对称性:a>b 　　　　(双向性).
(2)传递性:a>b,b>c a>c(单向性).
(3)可加性:a>b a+c　　　　b+c(双向性).
(4)可乘性:a>b,c>0 ac　　　　bc;
a>b,c<0 ac　　　　bc.
(5)a>b,c>d 　　　　　　(单向性).
(6)a>b>0,c>d>0 ac　　　　bd(单向性).
(7)乘方法则:a>b>0 an　　　　bn(n∈N,n≥2)(单向性).
常用结论
1.若a2.若<1,a,b,m>0,则<<1;
若>1,a,b,m>0,则>>1.
题组一　常识题
1.[教材改编] 设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　.
2.[教材改编] 若-<α<β<,则α-β的取值范围是　　　　.
3.[教材改编] 下列命题为真命题的是　　　　(填序号).
①若ac2>bc2,则a>b;
②若a>b>0,则a2>b2;
③若a④若a.
题组二　常错题
◆索引:求取值范围时乱用不等式的加法法则致错;乘法运算时不注意符号的影响致错;运用作差法时对差的变形不彻底或变形方向不明确致错.
4.已知25.已知实数a∈(-3,1),b∈,则的取值范围是　　　　.
6.设p=1+2x4,q=2x3+x2,则p,q的大小关系是　　　　.
　比较数(式)的大小
例1 (1)设x,y∈R,比较(x2-y2)2与xy(x-y)2的大小.
(2)已知a,b都是正数,试比较aabb与abba的大小.


总结反思
(1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等.
(2)作差(商)法的一般步骤是:作差(商),变形,定号,得出结论.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
变式题 (1)[2025·黑龙江十校联考] 已知a=,b=,c=a2,则 (　 )
A.c>a>b B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
(2)若a=,b=,c=,则 (　 )
A.aC.c　不等式的性质
例2 (1)[2024·北京丰台区二模] 若a,b∈R,且a>b,则 (　 )
A.<
B.a2b>ab2
C.a2>ab>b2
D.a>>b
(2)(多选题)若<<0,则 (　 )
A.|a|<|b| B.acC.>0 D.0<<1
总结反思
解决不等式有关问题常用的三种方法:
(1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件;
(2)利用特殊值法排除错误答案;
(3)构造函数,利用函数的单调性判断.
变式题 (1)已知a>b,则下列不等式中一定成立的是 (　 )
A.<
B.a2>b2
C.ln a>ln b
D.2a-b>1
(2)(多选题)已知a,b,c∈R,下列选项中是“a>b”的充分条件的是 (　 )
A.a+c>b+c B.>>0
C.> D.a2>b2
　不等式性质的综合应用
例3 已知-3总结反思
求代数式的取值范围需注意两点:(1)严格运用不等式的性质;(2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.
变式题 已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,那么的取值范围是　　　　. 第3讲　等式与不等式
(时间:45分钟)
1.已知P=a2+3a+2,Q=a+1,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.PC.P>Q D.P≥Q
2.[2024·青海西宁一模] 下列结论中正确的是 (　 )
A.若ab≠0且a
B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D.若a>b,则a+c>b+c
3.设a>b>0,x=-,y=-,则x,y的大小关系为 (　 )
A.x>y B.xC.x=y D.不确定
4.[2024·安徽淮北质检] 已知a,b∈R,下列结论正确的是 (　 )
A.若ab=1,则a+b≥2
B.若<,则a>b
C.若a>b,则ln(a-b)>0
D.若a>b>0,则a+>b+
5.[2024·福建福州质检] 设a,b∈R,则“ab<0”是“+=0”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知a,b均为正数,使“若m为正数,则<”是真命题的一组数a,b可以为a=　　　　,b=　　　　.(写出一组即可)
7.已知x>0,y>0,若-1≤lg≤2,1≤lg x≤4,则lg的取值范围是　　　　.
8.[2024·北京西城区一模] 设a=t-,b=t+,c=t(2+t),其中-1A.bC.b9.[2024·浙江金华一中模拟] 设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则 (　 )
A.NB.PC.ND.M+N<2P
10.已知a2+1≥b≥2a≥>0,则下列结论中正确的个数是 (　 )
①b≥2;②a≥2;③ab≥2;④a2+b2的最小值为6.
A.1 B.2
C.3 D.4
11.(多选题)[2025·黄冈模拟] 已知c<0A.ac+bB.b3+c3C.<
D.>
12.(多选题)[2025·湖北鄂东南模拟] 已知两个正数a,b满足a+b=2,则下述结论正确的是 (　 )
A.|a-1|=|b-1|
B.2a+2b≥4
C.lg a≥lg
D.b-<-1
13.某地为加强体育文化建设,购买了一批体育器材.已知在该批次器材中,4个排球和5个足球的价格之和小于400元,而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A元,1个足球的价格为B元,则A　　　　B(填“>”“<”或“=”).
14.[2024·石家庄二模] 若实数x,y,z≥0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,则M=4x+3y+5z的取值范围是　　　　.
15.(多选题)[2024·安徽合肥模拟] 已知实数a,b满足0A.<
B.a+b>ab
C.abD.2a-2b第3讲 等式与不等式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
◆ 知识聚焦 ◆
1.两个实数比较大小的方法
___
___
___
（1） 作差法
___
___
___
（2） 作商法
2.等式的性质
（1）如果,，那么 .
（2） 如果,那么___，___ .
（3）如果,那么___，___ .
3.不等式的性质
（1）对称性: ______（双向性）.
（2）传递性:, （单向性）.
（3）可加性:___ （双向性）.
（4）可乘性:,___ ;
,___ .
（5）, _____________（单向性）.
（6）,___ （单向性）.
（7）乘方法则:___ （单向性）.
常用结论
1.若，，则.
2.若，，，，则；
若，，，，则.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 设，，则与 的
大小关系为_______.
[解析]
.故 .
2.［教材改编］ 若，则 的取值范围是
________.
[解析] 由已知得，，所以 ，
又 ，所以，故 .
3.［教材改编］ 下列命题为真命题的是________（填序号）.
①若，则 ；
②若，则 ；
③若，则 ；
④若，则 .
[解析] 对于①，若，则，所以 ，故①为真命题；
对于②，若，则 ，故②为真命题；
对于③，若，，则 ，故③为假命题；
对于④，若，则，所以 ，故④为真命题.
题组二 常错题
◆ 索引：求取值范围时乱用不等式的加法法则致错;乘法运算时不
注意符号的影响致错;运用作差法时对差的变形不彻底或变形方向不
明确致错.
4.已知，，则 的取值范围是______.
[解析] 因为，所以，
又 ，所以，所以 .
5.已知实数，，则 的取值范围是________.
[解析] 当时,；
当时， ．
综上可知，的取值范围是 ．
6.设，，则, 的大小关系是______.
[解析] ，故 .
探究点一 比较数（式）的大小
例1（1）设，，比较与 的大小.
［思路点拨］把, 作差分解因式后判断符号,进
而得出结论.
解： ，
.
（2）已知,都是正数,试比较与 的大小.
［思路点拨］把与作商后对, 的大小关系分类,借助指数
函数的性质比较大小.
解： .
当时，， ，， ；
当时，， ，， ；
当时，， ，， .
综上所述， .
[总结反思]
（1）判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式
性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等.
（2）作差（商）法的一般步骤是:作差（商）,变形,定号,得出结论.
变式题（1）[2025·黑龙江十校联考]已知， ，
，则( )
A. B. C. D.
[解析] ，
， ，.
又，， ，
.故选D.
√
（2）若，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：易知，，都是正数. ，
，，， .故选B.
方法二：构造函数，则.
令 ，得；令，得.
在 上单调递增，在上单调递减，
，即 .故选B.
√
探究点二 不等式的性质
例2（1）[2024·北京丰台区二模]若,，且 ，则( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］举反例判断A，B，C选项，根据不等式的性质判断D选项.
√
[解析] 取,，则，， ，
则，故A，B错误.
取,,则,, ，故C错误.
因为，所以，所以 ，故D正确.故选D.
（2）（多选题）若 ，则( )
A. B. C. D.
［思路点拨］由题得，分和 两种情况判断A,D;
由,得,由,得与 同号，即可
判断B,C.
√
√
√
[解析] 由得.
当时，由 ，得，即，
所以，；
当 时，由，得，即，
所以， ，故A，D正确；
由，得 ，由上述分析可知与同号，
即，所以与异号，即与 同号，故C正确;
由，得，故B错误.故选 .
[总结反思]
解决不等式有关问题常用的三种方法:
（1）直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式
是否成立时要特别注意前提条件;
（2）利用特殊值法排除错误答案;
（3）构造函数，利用函数的单调性判断.
变式题（1）已知 ，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 当,时，满足，但 ，故A中不等式不一
定成立；
当,时，满足，但 ，故B中不等式不一定成立；
当,时，满足，但 不存在，
故C中不等式不一定成立；
由，得，则 ，故D中不等式一定成立.故选D.
√
（2）（多选题）已知,,，下列选项中是“ ”的充分条件
的是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，因为，所以 ，故A符合题意；
对于B，因为，所以，所以 ，即
，故B符合题意；
对于C，因为，所以 ，即，故C符合题意；
对于D，取，，满足 ，但，
故D不符合题意. 故选 .
√
√
√
探究点三 不等式性质的综合应用
例3 已知，，则 的取值范围是_________.
［思路点拨］ 利用不等式的性质可得结论.
[解析] ，，故 .
又，，则 .
[总结反思]
求代数式的取值范围需注意两点:（1）严格运用不等式的性质;（2）
利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解范围，防止在多
次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围.
变式题 已知实数，，满足，且，那么 的
取值范围是_ ________.
[解析] 因为，且，所以， ，
.
由，得，故 .
由，得，故，
所以 .
【备选理由】例1考查利用作商法比较两数（式）的大小以及分类讨
论思想的运用；
例1 ［配例1使用］ 若且 ，则( )
A. B.
C. D.与 的大小不确定
[解析] ，
当时，, ，则，；
当时，, ，则，.
综上， .
√
例2 ［配例2使用］ [2024·北京房山区一模] 已知,, ，则下列
结论错误的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若,，则
√
【备选理由】 例2考查不等式的基本性质;
[解析] 对于A，因为，所以 ，故A中结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在 上单调递增，
所以，故B中结论正确；
对于C，因为 ，所以，而函数为减函数，
所以 ，故C中结论正确；
对于D， ，因为,，
所以, ，所以，
所以 ，故D中结论错误.故选D.
例3 ［配例3使用］ [2024·邯郸三调] 记,,表示，， 中
最小的数.设，，则 的最大值为___.
2
【备选理由】 例3考查不等式的基本性质及其应用，考查了分类讨论思想.
[解析] 若，则，此时 ，
因为，所以和 中至少有一个小于或
等于2，所以，
又当， 时，，
所以的最大值为2.
若 ，则，此时 ，
因为，所以和 中至少有一个小于2，
所以.综上， 的最大值为2.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.已知, ,则( )
A. B. C. D.
[解析] ,
.故选D.
√
2.[2024·青海西宁一模]下列结论中正确的是( )
A.若且，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，则
[解析] 对于A选项，令,，满足且,但 ，
故A错误；
对于B选项，令,，满足,但 ，故B错误；
对于C选项，令,,,，满足 , ,
但，故C错误；
对于D选项，由 及不等式的性质可得 ，故D正确.故选D.
√
3.设，，，则， 的大
小关系为( )
A. B. C. D.不确定
[解析] 由题知，，因为 ，所
以 .
√
4.[2024·安徽淮北质检]已知, ，下列结论正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
[解析] 当,时，，所以A错误.
当 , 时，，所以B错误.
当,时， ，所以C错误.
若，则，则 ，所以D正确.故选D.
√
5.[2024·福建福州质检]设，，则“”是“ ”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 当时，或则 ，即充分性成立；
当时，，则 ，即必要性成立.
所以“”是“ ”的充要条件.故选C.
√
6.已知,均为正数，使“若为正数，则 ”是真命题的一组数
，可以为___， _________________.（写出一组即可）
2（答案不唯一）
[解析] 因为“若为正数，则 ”是真命题，所以
，
因为，，均为正数，所以 ，
不妨取， （答案不唯一）.
7.已知,，若,,则 的取值范围
是______．
[解析] 因为,，所以，
又, ,
所以,所以的取值范围是 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·北京西城区一模]设,, ，其中
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由，得，故 .
由对勾函数的性质可得， ，
且.
综上所述， .故选C.
√
9.[2024·浙江金华一中模拟]设,,的平均数为,与的平均数为 ,
与的平均数为.若 ,则( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意得,,, .
对于A,,, ,
,,, ，
故A错误.
√
对于B,,, ,
,,,
，故B正确.
对于C,,, ,
,,, ，故C
错误.
对于D,,, ，故D错误.故选B.
10.已知 ，则下列结论中正确的个数是( )
；；； 的最小值为6.
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 对于①，由得，所以 ，故①正确；
对于②，， ，显然满足条件，故②错误；
对于③，由得，故③正确；
对于④， ，
由于在上单调递增，故 的最小值为
，故④错误.故正确的结论有2个.
√
11.（多选题）[2025·黄冈模拟] 已知 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，所以 ，故A正确；
因为，所以, ，所以，故B正确；
因为，所以不妨令 , ,，
得,，此时 ，故C错误；
因为，所以，所以，所以 ，
故D正确.故选 .
√
√
√
12.（多选题）[2025·湖北鄂东南模拟] 已知两个正数， 满足
，则下述结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，由，得 ，
因此，故A正确；
对于B，由 ，得，
当且仅当 时取等号，故B正确；
对于C，取，,满足 ，但，
故C错误；
对于D，由 ，得, ，
则 ，
即，故D正确.故选 .
13.某地为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器
材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足
球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为 元，1个足球的价格为
元，则___（填“ ”“ ”或“ ”）.
[解析] 由题意得
所以所以，则 .
14.[2024·石家庄二模] 若实数,,，且 ,
，则 的取值范围是________.
[解析] 因为,，所以, ，
由,,得解得 ，
故 .
◆ 能力拓展 ◆
15.（多选题）[2024·安徽合肥模拟] 已知实数,满足 ，
则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，由，得 ，故
，所以A错误；
对于B，由 ，得，
故 ，所以B正确；
对于C，令，则，
当时，， 单调递增，
因为，所以，所以 ，
即,即，所以 ，所以C正确；
对于D，函数在上单调递增，
因为 ，所以，即 ，
所以，所以D正确.故选 .
【知识聚焦】1. (1)> = < (2)> = < 2. (2) = = (3)= =
3.(1)b (4)> < (5)a+c>b+d (6)> (7)>
【对点演练】1. M>N 2. (π,0)　 3. ①②④ 4. (2,5) 5. (24,8) 6. p≥q
课堂考点探究
例1(1) (x2 y2)2≥xy(x y)2　 (2) aabb ≥ abba 变式题(1)D　(2)B
例2 (1)D　(2)ACD 变式题 (1)D　(2)ABC 例3 　 变式题
教师备用习题
例1 C 例2 D 例3 2　
基础热身
1.D 2.D 3.B 4.D 5.C 6.1 2（答案不唯一） 7.
综合提升
8.C 9.B 10.B 11.ABD 12. 13. 14.
能力拓展
15. BCD