第4讲 基本不等式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)a>0,b>0 (2)a=b (3)
2.(1)2ab (2)2 3.(1)2 (2)
【对点演练】
1.±1 2 [解析] x2+≥2=2,当且仅当x=±1时,等号成立,则x2+的最小值为2.
2. [解析] 因为0≤x≤1,所以3-2x>0,所以y=·2x·(3-2x)≤=,当且仅当2x=3-2x,即x=时取等号.
3.3 [解析] 因为x>2,所以f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立.故a=3.
4.40 9 [解析] 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m,y m,则篱笆的长度为2(x+y)m.由题知xy=100,由≥,可得x+y≥2=20,所以2(x+y)≥40,当且仅当x=y=10时,等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时,所用篱笆最短,此时所用篱笆的长度是40 m.若矩形菜园和墙平行的边长为x(0
5.3+2 [解析] 因为x<0,所以-3x>0,->0,所以y=3-3x-=3+≥3+2=3+2,当且仅当-3x=-,即x=-时,等号成立,所以y=3-3x-的最小值是3+2.
6.3 [解析] 设x+2=t,则x+=t+-2.由x≥2得t≥4,因为函数y=t+-2在[4,+∞)上单调递增,所以当t=4时,y=t+-2取得最小值,最小值为4+-2=3,故x+的最小值为3.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据基本不等式及其成立的条件依次判断各选项即可得答案.(2)利用基本不等式判断即可.
(1)BD (2)ABD [解析] (1)对于A,当a=1,b=-1时,+=-2,故A错误;对于B,因为(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab,所以≥ab,即≥ab,当且仅当a=b时取等号,故B正确;对于C,当a=-1,b=-1时,a+b=-2<2=2,故C错误;对于D,因为(a+b)2≥0,所以a2+b2+2ab≥0,即a2+b2≥-2ab,当且仅当a=-b时取等号,故D正确.故选BD.
(2)对于A,因为正实数m,n满足m+n=1,所以0变式题 (1)D (2)B [解析] (1)对于选项A,当x<0时,y=x+<0,即最小值不是2,故选项A不符合题意;对于选项B,当x>0时,y=x+≥2,当且仅当x=1时取等号,即y=x+的最小值是2,故选项B不符合题意;对于选项C,y=+,令t=,则t≥,y=t+在[,+∞)上单调递增,当t=时,y=t+取得最小值,最小值为,故选项C不符合题意;对于选项D,y=ex+≥2,当且仅当x=ln时取等号,即y=ex+的最小值是2,故选项D符合题意.故选D.
(2)由题知,0=,所以排除A.因为a2+b2>2ab,所以排除C.故选B.
例2 [思路点拨] (1)由已知得x+1>1,将y=2+3x+变形为y=3(x+1)+-1,再利用基本不等式求原函数的最小值.(2)由于-1(1)A (2)C [解析] (1)∵x>0,∴x+1>1,∴y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1≥2-1=4-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1时,等号成立,∴函数y=2+3x+的最小值为4-1.故选A.
(2)因为-1例3 [思路点拨] (1)由2x+(1-2x)=1,得到+=[2x+(1-2x)],结合基本不等式,即可求解.(2)先将4x+2y-xy=0化为+=1,则2x+y=(2x+y),结合基本不等式计算即可.
(1)A (2)A [解析] (1)因为00,且2x+(1-2x)=1,则+=[2x+(1-2x)]=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即x=时,等号成立,所以+的最小值是3+2.故选A.
(2)由题意可知+=1,∴2x+y=(2x+y)=++8≥2+8=16,当且仅当=,即x=4,y=8时,等号成立,则2x+y的最小值为16.
例4 [思路点拨] 根据题意可得y=+,所以x+y=+,再利用基本不等式求解.
A [解析] 由x2-2xy+2=0可得y=+,所以x+y=x++=+≥2=,当且仅当=,即x=时,等号成立,所以x+y的最小值为.故选A.
【应用演练】
1.A [解析] 因为02.C [解析] 因为+2y=2,所以+y=1,因为x>0,y>0,所以x+==+xy++1=+xy+≥+2=+2×=+,当且仅当即时取等号.故选C.
3.BC [解析] 由a>1,b>1,ab-a-b=0,得ab=a+b.对于A,ab=a+b≥2,即≥2,即ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4,故A错误;对于B,由ab=a+b,得+=1,则2a+b=(2a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即a=1+,b=+1时,等号成立,故B正确;对于C,由ab=a+b,得(a-1)(b-1)=1,则+≥2=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故C正确;对于D,a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故D错误.故选BC.
4.4 [解析] 由a>0,b>0,ab=2,得a=,故===2×=2×=2≥2×2=4,当且仅当b=1时等号成立.
例5 [思路点拨] (1)根据题意,当t=0时,x=1,代入已知等式解出k,进而得到函数关系式;(2)根据(1)中的式子,结合基本不等式即可得到答案.
解:(1)根据题意,当t=0时,x=1,则1=4-,解得k=3,所以x=4-,所以y=1.5··x-(6+12x)-t=3+6x-t=3+6-t=27--t(t≥0).
(2)由(1)知,y=27--t=27.5-≤27.5-
2=21.5,当且仅当=t+0.5,即t=2.5时等号成立,
所以该厂家2026年该产品的年促销费用为2.5万元时该产品的年利润最大.
变式题 (1)20 (2)y=+,x∈[60,120] 80 280 [解析] (1)由题知===+≥2=10,当且仅当=,即q=20时取等号,故当q=20时,平均成本最少.
(2)若车速为x km/h,则从A地到B地所需时间为 h,依题意可得y==+,x∈[60,120].y=+≥2=280,当且仅当=,即x=80时取等号,所以以80 km/h的车速行驶,快递公司需要支付的总费用最少,最少费用为280元.第4讲 基本不等式
1.D [解析] ∵x>0,∴x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,∴x+的最小值为4.故选D.
2.B [解析] 取a=1,b=4,计算可得=2,=,所以a<<3.B [解析] 因为2m+2n=2m+n≥2=2,当且仅当m=n=1时取等号,所以2m+n≥4,即m+n≥2,则m+n+1+2m+n≥2+1+22=7.故选B.
4.D [解析] 因为3m+2n-1=0,所以3m+2n=1,所以+=×1=(3m+2n)=9+++4≥13+2=13+12=25,当且仅当=,即m=n=时取等号,所以+的最小值为25.故选D.
5.D [解析] 当x>1时,x-1>0,故x+=(x-1)++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立.因为不等式x+≥a恒成立,所以a≤,故a≤3,故选D.
6. [解析] 因为正实数x,y满足x2+4y2-2xy=1,所以1+2xy=x2+4y2≥4xy,当且仅当x=2y,即y=,x=1时取等号,所以xy≤,即xy的最大值为.
7. [解析] 因为00,所以x(1-3x)=·3x(1-3x)≤×=×=,当且仅当x=时,等号成立,故x(1-3x)的最大值是.
8.A [解析] 因为3y(1-x)=x+8,所以3y=,所以x-3y=x-=x+===(x-1)++2,因为x>1,所以x-1>0,所以x-3y=(x-1)++2≥2+2=8,当且仅当x-1=,即x=4时取等号,所以x-3y的最小值是8.故选A.
9.C [解析] 设矩形场地的长为x米,则宽为米,W=(x+4)=4x++10 016≥2+10 016=10 816,当且仅当4x=,即x=100时,等号成立,所以估算平整完这块矩形场地所需的最少费用为1×10 816=10 816(元).故选C.
10.AB [解析] 对于A,y=x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当且仅当x=-1时取等号,故A正确;对于B,在y=|sin x|+中,|sin x|>0,所以y=|sin x|+≥2=2,当且仅当|sin x|2=1时,等号成立,故B正确;对于C,2x>0,21-x>0,故y=2x+21-x=2x+≥2=2,当且仅当(2x)2=2,即x=时等号成立,故C错误;对于D,x>0,ln x∈R,只有当ln x>0时,才有y=ln x+≥2=2,当且仅当(ln x)2=1,即x=e时等号成立,故D错误.故选AB.
11.BD [解析] 方法一:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-1=3xy≤3,当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确;因为-≤xy≤,所以-≤x2+y2-1≤,所以≤x2+y2≤2,故C错误,D正确.故选BD.
方法二:由x2+y2-xy=1得+=1,令
得故x+y=sin θ+cos θ=2sin∈[-2,2],故A错误,B正确;x2+y2=+=sin 2θ-cos 2θ+=sin+∈,故C错误,D正确.故选BD.
12.[1,2] [解析] 由题可知a+b==3-,因为a,b都是正数,所以ab≤=(当且仅当a=b时取等号),所以a+b=3-≤3-(当且仅当a=b时取等号),化简可得(a+b)2-3(a+b)+2≤0,解得1≤a+b≤2.
13.2 [解析] ①当≥b时,M=max=max,而a++≥4a+≥2=4,可得,a+中至少有一个不小于2,则M的最小值为2;②当b+≥2=4(当且仅当b=2时取等号),可得b,a+中至少有一个大于2,则M大于2.综上,M的最小值为2.
14.6 [解析] 设矩形空地的长为x m,则宽为 m,依题意可得,试验区的总面积S=(x-0.5×4)=34-x-≤34-2=18,当且仅当x=,即x=8时等号成立,所以每块试验区的面积的最大值为=6(m2).
15.AC [解析] 对于A,因为x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时取等号,所以≤=,故A正确;对于B,因为≤,当且仅当x=y时取等号,而x+y=4,所以2≤,解得x2+y2≥8,则x2+y2的最小值为8,故B错误;对于C,因为+y=1,所以x+==2+xy++1=xy++3,由基本不等式得xy++3≥2+3=2+3,当且仅当xy=,即x=2+,y=-1时取等号,故C正确;对于D,因为x2+y2=x-y,所以=1,则=====
,因为x2+y2=x-y>0,所以y0,所以f(t)的最小值为=,即的最小值为,故D错误.故选AC.
16.2 2 [解析] 由题得4=a+4b≥2=4,当且仅当a=4b=2时取等号,因此0【课标要求】 1.掌握基本不等式≤(a,b>0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件: .
(2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号.
(3)数 称为a,b的算术平均数;数称为a,b的几何平均数.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥ (a,b∈R).
(2)+≥ (a,b同号).
(3)ab≤(a,b∈R).
(4)≤(a,b∈R).
3.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0.
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是 .(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是 .(简记:和定积最大)
常用结论
1.若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.
2.当x>0时,函数y=x+(a>0)在x=处取得最小值2;当x<0时,函数y=x+(a>0)在x=-处取得最大值-2.
题组一 常识题
1.[教材改编] 当x= 时,x2+取得最小值 .
2.[教材改编] 函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是 .
3.[教材改编] 若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取得最小值,则a= .
4.[教材改编] 用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,则当所用篱笆最短时,所用篱笆的长度是 m;若矩形菜园一边靠墙,墙的长度为9 m,则当矩形菜园和墙平行的边长为 m时,所用篱笆最短.
题组二 常错题
◆索引:对于基本不等式的应用,忽视字母的正负致错;忽视等号成立的条件致错.
5.设x<0,则y=3-3x-的最小值是 .
6.当x≥2时,x+的最小值为 .
直接用基本不等式
例1 (1)(多选题)下列不等式恒成立的是 ( )
A.+≥2 B.ab≤
C.a+b≥2 D.a2+b2≥-2ab
(2)(多选题)设正实数m,n满足m+n=1,则下列不等式恒成立的是 ( )
A.≥4 B.+≤
C.≤ D.m2+n2≥
总结反思
利用基本不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变形形式,结合不等式的性质比较大小.
变式题 (1)在下列函数中,最小值是2的是 ( )
A.y=x+(x≠0)
B.y=x+(x>0)
C.y=+
D.y=ex+
(2)[2024·广东汕头二模] 若实数a,b满足0A. B.a2+b2
C.2ab D.a
变形用基本不等式求最值
微点1 配凑法
例2 (1)设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为 ( )
A.4-1 B.4+2
C.4+1 D.6
(2)[2024·江苏盐城模拟] x(-1A.- B.- C.- D.-
总结反思
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解.
微点2 常数代换法
例3 (1)[2024·浙江杭州模拟] 若0A.3+2 B.6
C.4 D.9
(2)已知x>0,y>0,且4x+2y-xy=0,则2x+y的最小值为 ( )
A.16 B.8+4
C.12 D.6+4
总结反思
常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,通常先将+转化为·,再用基本不等式求最值.
微点3 消元法求最值
例4 [2024·浙江嘉兴二模] 若正数x,y满足x2-2xy+2=0,则x+y的最小值是 ( )
A. B.
C.2 D.2
总结反思
消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.
1.已知0A.2 B.4
C.5 D.6
2.[2024·南通二调] 设x>0,y>0,+2y=2,则x+的最小值为 ( )
A. B.2
C.+ D.3
3.(多选题)[2025·广东九校联考] 已知a,b均为正实数,且a>1,b>1,ab-a-b=0,则 ( )
A.ab的最大值为4
B.2a+b的最小值为3+2
C.+的最小值为2
D.a+b的最小值为3-2
4.[2024·天津河东区一模] 若a>0,b>0,ab=2,则的最小值为 .
基本不等式的实际应用
例5 某厂家拟在2026年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用t(t≥0,单位:万元)之间满足x=4-(k为常数).若不搞促销活动,则该产品的年销量只有1万件.已知2026年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,该厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)设该厂家2026年该产品的年利润为y万元,求y关于t的函数关系式.
(2)该厂家2026年该产品的年促销费用为多少万元时该产品的年利润最大
总结反思
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题建立函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(3)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(4)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.
变式题 (1)[2024·上海奉贤区二模] 某商品的成本C与产量q之间满足关系式C=C(q),定义平均成本=,假设C(q)=q2+100,则当q= 时,平均成本最少.
(2)已知快递公司要从A地往B地送货,A,B两地间的距离为100 km,按交通法规,A,B两地之间的公路车速x(km/h)应限制在[60,120]内,假设汽车每小时的油耗为元,司机每小时的工资为70元,且汽车匀速行驶.若燃油费用与司机工资都由快递公司承担,则行车总费用y(元)关于车速x(km/h)的函数关系式为y= ;若不考虑其他费用,则以 km/h的车速行驶,快递公司需要支付的总费用最少,最少费用为 元. 第4讲 基本不等式
(时间:45分钟)
1.若x>0,则x+的最小值为 ( )
A.2 B.3
C.2 D.4
2.设0A.aB.a<<C.a<D.3.已知m,n∈R,且有2m+2n=2m+n,则m+n+1+2m+n的最小值是 ( )
A.6 B.7
C.8 D.9
4.[2025·湖北黄冈调研] 若m>0,n>0,且3m+2n-1=0,则+的最小值为 ( )
A.20 B.12
C.16 D.25
5.[2024·辽宁沈阳二中五模] 当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.[3,+∞) D.(-∞,3]
6.已知正实数x,y满足x2+4y2-2xy=1,则xy的最大值为 .
7.已知08.已知x>1,y<0,且3y(1-x)=x+8,则x-3y的最小值是 ( )
A.8 B.6 C. D.
9.[2024·广东韶关二模] 在工程中,估算平整一块矩形场地的工程量W(单位:平方米)的计算公式是W=(长+4)×(宽+4)(长、宽的单位均为米),在不测量长和宽的情况下,若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米,每平方米收费1元,则估算平整完这块矩形场地所需的最少费用(单位:元)是 ( )
A.10 000 B.10 480
C.10 816 D.10 818
10.(多选题)[2024·湖南长沙长郡中学月考] 下列函数中最小值为2的是 ( )
A.y=x2+2x+3
B.y=|sin x|+
C.y=2x+21-x
D.y=ln x+
11.(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( )
A.x+y<1
B.x+y≥-2
C.x2+y2≥1
D.x2+y2≤2
12.[2024·重庆南开中学质检] 对于正数a,b,有(2ab+1)(a+b)=6ab,则a+b的取值范围是 .
13.[2024·河南濮阳三模] 设a>0,b>0,记M为,b,a+三个数中最大的数,则M的最小值为 .
14.某校生物兴趣小组为开展课题研究,分得一块面积为32 m2的矩形空地,并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示).要求试验区与矩形空地边界之间各空0.5 m,各试验区之间也空0.5 m,则每块试验区的面积的最大值为 m2.
15.(多选题)[2025·江苏泰州模拟] 已知x,y均为正实数,则下列说法正确的是 ( )
A.的最大值为
B.若x+y=4,则x2+y2的最大值为8
C.若+y=1,则x+的最小值为3+2
D.若x2+y2=x-y,则的最小值为
16.[2024·湖北黄石三模] 已知a,b均为正实数,若a+4b=4,则的最小值为 ,此时a的值为 . (共78张PPT)
第4讲 基本不等式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.掌握基本不等式 .
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
◆ 知识聚焦 ◆
1.基本不等式
（1）基本不等式成立的条件：_____________.
（2）等号成立的条件：当且仅当______时取等号.
（3）数_ ___称为,的算术平均数;数称为, 的几何平均数.
，
2.几个重要的不等式
（1） _____ .
（2） ___（， 同号）.
（3） .
（4） .
3.利用基本不等式求最值问题
已知， .
（1）如果积是定值，那么当且仅当时， 有最小值，
是_____.（简记：积定和最小）
（2）如果和是定值，那么当且仅当时， 有最大值，
是_ __.（简记：和定积最大）
常用结论
1.若，，则，当且仅当时，
等号成立.
2.当时，函数在处取得最小值；当
时，函数在处取得最大值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 当_____时, 取得最小值___.
[解析] ,当且仅当 时，等号成立,则
的最小值为2.
2.［教材改编］ 函数 的最大值是_ _.
[解析] 因为，所以 ，
所以，当且仅当 ，
即 时取等号.
3.［教材改编］ 若函数在 处取得最小值，
则 ___.
3
[解析] 因为 ，所以
，当且仅当，即时，
等号成立.故 .
4.［教材改编］ 用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，则当所用
篱笆最短时，所用篱笆的长度是____ ；若矩形菜园一边靠墙，墙的
长度为，则当矩形菜园和墙平行的边长为___ 时，所用篱笆最短.
40
9
[解析] 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为， ，则篱笆的长
度为.
由题知，由 ，可得，
所以，当且仅当 时，等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为 的正方形时，所用篱笆最短，
此时所用篱笆的长度是 .
若矩形菜园和墙平行的边长为，与墙不平行的边长
为 ，则篱笆的长度为，
又，所以 ，
因为在上单调递减，所以当 时所用篱笆最短.
题组二 常错题
◆ 索引：对于基本不等式的应用,忽视字母的正负致错；忽视等号成
立的条件致错.
5.设，则 的最小值是_________.
[解析] 因为，所以， ，
所以，当且仅当，即 时，等号成立，
所以的最小值是 .
6.当时， 的最小值为___.
3
[解析] 设，则.由得 ，
因为函数在上单调递增，所以当 时，
取得最小值，最小值为，
故 的最小值为3.
探究点一 直接用基本不等式
例1（1）（多选题）下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］根据基本不等式及其成立的条件依次判断各选项即可
得答案.
√
√
[解析] 对于A，当，时， ，故A错误；
对于B，因为，所以，所以 ，
即，当且仅当 时取等号，故B正确；
对于C，当，时， ，故C错误；
对于D，因为，所以，
即 ，当且仅当时取等号，故D正确.故选 .
（2）（多选题）设正实数,满足 ，则下列不等式恒成立
的是( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］利用基本不等式判断即可.
√
√
√
[解析] 对于A，因为正实数,满足 ，所以
，所以，当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于B， ，
则，当且仅当 时等号成立，故B正确；
对于C，，所以，当且仅当 时等号
成立，故C错误；
对于D，由 ，可得，
当且仅当 时等号成立，故D正确.故选 .
[总结反思]
利用基本不等式比较大小,主要有两个思路:一是直接建立不等关系比
较大小;二是观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变
形形式,结合不等式的性质比较大小.
变式题（1）在下列函数中，最小值是 的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于选项A，当时，，即最小值不是 ，故选项A不符合题意；
对于选项B，当时， ，当且仅当时取等号，
即 的最小值是2，故选项B不符合题意；
对于选项C，，令，则 ，
在上单调递增，当时， 取得最小值，
最小值为 ，故选项C不符合题意；
对于选项D，，当且仅当时取等号，
即 的最小值是 ，故选项D符合题意.故选D.
（2）[2024·广东汕头二模]若实数，满足，且 ，
则下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，，且，所以 ，
，故排除D.
因为 ，所以排除A.
因为 ，所以排除C.故选B.
√
探究点二 变形用基本不等式求最值
微点1 配凑法
例2（1）设实数满足,则函数 的最小值为
( )
A. B. C. D.6
［思路点拨］由已知得,将 变形为
,再利用基本不等式求原函数的最小值.
√
[解析] , ,
,当且仅当 ,
即时,等号成立,
函数的最小值为 .故选A.
（2）[2024·江苏盐城模拟] 的最小值为
( )
A. B. C. D.
［思路点拨］由于，将所求式子化为 ，结
合基本不等式可得结果.
√
[解析] 因为 ，所以 ，
故的最小值为 .故选C.
[总结反思]
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放
缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑
出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解.
微点2 常数代换法
例3（1）[2024·浙江杭州模拟]若，则 的最小值是
( )
A. B.6 C. D.9
［思路点拨］由 ，得到
，结合基本不等式，即可求解.
√
[解析] 因为，所以，且 ，
则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最小值是 .故选A.
（2）已知，，且，则 的最小值
为( )
A.16 B. C.12 D.
［思路点拨］先将化为 ，则
，结合基本不等式计算即可.
[解析] 由题意可知 ，
，当且仅当，即，时，
等号成立，则 的最小值为16.
√
[总结反思]
常数代换法主要解决形如“已知（为常数）,求的最值”
的问题,通常先将转化为,再用基本不等式求最值.
微点3 消元法求最值
例4 [2024·浙江嘉兴二模]若正数,满足，则
的最小值是( )
A. B. C. D.2
［思路点拨］ 根据题意可得，所以 ，再利用
基本不等式求解.
[解析] 由可得 ，
所以，当且仅当 ，即
时，等号成立，所以的最小值为 .故选A.
√
[总结反思]
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式
转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元
后利用基本不等式求解．
应用演练
1.已知，则 的最大值为( )
A.2 B.4 C.5 D.6
[解析] 因为 ，所以
，当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最大值为2.故选A.
√
2.[2024·南通二调]设，，，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.3
√
[解析] 因为，所以，
因为， ，所以，
当且仅当 即 时取等号.故选C.
3.（多选题）[2025·广东九校联考] 已知， 均为正实数，且
，， ，则( )
A.的最大值为4 B.的最小值为
C.的最小值为2 D.的最小值为
[解析] 由，，，得 .
对于A，，即，即，
当且仅当 时，等号成立，故的最小值为4，故A错误；
√
√
对于B，由 ，得 ，
则 ，
当且仅当，即， 时，等号成立，故B正确；
对于C,由，得 ，则
，当且仅当 时，等号成立，故C正确；
对于D， ，当且
仅当时，等号成立，故D错误.故选 .
4.[2024·天津河东区一模] 若,,，则 的最小
值为___.
4
[解析] 由,,，得 ，
故，当且仅当 时等号成立.
探究点三 基本不等式的实际应用
例5 某厂家拟在2026年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销
量（即该厂的年产量）（单位：万件）与年促销费用（ ，单
位：万元）之间满足（ 为常数）.若不搞促销活动，则
该产品的年销量只有1万件.已知2026年生产该产品的固定投入为6万
元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，该厂家将每件产品的销
售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再
投入两部分）.
（1）设该厂家2026年该产品的年利润为万元，求关于 的函数关
系式.
［思路点拨］根据题意，当时，，代入已知等式解出 ，
进而得到函数关系式；
解：根据题意，当时，，则，解得 ，
所以，所以 .
（2）该厂家2026年该产品的年促销费用为多少万元时该产品的年利
润最大？
［思路点拨］根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.
解：由（1）知，
，当且仅当，
即 时等号成立，
所以该厂家2026年该产品的年促销费用为2.5万元时该产品的年利润
最大.
[总结反思]
有关函数最值的实际问题的解题技巧
（1）根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数
的最值．
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，则可利用函
数的单调性求解．
变式题（1）[2024·上海奉贤区二模] 某商品的成本与产量 之间满
足关系式，定义平均成本，假设 ，
则当 ____时，平均成本最少.
20
[解析] 由题知 ，当且仅
当，即时取等号，故当 时，平均成本最少.
（2）已知快递公司要从地往地送货，， 两地间的距离为
，按交通法规，，两地之间的公路车速 应限制在
内，假设汽车每小时的油耗为 元，司机每小时的
工资为70元，且汽车匀速行驶.若燃油费用与司机工资都由快递公司
承担，则行车总费用（元）关于车速的函数关系式为
____________________________；若不考虑其他费用，则以____
的车速行驶，快递公司需要支付的总费用最少，最少费用为
_____元.
[解析] 若车速为，则从地到地所需时间为 ，
依题意可得 ，
，当且仅当，
即时取等号，
所以以 的车速行驶，快递公司需要支付的总费用最少，
最少费用为280元.
【备选理由】例1是利用基本不等式解决不等式恒成立问题中的求参
数最值的问题,考查基本不等式的应用;
例1 ［配例1使用］ 已知，，若不等式 恒成
立，则 的最大值为( )
A.9 B.12 C.18 D.24
[解析] 由,, ，得 ,
因为 ，
所以，所以 的最大值为12.故选B.
√
例2 ［配例2使用］ [2024·江西赣州模拟] 已知 ，则
的最小值为__.
[解析] 由题知，所以-=-=+-
2=y-2=y-2=[(2y-2x)+
(2x+y)]-2=-2≥
-2=-2=，当且仅当 ，
即，即 时等号成立.
【备选理由】 例2、例3是变形使用基本不等式求最值的问题.
例3 ［配例3使用］ 已知，若2是与 的等比中项，则
的最小值为_________.
[解析] 由题意得，即，所以 ，
又，所以， ，
所以，当且仅当 ，
即，时等号成立，故的最小值为 .
例4 ［配例4使用］ 已知正数，，满足， ，则
的最小值为___.
2
[解析] 由题意知，当且仅当 时取等号，
故 ，当且仅当
时取等号.
【备选理由】 例4是变形使用基本不等式求最值的问题,多次使用基
本不等式，借以提高学生解题的灵活性;
例5 ［配例5使用］ [2025·北京朝阳区六校联考] 如图所示，将一
矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在 上，
点在上，且对角线过点，已知,，当
___时，矩形花坛 的面积最小.
4
【备选理由】 例5是基本不等式的实际应用问题,培养学生的实际应用能力.
[解析] 设，
因为 ，所以，所以，
解得 ,
所以矩形 的面积
，当且仅当，即时等号成立，
故当 时，矩形花坛 的面积最小.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.若，则 的最小值为( )
A.2 B.3 C. D.4
[解析] ，，当且仅当，即 时
取等号， 的最小值为4.故选D.
√
2.设 ，则下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 取，，计算可得， ,
所以 ,故选B.
√
3.已知，，且有，则 的最
小值是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
[解析] 因为 ，当且仅当
时取等号，所以，即 ，
则 .故选B.
√
4.[2025·湖北黄冈调研]若,，且 ，则
的最小值为( )
A.20 B.12 C.16 D.25
[解析] 因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，
所以 的最小值为25.故选D.
√
5.[2024·辽宁沈阳二中五模]当时，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时， ，
故 ，当且仅当
，即时等号成立.因为不等式 恒成立，
所以，故 ，故选D.
√
6.已知正实数,满足，则 的最大值为_ _.
[解析] 因为正实数,满足 ，
所以,
当且仅当,即， 时取等号，
所以，即的最大值为 .
7.已知，则 的最大值是___.
[解析] 因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当时，等号成立，故的最大值是 .
◆ 综合提升 ◆
8.已知,,且,则 的最小值是( )
A.8 B.6 C. D.
[解析] 因为,所以 ,所以,
因为,所以 ,
所以 ,当且仅当,即时取等号,所以 的最小值是8.故选A.
√
9.[2024·广东韶关二模]在工程中，估算平整一块矩形场地的工程量
（单位：平方米）的计算公式是长 宽 （长、宽的单
位均为米），在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的
面积是10 000平方米，每平方米收费1元，则估算平整完这块矩形场
地所需的最少费用（单位：元）是( )
A.10 000 B.10 480 C.10 816 D.10 818
√
[解析] 设矩形场地的长为米，则宽为 米，
，
当且仅当，即 时，等号成立，
所以估算平整完这块矩形场地所需的最少费用为 （元）.故选C.
10.（多选题）[2024·湖南长沙长郡中学月考] 下列函数中最小值为2
的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A， ，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，在 中，，所以
，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，， ，
故，当且仅当 ，
即时等号成立，故C错误；
对于D，， ，只有当时，
才有 ，
当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选 .
11.（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 若实数, 满足
,则( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由 ,得，
当且仅当 时取等号,所以，即 ,
故A错误，B正确；
因为,所以 ，
所以，故C错误，D正确.故选 .
√
√
方法二：由得 ，
令 得
故 ,故A错误，B正确；
,故C错误，D正确.故选 .
12.[2024·重庆南开中学质检] 对于正数, ，有
，则 的取值范围是______.
[解析] 由题可知，
因为, 都是正数，所以（当且仅当 时取等号），
所以（当且仅当 时取等号），
化简可得，解得 .
13.[2024·河南濮阳三模] 设，，记为，， 三个
数中最大的数，则 的最小值为___.
2
[解析] ①当时， ，
而（当且仅当 时取等号），
可得,中至少有一个不小于2,则的最小值为2；
②当 时， ，
而（当且仅当 时取等号），
可得,中至少有一个大于2，则大于2.
综上， 的最小值为2.
14.某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得
一块面积为 的矩形空地，并计划在该空
地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.
6
要求试验区与矩形空地边界之间各空，各试验区之间也空 ，
则每块试验区的面积的最大值为___ .
[解析] 设矩形空地的长为，则宽为 ，
依题意可得，试验区的总面积
，当且仅当 ，
即时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为
◆ 能力拓展 ◆
15.（多选题）[2025·江苏泰州模拟] 已知, 均为正实数，则下列说
法正确的是( )
A.的最大值为
B.若，则 的最大值为8
C.若，则的最小值为
D.若，则的最小值为
√
√
[解析] 对于A，因为，当且仅当 时取等号，
所以，故A正确；
对于B，因为 ，当且仅当时取等号，而，
所以，解得 ，则的最小值为8，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，由基本不等式得，当且仅当 ， 即, 时取等号，故C正确；
对于D，因为，所以，
则 ，
因为，所以，
令 ，，，
由二次函数的性质得，当 时， 取得最大值，最大值为，又当时，，
所以 的最小值为，即的最小值为，故D错误.故选 .
16.[2024·湖北黄石三模] 已知，均为正实数，若 ，则
的最小值为_____，此时 的值为___.
2
[解析] 由题得，当且仅当
时取等号，因此. ，
令，易知函数在上单调递减，
当 时，，
所以当，即,时， 取得最小值 .
【知识聚焦】1.(1) a>0,b>0 (2) a=b (3)
2.(1) 2ab (2)2 3.(1) (2)
【对点演练】1. ±1 2 2. 3.3 4.40 9 5. 6. 3
课堂考点探究
例1(1)BD (2)ABD 变式题(1)D (2)B 例2(1)A (2)C 例3(1)A (2)A 例4 A
【应用演练】1.A 2.C 3.BC 4.4 例5(1) (2)2.5
变式题(1)20 (2) 80 280
教师备用习题
例1 B 例2 例3 例4 2 例5 4
基础热身
1.D 2.B 3.B 4.D 5.D 6. 7.
综合提升
8.A 9.C 10.AB 11.BD 12. 13. 2 14.6
能力拓展
15.AC 16. 2 2