拓展应用1 三元基本不等式、柯西不等式
【典型例题】
例1 9 [解析] y=6x+=3x+3x+≥3=9,当且仅当3x=,即x=1时,等号成立.
例2 (1)25 (2)3 [解析] (1)方法一(基本不等式):∵0
0,∴f(x)=+=(2x+1-2x)=4+9++≥13+2=25,当且仅当=,即x=时取等号,∴函数f(x)=+的最小值为25.
方法二(柯西不等式):∵00,∴f(x)=+=+=[()2+()2]≥=25,当且仅当=,即x=时取等号,∴函数f(x)=+的最小值为25.
方法三(权方和不等式):由00,由权方和不等式可得f(x)=+=+≥=25,当且仅当=,即x=时取等号,∴函数f(x)=+的最小值为25.
(2)由题意得-≤x≤1,函数y=2+=×+1·≤·
=×=3,当且仅当·1=·,即x=0时取等号,所以函数y=2+的最大值为3.
【巩固演练】
1.C [解析] 因为a,b,c均为正数,且a+b+c=1,所以02.B [解析] 方法一(基本不等式):由题意得k≥恒成立.∵=≤=6,当且仅当5x=y时,等号成立,∴≤,∴k≥.
方法二(柯西不等式):由题意得k≥恒成立.∵(+)2≤(x+y)(1+5)=6(x+y),当且仅当=,即5x=y时,等号成立,∴+≤,即≤,∴k≥.
方法三(权方和不等式):由题意得k≥恒成立.∵=≤+=6,当且仅当=,即5x=y时,等号成立,∴≤,∴k≥.
3. [解析] 令a1=x,a2=y,b1=,b2=,代入柯西不等式(a1b1+a2b2)2≤(+)(+),得(2x+y)2≤(3x2+2y2)=6×=11,当且仅当=2y时等号成立,所以-≤2x+y≤,所以2x+y的最大值为.
4.-1 [解析] -=-,且[(2x2+1)-(2x2+2)]=
[()2-()2]≤=1,当且仅当·=·,即x=0时,等号成立,即-≤1,所以-=-≥-1,当且仅当x=0时等号成立.拓展应用1 三元基本不等式、柯西不等式
1.三元基本不等式:
如果a,b,c均为正数,那么≥(当且仅当a=b=c时等号成立).
推广:n元基本不等式:如果a1,a2,…,an均为正数,那么≥(当且仅当a1=a2=…=an时等号成立).
[课本探源:苏教必修第一册P71问题与探究]
2.柯西不等式:
(1)二维形式的柯西不等式
若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.
(2)三维形式的柯西不等式
设a1,a2,a3,b1,b2,b3都是实数,则(++)(++)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.
[课本探源:人A必修第二册P37第16题]
【典型例题】
例1 已知x>0,则y=6x+的最小值是 .
例2 (1)函数f(x)=+的最小值是 .
(2)函数y=2+的最大值为 .
【巩固演练】
1.若a,b,c均为正数,且a+b+c=1,则(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为 ( )
A. B.
C. D.
2.对任意的正实数x,y,+≤k恒成立,则k的最小值为 ( )
A. B.
C.2 D.
3.已知3x2+2y2=6,则2x+y的最大值为 .
4.为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上,学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维),当向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)时,有|a·b|2≤|a|2|b|2,即(x1x2+y1y2)2≤(+)(+),当且仅当x1y2=x2y1时等号成立.学生乙从这个结论出发,得到了一个新不等式:(x1x2-y1y2)2≥(-)(-),当且仅当x1y2=x2y1时等号成立,并取名为“类柯西不等式”.根据前面的结论可知,当x∈R时,-的最小值是 . (共17张PPT)
拓展应用1 三元基本不等式、柯西
不等式
典型例题
巩固演练
答案核查
1.三元基本不等式：
如果，，均为正数，那么（当且仅当 时
等号成立）.
推广：元基本不等式：如果，， ， 均为正数，那么
（当且仅当 时等号成
立）.
［课本探源：苏教必修第一册P71问题与探究］
2.柯西不等式：
（1）二维形式的柯西不等式
若，，，都是实数，则 ，当且
仅当 时，等号成立.
（2）三维形式的柯西不等式
设,,，,, 都是实数，则
，当且仅当
或存在一个数，使得 时，等号
成立.
［课本探源：人A必修第二册P37第16题］
【典型例题】
例1 已知，则 的最小值是___.
9
[解析] ，当且仅当
，即 时，等号成立.
例2（1）函数 的最小值是____.
25
[解析] 方法一（基本不等式）， ，
，
当且仅当，即时取等号，
函数 的最小值为25.
方法二（柯西不等式）， ，
，当且仅当
，即时取等号，
函数 的最小值为25.
方法三（权方和不等式）由，得 ，
由权方和不等式可得 ，
当且仅当，即时取等号，
函数 的最小值为25.
（2）函数 的最大值为___.
3
[解析] 由题意得 ，函数
，当且仅当，即 时取等号，
所以函数 的最大值为3.
【巩固演练】
1.若，，均为正数，且，则 的
最大值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，，均为正数，且，所以 ，
， ，
所以 ，当且仅当
，即 时，等号成立.
√
2.对任意的正实数,,恒成立，则 的最小值为
( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一（基本不等式）由题意得 恒成立.
，当且仅当 时，等
号成立，, .
√
方法二（柯西不等式）由题意得 恒成立.
,当且仅当 ，
即时，等号成立，
，即 , .
方法三（权方和不等式）由题意得 恒成立.
，当且仅当 ，
即时，等号成立，
， .
3.已知，则 的最大值为_____.
[解析] 令，，， ，
代入柯西不等式 ，
得，当且仅当 时
等号成立，
所以，所以的最大值为 .
4.为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开
设了《数学探究与发现》选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课
上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式
（二维），当向量,时，有 ，
即，当且仅当 时等
号成立.学生乙从这个结论出发，得到了一个新不等式：
，当且仅当 时等号
成立，并取名为“类柯西不等式”.根据前面的结论可知，当 时，
的最小值是____.
[解析] ，且
，
当且仅当，即 时，等号
成立，即 ，
所以，当且仅当 时等号成立.
【典型例题】例1 9 例2(1) 25 (2)3
【巩固演练】1.C 2.B 3. 4. 1