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第一单元第5讲一元二次方程、不等式（课件学案练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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名称	第一单元第5讲一元二次方程、不等式（课件学案练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习
格式	zip
文件大小	15.9MB
资源类型	教案
版本资源	通用版
科目	数学
更新时间	2025-09-26 22:20:19

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文档简介

第5讲　一元二次方程、不等式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
2.{x|xx2}　
R　{x|x1【对点演练】
1.(-∞,-1]∪[6,+∞)　[解析] 由x2-5x-6=(x-6)(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥6,即原不等式的解集为(-∞,-1]∪[6,+∞).
2.-14　[解析] 由题意知-,是ax2+bx+2=0的两根,则解得所以a+b=-14.
3.[0,4)　[解析] 当m=0时,1>0,不等式恒成立;当m≠0时,由题得解得04.(-∞,-1]∪　[解析] 由-2x2+x≤-3可得2x2-x-3≥0,即(2x-3)(x+1)≥0,得x≤-1或x≥,故不等式的解集为(-∞,-1]∪.
5.{x|x<-1或x≥1}　[解析] 由≤1得-1≤0,得≤0,得≥0,得x-1=0或(x-1)(x+1)>0,得x=1或x<-1或x>1,得x<-1或x≥1,所以原不等式的解集为{x|x<-1或x≥1}.
6.(-∞,1)　[解析] 当a=0时,不等式为2x+1<0,有实数解,满足题意;当a<0时,不等式对应的二次函数的图象开口向下,Δ=4-4a>0,所以不等式有实数解,满足题意;当a>0时,若不等式有实数解,则Δ=4-4a>0,解得a<1,所以0● 课堂考点探究
例1　[思路点拨] (1)对于分式不等式,要先等价变形,可以先把二次项系数化成正数,再求解,注意不等式分母不为0.(2)求出不等式x2-x-2>0和x2-x-2≤4的解集,然后求交集.
(1)　(2)[-2,-1)∪(2,3]　[解析] (1)不等式≥1可变形为≤0,即(3x-2)(x-3)≤0,且x-3≠0,解得≤x<3,故原不等式的解集为.
(2)由题得即
即解得
故原不等式的解集为[-2,-1)∪(2,3].
例2　[思路点拨] 对a进行分类讨论,分别解出不等式即可.
解:若a=0,则不等式化为-2x+2<0,
解得x>1,不等式的解集为{x|x>1}.
若a≠0,则不等式化为(ax-2)(x-1)<0,一元二次方程(ax-2)(x-1)=0的解为x1=,x2=1.当01,则原不等式的解集为;当a=2时,=1,则原不等式的解集为 ;当a>2时,<1,则原不等式的解集为;
当a<0时,<1,不等式化为(-ax+2)(x-1)>0,解得x>1或x<,故原不等式的解集为.
综上所述,当a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};当02时,不等式的解集为.
例3　[思路点拨] 设ex=t>0,通过换元,将不等式化为(at-1)(2t+1)<0,再对a进行讨论求解.
解:设ex=t>0,不等式f(x)<0可化为(at-1)(2t+1)<0.当a≤0时,∵t>0,∴不等式(at-1)(2t+1)<0恒成立,此时不等式的解集为R;当a>0时,∵t>0,∴由(at-1)(2t+1)<0得00时,不等式的解集为(-∞,-ln a).
变式题　解:当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,不等式的解集为 ;当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,x2-ax+1=0的根为x1=,x2=,不等式的解集为.综上,当-2≤a≤2时,不等式的解集为 ;当a>2或a<-2时,不等式的解集为.
例4　[思路点拨] 分k=0与k≠0两种情况进行讨论,结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
C　[解析] 当k=0时,不等式kx2+(k-6)x+2>0可化为-6x+2>0,显然不符合题意;当k≠0时,因为kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,所以解得2变式题　B　[解析] 不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x恒成立,即不等式(m-2)x2+(m-2)x-3<0对任意实数x恒成立.当m=2时,不等式可化为-3<0,恒成立,符合题意;当m≠2时,由题意得m-2<0,且Δ=(m-2)2+12(m-2)=m2+8m-20=(m+10)(m-2)<0,解得-10例5　[思路点拨] 当x=0时不等式恒成立,当x∈(0,2]时,参变分离可得2a>x-恒成立,令f(x)=x-,x∈(0,2],根据函数的单调性求出f(x)max,即可求出a的取值范围.
D　[解析] 当x=0时,原不等式为-3<0,恒成立;当x∈(0,2]时,由题得2a>=x-恒成立,令f(x)=x-,x∈(0,2],易知f(x)=x-在(0,2]上单调递增,所以当x=2时,f(x)=x-取得最大值,即f(x)max=f(2)=2-=,所以2a>,则a>.综上,实数a的取值范围为.故选D.
变式题　　[解析] 由题意得函数f(x)=x2+mx-1在[m,m+1]上的最大值小于0,因为函数f(x)=x2+mx-1的图象开口向上,所以
即解得-例6　[思路点拨] 先把f(x)=x2+(m-4)x+4-2m化为f(x)=(x-2)m+x2-4x+4,再令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4,然后分类讨论即可求解.
B　[解析] f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4,m∈[-1,1].当x=2时,g(m)=0,不符合题意;当x>2时,g(m)单调递增,由g(-1)=(x-2)·(-1)+x2-4x+4>0,可得x>3;当x<2时,g(m)单调递减,由g(1)=(x-2)·1+x2-4x+4>0,可得x<1.综上,x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).故选B.
变式题　A　[解析] 由题得不等式(x-4)a-x2-3x+16≤0对任意a∈[-2,4]恒成立,所以
即解得x≥3或x≤-8.故选A.第5讲　一元二次方程、不等式
1.C　[解析] 由(2-x)(2x-3)>0得(x-2)(2x-3)<0,解得2.B　[解析] 由题得a<0且x1=-和x2=是关于x的方程ax2+bx+1=0的两个根,所以x1+x2=-,x1x2=,即-=-,=-,解得a=-6,b=-1.故选B.
3.C　[解析] 因为0t,故关于x的不等式(t-x)>0的解集为.故选C.
4.C　[解析] 由(x2-2x-3)(x2+4x+4)<0,得(x-3)(x+1)(x+2)2<0,当x=-2时,不等式显然不成立,当x≠-2时,(x+2)2>0,所以原不等式即为(x-3)(x+1)<0,解得-15.BCD　[解析] 由题知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则a<0,故A错误;由题知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-2和3,由根与系数的关系得故b=-a>0,c=-6a>0,即bc>0,故B正确;a+b=a-a=0,故C正确;a-b+c=a-(-a)+(-6a)=-4a>0,故D正确.故选BCD.
6.∪[1,+∞)　[解析] 当m2-1=0时,解得m=1或m=-1.若m=1,则不等式恒成立,满足题意;若m=-1,则不等式化为-2x+1>0,其解集不是R,不满足题意.当m≠±1时,由题得解得m<-或m>1.综上,实数m的取值范围为∪[1,+∞).
7.(15,20)　[解析] 由题意得[30-2(x-15)]·x>400,即x2-30x+200<0,解得1015,所以158.A　[解析] 令f(x)=x2-2ax+1,∵关于x的方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,∴即解得19.D　[解析] 关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,即ax<2+x2对x∈[1,5]有解,即a<+x对x∈[1,5]有解,所以当x∈[1,5]时,a<.设函数f(x)=+x,x∈[1,5],因为函数f(x)在区间[1,)上单调递减,在区间[,5]上单调递增,且f(1)=3,f(5)=,所以当x=5时,函数f(x)取得最大值,最大值为,所以a的取值范围是.故选D.
10.C　[解析] 当m∈(0,+∞)时,=m+≥2,当且仅当m=1时取等号,所以[x]2+[x]≤2,即([x]+2)([x]-1)≤0,解得-2≤[x]≤1,所以-2≤x<2,故选C.
11.AB　[解析] 由题意可得a<0,a(x-1)(x+3)-2=a(x-x1)(x-x2),即ax2+2ax-3a-2=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2,所以
则x1+x2+2=0,x1x2+3=->0,故A正确,D错误;令a(x-1)(x+3)=0,则其根为x3=-3,x4=1,结合二次函数的性质可得-312.(-∞,4)∪[8,+∞)　[解析] 因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),所以a<0,且关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为-2和4,所以-=-2+4=2,=-2×4=-8,即b=-2a,c=-8a,则关于x的不等式≤0可化为≤0,即≤0,即≤0,解得x<4或x≥8,故关于x的不等式≤0的解集为(-∞,4)∪[8,+∞).
13.(1,3)　[解析] 由(x-b)2>(ax)2,得(a2-1)x2+2bx-b2<0,即[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0,∵不等式的解集中的整数恰有3个,∴a>1,∴不等式的解为14.解:(1)当a=1,b=6时,f(x)=x2+4x+3,令f(x)=0,得x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3,所以函数f(x)的零点是-1和-3.
(2)因为不等式ax2+(b-2)x+3>0的解集为{x|-1则解得
15.解:(1)当a=-5时,不等式f(x)≤-4即为4x-5·2x+4≤0,
所以(2x-1)(2x-4)≤0,则有1≤2x≤4,则0≤x≤2,故不等式f(x)≤-4的解集为{x|0≤x≤2}.
(2)令t=2x,x∈[-2,2],则t∈,g(t)=t2+at,其图象开口向上,对称轴方程为t=-.
①当-<,即a>-时,g(t)在上的最小值为g=+=-1,解得a=-,不符合题意;
②当≤-≤4,即-8≤a≤-时,g(t)在上的最小值为g=-=-1,可得a=-2;
③当->4,即a<-8时,g(t)在上的最小值为g(4)=16+4a=-1,解得a=-,不符合题意.
综上所述,a的值为-2.
16.D　[解析] ∵ax3+bx2+cx+d=0(a≠0且d≠0)有三个根x1,x2,x3,∴a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,即a[x2-(x1+x2)x+x1x2](x-x3)=0,即ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x-ax1x2x3=0,∴-a(x1+x2+x3)=b,a(x1x2+x2x3+x3x1)=c,-ax1x2x3=d,即x1+x2+x3=-,x1x2+x2x3+x3x1=,x1x2x3=-,∴++==
=-.故选D.
17.D　[解析] 因为函数f(x)=x2-bx+c(b>0,c>0)的两个零点分别为x1,x2,所以x1,x2是方程x2-bx+c=0的两个不相等的实数根,则x1+x2=b>0,x1x2=c>0,所以x1>0,x2>0,不妨设x1解得4【课标要求】　1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
1.一元二次不等式
一般地,形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且a≠0.
2.三个“二次”间的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y= ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根有两个不相等的实数根x1, x2(x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集　　　　　　　　　
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集　　　　　　　　　
3.分式不等式
(1)>0 f(x)·g(x)>0;
<0 f(x)·g(x)<0.
(2)≥0
≤0
常用结论
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞),绝对值不等式|x|0)的解集为(-a,a).
2.(1)对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形;
(2)注意区分Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是 .
题组一　常识题
1.[教材改编] 不等式x2-5x-6≥0的解集为　　　　　　.
2.[教材改编] 不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是　　　　.
3.[教材改编] 不等式mx2+mx+1>0对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
题组二　常错题
◆索引:注意二次项系数的符号;变形必须等价;分类讨论时不要忽视二次项系数为0的情况.
4.不等式-2x2+x≤-3的解集为　　　　.
5.不等式≤1的解集是　　　　.
6.若关于x的不等式ax2+2x+1<0有实数解,则a的取值范围是　　　　.
　一元二次不等式的求解
角度1　不含参的不等式　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (1)不等式≥1的解集为　　　　.
(2)不等式0总结反思
解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集.
角度2　含参的不等式
例2 解关于x的不等式:ax2-(a+2)x+2<0(a∈R).

总结反思
对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有:
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类;
(2)根据判别式Δ与0的关系判断对应一元二次方程根的个数;
(3)对应的一元二次方程有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.
角度3　二次复合含参不等式
例3 已知函数f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1,求关于x的不等式f(x)<0的解集.

总结反思
对于复合指数(对数)不等式,可通过换元法,转化为一元二次不等式后求解.需要注意的是换元前后对未知数取值范围的影响.
变式题解关于x的不等式x2-ax+1<0.

　一元二次不等式恒成立问题
角度1　在R上的恒成立问题
例4 若关于x的不等式kx2+(k-6)x+2>0的解集为R,则实数k的取值范围是 (　 )
A.[2,18] B.(-18,-2)
C.(2,18) D.(0,2)
总结反思
(1)若关于x的不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,则满足
(2)若关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立,则满足
(3)若关于x的不等式ax2+bx+c>0恒成立,则首先考虑a=0时是否满足.
变式题若不等式mx2+mx-4<2x2+2x-1对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 (　 )
A.(-2,2)
B.(-10,2]
C.(-∞,-2)∪[2,+∞)
D.(-∞,-2]
角度2　在给定区间上的恒成立问题
例5 若关于x的不等式x2-2ax-3<0对任意x∈[0,2]恒成立,则实数a的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.
总结反思
(1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,即f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]).
(2)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式的两端,则可避免分类讨论,直接求出参数的范围.
变式题若不等式x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
角度3　给定参数范围的恒成立问题
例6 若对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,则x的取值范围是 (　 )
A.(1,3)
B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(1,2)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
总结反思
利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下的恒成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.
变式题若不等式x2-ax≥16-3x-4a对任意a∈[-2,4]恒成立,则x的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-8]∪[3,+∞)
B.(-∞,0)∪[1,+∞)
C.[-8,6]
D.(0,3]第5讲　一元二次方程、不等式
(时间:45分钟)
1.不等式(2-x)(2x-3)>0的解集是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.
B.R
C.
D.
2.已知关于x的不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a,b的值分别是 (　 )
A.-3,-6 B.-6,-1
C.6,3 D.3,6
3.若00的解集为 (　 )
A.
B.
C.
D.
4.不等式(x2-2x-3)(x2+4x+4)<0的解集是 (　 )
A.{x|x<-1或x>3}
B.{x|-1C.{x|-1D.{x|-25.(多选题)若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为{x|-2A.a>0 B.bc>0
C.a+b=0 D.a-b+c>0
6.若关于x的不等式(m2-1)x2+(m-1)x+1>0的解集为R,则实数m的取值范围为　　　　.
7.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏,若每盏台灯的售价每提高1元,日销售量将减少2盏,现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则每盏台灯的售价x(单位:元)的取值范围是　　　　.
8.关于x的方程x2-2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内,则实数a的取值范围为 (　 )
A.1B.a<1或a>
C.-1D.-9.若关于x的不等式x2-ax+2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是 (　 )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(-∞,3) D.
10.[2024·河南新乡二模] 函数f(x)=[x]被称为取整函数,也被称为高斯函数,其中[x]表示不大于实数x的最大整数.若对任意m∈(0,+∞),[x]2+[x]≤恒成立,则x的取值范围是 (　 )
A.[-1,2] B.(-1,2)
C.[-2,2) D.(-2,2]
11.(多选题)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)-2>0的解集是(x1,x2),其中x1A.x1+x2+2=0
B.-3C.|x1-x2|>4
D.x1x2+3<0
12.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,4),则关于x的不等式≤0的解集为　　　　.
13.设0(ax)2的解集中的整数恰有3个,则a的取值范围是　　　　.
14.已知函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0).
(1)当a=1,b=6时,求函数f(x)的零点;
(2)若不等式f(x)>0的解集为{x|-115.已知函数f(x)=4x+a·2x.
(1)若a=-5,求不等式f(x)≤-4的解集;
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)的最小值为-1,求a的值.
16.方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0且d≠0)有三个根x1,x2,x3,则下列结论不正确的是(　 )
A.x1+x2+x3=-
B.x1x2+x1x3+x2x3=
C.x1x2x3=-
D.++=-
17.已知函数f(x)=x2-bx+c(b>0,c>0)的两个零点分别为x1,x2,若x1,x2,-2三个数适当调整顺序后可构成等差数列,也可构成等比数列,则不等式≤0的解集为 (　 )
A.(-∞,4]∪(5,+∞)
B.[4,5]
C.(-∞,4)∪[5,+∞)
D.(4,5](共73张PPT)
第5讲一元二次方程、不等式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根
的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不
等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集
合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程
的联系.
◆ 知识聚焦 ◆
1. 一元二次不等式
一般地，形如的不等式称为一元二次不等式，其中
,,是常数，而且 .
2.三个“二次”间的关系
_____________________________________________ ____________________________________________ _________________________________________
没有实数根
续表
_______________ _________ _ ___________ ___
_______________ ___ ___
或
续表
3.分式不等式
（1）；
.
（2）
常用结论
1.绝对值不等式的解集为，绝对值
不等式的解集为.
2.（1）对于不等式,求解时不要忘记讨论时的
情形;
（2）注意区分时,的解集为还是 .
◆ 对点演练 ◆
题组一常识题
1.［教材改编］不等式的解集为__________________.
[解析] 由,解得或 ,
即原不等式的解集为 .
2.［教材改编］不等式的解集是，则
的值是_____.
[解析] 由题意知，是的两根，
则解得所以 .
3.［教材改编］不等式对一切恒成立，则
实数的取值范围是______.
[解析] 当时，，不等式恒成立；
当时，由题得解得.
综上，的取值范围是 .
题组二常错题
◆ 索引：注意二次项系数的符号；变形必须等价；分类讨论时不要
忽视二次项系数为0的情况.
4.不等式的解集为_ _________________.
[解析] 由可得，
即，得或，
故不等式的解集为 .
5.不等式的解集是__________________.
或
[解析] 由得，得，得，
得或，得或或，
得或，所以原不等式的解集为或 .
6.若关于的不等式有实数解，则的取值范围是
________.
[解析] 当时，不等式为，有实数解，满足题意；
当时，不等式对应的二次函数的图象开口向下， ,
所以不等式有实数解,满足题意；
当时，若不等式有实数解，则，解得，
所以.
综上，的取值范围是 .
探究点一一元二次不等式的求解
角度1 不含参的不等式
例1（1）不等式的解集为_____________.
［思路点拨］对于分式不等式，要先等价变形，可以先把二次项系
数化成正数，再求解，注意不等式分母不为0.
[解析] 不等式可变形为,即 ,且
,解得,故原不等式的解集为 .
（2）不等式的解集为_______________.
［思路点拨］求出不等式和的解集,然
后求交集.
[解析] 由题得即
即解得
故原不等式的解集为 .
[总结反思]
解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式;②确定判
别式的符号,若,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若
,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等
式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出
不等式的解集.
角度2 含参的不等式
例2 解关于的不等式： .
［思路点拨］对进行分类讨论，分别解出不等式即可.
解：若，则不等式化为，解得，
不等式的解集为 .
若，则不等式化为，一元二次方程
的解为,.
当时，，则原不等式的解集为；
当时，，则原不等式的解集为；
当时，，则原不等式的解集为；
当时，，不等式化为，解得或
，故原不等式的解集为 .
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 .
[总结反思]
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类；
（2）根据判别式与0的关系判断对应一元二次方程根的个数；
（3）对应的一元二次方程有两个根时，有时还需根据两根的大小进
行讨论.
角度3 二次复合含参不等式
例3 已知函数，求关于的不等式
的解集.
［思路点拨］设，通过换元，将不等式化为
，再对进行讨论求解.
解：设，不等式可化为 .
当时，，不等式恒成立，
此时不等式的解集为；
当时，，由得，
，解得，此时不等式的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为 .
[总结反思]
对于复合指数（对数）不等式，可通过换元法，转化为一元二次不
等式后求解.需要注意的是换元前后对未知数取值范围的影响.
变式题解关于的不等式 .
解：当，即时,不等式的解集为；
当，即或时, 的根为
, ，
不等式的解集为.
综上，当时,不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为 .
探究点二一元二次不等式恒成立问题
角度1 在上的恒成立问题
例4 若关于的不等式的解集为，则实数
的取值范围是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］分与两种情况进行讨论，结合二次不等式
恒成立问题的解决方法即可得解.
√
[解析] 当时，不等式可化为
，显然不符合题意；
当时，因为的解集为，所以
解得.
综上，实数的取值范围是 .故选C.
[总结反思]
（1）若关于的不等式恒成立,则满足

（2）若关于的不等式恒成立,则满足

（3）若关于的不等式恒成立,则首先考虑时
是否满足.
变式题若不等式对任意实数恒成立，
则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 不等式对任意实数恒成立，
即不等式对任意实数恒成立.
当时，不等式可化为，恒成立，符合题意；
当时，由题意得，且
，
解得.
综上所述，实数的取值范围是 .故选B.
角度2 在给定区间上的恒成立问题
例5 若关于的不等式对任意恒成立，则
实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］当时不等式恒成立，当时，参变分离可
得恒成立，令，，根据函数的单调
性求出，即可求出的取值范围.
√
[解析] 当时，原不等式为，恒成立；
当时，由题得恒成立，
令，，易知在上单调递增，
所以当时，取得最大值，
即，所以，则 .
综上，实数的取值范围为 .故选D.
[总结反思]
（1）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式
恒成立问题转化为最大（小）值问题,即恒成立
等价于,恒成立等价于
.
（2）若所给的不等式能通过恒等变形使参数与变量分离于不等式的
两端,则可避免分类讨论,直接求出参数的范围.
变式题若不等式对于任意恒成立，
则实数的取值范围是_ ________.
[解析] 由题意得函数在上的最大值小于0，
因为函数的图象开口向上，所以
即
解得，故实数的取值范围是 .
角度3 给定参数范围的恒成立问题
例6 若对任意，函数的值
恒大于零，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］先把化为
，
再令，然后分类讨论即可求解.
√
[解析] ，
令.
当时，，不符合题意；
当时，单调递增，
由，可得；
当时，单调递减，
由，可得.
综上，的取值范围是 .故选B.
[总结反思]
利用变换主元法解决一元二次不等式在给出参数取值范围情况下的恒
成立问题时,一定要搞清谁是变换后的主元,谁是变换后的参数,一般地,
知道谁的范围,谁就是变换后的主元,求谁的范围,谁就是变换后的参数.
[解析] 由题得不等式对任意
恒成立，
所以即
解得或 .故选A.
变式题若不等式对任意恒成立，
则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例1考查已知一元二次不等式的解集求参数,再求新的不
等式的解集；
例1 ［补充使用］ [2024·上海青浦区二模] 已知
函数的图象如图所示，则不等式
的解集是
_ __________________.
[解析] 根据函数的图象可知 ,
,,，则 ,
.
不等式可化为
，即
，解得或，
所以不等式的解集是 .
例2 ［配例2使用］解关于的不等式 .
解：将不等式变形为 .
当时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为；
当时，，原不等式的解集为或 .
【备选理由】例2考查含参一元二次不等式的求解；
综上所述，当或时，原不等式的解集为或
；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为 .
【备选理由】例3考查二次复合不等式的求解和不等式在给定区间上的恒成立问题；
例3 ［配例3、例5使用］已知函数 .
（1）若，求不等式的解集;
解：当时，，
由题得，即，
整理得，
因为，所以，解得，
所以不等式的解集为 .
（2）若对任意,恒成立，求实数的取值范围.
解：令，则当时，，
可得，
由，可得 .
因为对任意，恒成立，所以对
任意恒成立，即对任意恒成立，
又因为，当且仅当，即时取等号，
所以，即实数的取值范围为 .
例4 ［配例4使用］若不等式对任意实
数恒成立，则的取值范围为_______.
[解析] 若不等式对任意实数恒成立，则
，则，解得，
所以的取值范围为 .
【备选理由】例4考查一元二次不等式在上的恒成立问题.
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由得，
解得，所以原不等式的解集为 .故选C.
√
2.已知关于的不等式的解集为，则
，的值分别是( )
A.， B.， C.6，3 D.3，6
[解析] 由题得且和是关于的方程
的两个根,
所以,,即 , ,
解得, .故选B.
√
3.若，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，
故关于的不等式的解集为 .故选C.
√
4.不等式的解集是( )
A.或 B.或
C. D.
[解析] 由，
得，
当时，不等式显然不成立，
当时，，
所以原不等式即为，解得，
故原不等式的解集为 .故选C.
√
5.（多选题）若关于的一元二次不等式
的解集为，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知二次函数的图象开口向下，则，
故A错误；
由题知一元二次方程的两根为和3，由根与系数的关系
得故，，即，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.故选 .
√
√
√
6.若关于的不等式的解集为，则实
数的取值范围为_ __________________.
[解析] 当时，解得或.
若，则不等式恒成立，满足题意；
若，则不等式化为，其解集不是，不满足题意.
当时，由题得解得或.
综上，实数的取值范围为 .
7.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天
能卖出30盏，若每盏台灯的售价每提高1元，日销售量将减少2盏，
现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）
的销售收入，则每盏台灯的售价（单位：元）的取值范围是_______.
[解析] 由题意得，即，
解得，
又因为，所以，即每盏台灯的售价的取值范围
是 .
◆ 综合提升 ◆
8.关于的方程的两根分别在与内，则实
数的取值范围为( )
A. B.或 C. D.
√
[解析] 令,
关于的方程的两根分别在与内，
即解得 .故选A.
9.若关于的不等式在区间上有解，则的取值
范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 关于的不等式在区间上有解，
即对有解，即对有解，
所以当时，.
设函数，，
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且，，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以的取值范围是 .故选D.
10.[2024·河南新乡二模]函数被称为取整函数，也被称为
高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数.若对任意
，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时,，当且仅当时取等
号，所以，即，
解得，所以，故选C.
√
11.（多选题）已知关于的不等式的解集是
，其中，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题意可得，，
即，
所以则，，
故A正确，D错误；
令，则其根为，，
结合二次函数的性质可得，，
即，故B正确，C错误.故选 .
12.若关于的不等式的解集为，则关于的不
等式的解集为_________________.
[解析] 因为关于的不等式的解集为，
所以，且关于的方程的两根为和4，
所以，，即,,
则关于的不等式可化为,即，
即，解得或，
故关于的不等式的解集为 .
13.设，若关于的不等式的解集中的
整数恰有3个，则的取值范围是______.
[解析] 由，得，
即，
不等式的解集中的整数恰有3个，，不等式的解为，
又, 解集中的整数是，，0，，
，，
又，， .
综上，的取值范围是 .
14.已知函数 .
（1）当，时，求函数的零点；
解：当，时，，
令，得，解得，，
所以函数的零点是和 .
（2）若不等式的解集为，求实数，的值.
解：因为不等式的解集为，
所以,1是关于的方程的两个实根，且
，
则解得
15.已知函数 .
（1）若，求不等式的解集；
解：当时，不等式即为，
所以，则有，则，
故不等式的解集为 .
（2）当时，的最小值为，求的值.
解：令，，则， ,其图象开口
向上，对称轴方程为 .
①当，即时，在上的最小值为
，解得，不符合题意；
②当，即时，在上的最小值为
，可得；
③当，即时，在上的最小值为
，解得，不符合题意.
综上所述，的值为 .
◆ 能力拓展 ◆
16.方程且有三个根，，，
则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 且有三个根，，
，，
即，
即，
，，，
即，，,
.故选D．
17.已知函数的两个零点分别为，
，若，，三个数适当调整顺序后可构成等差数列，也可构
成等比数列，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为函数的两个零点分别为
，，所以，是方程的两个不相等的实数根，
则，，所以，，
不妨设.
因为，，三个数适当调整顺序后可构成等差数列，
也可构成等比数列，所以，，或,, 构成等差数列，
，，或,,构成等比数列，
所以可得
所以，，
不等式即为，等价于
解得，因此，不等式的解集为 .故选D.
【知识聚焦】2. 或　　R　{x|x1【对点演练】1. (∞, 1]∪[6,+∞)　2. 14 3. [0,4) 4. 5. {x|x<1或x≥1} 6. (∞,1)
课堂考点探究
例1(1) 　(2) [2, 1)∪(2,3] 例2 当时，不等式的解集为；当时，不等
式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，
不等式的解集为 . 例3 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 .
变式题当时,不等式的解集为；当或时，不等式的解集为 .
例4 C 变式题 B 例5 D　变式题例6 B 变式题 A
教师备用习题
例1 例2 当或时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为 .
例3 (1) 　 (2) (∞,2] 例4
基础热身
1.C 2.B 3.C 4.C 5.BCD 6. 7.
综合提升
8.A 9.D 10.C 11.AB 12. 13.
14.(1) 和 (2)a=3,b=2 15.(1) (2) 2
能力拓展
16.D 17.D

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第一单元 第5讲 一元二次方程、不等式（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习

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第一单元第5讲一元二次方程、不等式（课件学案练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习