2025-2026学年人教A版（2019）高中必修一数学第一章集合与常用逻辑用语教案（教学设计）1.4 .2 充要条件

第一章集合与常用逻辑用语
1.4.2充要条件
主备人：
一、教学目标与素养
1.理解充要条件的意义，达到数学抽象核心素养水平的要求 .
2.通过对典型数学命题的梳理，掌握命题的条件的充 要性的判断方法，达到逻辑推理核心素养水平的要求.
3.通过充要条件与几何问题的结合，强化充要条件的 证明过程，达到直观想象核心素养水平的要求.
课程思政教育：通过充要条件的逻辑关系（如“若p则q”与“若q则p”互为充要），引导学生理解事物间的辩证统一关系，体会数学逻辑与哲学思维的相通性。强调充要条件证明的严密性，类比科学探索中“实事求是”的精神，培养学生严谨治学的态度。通过情景导入的一段话也给学生进行人生观教育。
二、教学重点
理解充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件的意义
三、教学难点
1.会判断一些简单的充要条件问题.
2.能对充要条件进行证明.
四、教法学法
讲练结合，通过学生的举例，培养他们多角度审视问 题的习惯，让学生在学习充要条件的过程中提升数学抽 象、逻辑推理等相关核心素养。
五、课时安排
（共1课时）
6、教学内容
教学环节 师生活动 二次备课（手写）
情境导入 同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！
概念形成 思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 1.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 p q ，又有q P，就记作p q ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. （注意点：充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.） 例题讲解： 例3 下列各命题中，那些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0) (1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以q p ，所以p不是q的充要条件. (2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理,“若q，则,p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p q ，所以p是q的充要条件 (3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立， 所以p q，所以p不是q的充要条件. (4)因为“若p，则 q”与“若q，则p”均为真命题，即 p q ，所以p是q的充要条件. 2.充分不必要条件：若 p q，q p ，则称p是q的充分不必要条件 3.必要不充分条件：若p q ， q p,则称p是q的必要不充分条件 4.既不充分也不必要条件：若p q，q p ，则称p是q的既不充分也不必要条件 探究：“四边形是平行四边形”的充要条 件都有哪些 你能找出多少 可以发现，“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的-组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件 另外，我们再看平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，它表明“四边形的两组对边分别平行”也是“四边形是平行四边形”的一个充要条件上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如: 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形; 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形. 类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义
课堂练习 已知集合A={1,a} ,B={1,2,3},则“a=2”是“A B”的（ ） 充分不必要条件 B.必要不充分条件 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 “两个三角形的面积比等于对应边长比的平方”是“两个三角形相似”的（ ） 充分不必要条件 B.必要不充分条件 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知关于x的方程,求使方程有两个正实数根的充要条件。
课堂小结 你在本节课有哪些收获，还有哪些困惑学生交流反思，教师引导。 1.充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 p q ，又有q P，就记作p q ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 2.充分不必要条件：若 p q，q p ，则称p是q的充分不必要条件 3.必要不充分条件：若p q ， q p,则称p是q的必要不充分条件 4.既不充分也不必要条件：若p q，q p ，则称p是q的既不充分也不必要条件
板书设计 1.4.2充要条件 一、新课 1.充要条件 p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q 的充要条件 2.“四种”条件 3.充要条件的证明 ①p是q的充要条件，则由p→q证的是充分性，由q→p 证的是必要性 ②p的充要条件是q,则由p→q证的是必要性，由q→p 证的是充分性 例3 例4 练习
堂堂清 充要条件的概念，和判定
作业布置 教材P23 B:习题1.4的第4，5题 C：习题1.4的第4题
教学反思