2025高中数学人教A版必修一第三章单元培优练习题（含解析）

2025高中数学人教A版必修一第三章单元培优练习题
题型1 由函数的定义域或值域求参数
1．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的定义域是，则的取值范围是 .
4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数
(1)若，求实数m及；
(2)若，求的定义域；
(3)若的定义域为，求实数m的取值范围.
5．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知．
(1)若时，求的值域；
(2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围．
题型2 求函数值或由函数值求参
1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）定义在上的函数满足:，则 .
4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数，
(1)当时，求的值；
(2)当时，求x的值．
5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数.
(1)求函数的定义域
(2)求；
(3)已知，求的值.
题型3 函数的单调性的应用：比较大小、解不等式
1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接）
4．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数
(1)用定义法证明函数在区间上是增函数；
(2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围.
5．（24-25高一上·黑龙江·期末）设，已知.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在区间上的单调性并证明；
(3)解关于的不等式.
题型4 函数奇偶性的应用
1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 .
4．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集.
5．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
(1)求证：是奇函数；
(2)判断的正负，并说明理由.
题型5 函数的对称性、周期性问题
1．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ）
A．4050 B．4552 C．4554 D．4556
2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于直线对称
C．
D．
3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 .
4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称.
(1)证明：是周期函数.
(2)若当时，，求当时，的解析式.
5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且函数图像关于直线对称.
(1)当时，，求时函数的解析式；
(2)若，，，求的值.
题型6 抽象函数的性质综合
1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
2．（2025·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是R上的减函数
C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为
3．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ．
4．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，.
(1)求；
(2)证明：为奇函数；
(3)解不等式.
5．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，.
(1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)若，解关于的不等式.
题型7 函数性质的综合应用
1．（23-24高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．函数为周期函数
C．函数的图象既有对称轴又有对称中心
D．函数在区间上单调递减
2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
3．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 .
4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式.
5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性并证明；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．
题型8 由幂函数的图象与性质求参数
1．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 .
4．（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数（）的图像关于y轴对称且在上是严格增函数.求m和k的值.
5．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
题型9 比较幂值的大小
1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·全国·随堂练习）与的大小关系是 ．
4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小：
(1)与；
(2)与．
5．（25-26高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)．
题型10 利用幂函数的性质解不等式
1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则满足的实数的取值范围为 ．
4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，求的取值范围．
5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求幂函数的表达式；
(2)令，求满足不等式的实数a的取值范围．
题型11 分段函数模型的应用
1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
3．（24-25高一上·福建三明·期末）某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）

4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
(1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
题型12 函数的新定义问题
1．（24-25高一上·陕西西安·期末）设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（ ）
A． B．函数是偶函数
C．函数的最小值为0 D．，若，则
2．（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“m阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是 .
4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数”
(1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围
(2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证：
(3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由.
5．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间．
(1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
(2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围；
(3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围．
答案解析
题型1
1．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】利用题给条件列出关于的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【解答过程】由题意得对任意恒成立，
当时，不等式可化为，其解集不是R，不符合题意；
当时，由该不等式恒成立可得
，解之得，
综上，实数的取值范围是
故选：A.
2．（24-25高一上·四川广安·期中）若函数的值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】根据题意由二次函数值域利用判别式即可求得实数m的取值范围.
【解答过程】因为函数的值域为，
所以能取遍所有大于或等于零的实数，
即方程在实数范围内有解．
所以，解得．
故选：B．
3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的定义域是，则的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】由题意可知在上恒成立，分为与两种情况求解即可.
【解答过程】由题意可知在上恒成立.
当时，，符合题意；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是.
故答案为：.
4．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知函数
(1)若，求实数m及；
(2)若，求的定义域；
(3)若的定义域为，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【解题思路】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值；
（2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域；
（3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围.
【解答过程】（1），解得，所以，则，
所以；
（2）当时，，要使有意义，则，
解得，所以的定义域为；
（3）因为的定义域为，
所以在上恒成立，
所以的最小值，解得，
所以m的取值范围为.
5．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知．
(1)若时，求的值域；
(2)函数，若函数的值域为，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；
（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.
【解答过程】（1）由，则，
由不等式性质，则，，，，，
故，即的值域为.
（2）由题意，，
由函数的值域为，则有解且无最大值，
当时，符合题意；
当时，根据二次函数的性质，可得，
其中，，，，解得或，
综上，故.
题型2
1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足．若，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
【答案】C
【解题思路】中令，结合可得答案.
【解答过程】令，
因为，且，
所以，可得，
故选：C.
2．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用赋值法依次求出即可.
【解答过程】在中，令，则，
令，则，即，
在中，令，则，则，
令，则，令，则.
故选：A.
3．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）定义在上的函数满足:，则 .
【答案】0
【解题思路】赋值法得到，再令，得到，结合，求出.
【解答过程】定义在上的函数满足：，
令时，，则，
令时，即，
因为，所以.
故答案为：0.
4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知函数，
(1)当时，求的值；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)2
【解题思路】（1）直接代入计算函数值即可；
（2）由函数值建立方程计算即可.
【解答过程】（1）将代入解析式有：；
（2）由题意可知
即 ．
5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数.
(1)求函数的定义域
(2)求；
(3)已知，求的值.
【答案】(1)或
(2)，
(3)
【解题思路】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案.
（2）根据函数的解析式求得正确答案.
（3）根据已知条件解方程来求得.
【解答过程】（1）由解析式知：，可得且，
故定义域为或，
（2），
.
（3）由，，
所以，显然在定义域内，
所以.
题型3
1．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断.
【解答过程】由已知得函数的图象关于直线对称，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．又，所以．
因为，所以．
故，即．
故选：D.
2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
【解答过程】由题意，不妨设，
则由，可得，
则，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递减，
由，得，
由，得，
因为函数的定义域为，所以，
所以，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A.
3．（24-25高一上·四川成都·期中）定义在区间上的函数满足，时，，若，，，则三个实数a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接）
【答案】
【解题思路】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将转化为，利用单调性比较大小即可．
【解答过程】因为定义在区间上的函数满足：，
设，且满足，
由，有，则，
可得，则，
因为时，
所以，即，所以，
故函数在上为单调递增函数，
因为，所以，
取，，则，
则，
因为，所以，即．
故答案为：．
4．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数
(1)用定义法证明函数在区间上是增函数；
(2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【解题思路】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解.
【解答过程】（1）任取，且，，
则
，
又，，，则，，
所以，，
得到，即，
所以函数在区间上是增函数.
（2）因为函数的定义域为，
且在区间上是增函数，由，
得到，解得或，
所以实数的取值范围为或.
5．（24-25高一上·黑龙江·期末）设，已知.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在区间上的单调性并证明；
(3)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3).
【解题思路】（1）将和代入，根据即可求解，
（2）根据函数单调性的定义即可求解，
（3）根据函数的单调性即可求解.
【解答过程】（1）当时，，
所以，即，与题意矛盾.
当时，，
所以，解得，
所以.
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，则
，
因为，
所以，所以，
所以，
所以在上单调递增.
（3）因为，所以原不等式等价于，
因为，由（2）问知在上单调递增，
所以，解得或，
所以原不等式的解集为.
题型4
1．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】由不等式等价于 或求解.
【解答过程】因为当时，，
所以时，，时，，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以时，，时，，
又不等式，等价于 或，
所以 或，解得 或，
故选：C.
2．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】构造函数结合函数单调性的定义判定其单调性，根据奇偶性与单调性解不等式即可.
【解答过程】不妨设，所以，
则，所以，
令，则，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以，
即也是偶函数，则其在上单调递减，
因为，所以，
则，
所以，解之得，.
故选：D.
3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，若，则的值是 .
【答案】3
【解题思路】根据给定条件，利用函数的奇偶性，赋值计算得解.
【解答过程】由是上的奇函数，是偶函数，
得，即，
因此，
所以.
故答案为：3.
4．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)（或）
(2)
【解题思路】（1）根据定义在上的奇函数的概念，可得和时，函数的解析式.
（2）解不等式组或可得不等式的解集.
【解答过程】（1）因为是定义在上的奇函数，所以.
当时，，则.
因为是奇函数，所以.
故（或）.
（2）不等式等价于或，
解得或.
故不等式的解集是.
5．（24-25高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，.
(1)求证：是奇函数；
(2)判断的正负，并说明理由.
【答案】(1)证明见详解
(2)，理由见详解
【解题思路】（1）通过赋值，得，再通过赋值，结合奇函数的定义，即可证明；
（2）根据题意结合奇函数性质运算求解即可.
【解答过程】（1）因为函数的定义域为，
令，得，即，
令，可得，即，
所以在上为奇函数.
（2），理由如下：
因为在上为奇函数，
则，
当时，，即，
所以.
题型5
1．（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）已知函数的定义域为R，值域为，若，函数为偶函数，，则（ ）
A．4050 B．4552 C．4554 D．4556
【答案】C
【解题思路】由条件证明为周期函数，周期为，再证明函数为偶函数，再结合函数性质求，利用加法的运算律求结论.
【解答过程】由可得，①
对任意的，，所以，，②
由①②可得，所以函数是周期为4的周期函数.
因为为偶函数，则，
因为，由可得，
且，由可得，
因为，所以，，故函数为偶函数，
因为，则，所以，，
由可得，因为，所以，
故选：C.
2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于直线对称
C．
D．
【答案】A
【解题思路】由条件可得为奇函数，结合奇函数性质及图象变换判断A，结合偶函数性质及图象变换判断B，根据对称性证明结论判断C，根据周期性，并通过求求结论判断D.
【解答过程】
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故A错误；
因为是偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
代入中，
得到，进而，
因此，故C正确；
由可得，函数为周期函数，为函数的一个周期，
可得，，，
由可得，，
所以，
所以，故D正确．
故选：A．
3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则 .
【答案】1
【解题思路】根据判断函数周期性，再结合的图象关于点对称，判断出函数为偶函数，即图象关于轴对称，再求出，，的值结合函数周期性即可得解.
【解答过程】因为，则，
所以，即是以3为周期的函数.
，.
因为的图象关于点对称，所以
又因为，所以 ，
则
则为偶函数，图象关于轴对称.
所以，则.
.
故答案为：1.
4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且的图象关于直线对称.
(1)证明：是周期函数.
(2)若当时，，求当时，的解析式.
【答案】(1)证明见解析；
(2)，
【解题思路】（1）因的图像关于直线对称，可得，再由函数为偶函数及联立两个式子即可得到结论.
（2）由时，函数为，而当的函数只需取代入上式即得结果.
【解答过程】（1）由函数的图象关于直线对称，
所以，即有，
又函数是定义在R上的偶函数，有，
所以，
即是周期为4的周期函数；
（2）当时，，又是周期为4的周期函数，
当，则，
所以，
所以.
5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的奇函数，且函数图像关于直线对称.
(1)当时，，求时函数的解析式；
(2)若，，，求的值.
【答案】(1)
(2)0
【解题思路】（1）根据函数的奇偶性和对称性可得，从而求得的解析式；
（2）由奇函数得，由对称性及已知函数值求得，并知道，从而求得的值.
【解答过程】（1）由题得，，
则，
，
又当时，，即，
则.
（2）由题得 ，
则，
则.
题型6
1．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．若，则
【答案】C
【解题思路】A选项，先令，可得，再令，可判断选项正误；
B选项，令，结合定义域可判断选项正误；
C选项，由题可判断在上单调递增，后由B选项分析可判断选项正误；
D选项，由ABC选项可解不等式.
【解答过程】A选项，在中，令，
得，解得；再令，
得，解得，故A正确；
B选项，令，得，所以，
又的定义域关于原点对称，所以是偶函数，故B正确；
C选项，设，则，所以，
所以，
所以在上是增函数，因为是偶函数，
所以在上是减函数，从而，故C错误；
D选项，因为是偶函数，则，
又在上是增函数，所以，解得，故D正确．
故选：C．
2．（2025·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是R上的减函数
C．在上的最小值为 D．若，则实数x的取值范围为
【答案】C
【解题思路】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D.
【解答过程】解：取，，则，解得，，
则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．即，
函数是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在的最小值为-2，所以选项C正确；
，即，
因为函数是R上的增函数，所以，所以，
所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：C．
3．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ．
【答案】
【解题思路】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式.
【解答过程】令，得，
令，得，所以为定义在上的奇函数，
因为，令，得，
任取，则 ，
因为当时，，所以当时，，即，
所以在上单调递增，
所以不等式 .
故答案为：.
4．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，.
(1)求；
(2)证明：为奇函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【解题思路】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解.
（2）赋值结合奇函数定义即可证明.
（3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解.
【解答过程】（1）令，则，，
令，，则，
，，.
（2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称，
对任意，都有，
由（1）知，.
令，则，即，
是奇函数.
（3）任取，且，所以 ，则由题意得，
所以，
，
，在上为减函数.
因为，
，解得，
的解集为.
5．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，.
(1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)若，解关于的不等式.
【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析；
(2)函数在上单调递减，证明见解析；
(3)或
【解题思路】（1）利用赋值法可求解，通过赋值构造和的关系式，结合函数奇偶性的定义可判断奇偶性；
（2）利用赋值法构造的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性；
（3）利用赋值法得，结合函数的单调性和奇偶性可解不等式.
【解答过程】（1）由题意知，函数满足：，
令，则，解得，
令，则，解得，
函数为偶函数，理由如下：
由题意，函数的定义域为，
令，则，即，
所以函数为偶函数.
（2）函数在上单调递减，证明如下：
任取，令，，
则，即，
因为，则，由题意知，
所以，即，
所以函数在上单调递减.
（3）由，得；
令，则，所以，
因为函数为偶函数，所以，
当时，因为函数在上单调递减，
所以由，得，即，解得；
因为函数为偶函数，且函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，
当时，由，得，
所以，解得；
综上所述，不等式的解集为或.
题型7
1．（23-24高一上·北京东城·期末）已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．函数为周期函数
C．函数的图象既有对称轴又有对称中心
D．函数在区间上单调递减
【答案】D
【解题思路】推导出函数是周期函数，可推导出函数为周期函数，结合周期性可判断AB选项；利用函数的对称性可判断C选项；求出函数在上的解析式，结合函数的单调性可判断D选项.
【解答过程】因为函数为奇函数，恒成立，
则，故，
故函数是周期为的周期函数，
对于A选项，，
所以，函数是周期为的周期函数，
则，
当当时，，则，，
所以，，A对；
对于B选项，由A选项可知，B对；
对于C选项，因为
，
所以，函数的图象关于直线对称，
又因为，
所以，，故函数的图象关于点对称，
因此，函数的图象既有对称轴又有对称中心，C对；
对于D选项，当时，，，，
则，
，
此时，，
所以，函数在区间上不是减函数，D错.
故选：D.
2．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
【答案】D
【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D．
【解答过程】A选项，因为奇函数，则，
令，得，可得，故A正确；
B选项，因为偶函数，则，
即为函数图象的一条对称轴，故B正确；
C选项，由，得为图象的一个对称中心，
又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增，
所以在当单调递增，
又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确；
D选项，由B选项，，令，可得，故D错误．
故选：D．
3．（24-25高一上·山东德州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的、且，满足，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】根据偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，分析函数的单调性，利用所求不等式可得出关于的不等式组，解之即可.
【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，则，解得，
故函数的定义域为，
且对任意的、且，满足，
不妨设，则，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且.
(1)求a，b的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)解不等式.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解题思路】（1）由及列方程求参数值，注意验证；
（2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证；
（3）由奇函数、单调性得，求解即可.
【解答过程】（1）由题设，，则，
所以，则，满足题设，
所以；
（2）由（1），令，
则
，
由，则，
所以函数在上单调递增；
（3）由题设，
则，
所以，即.
5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性并证明；
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【解题思路】（1）根据充要条件可得，即可代入化简求解，
（2）根据单调性的定义，作差即可求解.
（3）由函数的单调性求解的值域，将问题转化为在上的值域，即可分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，即可列不等式求解.
【解答过程】（1）设函数的图象的对称中心为，为奇函数，
则，
即，
整理得，
可得，解得，
所以的对称中心为．
（2）函数在上单调递增；
证明如下：任取，且，
则
因为，且，
可得且，
所以，即，
所以函数在上单调递增．
（3）由对任意，总存在，使得，
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
①当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上单调递增，故在上单调递增，
又因为，，故，
因为，所以，解得．
②当时，即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，
故此时，
欲使，只需，
且，
解不等式，可得，
又，此时．
③当时，即时，在单调递减，在上单调递减，
由对称性知在上单调递减，所以，
因为，所以，解得，
综上可得，实数m的取值范围是．
题型8
1．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知幂函数的图象在上单调递减，则a的取值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】A
【解题思路】利用幂函数的定义和单调性列式计算即得.
【解答过程】由幂函数的图象在上单调递减，
得，所以.
故选：A.
2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数是奇函数，且在上是增函数，则满足条件的不同有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解题思路】根据幂函数定义确定，确定或，再根据条件：函数在上是增函数，确定，确定或，再根据函数为奇函数验证的值即可求解.
【解答过程】因为函数幂函数，
所以，解得或，
因为函数在上是增函数，
所以，解得，所以（舍去），
因为函数是奇函数，当时，幂指数，不合题意；
当时，幂指数，为奇函数，符合题意；
所以满足条件的为.
故选：A.
3．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则整数m的值为 .
【答案】2
【解题思路】根据幂函数的奇偶性及单调性求出即可.
【解答过程】因为函数在上单调递减，
所以，解得，
所以可取，
当时，为奇函数，图象关于原点对称，
当时，为偶函数，图象关于轴对称，
当时，为奇函数，图象关于原点对称，
故.
故答案为：2.
4．（24-25高一·全国·课后作业）已知幂函数（）的图像关于y轴对称且在上是严格增函数.求m和k的值.
【答案】，
【解题思路】根据函数为幂函数得到方程，求出，再结合单调性得到，结合，得到m=1或m=2或m=3，去掉不满足函数奇偶性的解，得到答案.
【解答过程】因为是幂函数，所以，
解得：．
又因为幂函数在上是严格增函数，那么，解得：．
由于，则或或，
当或时，，图像关于原点对称，不合题意；
当时，，图像关于y轴对称，符合题意．
综上，，．
5．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解；
（2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解.
【解答过程】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得，
又，则或或，
当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去.
当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意.
综上所述，.
（2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增，
因为，所以，
两边平方，得，
化简得，解得或，
故实数的取值范围为.
题型9
1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的单调性比较大小.
【解答过程】依题意，，而幂函数在上单调递减，又，
因此，所以的大小关系为.
故选：C.
2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项.
【解答过程】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减．
由于，所以，
又，所以，
所以，即
故选：D.
3．（24-25高一上·全国·随堂练习）与的大小关系是 ．
【答案】
【解题思路】运用幂函数单调性可判定.
【解答过程】幂函数在单调递减.且 ，则.
故答案为：.
4．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用幂函数在上的单调性即可求得；
（2）利用幂函数在上的单调性和函数为偶函数的特征分析判断即得.
【解答过程】（1）幂函数在上是严格减函数，又，则．
（2）∵幂函数在上是严格增函数，且图象关于轴对称，
∴，又，则．
5．（25-26高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】（1）根据在单调性比较大小；
（2）根据在单调性比较大小；
（3）根据函数在单调性比较大小.
【解答过程】（1）因为幂函数在定义域上单调递减，
且，所以．
（2）幂函数的定义域为，且在上单调递减，
又因为，所以函数为奇函数，所以在上单调递减，
又因为，所以．
（3）因为函数在上是单调递增函数，而，所以．
题型10
1．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据幂函数的定义求出的值，再代入解析式中检验，即可得到，从而得到函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解答过程】因为为幂函数，所以，解得或，
当时，，此时为偶函数，不符合题意；
当时，，此时为奇函数，符合题意；
所以，则的定义域为，且函数在上单调递减，
则在上单调递减，
所以不等式，
即或或，
解得或无解或，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论.
【解答过程】因为函数在上单调递减，
所以，又，
所以，
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，
所以，
函数的定义域为，
且函数在和上单调递减，
当时，，当时，，
所以不等式可化为
或或，
所以或，
所以的取值范围为.
故选：C.
3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则满足的实数的取值范围为 ．
【答案】
【解题思路】根据幂函数的性质确定，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解.
【解答过程】因为幂函数的图象关于轴对称，
且在上是减函数，
，则，当时是奇函数，不满足题意，
，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意，
根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数，
可得在上是增函数，
由可知定义域为，
由，可得，
所以，
即，解得或，
故答案为：.
4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知幂函数在区间上单调递减．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)为奇函数．
(2)
【解题思路】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性.
（2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案.
【解答过程】（1）由幂函数的定义得，
解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即，
故，则，
又为奇函数．
（2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减，
当时，无解，舍去；
当时，解得；
当时，解得．
综上，的取值范围是．
5．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求幂函数的表达式；
(2)令，求满足不等式的实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于原点对称进行求值；
（2）利用（1）中得出的函数的单调性解不等式即可.
【解答过程】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数，
所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意；
综上所述，.
（2）由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，
即，
所以满足的实数的取值范围为.
题型11
1．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解题思路】设年平均利润为，表示出，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即可得解.
【解答过程】依题意，设年平均利润为，则（），
当时，
当且仅当，即时取等号；
当时，则当时取得最大值且，
又，所以当时年平均利润取得最大值.
故选：C.
2．（24-25高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
【答案】C
【解题思路】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【解答过程】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时.
故选:C.
3．（24-25高一上·福建三明·期末）某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）

【答案】
【解题思路】分，两种情况求出函数解析式，再结合不等式求解即可.
【解答过程】当时，设，
将代入得，，解得，
则，
由，解得，即；
当时，设，
将，代入得，则，
由，解得，即.
综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
故答案为：.
4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知某企业生产某种设备的最大产能为70台，每台设备的售价为80万元．记该企业生产台设备需要投入的总成本为（单位：万元），且假设生产的设备全部都能售完．
(1)求利润（单位：万元）关于生产台数的函数解析式，并求该企业生产20台设备时的利润（利润销售额-成本）；
(2)当生产多少台该设备时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)，400万元．
(2)生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
【解题思路】（1）根据分段函数表示的总成本函数，结合利润销售额-成本，易得利润的解析式，代值计算即得生产20台设备时的利润；
（2）根据（1）求得的利润函数，分段求出每段函数的最大值，比较即得最大利润.
【解答过程】（1）当时，；
当时，；
综上，
当台时，万元，
所以该企业生产20台该设备时，所获利润为400万元．
（2）当时，，
故当台时，取得最大值，最大值为500万元；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当台时，取得最大值，最大值为820万元；
因为，所以当生产60台该设备时，该企业所获利润最大，最大利润为820万元．
5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元
【解题思路】（1）分和两种情况，进行求解利润；
（2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润．
【解答过程】（1）当时，；
当时，，
．
（2）若，当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，
最大利润是1680万元．
题型12
1．（24-25高一上·陕西西安·期末）设，用表示不超过的最大整数，例如，，．我们把称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费．下列说法正确的是（ ）
A． B．函数是偶函数
C．函数的最小值为0 D．，若，则
【答案】C
【解题思路】根据取整函数的定义，对每个选项逐一进行分析判断，从而确定正确答案.
【解答过程】选项A：
因为，根据取整函数表示不超过的最大整数，
所以，而不是，A选项错误.
选项B：
函数的定义域为，关于原点对称，，
例如时，，
；
，所以不是偶函数，B选项错误.
选项C：
设，当时，，则，此时，
所以的值域是，其最小值为，C选项正确，
选项D：
若，设，，，，
那么，所以，所以不存在，
使得当时，，D选项错误.
故选：C.
2．（24-25高一上·山西吕梁·阶段练习）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】判断函数的单调性，根据条件列方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，求解即可.
【解答过程】因为在上单调递增，
由题意知，
所以是方程在上的两个不等实根，
令，则，
所以在上有两个不等实根，
令，对称轴，
则，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
3．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“m阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】先求出的值域，将问题转化为，然后分，讨论即可求解.
【解答过程】因为函数在上单调递增，所以当时，，
依题意，对任意时，都有，
对任意时，都有，即，
因为，
所以当，即时，，解得；
又因为，所以，解得.
当，即时，，解得(舍去)；
当，即时，，
化简得：，解得，
又因为，，解得.
综上，实数的取值范围为，
故答案为：.
4．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数”
(1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围
(2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证：
(3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，0
【解题思路】（1）分析可知为上的严格增函数，即可得结果；
（2）根据题意可得，进而分析证明；
（3）根据题意利用反证法可得，再举例说明不恒成立，进而分析求解.
【解答过程】（1）若为定义在区间上的“1阶增函数”，
可得对任取，均有，
可知为上的严格增函数，所以.
（2）因为为定义在区间上的“1阶增函数”，且，
则，
即，.
可得，所以.
（3）假设存在，使，则，
因为为定义在区间上的“2阶增函数”，
则对任意的，都有，
令，则对任意的，都有，与有上界矛盾，
若“2阶增函数”有上界，则对任意，都有.
假设存在，使，
则对任意的，都有，故，矛盾，
所以“2阶增函数”有上界，都有恒成立，即存在均满足题意，
假设存在符合题意，例如，
则在上是严格增函数，
且，则是有上界的“2阶增函数”.
但当时，有，矛盾，
所以的取值范围为，即的最小值为0.
5．（24-25高一上·上海·期中）设是定义在上的函数，若存在，使得在区间上是严格增函数，且在区间上是严格减函数，则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间．
(1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，请说明理由；
(2)若（，、、）是定义在上峰点为的“含峰函数”，且值域为，求的取值范围；
(3)若是上的“含峰函数”，求的取值范围．
【答案】(1)是，峰点为
(2)
(3)
【解题思路】（1）以一元二次函数的单调性进行判断即可解决；
（2）先满足单调性要求，再满足值域的要求，逐步递进即可解决；
（3）在按参数t分类讨论时要注意不重不漏的原则，逐步求得t的取值范围.
【解答过程】（1）函数的图像是开口向下，对称轴为的抛物线，
则在区间上是严格增函数，在区间上是严格减函数，
故是上的“含峰函数”，峰点为.
（2）记函数，，，
则在区间[m，2]上是严格增函数，在区间上是严格减函数，则，
且有，得到，
则，
当时，的最小值为，则，
又，故，
当时，的最小值为，解得，
综上，实数的取值范围是.
（3）记，设任意，且，
则
当时，由，且，
可知，，
则，即，
则为上严格减函数，不符合题目要求；
当时，由，且，
可知，，
则，即
则为上严格增函数，不符合题目要求；
当时，
设任意，且，此时，，
则，即，为上严格增函数；
设任意，且，此时，
则，即，为上严格减函数；
故是上峰点为的“含峰函数”.
综上，t的取值范围为.