第二单元 函数
第6讲 函数的概念及其表示
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)非空的实数集 任意一个数x
唯一确定的数y
(2)定义域 值域 自变量的取值
定义域 函数值
2.解析法 列表法 图象法 3.对应关系
【对点演练】
1.(-∞,-3)∪(-3,8] [解析] 要使函数f(x)有意义,只需8-x≥0且x+3≠0,即x≤8且x≠-3,故f(x)的定义域是(-∞,-3)∪(-3,8].
2.∪ [解析] 函数的定义域为,y===-=-,因为≠0,所以y=-≠,故函数y=的值域为∪.
3.② [解析] 对于①,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数;对于③,在集合N中可以找到两个元素与1对应,故不是从集合M到集合N的函数;对于④,在集合N中找不到与2对应的元素,故不是从集合M到集合N的函数.故填②.
4.x-1(x>0) [解析] 令t=ex,则t>0,所以f(t)=t-1(t>0),则f(x)=x-1(x>0).
5.(-∞,-1]∪(0,1] [解析] 当x≤0时,f(x)≥2即为x2+1≥2,解得x≤-1或x≥1,所以x≤-1;当x>0时,f(x)≥2即为-x+3≥2,解得x≤1,所以0
6.[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
[解析] 由函数图象可知,函数的定义域是[-3,0]∪[2,3],函数的值域是[1,5],其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)利用对数、分式、根式的性质列不等式组,求x的取值范围,即得函数f(x)的定义域.(2)由函数y=f(x)的定义域求出y=f(x+1)的定义域,再与x-1>0及x-2≠0联立,即可求函数的定义域.
(1)D (2)C [解析] (1)要使函数f(x)=有意义,需满足解得x>3且x≠4,故函数f(x)的定义域为(3,4)∪(4,+∞).故选D.
(2)由题意,要使函数y=+(x-2)0有意义,需满足
解得1变式题 (1)B (2)(-2,2] [解析] (1)因为函数y=f(x)的定义域为[1,10],所以要使函数y=(x-3)0f(3x)有意义,需满足解得≤x≤且x≠3,所以y=(x-3)0f(3x)的定义域为∪.故选B.
(2)因为函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),所以函数f(x)的定义域为[-1,3),由-1≤1-x<3,解得-2例2 [思路点拨] (1)思路一:利用配凑法求解析式;思路二:利用换元法求解析式.(2)设出二次函数f(x)的解析式,然后利用待定系数法求解其解析式.(3)用替换x,构造方程组求出f(x).
(1)D (2)f(x)=x2-x+1
(3)(x≠0) [解析] (1)方法一:因为f=-1=+-2=+2,所以f(x)=x2+2x(x≠-1).故选D.
方法二:设t==-1(t≠-1),则=t+1(t≠-1),所以f(t)=(t+1)2-1=t2+2t,所以f(x)的解析式为f(x)=x2+2x(x≠-1).故选D.
(2)设f(x)=ax2+bx+c,a≠0,∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.在f(x+1)-f(x)=2x中,令x=0,则f(1)-f(0)=0,∴f(1)=1,即a+b+1=1,故a+b=0①;令x=1,则f(2)-f(1)=2,∴f(2)=3,即4a+2b+1=3,故2a+b=1②.由①②得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1.
(3)∵2f(x)+f=①,
∴2f+f(x)==②,由①×2-②得3f(x)=,∴f(x)=(x≠0).
变式题 (1)AC (2)D (3)f(x)=x2-2x-3(x≥1) [解析] (1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(2x)=2kx+b,故f[f(2x)]=f(2kx+b)=2k2x+kb+b.因为f[f(2x)]=8x+3,所以解得或所以f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.故选AC.
(2)用-x替换x,则由f(x)+2f(-x)=x2-x得f(-x)+2f(x)=x2+x,联立可解得f(x)=+x.故选D.
(3)令t=+1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),即f(x)=x2-2x-3(x≥1).
例3 [思路点拨] (1)根据分段函数的解析式先计算出f(e2)=0,进而求出f[f(e2)]=f(0)=1.(2)先根据当x>0时,f(x)=f(x-3)得f(2024)=f(-1),再根据分段函数的解析式求解即可.
(1)C (2) [解析] (1)因为e2>3,所以f(e2)=ln e2-2=0,所以f[f(e2)]=f(0)=e0-0=1.故选C.
(2)由题可知f(2024)=f(2021)=…=f(2)=f(-1)=e-1+ln 2==.
例4 [思路点拨] (1)先根据分段函数的解析式求出f(1),即可得到f(a)=-2,再分a>0和a≤0两种情况求解即可.(2)分x<0和x≥0两种情况化简不等式求解即可.
(1)A (2)B [解析] (1)∵函数f(x)=∴f(1)=21=2,又f(a)+f(1)=0,∴f(a)=-2.当a>0时,f(a)=2a=-2,无解;当a≤0时,f(a)=a+1=-2,解得a=-3.故选A.
(2)当x<0时,不等式f(x)<2即为-x2-2x<2,所以x2+2x+2>0,可得x<0;当x≥0时,不等式f(x)<2即为log2(x+1)<2,所以x+1<4,且x+1>0,所以0≤x<3.综上,不等式f(x)<2的解集是(-∞,3).故选B.
【应用演练】
1.B [解析] 由题意知,f(1)=a+3,f(-1)=,即f(a+3)=.当a+3≥0,即a≥-3时,f(a+3)=a+3(a+3)=4a+9=,解得a=-,满足题意;当a+3<0,即a<-3时,f(a+3)=2a+3=,解得a=-4,满足题意.所以a=-或a=-4.故选B.
2.C [解析] 当a>0时,-a<0,由f(a)>f(-a)得log2a>loa,所以2log2a>0,可得a>1;当a<0时,-a>0,由f(a)>f(-a)得lo(-a)>log2(-a),所以2log2(-a)<0,可得0<-a<1,即-11.故选C.
3.ABD [解析] 由D(x)=
可得D(x)的值域为{0,1},所以D[D(x)]=1,故选项A,B正确.因为当x是无理数时,D(x)=0且x+1是无理数,所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠D(x)+1,故选项C错误.当x是无理数时,x+1,-x-1均为无理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=0;当x是有理数时,x+1,-x-1均为有理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=1.所以对任意x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1),故选项D正确.故选ABD.
4. [解析] ∵log3=-log316,32<16<33,∴-3第6讲 函数的概念及其表示
1.A [解析] ∵函数f(x)=
∴f(-4)=f(-4+3)=f(-1)=f(-1+3)=f(2)=3×2=6.故选A.
2.C [解析] 根据函数的定义知,对于定义域内的任意自变量x,只能有唯一的y与之对应.选项A,B,D中,每一个x都有唯一的y与之对应,满足函数的定义,可以作为函数图象;选项C中,当x>0时,一个x有两个y与之对应,不满足函数的定义,不可以作为函数图象.故选C.
3.D [解析] 对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},两函数的定义域不相同,故这两个函数不是同一个函数,所以A错误;对于B,f(x),g(x)的定义域都为R,f(x)==|x|,与g(x)的对应关系不同,故这两个函数不是同一个函数,所以B错误;对于C,f(x),g(x)的定义域都为{x|x≤0},f(x)==|x|=-x,与g(x)的对应关系不同,故这两个函数不是同一个函数,所以C错误;对于D,因为f(x),g(s)的定义域都为R,且对应关系相同,故这两个函数是同一个函数,所以D正确.故选D.
4.B [解析] 令t=1-x,则x=1-t,又x≠0,所以t≠1,则f(t)==-1(t≠1),所以f(x)=-1(x≠1).故选B.
5.C [解析] 当a=0时,f(x)=,其值域为[0,+∞),满足题意;当a≠0时,若f(x)=的值域为[0,+∞),则解得06.[-3,2] [解析] 令x+a=t,因为x∈R,所以t∈R,y=f(x+a)=f(t),所以y=f(t)与y=f(x)为同一个函数,因此y=f(t)的值域为[-3,2],即函数y=f(x+a)的值域为[-3,2].
7.1 ∪ [解析] 由题意可知f=f(1)=1.当|2x|<1,即-或x<-,所以x∈∪;当|x|≥1,即x≥1或x≤-1时,|2x|=2|x|≥2>1,由f(x)8.C [解析] 由题意可知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],即-2≤x≤3,故-1≤x+1≤4,则y=f(x)的定义域为[-1,4].要使y=有意义,则解得19.C [解析] 当01,由f(a)=f(a+1)得=2(a+1-1)=2a,可得a=,此时f=f(4)=2×(4-1)=6;当a≥1时,a+1≥2,由f(a)=f(a+1)得2(a-1)=2(a+1-1),此时方程无解.综上可知,f=6,故选C.
10.D [解析] 设t=ex-1,t>0,则x=ln t+1,∴f(t)=2ln t+1,t>0.由f(a)+f(b)=0,得2ln a+1+2ln b+1=0,即ln(ab)=-1,∴ab=.故选D.
11.D [解析] f(x)的图象如图所示.当
即x≤-1时,若满足f(x+1)2x,即x<1,此时x≤-1;当即-112.AD [解析] 对于A,令t=x2(t≥0),则f(t)=|±|=,满足函数定义;对于B,令t=x2(t≥0),则f(t)=±,设t=4,则f(4)=±2,一个自变量对应两个函数值,不满足函数定义;对于C,设t=cos x,当t=时,x可以取,-等无数多个值,不满足函数定义;对于D,令t=ex(t>0),则x=ln t,f(t)=ln t,满足函数定义.故选AD.
13.y=2x-3,x∈[1,2](答案不唯一)
[解析] 由解得1≤x≤2,所以函数f(x)=-的定义域为[1,2],由题意可知f(x)=-的值域为[-1,1].与f(x)的定义域、值域都相同的函数可以为y=2x-3,x∈[1,2].
14.{-1,} [解析] 由题知,y=log2|x|的定义域为{x|x≠0}.当x>0时,原方程可化为2log2x+0=1,即log2x=,则x==;当x<0时,原方程可化为0+2×2x=1,即2x+1=1=20,则x+1=0,解得x=-1.故所求集合为{-1,}.
15.AB [解析] 设当x∈(1,+∞)时,f(x)的取值范围为N,则N M.当a=时,f(x)=f,令t(x)=,当x∈(1,+∞)时,t(x)=∈ [0,1],满足条件;当a=时,f(x)=f,令m(x)=,当x∈(1,+∞)时,m(x)=∈(0,1) [0,1],满足条件;当a=时,f(x)=f,令n(x)=,当x∈(1,+∞)时,n(x)∈ [0,1],不满足条件;当a=1时,f(x)=f,令g(x)=,当x∈(1,+∞)时,g(x)∈ [0,1],不满足条件.故选AB.第二单元 函数
第6讲 函数的概念及其表示
【课标要求】 1.用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
一般地,设A,B是 ,如果对于集合A中的 ,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
(2)函数的三要素
函数由 、 和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中, 范围(即数集A)叫作函数的 , 的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域.
2.函数的表示法
函数的常用表示方法: 、 、 .
3.分段函数
若一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的 ,则称其为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集,值域等于各段函数值域的并集.
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式中分母不等于0.
(2)偶次根式的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)零次幂的底数不能为0.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
(6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(7)y=tan x的定义域为.
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为.
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=的定义域是 .
2.[教材改编] 函数y=的值域为 .
3.[教材改编] 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是 .(填序号)
题组二 常错题
◆索引:换元法求解析式时忽视新元的范围;解与分段函数有关的不等式时忘记自变量的范围;忽略端点位置.
4.已知f(ex)=ex-1,则f(x)= .
5.已知函数f(x)=则使f(x)≥2成立的x的取值范围为 .
6.函数y=f(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是 ,值域是 ,其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是 .
函数的定义域
例1 (1)函数f(x)=的定义域为 ( )
A.(3,4) B.(3,+∞)
C.(4,+∞) D.(3,4)∪(4,+∞)
(2)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数y=+(x-2)0的定义域是 ( )
A.(1,5] B.(1,2)∪(2,5)
C.(1,2)∪(2,3] D.(1,3]
总结反思
(1)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合,如分式的分母不等于0、对数的真数大于0且不等于1等,所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组),不等式(组)的解集即为定义域.
(2)对于抽象函数,若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数y=f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域.
变式题 (1)已知函数y=f(x)的定义域为[1,10],则y=(x-3)0f(3x)的定义域为 ( )
A.[1,3)∪(3,30]
B.∪
C.[1,3)∪(3,10]
D.[1,3)∪
(2)[2024·武汉武昌区模拟] 已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,1),则函数y=f(1-x)的定义域为 .
函数的解析式
例2 (1)已知函数f=-1(x≠0),则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x2-2x(x≠0)
B.f(x)=x2-2x(x≠-1)
C.f(x)=x2+2x(x≠0)
D.f(x)=x2+2x(x≠-1)
(2)若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的解析式为 .
(3)已知函数f(x)满足2f(x)+f=,则f(x)= .
总结反思
求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后用x替换g(x),即得f(x)的解析式.
(4)解方程组法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
变式题 (1)(多选题)已知一次函数f(x)满足f[f(2x)]=8x+3,则f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=2x+1 B.f(x)=2x-3
C.f(x)=-2x-3 D.f(x)=-2x+1
(2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)+2f(-x)=x2-x,则f(x)= ( )
A. B.+x C. D.+x
(3)已知函数f(+1)=x-4,则f(x)的解析式为 .
以分段函数为背景的问题
微点1 分段函数求值
例3 (1)若函数f(x)=则f[f(e2)]= ( )
A.-1 B.-2
C.1 D.ln 2-2
(2)已知函数f(x)=则f(2024)= .
总结反思
分段函数求值的基本原则是分段进行,即自变量的取值属于哪一段范围,就代入这一段的解析式求值,对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.
微点2 分段函数与方程、不等式
例4 (1)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值为 ( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
(2)[2024·江西南昌二模] 已知f(x)=则不等式f(x)<2的解集是 ( )
A.(-∞,2) B.(-∞,3)
C.[0,3) D.(3,+∞)
总结反思
(1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;若是求自变量的值,则需要结合分段区间对自变量进行分类讨论,再求值.
(2)涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解.
1.已知函数f(x)=若f[f(1)]=f(-1),则实数a的值为 ( )
A.- B.-4或-
C.-4 D.2
2.[2024·福建漳州模拟] 设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
3.(多选题)[2024·广东惠州模拟] 德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一,他提出了著名的狄利克雷函数:D(x)=以下对D(x)的说法正确的是 ( )
A.D[D(x)]=1
B.D(x)的值域为{0,1}
C.存在x是无理数,使得D(x+1)=D(x)+1
D.对任意x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)
4.[2024·沈阳二模] 已知函数f(x)=则f= . 第二单元 函数
第6讲 函数的概念及其表示
(时间:45分钟)
1.已知函数f(x)=则f(-4)= ( )
A.6 B.2
C.4 D.8
2.下列图象中,不能作为函数图象的是 ( )
3.下列各组函数是同一个函数的为 ( )
A.f(x)=x-1,g(x)=
B.f(x)=,g(x)=x
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1
4.已知函数f(x)满足f(1-x)=(x≠0),则f(x)= ( )
A.-1(x≠0)
B.-1(x≠1)
C.-1(x≠0)
D.-1(x≠1)
5.若函数f(x)=的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围为 ( )
A.
B.{0}∪
C.
D.
6.定义在R上的函数f(x)的值域为[-3,2],则函数y=f(x+a)的值域为 .
7.[2024·北京东城区二模] 设函数f(x)=则f= ;不等式f(x)8.已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],则y=的定义域为 ( )
A.[-5,5] B.(1,5]
C. D.
9.设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f= ( )
A.2 B.4
C.6 D.8
10.已知函数f(x)满足f(ex-1)=2x-1,f(a)+f(b)=0,则下列结论正确的是 ( )
A.a+b=1 B.a+b=
C.ab=1 D.ab=
11.设函数f(x)=则满足f(x+1)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,0)
12.(多选题)下列对应关系f满足函数定义的有 ( )
A.f(x2)=|x|
B.f(x2)=x
C.f(cos x)=x
D.f(ex)=x
13.若几个函数的定义域、值域相同,但对应关系不同,则称这几个函数为“同域函数”.函数f(x)=-的值域为[-1,1],则与f(x)是“同域函数”的一个函数的解析式为 .
14.符号函数sgn(x)=则方程[1+sgn(x)]·log2|x|+[1-sgn(x)]·2x=1的解组成的集合为 .
15.(多选题)[2025·嘉兴模拟] 定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f,其值域是M.若对于任何满足上述条件的f(x)都有{y|y=f(x),x∈[0,1]}=M,则实数a的取值可以为 ( )
A. B.
C. D.1(共71张PPT)
第6讲 函数的概念及其表示
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概
念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数
的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列
表法、解析法）表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数的基本概念
（1）函数的定义
一般地,设,是______________,如果对于集合 中的_____________,
按照某种确定的对应关系,在集合 中都有_______________和它对
应,那么就称为从集合到集合 的一个函数.
非空的实数集
任意一个数
唯一确定的数
◆ 知识聚焦 ◆
（2）函数的三要素
函数由________、______和对应关系三个要素构成.在函数 ,
中,______________范围（即数集 ）叫作函数的________，
________的集合 叫作函数的值域.
定义域
值域
自变量的取值
定义域
函数值
2.函数的表示法
函数的常用表示方法：________、________、________.
解析法
列表法
图象法
3.分段函数
若一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同
的__________，则称其为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数
定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.
对应关系
常用结论
1.常见函数的定义域
（1）分式中分母不等于0.
（2）偶次根式的被开方式大于或等于0.
（3）一次函数、二次函数的定义域为.
（4）零次幂的底数不能为0.
（5）且，，的定义域均为.
（6）且的定义域为.
（7）的定义域为.
2.基本初等函数的值域
（1）的值域是 .
（2）的值域：当 时，值域为
；当时，值域为 .
（3）的值域是 .
（4）且的值域是 .
（5）且的值域是 .
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的定义域是__________________.
[解析] 要使函数有意义,只需且,即 且
,故的定义域是 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 函数 的值域为_________________.
[解析] 函数的定义域为 ，
，因为 ，所
以，故函数的值域为 .
3.［教材改编］ 设， ，给出下
列四个图形，其中能表示从集合到集合 的函数关系的是____.
（填序号）
②
[解析] 对于①，在集合中找不到与2对应的元素，故不是从集合
到集合的函数；对于③，在集合 中可以找到两个元素与1对应，
故不是从集合到集合的函数；对于④，在集合 中找不到与2对
应的元素，故不是从集合到集合 的函数．故填②.
题组二 常错题
◆ 索引：换元法求解析式时忽视新元的范围；解与分段函数有关的
不等式时忘记自变量的范围；忽略端点位置.
4.已知,则 _____________.
[解析] 令,则,所以 ,则
.
5.已知函数则使成立的 的取值范围
为________________.
[解析] 当时,即为,解得或 ,所以
；当时,即为,解得 ,所以
.综上所述,的取值范围为 .
6.函数 的图象如图所示，那么，
的定义域是______________，值域是
______，其中只有唯一的值与之对应的 值
的范围是____________.
[解析] 由函数图象可知，函数的定义域是，
函数的值域是，
其中只有唯一的值与之对应的 值的范围是 .
探究点一 函数的定义域
例1（1）函数 的定义域为( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］利用对数、分式、根式的性质列不等式组,求 的取值
范围,即得函数 的定义域.
√
[解析] 要使函数有意义，需满足 解
得且，故函数的定义域为 .故选D.
（2）已知函数的定义域为 ，则函数
的定义域是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］由函数的定义域求出 的定义域,再
与及 联立，即可求函数的定义域.
√
[解析] 由题意，要使函数 有意义，需满足
解得或，所以函数 的定义域
是 .故选C.
[总结反思]
（1）求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量的取值集
合，如分式的分母不等于0、对数的真数大于0且不等于1等，所以往
往归结为求解自变量满足的不等式（组）,不等式（组）的解集即为
定义域.
（2）对于抽象函数，若已知函数的定义域为,则复合函数
的定义域由不等式求出;若复合函数
的定义域为,则函数的定义域为的
值域.
变式题（1）已知函数的定义域为 ，则
的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数的定义域为 ,所以要使函数
有意义,需满足解得 且
，所以的定义域为 .故选B.
√
（2）[2024· 武汉武昌区模拟] 已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域为_______.
[解析] 因为函数的定义域为，所以函数 的
定义域为，由，解得 ，所以函数
的定义域为 .
探究点二 函数的解析式
例2（1）已知函数，则 的解析式为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：因为
，所以
.故选D.
［思路点拨］思路二：利用换元法求解析式.
[解析] 方法二：设，则 ，
所以，所以 的解析式为
.故选D.
［思路点拨］思路一：利用配凑法求解析式；
（2）若二次函数满足，且 ，则
的解析式为_________________.
［思路点拨］设出二次函数 的解析式,然后利用待定系数法求解
其解析式.
[解析] 设，，， ，则
.在中，令 ，则
，，即，故 ；
令，则，，即 ，故
.由①②得，， .
（3）已知函数满足，则
_____________.
［思路点拨］用替换,构造方程组求出 .
[解析] ，
，由 得
， .
[总结反思]
求函数解析式的常用方法:
（1）待定系数法:已知函数的类型（如一次函数、二次函数）,可用
待定系数法.
（2）换元法:已知复合函数的解析式,可用换元法,此时要
注意新元的取值范围.
（3）配凑法:由已知条件,可将改写成关于 的
表达式,然后用替换,即得 的解析式.
（4）解方程组法:已知与或 之间的关系式,可根据已知
条件结合赋值思想构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方
程组求出 .
变式题（1）（多选题）已知一次函数满足 ，
则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
[解析] 设，则 ，故
．因为 ，
所以解得或所以 或
．故选 .
√
√
（2）已知函数的定义域为，且 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 用替换，则由 得
，联立可解得 .故选D.
√
（3）已知函数，则 的解析式为____________
_____________.
[解析] 令，则 ，故
，即
．
探究点三 以分段函数为背景的问题
微点1 分段函数求值
例3（1）若函数则 ( )
A. B. C.1 D.
［思路点拨］根据分段函数的解析式先计算出 ，进而求出
.
[解析] 因为，所以 ，所以
.故选C.
√
（2）已知函数则 __.
［思路点拨］先根据当时,得 ，
再根据分段函数的解析式求解即可.
[解析] 由题可知
.
[总结反思]
分段函数求值的基本原则是分段进行，即自变量的取值属于哪一段
范围，就代入这一段的解析式求值，对于复合函数的求值问题,应由
里到外依次求值.
微点2 分段函数与方程、不等式
例4（1）已知函数若，则实数
的值为( )
A. B. C.1 D.3
［思路点拨］先根据分段函数的解析式求出 ，即可得到
，再分和 两种情况求解即可.
[解析] 函数 ，又
，.当时， ，无解；
当时，，解得 .故选A．
√
（2）[2024·江西南昌二模]已知 则不等式
的解集是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］分和 两种情况化简不等式求解即可.
[解析] 当时，不等式即为 ，所以
，可得；当时，不等式 即为
，所以，且，所以 .综上，
不等式的解集是 .故选B.
√
[总结反思]
（1）若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析
式代入求参;若是求自变量的值,则需要结合分段区间对自变量进行分
类讨论,再求值.
（2）涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自
变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解.
应用演练
1.已知函数若，则实数 的值
为( )
A. B.或 C. D.2
√
[解析] 由题意知，，，即 .当
，即时， ，
解得，满足题意；当，即 时，
，解得，满足题意.所以 或
.故选B.
2.[2024·福建漳州模拟]设函数 若
，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，由得 ，所
以，可得；当时，，由
得，所以，可得 ，即
.综上可知，或 .故选C.
√
3.（多选题）[2024·广东惠州模拟] 德国数学家狄利克雷是解析数论
的创始人之一，他提出了著名的狄利克雷函数：
以下对 的说法正确的是( )
A.
B.的值域为
C.存在是无理数，使得
D.对任意，总有
√
√
√
[解析] 由
可得的值域为，所以 ，故选项A，B正确.因为
当是无理数时，且是无理数，所以 ，所
以，故选项C错误.当是无理数时， ，
均为无理数，此时有；当 是有理
数时，， 均为有理数，此时有
.所以对任意 ，总有
，故选项D正确.故选 .
4.[2024·沈阳二模] 已知函数则
___.
[解析] ，， ，
.
例1 ［配例1使用］ 已知函数的定义域为 ，则函数
的定义域为( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数的定义域为，所以函数 的定义域
为.要使函数有意义，只需
解得，所以函数的定义域为 .故选C.
√
【备选理由】 例1是两个函数和结构的函数定义域问题，一个是抽
象函数，一个是具体函数，强化巩固定义域的理解与求解;
例2 ［配例2使用］ 已知函数在 上满足
，则函数 的解析式为__________.
[解析] ，用代替 ，则
，
由得 .
【备选理由】 例2考查利用解方程组法求函数解析式;
例3 ［补充使用］
（1）（多选题）若某函数的定义域与其值域的交集是 ，则称该
函数为“交汇函数”.下列函数是“ 交汇函数”的是( )
A. B. C. D.
√
√
【备选理由】 例3是求新定义函数值域的问题;
[解析] 由“交汇函数”的定义可知，“ 交汇函数”表示函数的
定义域与值域的交集为.对于A，的定义域 ，
值域，则 ，故A选项错误；
对于B，的定义域，值域 ，则
，故B选项正确；
对于C，的定义域 ，值域，
则 ，故C选项错误；
对于D，的定义域，值域，
则 ，故D选项正确.故选 .
（2）定义：表示不超过的最大整数，如， .
已知函数，，则函数 的值
域为_________.
,
[解析] 令.当 时，函数
单调递减，所以，所以 ；当
时，函数单调递减，所以 ，所以
.综上所述，的值域为, .
例4 ［配例3使用］ 定义在上的函数 满足
则 的值为___.
0
[解析] 由题意知，当时， ，所以
当，即时， ，所以
当时，将②代入①化简可得，故当 ，且
，即时， ，故
.
【备选理由】 例4考查分段函数的求值，考查学生的分析能力.
作业手册
1.已知函数则 ( )
A.6 B.2 C.4 D.8
[解析] 函数
．
故选A．
√
◆ 基础热身 ◆
2.下列图象中，不能作为函数图象的是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据函数的定义知，对于定义域内的任意自变量 ，只能有唯
一的与之对应.选项A，B，D中，每一个都有唯一的 与之对应，
满足函数的定义，可以作为函数图象；选项C中，当时，一个
有两个 与之对应，不满足函数的定义，不可以作为函数图象.故选C.
√
3.下列各组函数是同一个函数的为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
[解析] 对于A，的定义域为，的定义域为 ，两
函数的定义域不相同，故这两个函数不是同一个函数，所以A错误；
对于B，，的定义域都为，，与 的
对应关系不同，故这两个函数不是同一个函数，所以B错误；
对于C，，的定义域都为 ，
，与 的对应关系不同，故这
两个函数不是同一个函数，所以C错误；
对于D，因为, 的定义域都为 ，且对应关系相同，
故这两个函数是同一个函数，所以D正确.故选D.
4.已知函数满足，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] 令，则，又，所以 ，则
，所以 .故
选B.
√
5.若函数的值域为，则实数 的取值范围
为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，其值域为 ，满足题意；
当时，若的值域为 ，则
解得.综上，实数的取值范围为 .故
选C.
√
6.定义在上的函数的值域为，则函数 的值
域为_______.
[解析] 令,因为,所以, ,所以
与为同一个函数，因此的值域为 ,即
函数的值域为 .
7.[2024·北京东城区二模] 设函数则 ___；
不等式 的解集是_ __________________.
[解析] 由题意可知.当，即
时，，由,可得 ，不符合题意；当
即时，由 ,可得
，解得或，所以 ；当
，即或时， ，由
,可得 ，符合题意.综上所述,不等式
的解集是 .
8.已知函数的定义域为，则 的定义域
为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意可知函数的定义域为 ，即
，故，则的定义域为 .要使
有意义，则解得 ，所以
的定义域为 .故选C.
√
◆ 综合提升 ◆
9.设若，则 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 当时，，由 得
，可得 ，此时
;当时， ，由
得 ，此时方程无解.综上可
知， ，故选C.
√
10.已知函数满足， ，则下列
结论正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 设,，则， ，
．由，得 ，即
， ．故选D.
√
11.设函数则满足的 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 的图象如图所示.当
即时，若满足 ，则
，即，此时;当 即
时，恒成立.综上，的取值范围是 .
故选D.
√
12.（多选题）下列对应关系 满足函数定义的有( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A，令,则 ，满足函数定义；
对于B，令,则，设,则 ，
一个自变量对应两个函数值，不满足函数定义；
对于C，设 ，当时，可以取， 等无数多个值，
不满足函数定义；
对于D，令,则,，满足函数定义.
故选 .
√
√
13.若几个函数的定义域、值域相同，但对应关系不同，则称这几个
函数为“同域函数”.函数的值域为 ，则
与 是“同域函数”的一个函数的解析式为_____________________
_______________.
,（答案不唯一）
[解析] 由解得 ，所以函数
的定义域为 ,由题意可知
的值域为.与 的定义域、值域都相
同的函数可以为, .
14.符号函数 则方程
的解组成的集合为
_________.
,}
[解析] 由题知，的定义域为.当 时，原方
程可化为,即,则；当 时，
原方程可化为,即,则 ,解得
.故所求集合为, }.
15.（多选题）[2025·嘉兴模拟] 定义在上的函数 满足
，其值域是.若对于任何满足上述条件的 都有
,，则实数 的取值可以为( )
A. B. C. D.1
√
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 设当时，的取值范围为，则.当
时，，令，当 时，
，满足条件；当 时，
，令，当 时，
,满足条件；
当时，,令,当 时，
,不满足条件；当时， ,令
,当时， ,不满足条件.故选
.
【知识聚焦】1.(1)非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y (2)定义域 值域
自变量的取值 定义域 函数值 2.解析法 列表法 图象法 3.对应关系
【对点演练】1.(-∞,-3)∪(-3,8] 2.∪ 3.②
4.x-1(x>0) 5.(-∞,-1]∪(0,1] 6.[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]
课堂考点探究
例1 (1)D (2)C 变式题 (1)B (2)(-2,2] 例2 (1)D (2)f(x)=x2-x+1 (3)(x≠0)
变式题 (1)AC (2)D (3)f(x)=x2-2x-3(x≥1) 例3 (1)C (2) 例4 (1)A (2)B
【应用演练】
1.B 2.C 3.ABD 4.
教师备用习题
例1 C 例2 例3 (1) (2) , 例4 0
基础热身
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6. [-3,2] 7. 1 ∪
综合提升
8.C 9.C 10.D 11.D 12. 13. y=2x-3,x∈[1,2](答案不唯一)
14. {-1,}
能力拓展
15.