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一轮复习
2.7 函数的单调性（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习
文档属性
名称
2.7 函数的单调性（课件 学案 练习）2026届高中数学人教A版（2019）一轮复习
格式
zip
文件大小
14.6MB
资源类型
教案
版本资源
人教A版（2019）
科目
数学
更新时间
2025-09-27 08:05:14
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文档简介
第7讲 函数的单调性
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.f(x1)
f(x2)
上升的 下降的
2.单调性 单调区间
3.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M
f(x0)=M 纵坐标 纵坐标
【对点演练】
1.(2,3] [-3,2] [解析] 由函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图象可得f(x)的单调递增区间是(2,3],单调递减区间是[-3,2].
2.> [解析] 因为对任意的x1,x2∈R都有>0,所以函数f(x)在R上单调递增,又-3>-π,所以f(-3)>f(-π).
3.(-∞,2] [解析] 函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,[2,+∞) [a,+∞),所以a≤2,故实数a的取值范围是(-∞,2].
4.[3,+∞) [解析] 由x2-2x-3≥0得x≤-1或x≥3,故f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).由函数y=x2-2x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,得f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
5. [解析] 由题知解得a≤,即实数a的取值范围为.
6.(1)(-∞,-3] (2)-3 [解析] (1)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a≥4,解得a≤-3,故实数a的取值范围是(-∞,-3].
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1-a,由题意得1-a=4,解得a=-3.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 利用定义证明函数的单调性即可.
解:任取x1,x2∈(-1,1),且x1
则f(x1)-f(x2)=a-a=,
又x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)
变式题 BD [解析] 对于A,画出函数y=|x2-2x|的图象,如图所示,易知函数y=|x2-2x|在其定义域内不是增函数,故A错误;对于B,因为函数y=ex是R上的增函数,y=e-x是R上的减函数,所以y=ex-e-x是R上的增函数,故B正确;对于C,函数y=log0.5x在定义域上是减函数,而y=x+1在定义域上为增函数,所以函数y=log0.5(x+1)在定义域(-1,+∞)上为减函数,故C错误;对于D,y=x+cos x的定义域为R,y'=1-sin x≥0在R上恒成立,故y=x+cos x是R上的增函数,故D正确.故选BD.
例2 [思路点拨] (1)作出函数y=|-x2+4x+5|的图象,根据图象即可得解.(2)对函数求导,利用导数的符号确定函数的单调区间.
(1)(-1,2),(5,+∞) (2)A
[解析] (1)函数y=|-x2+4x+5|=
由|-x2+4x+5|=0,解得x=-1或x=5,作出函数y=|-x2+4x+5|的图象如图所示.由图可知,函数y=|-x2+4x+5|的单调递增区间为(-1,2),(5,+∞).
(2)由题得f'(x)=1+ln x,令f'(x)=0,解得x=,当0
时,f'(x)>0,故f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的单调递减区间是.故选A.
变式题 (1)C (2)(π,2π) (3)[0,2)
[解析] (1)由x2-2x>0,解得x<0或x>2,所以函数y=ln(x2-2x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).令u=x2-2x,则函数u=x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,而函数y=ln u在(0,+∞)上为增函数,故由复合函数的单调性可得y=ln(x2-2x)的单调递减区间为(-∞,0).故选C.
(2)由y=sin x-xcos x(0
(3)由题意知g(x)=x2f(x-1)=
作出函数g(x)的图象,如图所示.由图可知,g(x)的单调递减区间是[0,2).
例3 [思路点拨] (1)先求出函数的定义域,再根据复合函数的单调性得出f(x)的单调递增区间,根据题意列出不等式组求解即可.(2)根据分段函数在R上的单调性求解即可.
(1)D (2)B [解析] (1)由-x2+4x>0,得0
(2)因为f(x)在R上单调递增,所以-≥0,且-a≤e0+ln 1,解得-1≤a≤0,故选B.
变式题 (1)D (2)[2,3] [解析] (1)因为y=2u在R上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得u=x(x-a)=-在(0,1)上单调递减,故≥1,解得a≥2,故选D.
(2)因为函数f(x)满足对任意实数x1≠x2,都有<0成立,所以函数f(x)在R上单调递减,则解得2≤a≤3,所以a的取值范围是[2,3].
例4 [思路点拨] 先确定a,b,c的大小关系,再根据复合函数的单调性进行比较.
B [解析] 因为a=<
lg=
lg(x∈R),易知u=是R上的减函数,y=lg u是R上的增函数,所以f(x)=lg(-x)是R上的减函数,所以f(a)>f(b)>f(c).故选B.
例5 [思路点拨] (1)由题得函数f(x)在R上单调递减,利用单调性可得a-1≤-a2+1,解不等式即可.(2)利用已知等式结合赋值法可得f(1)=1,再利用函数f(x)的单调性进行求解.
(1)[-2,1] (2)D [解析] (1)因为y=e-x在(-∞,0]上单调递减,y=-x2-2x+1在(0,+∞)上单调递减,并且e-0=1,-02-2×0+1=1,所以f(x)在R上单调递减.因为f(a-1)≥f(-a2+1),所以a-1≤-a2+1,解得-2≤a≤1,故实数a的取值范围是[-2,1].
(2)在f(xy)=f(x)+f(y)-1中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1)-1,即f(1)=1,所以f(log2x-1)>f(1).因为函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,所以解得2
【应用演练】
1.A [解析] f(x)=x|x|=
故f(x)在R上单调递增.由f(2x)>f(1-x),得2x>1-x,解得x>.故选A.
2.B [解析] 由x0>0,得x0+1>x0>0,因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x0+1)
0时,x0-1与0的大小关系无法确定,无法比较f(x0-1)与f(x0)的大小,故C,D错误.故选B.
3.A [解析] 构造函数f(x)=2x-3-x,易知f(x)为R上的增函数.由2x-2y<3-x-3-y得2x-3-x<2y-3-y,即f(x)
1,∴ln(y-x+1)>0.故选A.
4.(-∞,0) [解析] 当x≤3时,f(x)=x2-3x在上单调递减,在上单调递增,当x>3时,f(x)=x-1单调递增,且×3-1=32-3×3,因此函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.易知1-x<2-x,则当1-x≥,即x≤-时,f(1-x)
-时,2-x<<3,原不等式化为(1-x)2-3(1-x)<(2-x)2-3(2-x),解得x<0,则-
1.C [解析] 对于A,因为u=ln x在(0,+∞)上单调递增,y=-u在R上单调递减,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,因为u=2x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,因为u=在(0,+∞)上单调递减,y=-u在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故C正确;对于D,因为f===,f(1)=3|1-1|=30=1,f(2)=3|2-1|=3,所以f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C.
2.D [解析] 因为f(x)=|x-1|+|x-2|=所以f(x)的单调递增区间为[2,+∞),故选D.
3.B [解析] 由题知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,则有解得
4.D [解析] 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得-3≤a≤-2.故选D.
5.D [解析] 当0
0,a≠1)单调递减;当a>1时,函数y=ax-1单调递增,a-1>0,故f(x)=+b(a>0,a≠1)单调递减.所以函数f(x)的单调性与a无关,且与b无关.故选D.
6.x x3(答案不唯一) [解析] 设f(x)=x,g(x)=x3,两个函数的定义域均为R,且均为增函数,f(x)·g(x)=x4不是增函数,符合题意.
7. [解析] 令u=x2-ax+3,因为函数y=lou在(0,+∞)上为减函数,函数f(x)=lo(x2-ax+3)在(2,3)上单调递减,所以函数u=x2-ax+3在(2,3)上单调递增,所以≤2,解得a≤4,且u>0对任意x∈(2,3)恒成立,则4-2a+3=7-2a≥0,解得a≤,所以a的取值范围是.
8.D [解析] 对于A选项,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,故A错误;对于B选项,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,故B错误;对于C选项,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,故C错误;对于D选项,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x1
0,则y=-f(x)在R上为减函数,故D正确.故选D.
9.D [解析] 函数f(x)=ex+4x+1的定义域为R,且f(x)是增函数,因为ln 4>ln 3>1,所以f(ln 4)>f(ln 3)>f(1),即a>b>c.故选D.
10.C [解析] 函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增,则由log3(3a+2)>log3(4a+1),得3a+2>4a+1,所以0
y,即x-y>0.故选C.
11.BCD [解析] 对于A,B,当a=1时,f(x)=,因为y=x2-4x+3在(2,+∞)上单调递增,y=在R上单调递减,所以由复合函数的单调性可得,函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减,故A错误,B正确.对于C,显然当a=0时,f(x)没有最大值;当a≠0时,若f(x)=有最大值2,则函数y=ax2-4x+3=a+3-有最小值-1,所以解得a=1,故C正确.对于D,若函数f(x)=在(-∞,2)上单调递增,则y=ax2-4x+3在(-∞,2)上单调递减.当a=0时,显然成立;当a≠0时,由二次函数的性质可得解得0
12.f(x)=lg x(答案不唯一) [解析] 由当0
0成立,得函数f(x)在上单调递增;由当0
成立,得函数f(x)在上是凸函数.故f(x)的解析式可以是f(x)=lg x.
13.10 [解析] 因为f(x)是定义在R上的单调函数,所以存在唯一的t∈R,使得f(t)=10,则f(x)-2x-2x=t,即f(x)=2x+2x+t,令x=t,则f(t)=2t+3t=10.因为函数y=2t+3t为增函数,且22+3×2=10,所以t=2,则f(x)=2x+2x+2.易知f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(x)在[-2,2]上的最大值为f(2)=10.
14.解:(1)因为所以
解得所以f(x)=
(2)由(1)知f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图所示.
由图可知,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),[2,+∞),单调递增区间是[0,2).
15.解:(1)证明:任取x1>x2,令x=x2-x1,y=x1,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2,而x2-x1<0,
∴f(x2-x1)-2<0,即f(x2)
(2)由题意,原不等式可转化为f[(logax)2]+f(logax-3)≥3,
即f[(logax)2+logax-3]≥1.
当x=y=0时,f(0)-2=f(0)-f(0)=0,即f(0)=2,当x=-1,y=1时,f(-1)+f(1)=2+f(0)=4,
又f(1)=3,∴f(-1)=1,
∴f[(logax)2+logax-3]≥f(-1),
∴(logax)2+logax-3≥-1,
∴(logax)2+logax-2≥0,解得logax≥1或logax≤-2.
当0
1时,可得x≥a或0
1时,原不等式的解集为∪[a,+∞).
16.B [解析] 由(x2-x1)·<0,可得(x2-x1)·{f(x2)-2ln x2-[f(x1)-2ln x1]}<0,令g(x)=f(x)-2ln x,可得(x2-x1)·[g(x2)-g(x1)]<0,即对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有(x2-x1)·[g(x2)-g(x1)]<0,所以函数g(x)=f(x)-2ln x在(0,+∞)上单调递减.f(x-2022)>2ln(2x-4044)等价于f(x-2022)>2ln(x-2022)+2ln 2,即f(x-2022)-2ln(x-2022)>2ln 2,可得g(x-2022)>2ln 2,又f(2)=4ln 2,所以g(2)=f(2)-2ln 2=2ln 2,所以g(x-2022)>2ln 2等价于g(x-2022)>g(2),因此可得0
17.BCD [解析] 对于A,因为(+)2-()2=2-1>0,所以+>,则f=log6(+)>log6=.由+>得-<,则g=log3(-)
>g,即f>g,所以A不正确.对于B,令h(x)=2x+3x-6x=6x,因为函数φ(x)=+-1在R上单调递减,φ(0)=1>0,φ(1)=-<0,所以存在x0∈(0,1),使得φ(x0)=0,当x
0,当x>x0时,φ(x)<0,又6x>0,所以当x
0,即2x+3x-6x>0,当x>x0时,h(x)<0,即2x+3x-6x<0.因为h(x0)=0,即+-=0,所以f(x0)=log6(+)=log6=x0,g(x0)=log3(-)=log3=x0,所以f(x0)=g(x0)=x0,当t=x0时,f(t)=g(t)=t,所以B正确.对于C,当x∈(x0,+∞)时,2x+3x-6x<0,即2x+3x<6x,所以f(x)=log6(2x+3x)
3x,所以g(x)=log3(6x-2x)>log33x=x,所以当x∈(x0,+∞)时,f(x)
x>g(x),因为6f(x)-6x=3x-3g(x),所以6x[6f(x)-x-1]=3g(x)[3x-g(x)-1]③,易知6f(x)-x-1>0,3x-g(x)-1>0,又3g(x)=6x-2x,所以6x>3g(x),结合③式得6f(x)-x-1<3x-g(x)-1,即6f(x)-x<3x-g(x),所以0
x0时,f(x)
【课标要求】 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
1.单调函数
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1
图象 描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是
2.单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) ,区间I叫作y=f(x)的 .
3.函数的最值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 x∈D,都有 ; x0∈D,使得 x∈D,都有 ; x0∈D,使得
结论 M为最大值 M为最小值
几何 意义 f(x)图象上最高点的 f(x)图象上最低点的
常用结论
1.函数单调性的常用结论:
(1)若f(x),g(x)均在区间D上单调递增(减),则f(x)+g(x)也在区间D上单调递增(减).
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)的单调性相反.
(3)复合函数单调性的判断方法:“同增异减”.
2.单调性定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则f(x)在区间D上单调递增;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则f(x)在区间D上单调递减.
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .
2.[教材改编] 设函数y=f(x)满足对任意的x1,x2∈R都有>0,比较大小:f(-3)
f(-π).(填“>”或“<”)
3.[教材改编] 函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
题组二 常错题
◆索引:求单调区间时忘记定义域导致出错;讨论分段函数的单调性时忘记整体考虑致错;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.
4.函数f(x)=的单调递增区间为 .
5.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为 .
6.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围是 .
(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为 .
函数单调性的判断与证明
例1 讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
总结反思
1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符号、得出结论.
2.函数单调性的判断方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)直接利用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增+增”为增,“增-减”为增,“减+减”为减,“减-增”为减;(4)导数法;(5)利用“同增异减”的规则判断复合函数y=f[g(x)]的单调性.
变式题 (多选题)下列函数在其定义域内是增函数的为 ( )
A.y=|x2-2x| B.y=ex-e-x
C.y=log0.5(x+1) D.y=x+cos x
求函数的单调区间
例2 (1)[2024·广东深圳三模] 函数y=|-x2+4x+5|的单调递增区间是 .
(2)函数f(x)=xln x+1的单调递减区间是 ( )
A. B.(0,e)
C. D.(e,+∞)
总结反思
(1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法.
(2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接.
变式题 (1)[2024·浙江绍兴模拟] 函数y=ln(x2-2x)的单调递减区间是 ( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(2,+∞)
(2)函数y=sin x-xcos x(0
(3)已知函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是 .
由单调性求参数的取值范围
例3 (1)若函数f(x)=ln(-x2+4x)在(a,a+1)上单调递增,则a的取值范围为 ( )
A.(0,1) B.[0,2]
C.(0,2) D.[0,1]
(2)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
总结反思
利用函数的单调性求参数的范围(或值)的注意点:(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.
变式题 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
(2)已知函数f(x)=满足对任意实数x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是 .
利用函数单调性解决问题
微点1 比较大小
例4 已知函数f(x)=lg(-x),a=,b=,c=lo,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为 ( )
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.f(a)>f(b)>f(c)
C.f(c)>f(b)>f(a)
D.f(c)>f(a)>f(b)
总结反思
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解.
微点2 解不等式
例5 (1)已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a2+1),则实数a的取值范围是 .
(2)定义在(0,+∞)上的减函数f(x)满足:对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-1.则不等式f(log2x-1)>1的解集是 ( )
A.(0,4) B.(4,+∞)
C.(1,4) D.(2,4)
总结反思
利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)将不等式转化成f(x1)>f(x2)(或f(x1)
x2”或“x1
1.[2024·武汉武昌区模拟] 已知函数f(x)=x|x|,则关于x的不等式f(2x)>f(1-x)的解集为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·北京顺义区期末] 已知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且x0>0,则下列结论中一定正确的是 ( )
A.f(x0+1)>f(x0)
B.f(x0+1)
C.f(x0-1)>f(x0)
D.f(x0-1)
3.若2x-2y<3-x-3-y,则 ( )
A.ln(y-x+1)>0
B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0
D.ln|x-y|<0
4.已知函数f(x)=则不等式f(1-x)
(时间:45分钟)
1.[2023·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( )
A.f(x)=-ln x
B.f(x)=
C.f(x)=-
D.f(x)=3|x-1|
2.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的单调递增区间是 ( )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[1,2] D.[2,+∞)
3.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上满足对任意的x1,x2∈(-1,1),且x1≠x2,都有<0,若f(2a-1)
A. B.
C.(0,2) D.(0,+∞)
4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,0)
C.(-3,-2] D.[-3,-2]
5.[2024·浙江镇海中学期末] 设函数f(x)=+b(a>0,a≠1),则函数f(x)的单调性 ( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a无关,但与b有关
C.与a有关,但与b无关
D.与a无关,且与b无关
6.已知f(x)和g(x)在定义域内均为增函数,但y=f(x)·g(x)不一定是增函数,请写出一对这样的函数:f(x)= ,g(x)= .
7.设函数f(x)=lo(x2-ax+3)在(2,3)上单调递减,则a的取值范围是 .
8.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论正确的是 ( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
9.已知函数f(x)=ex+4x+1,a=f(ln 4),b=f(ln 3),c=f(1),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b>c>a B.c>b>a
C.b>a>c D.a>b>c
10.[2025·大同一模] 已知实数a>0,且满足不等式log3(3a+2)>log3(4a+1),若ax-ay
A.x+y>0 B.x+y>1
C.x-y>0 D.x-y>1
11.(多选题)已知函数f(x)=,则下列叙述正确的是 ( )
A.当a=1时,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增
B.当a=1时,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减
C.若函数f(x)有最大值2,则a=1
D.若函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递增,则a的取值范围是[0,1]
12.对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2,当0
0,②f>成立,则满足条件的函数f(x)的解析式可以是 .
13.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且f[f(x)-2x-2x]=10,则f(x)在[-2,2]上的最大值为 .
14.已知函数f(x)=且f(1)=5,f(2)=6.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的单调递增区间和单调递减区间.
15.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意的x,y∈R,满足f(x)-2=f(x+y)-f(y),f(1)=3,且当x<0时,f(x)<2.
(1)求证:f(x)是R上的增函数;
(2)解不等式f[(logax)2]≥3-f(logax-3)(a>0且a≠1).
16.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有(x2-x1)·<0,且f(2)=4ln 2.满足不等式f(x-2022)>2ln(2x-4044)的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,2022) B.(2022,2024)
C.[2022,+∞) D.[2024,+∞)
17.(多选题)[2024·重庆八中模拟] 已知函数f(x)=log6(2x+3x),g(x)=log3(6x-2x),下列结论正确的是 ( )
A.f
B.存在t∈(0,1),使得f(t)=g(t)=t
C.对任意x∈(1,+∞),都有f(x)
D.对任意x∈(0,+ ∞),都有|x-f(x)|≤|g(x)-x|(共89张PPT)
第7讲 函数的单调性
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大
值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
1.单调函数
增函数 减函数
定 义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 ，
当 时，都有__________ ______，那么就称函数 在 区间 上单调递增.特别地，当 函数 在它的定义域上单调 递增时，我们就称它是增函数 当 时，都有__________
_____，那么就称函数 在区
间 上单调递减.特别地，当函
数 在它的定义域上单调递
减时，我们就称它是减函数
◆ 知识聚焦 ◆
增函数 减函数
图 象 描 述 _________________________________________________________ 自左向右看图象是________ _________________________________________________________
自左向右看图象是________
续表
上升的
下降的
2.单调区间
如果函数在区间 上单调递增或单调递减,那么就说函数
在这一区间具有（严格的）________,区间叫作 的
___________.
单调性
单调区间
3.函数的最值
前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件 ，都有__________； ，使得___________ ，都有__________；
，使得___________
结论 为最大值 为最小值
几何意 义 图象上最高点的______ __ 图象上最低点的______
__
纵坐标
纵坐标
常用结论
1.函数单调性的常用结论：
（1）若
，
均在区间
上单调递增（减），则
也
在区间
上单调递增（减）.
（2）若
，则
与
的单调性相同；若
，则
与
的单调性相反.
（3）复合函数单调性的判断方法：“同增异减”.
2.单调性定义的等价形式：设，， .
（1）若有或，则 在
区间 上单调递增；
（2）若有或，则 在
区间 上单调递减.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区
间是______，单调递减区间是_______.
[解析] 由函数的图象可得 的单
调递增区间是，单调递减区间是 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 设函数满足对任意的, 都有
，比较大小：___.（填“ ”或“ ”）
[解析] 因为对任意的，都有，所以函数
在上单调递增，又 ，所以 .
3.［教材改编］ 函数在 上单调递增，则实
数 的取值范围是________.
[解析] 函数的单调递增区间是，当 在
上单调递增时，，所以,故实数 的取
值范围是 .
题组二 常错题
◆ 索引：求单调区间时忘记定义域导致出错;讨论分段函数的单调
性时忘记整体考虑致错;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.
4.函数 的单调递增区间为________.
[解析] 由得或，故 的定义域为
.由函数在 上单调递减，
在上单调递增，得的单调递增区间为 .
5.已知函数是定义在上的减函数，则实数
的取值范围为_ ________.
[解析] 由题知解得，即实数 的取值
范围为 .
6.（1）若函数在区间 上单调递减，
则实数 的取值范围是__________.
[解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得
，解得，故实数的取值范围是 .
（2）若函数的单调递减区间为
，则 的值为____.
[解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得
，解得 .
探究点一 函数单调性的判断与证明
例1 讨论函数在 上的单调性.
［思路点拨］ 利用定义证明函数的单调性即可.
解：任取,,且,易知 ,
则 ,
又,,,故当时, ,
即,所以函数在上单调递减;当 时,
,即,所以函数在 上单调递增.
[总结反思]
1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符
号、得出结论.
2.函数单调性的判断方法：（1）定义法;（2）图象法；（3）直接利
用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增
增”为
增,“增-减”为增,“减
减”为减,“减-增”为减；（4）导数法；（5）利
用“同增异减”的规则判断复合函数
的单调性.
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，画出函数 的图象，
如图所示，易知函数 在其定义域
内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数
是上的增函数，是 上的减函
数，所以是 上的增函数，故B正
确；对于C，函数在定义域上是减函数，而 在定义
域上为增函数，所以函数在定义域 上为减函
数，故C错误；对于D，的定义域为，
在上恒成立，故是上的增函数，故D正确.故选 .
探究点二 求函数的单调区间
例2（1）[2024·广东深圳三模] 函数 的单调递增
区间是________________.
，
[解析] 函数
由，解得或 ，
作出函数 的图象如图所示.
由图可知，函数 的单调递增
区间为, .
［思路点拨］作出函数 的图象，根据图象即可得解.
（2）函数 的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］对函数求导，利用导数的符号确定函数的单调区间.
[解析] 由题得,令,解得,当
时, ,当时,,故在 上单调递减,在
上单调递增,所以的单调递减区间是 .故选A.
√
[总结反思]
（1）求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图
象法.
（2）单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单
调区间应分开写,不能用并集符号“
”连接.
变式题（1）[2024·浙江绍兴模拟]函数 的单调递减区
间是( )
A. B. C. D.
[解析] 由，解得或 ，所以函数
的定义域为.令 ，则函
数在上单调递减，在 上单调递增，而函
数在 上为增函数，故由复合函数的单调性可得
的单调递减区间为 .故选C.
√
（2）函数 的单调递减区间为_______.
[解析] 由 ,得
,令,得 ,所以
函数的单调递减区间为 .
（3）已知函数,则函数 的
单调递减区间是______.
[解析] 由题意知
作出函数的图象，如图所示.由图可知, 的单
调递减区间是 .
探究点三 由单调性求参数的取值范围
例3（1）若函数在上单调递增,则 的
取值范围为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］先求出函数的定义域,再根据复合函数的单调性得出
的单调递增区间,根据题意列出不等式组求解即可.
√
[解析] 由,得,即函数的定义域为 .令
,,则在上单调递增,在 上单调
递减,又在上单调递增,所以函数 的单调递增区间
为.因为在上单调递增,所以 解得
.故选D.
（2）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数在
上单调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］根据分段函数在 上的单调性求解即可.
[解析] 因为在上单调递增,所以,且 ,解
得 ,故选B.
√
[总结反思]
利用函数的单调性求参数的范围（或值）的注意点:（1）视参数为
已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知
单调区间比较求参数;（2）若分段函数是单调函数,则不仅要保证在
各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.
[解析] 因为在 上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得
在上单调递减,故,解得 ,
故选D.
变式题（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间 单
调递减，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
（2）已知函数满足对任意实数 ，
都有成立，则 的取值范围是______.
[解析] 因为函数满足对任意实数，都有 成
立，所以函数在上单调递减，则解得 ，
所以的取值范围是 .
探究点四 利用函数单调性解决问题
微点1 比较大小
例4 已知函数，,, ，
则,, 的大小关系为( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］ 先确定，， 的大小关系，再根据复合函数的单调
性进行比较.
√
[解析] 因为 ，所以
，易知是上的减函数，是 上
的增函数，所以是 上的减函数，所以
.故选B.
[总结反思]
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用
其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题
能用数形结合的尽量用图象法求解.
微点2 解不等式
例5（1）已知函数 若
，则实数 的取值范围是_______.
［思路点拨］由题得函数在 上单调递减，利用单调性可得
，解不等式即可.
[解析] 因为在上单调递减， 在
上单调递减，并且,，所以 在
上单调递减.因为，所以 ，
解得，故实数的取值范围是 .
（2）定义在上的减函数满足：对任意， ，
总有.则不等式 的解集是
( )
A. B. C. D.
［思路点拨］利用已知等式结合赋值法可得 ，再利用函数
的单调性进行求解.
[解析] 在中，令 ，得
，即，所以 .因
为函数是定义在上的减函数，所以 解得
，故选D.
√
[总结反思]
利用函数单调性解不等式的具体步骤:（1）将不等式转化成
（或
）的形式;（2）确定函数
的单
调性;（3）根据函数
的单调性去掉符号“
”,转化为形如“
”
或“
”的常规不等式,从而得解.
应用演练
1.[2024· 武汉武昌区模拟]已知函数，则关于 的不等式
的解集为( )
A. B. C. D.
[解析]
故在上单调递增.由，得 ，解得
.故选A.
√
2.[2024·北京顺义区期末]已知在上单调递减，且 ，
则下列结论中一定正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由，得，因为在 上单调递
减，所以，故B正确，A错误.当时，
与0的大小关系无法确定，无法比较与 的大小，故C,D
错误.故选B.
√
3.若 ，则( )
A. B.
C. D.
[解析] 构造函数，易知为 上的增函数.由
得，即 ,
,， .故选A.
√
4.已知函数则不等式 的解
集为________.
[解析] 当时,在上单调递减,在 上单
调递增,当时,单调递增,且 ,
因此函数在上单调递减,在 上单调递增.易知
,则当,即时, 恒成立;
当时, ,原不等式化为
,解得,则 .
综上，不等式的解集为 .
例1 ［配例1使用］ （多选题）已知，都是定义在 上的增
函数，则( )
A.函数 一定是增函数
B.函数 有可能是减函数
C.函数 一定是增函数
D.函数 有可能是减函数
√
√
√
【备选理由】例1考查利用已知函数的单调性直接判断组合函数的单
调性;
[解析] 对于A，令，设 ，则
，因为,都是定义在 上的增函数，所以
，，所以 ，故
函数 一定是增函数，故A正确；
对于B，当, 时，函数 为减函数，故B正确；
对于C，当,时，函数
在上单调递减，故C错误；
对于D，当, 时，函数为减函数，故D正确.故选 .
例2 ［配例3使用］ [2025·大庆一模] 已知函数
在上单调递增，则实数 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例2是已知分段函数的单调性求参问题，涉及的函数较
为复杂,涉及分类讨论思想;
[解析] 因为在 上单调递增，所以
，则.当且，即 时，函数
在上单调递增，要使在 上单调递增，则
解得；当，即 时，
对勾函数在上单调递增，在
上单调递减，要使在上单调递增，则
解得.综上可得，实数的取值范围为 .故选A.
例3 ［配例5使用］ [2025·河北秦皇岛模拟] 已知为 上的减函
数，设函数则满足不等式 的
的取值范围是________.
【备选理由】例3以分段函数为载体,考查利用函数的单调性解
不等式问题;
[解析] 由题意知，的定义域为，关于原点对称.当 时，
，则，当 时，
，当时，，则 ，故
为偶函数.为上的减函数，在 上单调递减，
在上单调递增. ，
，，解得 ，故满足不等
式的的取值范围是 .
例4 ［补充使用］ 已知函数 ，则不等式
的解集是( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例4考查利用函数图象解不等式.
[解析] 由 ，得
，由 解得
或画出,
的图象如图所示，由图可知，不等式的解集是 .故选A.
作业手册
1.[2023·北京卷]下列函数中，在区间 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
√
◆ 基础热身 ◆
[解析] 对于A，因为在上单调递增，在 上单
调递减，所以在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在 上单调
递减，所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在上单调递减，在上单调
递减，所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为，,
，所以在 上不单调，故D错误.故选C.
2.函数 的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为所以 的单
调递增区间为 ,故选D.
√
3.已知函数在定义域上满足对任意的, ,
且,都有，若，则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知函数在定义域 上是减函数，则有
解得 ，故选B.
√
4.已知函数是上的增函数，则 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数是 上的增函数，所以
解得 .故选D.
√
5.[2024·浙江镇海中学期末]设函数 ，则
函数 的单调性( )
A.与有关，且与有关 B.与无关，但与 有关
C.与有关，但与无关 D.与无关，且与 无关
[解析] 当时，函数单调递减， ，故
单调递减；当 时，函数
单调递增，，故
单调递减.所以函数的单调性与无关，且与 无关.故选D.
√
6.已知和在定义域内均为增函数，但 不一定
是增函数，请写出一对这样的函数：___， __________
________.
（答案不唯一）
[解析] 设，，两个函数的定义域均为 ，且均为
增函数， 不是增函数，符合题意.
7.设函数在上单调递减，则 的取值范
围是_ _______.
[解析] 令，因为函数在 上为减函数，
函数在 上单调递减，所以函数
在上单调递增，所以，解得 ，且
对任意恒成立，则 ，解得
，所以的取值范围是 .
8.设函数在 上为增函数，则下列结论正确的是( )
A.在上为减函数 B.在 上为增函数
C.在上为增函数 D.在 上为减函数
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 对于A选项，若，则，在 上不是减函
数，故A错误；
对于B选项，若，则，在 上不是增函数，
故B错误；
对于C选项，若 ，则，在 上不是增函数，
故C错误；
对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的,，
设 ，必有，即，对于
，则有，则
在 上为减函数，故D正确.故选D.
9.已知函数,,,,则 ,
, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为,且 是增函数,因为
,所以,即 .故选D.
√
10.[2025·大同一模]已知实数 ，且满足不等式
，若 ，则下列关系式一
定成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数在 上单调递增，则由
，得，所以 .
由，得，构造函数 ，
因为，所以是上的减函数，又在 上为增函
数，所以在上单调递减，所以，即 .故选C.
√
11.（多选题）已知函数 ，则下列叙述正确的是
( )
A.当时，函数在区间 上单调递增
B.当时，函数在区间 上单调递减
C.若函数有最大值2，则
D.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是
√
√
√
[解析] 对于A，B，当时， ，因为
在上单调递增，在 上单调递减，所
以由复合函数的单调性可得，函数在 上单
调递减，故A错误，B正确.
对于C，显然当时， 没有最大值；当时，若
有最大值2，则函数
有最小值，所以 解得，故C正确.
对于D，若函数在 上
单调递增，则在上单调递减.当 时，显
然成立；当时，由二次函数的性质可得解得 ，
所以的取值范围为，故D正确.故选 .
12.对于函数定义域中任意的,,当 时，总有
, 成立，则满足条件的函数
的解析式可以是_________________________.
（答案不唯一）
[解析] 由当时，总有 成立，得函数
在上单调递增；由当 时，总有
成立，得函数在上是凸函数.故 的
解析式可以是 .
13.已知函数是定义在 上的单调函数，且
，则在 上的最大值为____．
10
[解析] 因为是定义在上的单调函数，所以存在唯一的 ，
使得，则，即 ，令
，则.因为函数 为增函数，且
，所以，则．易知 在
上单调递增，所以在上的最大值为 .
14.已知函数且, .
（1）求 的解析式;
解：因为所以
解得所以
（2）写出 的单调递增区间和单调递减区间.
解：由（1）知
画出函数 的图象,如图所示.
由图可知,函数 的单调递减区间是
,,单调递增区间是 .
15.已知是定义在上的函数,对任意的, ,满足
,,且当时, .
（1）求证:是 上的增函数;
证明:任取,令， ，则
,而 ,
,即,是 上的增函数.
（2）解不等式且 .
解：由题意,原不等式可转化为 ,
即 .
当时,,即,当 ，
时， ,
又, ,
,
,
,解得或 .
当时,可得或;当时,可得 或
.故当时,原不等式的解集为 ;当
时,原不等式的解集为 .
16.已知定义在上的函数满足：对任意的 ,
，，都有 ，
且.满足不等式的 的取值
范围是( )
A. B. C. D.
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 由 ，可得
，令
，可得 ，即对任
意的,，，都有 ，
所以函数在 上单调递减.
等价于
，即
，可得 ，
又，所以 ，
所以 等价于 ，因此可得
，解得,则 的取值范围是
.故选B.
17.（多选题）[2024· 重庆八中模拟] 已知函数 ,
，下列结论正确的是( )
A.
B.存在,使得
C.对任意，都有
D.对任意,都有
√
√
√
[解析] 对于A，因为 ，所以
，则.由 得
,则 ,所以
,即 ,所以A不正确.
对于B，令 ,因为函数
在上单调递减，, ，
所以存在,使得,当时，,当
时，,又,所以当时， ,即
,当时，,即 .因为 ,
即 ，所以 ,
,所以 ,当
时，，所以B正确.
对于C，当 时，
，即 ,所以
,由 得
,所以 ,所以当
时，,即,又 ，所
以对任意的，都有 ,所以C正确.
对于D，因为,所以 .因为
,所以 得
,即.当 时，
,满足；当 时，
结合上述分析可得,因为 ,所
以,易知 ，
，又,所以 ,结合③式得
,即 ,所以
，满足 ；
当时，,由 ,得
,即
，同理可得
,满足 .所以D正确.故
选 .
【知识聚焦】1.f(x1)
f(x2) 上升的 下降的 2.单调性 单调区间
3.f(x)≤M f(x0)=M f(x)≥M f(x0)=M 纵坐标 纵坐标
【对点演练】1.(2,3] [-3,2] 2.> 3.(-∞,2] 4.[3,+∞) 5. 6.(1)(-∞,-3] (2)-3
课堂考点探究
例1 当a>0时,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
变式题 BD 例2 (1)(-1,2),(5,+∞) (2)A 变式题 (1)C (2)(π,2π) (3)[0,2)
例3 (1)D (2)B 变式题 (1)D (2)[2,3] 例4 B 例5 (1)[-2,1] (2)D
【应用演练】
1.A 2.B 3.A 4.(-∞,0)
教师备用习题
例1 ABD 例2 A 例3 例4 A
基础热身
1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6. x x3(答案不唯一) 7.
综合提升
8.D 9.D 10.C 11.BCD 12. f(x)=lg x(答案不唯一) 13.
14. (1)f(x)= (2)单调递减区间是(-∞,0),[2,+∞),单调递增区间是[0,2)
15. (1)略 (2) ∪[a,+∞)
能力拓展
16.B 17.BCD
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