增分微课1 函数的值域与最值
例1 (1) (2)
[解析] (1)因为y=lox和y=在[1,2)上均单调递减,所以y=lox+在[1,2)上单调递减,所以lo2+(2)设t=x2-3x+5=+,∵0≤x≤2,∴当x=时,t取得最小值,当x=0时,t取得最大值5,即≤t≤5.∵函数y=lot为减函数,∴lo5≤f(x)≤lo,即函数f(x)的值域为.
变式题 (1) (2)4
[解析] (1)因为y=2x-5和y=log3在[2,10]上都单调递增,所以y=2x-5+log3在[2,10]上单调递增,当x=2时,ymin=2-3+log3=,当x=10时,ymax=25+log3=33,故所求函数的值域为.
(2)当x≤1时,f(x)=4ex-1在(-∞,1]上单调递增,此时f(x)max=f(1)=4;当x>1时,f(x)=-x+1在(1,+∞)上单调递减,此时f(x)例2 B [解析] 由题得F(x)=F(x)的图象如图所示,由图知F(x)在A处取得最大值,又xA=2-,所以yA=3+2(2-)=7-2,所以F(x)有最大值7-2,无最小值.故选B.
变式题 [解析] 由|x+1|≥|x-2|,得(x+1)2≥(x-2)2,所以x≥,所以f(x)=其图象如图所示.由图象易知,当x=时,函数有最小值,所以f(x)min=f==.
例3 [解析] 令=t(t≥0),则x=1-t2,所以y=-2t2+t+2=-2+(t≥0),由二次函数的性质知,当t==,即x=时,f(x)取得最大值.
变式题 (1)B (2)[4-,4+]
[解析] (1)y===+,令=t(t≥2),则y=t+,易知y=t+在[2,+∞)上单调递增,所以ymin=.故选B.
(2)由5-x2≥0,得|x|≤,令x=cos β,β∈[0,π],则y=cos β+4+sin β=sin+4.因为0≤β≤π,所以≤β+≤,则-≤sin≤1.当β=时,ymax=4+;当β=π时,ymin=4-,所以函数y=x+4+的值域为[4-,4+].
例4 ∪
[解析] f(x)====-·,其中y=-·的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故函数f(x)的值域为∪.
变式题 {y∈R|y≠3} [解析] y===3+,因为≠0,所以3+≠3,所以y=的值域为{y∈R|y≠3}.
例5 C [解析] 设y=,则yx2+(3y-8)x+4y-15=0,当y=0时,x=-;当y≠0时,视其为关于x的二次方程,由Δ=(3y-8)2-4y(4y-15)≥0,得综上, 函数f(x)的值域为.故选C.
变式题 C [解析] 方法一:由y=,得yx2+(y-1)x+y=0,当y=0时,得x=0,不符合题意;当y≠0时,由Δ=(y-1)2-4y2≥0,解得-1≤y≤,又x>0,所以y>0,所以00)的值域为.故选C.
方法二:y==,当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=1时等号成立,而x2+x+1>0恒成立,故0<≤,所以y=(x>0)的值域为.故选C.
例6 [,+∞) [解析] 原函数可变形为y=+,上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,当点P为线段AB与x轴的交点时,ymin=|AB|==,故所求函数的值域为[,+∞).
变式题 [解析] y=表示点(cos x,sin x)与点(2,-2)连线的斜率,∵(cos x,sin x)的轨迹为圆O:x2+y2=1,∴y=表示圆O:x2+y2=1上的点与点(2,-2)连线的斜率.由图可知,过点(2,-2)作圆O:x2+y2=1的切线,斜率必然存在,设过点(2,-2)的圆O:x2+y2=1的切线方程为y+2=k(x-2),即kx-y-2k-2=0,∴圆心(0,0)到切线的距离d==1,解得k=,则圆O:x2+y2=1上的点与点(2,-2)连线的斜率的取值范围为,即y=的值域为.
例7 cos 1+ [解析] 由f(x)=cos x+,x∈[0,1],可得f'(x)=-sin x+x,x∈[0,1],设h(x)=f'(x),则h'(x)=1-cos x,令h'(x)>0,得变式题 e [解析] 因为f(x)=ex-x+1,所以f'(x)=ex-1,当-1≤x<0时,f'(x)<0,当00,故函数f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,所以f(x)max=max{f(-1),f(1)}=max=e.增分微课1 函数的值域与最值
方法一 单调性法
例1 (1)函数y=lox+,x∈[1,2)的值域为 .
(2)函数f(x)=lo(x2-3x+5)(0≤x≤2)的值域为 .
变式题 (1)函数y=2x-5+log3(2≤x≤10)的值域为 .
(2)已知函数f(x)=则f(x)的最大值为 .
方法二 图象法
例2 已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,若F(x)=则F(x) ( )
A.有最大值3,最小值-1
B.有最大值7-2,无最小值
C.有最大值3,无最小值
D.无最大值,有最小值-1
变式题 对a,b∈R,记max{a,b}=函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是 .
方法三 换元法
例3 函数f(x)=2x+的最大值为 .
变式题 (1)函数y=的最小值为 ( )
A.2 B. C.1 D.不存在
(2)函数y=x+4+的值域为 .
方法四 分离常数法
例4 函数f(x)=的值域为 .
变式题 函数y=的值域为 .
方法五 判别式法
例5 函数f(x)=的值域为 ( )
A. B.
C. D.以上答案都不对
变式题 函数y=(x>0)的值域是 ( )
A.(0,+∞) B.
C. D.
方法六 几何法
例6 函数y=+的值域为 .
变式题 函数y=的值域为 .
方法七 导数法
例7 已知函数f(x)=cos x+,x∈[0,1],则f(x)的最小值为 .
变式题 函数f(x)=ex-x+1在区间[-1,1]上的最大值是 . 增分微练1 函数的增域与最值
1.B [解析] y=2x的值域为(0,+∞),故A错误;y==的定义域为[0,+∞),值域也是[0,+∞),故B正确;y=tan x的值域为(-∞,+∞),故C错误;y=cos x的值域为[-1,1],故D错误.故选B.
2.B [解析] 因为g(x)==2+,所以g(x)在上单调递增,所以g(x)min=g=2+=0.故选B.
3.B [解析] 当x∈[-1,0]时,函数y=x2单调递减,y∈[0,1];当x∈(0,1]时,函数y=单调递减,y≥1.综上所述,y≥0,所以f(x)的最小值为0,无最大值.故选B.
4.D [解析] 易知f(x)==2+,所以f(x)在区间[3,4]上单调递减,所以M=f(3)=2+=6,m=f(4)=2+=4,所以==.故选D.
5.D [解析] 令t=x2-2x,则y=,∵t=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴y=∈(0,2],∴函数y=的值域为(0,2].故选D.
6. [解析] y===+,令=t(t≥2),则y=t+,∵y=t+在[2,+∞)上单调递增,∴当t=2,即x=0时,ymin=.
7.3 [解析] ∵y=和y=-log2(x+2)在区间[-1,1]上都单调递减,∴f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上单调递减,∴函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
8.B [解析] 令f(x)=t,则t∈,函数F(x)化为y=t+.当t∈时,y=t+单调递减,当t∈[1,3]时,y=t+单调递增,又当t=时,y=,当t=1时,y=2,当t=3时,y=,所以函数F(x)的值域为.故选B.
9.D [解析] 由得x≥3,∴函数y=-的定义域为[3,+∞),y=-=在定义域[3,+∞)上单调递减,∴当x=3时函数取得最大值,且>,即->0,∴该函数的值域为(0,],故A错误;≤()2+()2=4,则+≤2,当且仅当=,即x=2时等号成立,故B错误;由x2-2x-3>0,得x>3或x<-1,∴y=lg(x2-2x-3)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),根据复合函数的单调性可知y=lg(x2-2x-3)的单调递增区间为(3,+∞),故C错误;y==-,可以理解为以原点O为圆心,半径为1的圆O上的动点P(cos x,sin x)与定点A(2,0)所构成直线PA的斜率,直线PA与圆O相切时,取到最值,易知,当直线PA的倾斜角为时,最大,最大为,∴函数y=的最小值为-,故D正确.故选D.
10.A [解析] 当x=0时,f(0)=a2,因为f(0)是f(x)的最小值,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以a≤0,且a2≤x++a在(0,+∞)上恒成立.又x+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,所以a2≤2+a,解得-1≤a≤2.综上,a的取值范围为[-1,0].故选A.
11.BC [解析] 对于A,f(x)===-1+,由于≠0,所以f(x)≠-1,|f(x)|∈[0,+∞),故f(x)=不是“有界函数”;对于B,令s=4-x2,s≥0,则y=,因为s=4-x2在x=0处取得最大值4,所以s∈[0,4],即y=∈[0,2],则|f(x)|≤2,故f(x)=是“有界函数”;对于C,令y=2x2-4x+3(y≠0),当x=-=1时,函数y=2x2-4x+3(y≠0)取得最小值2×12-4×1+3=1,即2x2-4x+3≥1,所以0<≤5,所以|f(x)|≤5,故函数f(x)=是“有界函数”;对于D,令t=,t≥0,则x=4-t2,即y=-t2+t+4,t≥0,当t=时,ymax=-++4=,无最小值,即f(x)≤,则|f(x)|∈[0,+∞),故f(x)=x+不是“有界函数”.故选BC.
12.[1,3+4] [解析] 由9-x2≥0,得-3≤x≤3.令x=3cos θ,θ∈[0,π],则y=3cos θ+4+3sin θ=3sin+4.因为0≤θ≤π,所以≤θ+≤,所以-≤sin≤1,所以1≤y≤3+4,所以函数y=x+4+的值域为[1,3+4].
13. [解析] ∵≤f(x)≤,∴≤≤.令t=,则f(x)=(1-t2),则y=(1-t2)+t,即y=-(t-1)2+1,∴当t=时,y取得最小值,当t=时,y取得最大值,∴g(x)的值域为.
14.3+2 [解析] 因为实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),所以a>0,b>0,且ab=a+2b.令u=a+b,则u>0,所以a=u-b,代入ab=a+2b,得(u-b)b=u-b+2b,所以关于b的一元二次方程b2-(u-1)b+u=0有正根,只需u-1>0且Δ=(u-1)2-4u≥0,可得u≥3+2,即a+b的最小值是3+2(此时Δ=0,解得a=2+,b=1+).
15.-2(答案不唯一) [解析] 函数f(x)=m+的定义域为[-2,+∞),显然f(x)在[-2,+∞)上单调递增,依题意,b>a≥-2,因此方程f(x)=x,即x--m=0在[-2,+∞)上有两个不等实根,令=t≥0,则方程t2-t-m-2=0有两个不等的非负实根t1,t2,则解得-(时间:45分钟)
1.下列函数中,值域为[0,+∞)的是 ( )
A.y=2x B.y=
C.y=tan x D.y=cos x
2.函数g(x)=在区间上的最小值是 ( )
A.-1 B.0
C.-2 D.
3.函数f(x)=的 ( )
A.最小值为0,最大值为1
B.最小值为0,无最大值
C.最小值为0,最大值为5
D.最小值为1,最大值为5
4.设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则= ( )
A. B.
C. D.
5.函数y=的值域为 ( )
A. B.
C. D.(0,2]
6.函数y=的最小值为 .
7.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 .
8.若函数f(x)的值域是,则函数F(x)=f(x)+的值域是 ( )
A. B.
C. D.
9.下列说法正确的是 ( )
A.y=-的值域为(-∞,]
B.y=+的最大值为2
C.y=lg(x2-2x-3)的单调递增区间为(1,+∞)
D.函数y=的最小值为-
10.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 ( )
A.[-1,0] B.[-1,2]
C.[-2,-1] D.[-2,0]
11.(多选题)已知定义域为A的函数f(x),若对任意x∈A,存在正数M,都有|f(x)|≤M成立,则称函数f(x)是定义域A上的“有界函数”.则下列函数为“有界函数”的是 ( )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=x+
12.函数y=x+4+的值域为 .
13.已知函数f(x)的值域为,则函数g(x)=f(x)+的值域为 .
14.已知实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则a+b的最小值是 .
15.[2024·山西阳泉模拟] 已知函数f(x)=m+.若存在实数a,b(a增分微课1 函数的值域与最值
方法一
方法二
方法三
方法四
方法五
方法六
方法七
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
方法一 单调性法
例1（1）函数， 的值域为________.
[解析] 因为和在 上均单调递减，所以
在上单调递减，所以 ，
即，所以函数，的值域为 .
（2）函数 的值域为
_ _____________.
[解析] 设，， 当
时，取得最小值，当时，取得最大值5，即 函
数为减函数，，即函数 的值域
为 .
变式题（1）函数 的值域为
________.
[解析] 因为和在 上都单调递增，所以
在上单调递增,当 时，
，当 时，
，故所求函数的值域为 .
（2）已知函数则 的最大值为___.
4
[解析] 当时，在 上单调递增，此时
；当时，在 上单调
递减，此时.综上可知， 的最大值为4.
方法二 图象法
例2 已知， ，若
则 ( )
A.有最大值3，最小值 B.有最大值 ，无最小值
C.有最大值3，无最小值 D.无最大值，有最小值
√
[解析] 由题得
的图象如图所示，由图知在处取得最大值，
又 ，所以，
所以有最大值 ，无最小值.故选B.
变式题 对，，记， 函数
， 的最小值是_ _.
[解析] 由 ，得
，所以 ，所以
其图象如图所示.由
图象易知，当 时，函数有最小值，所以
.
方法三 换元法
例3 函数 的最大值为_ __.
[解析] 令，则 ，所以
，由二次函数的性质知，
当，即时，取得最大值 .
变式题（1）函数 的最小值为( )
A.2 B. C.1 D.不存在
[解析] ，令
，则，易知在 上单调递
增，所以 .故选B.
√
（2）函数 的值域为_________________.
[解析] 由,得，令, ，则
.因为 ，
所以，则.当 时,
；当 时, ，所以函数
的值域为 .
方法四 分离常数法
例4 函数 的值域为__________________.
[解析] ，其中
的值域为，故函数 的值域为
.
变式题 函数 的值域为_____________.
[解析] ，因为 ，所以
，所以的值域为 .
方法五 判别式法
例5 函数 的值域为( )
A. B.
C. D.以上答案都不对
√
[解析] 设，则，当
时，；当时，视其为关于 的二次方程，由
，得 综上，函数
的值域为 .故选C.
变式题 函数 的值域是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由，得，当
时，得，不符合题意；当时，由 ，
解得，又，所以，所以 .综上，
的值域为 .故选C.
方法二：,当时, ,当且仅
当时等号成立,而恒成立,故 ,所以
的值域为 .故选C.
方法六 几何法
例6 函数 的值域为___________.
[解析] 原函数可变形为
，上式可看成轴
上的点到两定点 , 的距离之和，当点为线
段与 轴的交点时， ，
故所求函数的值域为 .
变式题 函数 的值域为_ _____________.
[解析] 表示点与点
连线的斜率，的轨迹为圆
， 表示圆上的
点与点 连线的斜率.由图可知，过点
作圆的切线，斜率必然存在，
设过点
的圆的切线方程为 ，即
， 圆心到切线的距离 ，解
得，则圆上的点与点 连线的斜率的
取值范围为，即的值域为 .
方法七 导数法
例7 已知函数，，则 的最小值为
____________.
[解析] 由,，可得 ,
，设，则，令 ，
得，令，得，所以在 上单调
递减，在上单调递增，又因为 ，
，所以，所以 在
上单调递减，则 .
变式题 函数在区间 上的最大值是__.
[解析] 因为，所以，当
时，，当时，，故函数在 上
单调递减，在上单调递增，所以 ,
.
作业手册
1.下列函数中，值域为 的是( )
A. B. C. D.
[解析] 的值域为，故A错误； 的定义域为
，值域也是，故B正确； 的值域为
，故C错误；的值域为 ，故D错误.故选B.
√
◆ 基础热身 ◆
2.函数在区间 上的最小值是( )
A. B.0 C. D.
[解析] 因为，所以在 上单调递增，所
以 .故选B.
√
3.函数 的( )
A.最小值为0，最大值为1 B.最小值为0，无最大值
C.最小值为0，最大值为5 D.最小值为1，最大值为5
[解析] 当时，函数单调递减， ；当
时，函数单调递减，.综上所述， ，所以
的最小值为0，无最大值.故选B.
√
4.设函数在区间上的最大值和最小值分别为， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 易知，所以在区间 上单调递减，
所以， ，所以
.故选D.
√
5.函数 的值域为( )
A. B. C. D.
[解析] 令,则 ,
,, 函数
的值域为 .故选D.
√
6.函数 的最小值为__.
[解析] ,令 ，
则，在上单调递增， 当，即
时， .
7.函数在区间 上的最大值为___.
3
[解析] 和在区间 上都单调递减，
在区间上单调递减， 函数
在区间上的最大值为 .
8.若函数的值域是，则函数 的值域是
( )
A. B. C. D.
[解析] 令，则，函数化为 .当
时，单调递减，当时， 单调递增，
又当时，，当时，，当时， ，所以
函数的值域为 .故选B.
√
◆ 综合提升 ◆
9.下列说法正确的是( )
A.的值域为
B. 的最大值为2
C.的单调递增区间为
D.函数的最小值为
√
[解析] 由得， 函数 的定义域
为，在定义域 上单
调递减， 当时函数取得最大值，且 ，即
， 该函数的值域为 ，故A错误；
，则 ，当且
仅当，即 时等号成立，故B错误；
由，得或， 的定义
域为 ，根据复合函数的单调性可知
的单调递增区间为 ，故C错误；
，可以理解为以原点 为圆心，半径为1
的圆上的动点与定点所构成直线 的斜率，
直线与圆相切时，取到最值，易知，当直线 的倾斜角
为时，最大，最大为， 函数的最小值为 ，
故D正确.故选D.
10.设若是的最小值，则 的取值范
围为( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，，因为是 的最小值，所以
在上单调递减，所以，且在
上恒成立.又，当且仅当 时取等号，所以
，解得.综上，的取值范围为 .故选A.
√
11.（多选题）已知定义域为的函数，若对任意 ，存在正
数，都有成立，则称函数是定义域 上的“有界函
数”.则下列函数为“有界函数”的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，，由于 ，
所以，，故 不是“有界函数”；
对于B，令，，则，因为在 处
取得最大值4，所以，即，则 ，故
是“有界函数”；
对于C，令 ，当时，
函数 取得最小值，
即，所以 ，所以，
故函数 是“有界函数”；
对于D，令，，则，即，
，当时，，无最小值，即
，则，故不是“有界函数”.故选 .
12.函数 的值域为___________.
[解析] 由，得.令 ， ，则
.因为 ，所
以，所以 ，所以
，所以函数 的值域为
.
13.已知函数的值域为，则函数
的值域为_ _____.
[解析] ，.令 ，则
，则 ，即
, 当时，取得最小值 ，当
时，取得最大值，的值域为 .
14.已知实数,满足，则 的最小值是
_________.
[解析] 因为实数，满足，所以, ，
且.令，则，所以 ，代入
，得，所以关于 的一元二次方程
有正根，只需 且
，可得，即 的最小值是
此时，解得, .
15.[2024·山西阳泉模拟] 已知函数 .若存在实数
，，使在上的取值范围为，则符合条件的
的一个值为__________________.
（答案不唯一）
[解析] 函数的定义域为，显然 在
上单调递增，依题意，， 因此方程
，即在 上有两个不等实根，令
，则方程 有两个不等的非负实根
,，则解得 ，所以符合条件
的的值可以为 .
方法一
例1 (1) (2) 变式题 (1) (2)4
方法二
例2 B 变式题
方法三
例3 变式题(1)B (2)[4-,4+]
方法四
例4 ∪ 变式题 {y∈R|y≠3}
方法五
例5 C 变式题 C
方法六
例6 [,+∞) 变式题
方法七
例7 cos 1+ 变式题 e
基础热身
1.B 2.B 3.B 4.D 5.D 6. 7.3
综合提升
8.B 9.D 10.A 11.BC 12.[1,3+4] 13.
14.3+2 15.-2(答案不唯一)
