第8讲 函数的奇偶性、对称性
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
原点 y轴 原点
【对点演练】
1.①③ [解析] 根据偶函数的定义,可知①③是偶函数.
2.(0,1) [解析] f(x)==1+,函数y=的图象向上平移一个单位长度得到y=1+的图象,又y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称.
3.(-2,0)∪(2,5] [解析] 由图象知,当0
0,当20.综上,f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,5].
4.非奇非偶 [解析] 由得即x=1,故函数f(x)的定义域为{1},因为函数f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数.
5.x=a (b,0) [解析] 因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,将y=f(x+a)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则y=f(x+a)图象的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.同理,函数y=g(x)的图象关于点(b,0)对称.
6. [解析] 当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)[(-x)+1]=-x2+x.由奇函数的定义可知f(0)=0,所以f(x)=
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] 首先确定各函数的定义域,判断定义域是否关于原点对称,若对称,再根据奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性;若不对称,则函数为非奇非偶函数.
B [解析] 对于A,由x+1≠0,得x≠-1,则f(x)的定义域为{x|x≠-1},定义域不关于原点对称,故f(x)=为非奇非偶函数,A不符合题意;对于B,f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),故f(x)为偶函数,B符合题意;对于C,因为-x>0在R上恒成立,所以f(x)的定义域为R,且f(-x)=log2(+x)=log2=-log2(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,C不符合题意;对于D, f(x)的定义域为R,且f(-x)=2-x-=-2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,D不符合题意.故选B.
变式题 (1)ABC (2)BC [解析] (1)对于A,f(x)=ex-e-x的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数,故A正确;对于B,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x2-x,则f(-x)=-f(x),同理当x>0时,f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,故B正确;对于C,f(x)=tan x为奇函数,故C正确;对于D,f(x)=x-cos x的定义域为R,f(-x)=-x-cos x,f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x),所以函数f(x)=x-cos x既不是偶函数也不是奇函数,故D错误.故选ABC.
(2)对于A,设F(x)=f(x)g(x),则F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),故F(x)为奇函数,故A错误;对于B,设m(x)=|f(x)|+g(x),则m(-x)=|f(-x)|+g(-x)=|f(x)|+g(x)=m(x),故m(x)为偶函数,故B正确;对于C,设n(x)=f(x)|g(x)|,则n(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-n(x),故n(x)为奇函数,故C正确;对于D,设φ(x)=f(x)-g(x),则φ(-x)=f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)≠±φ(x),故φ(x)为非奇非偶函数,故D错误.故选BC.
例2 [思路点拨] (1)思路一:由奇函数的定义得h(x)=ln为奇函数,结合f(x)为偶函数,得g(x)=x+a为奇函数,进而得a的值;思路二:用特值法求解.(2)根据f(0)=0求得m=-1,再结合奇函数的定义求当x<0时f(x)的解析式.
(1)B (2)-2-x-2x+1
[解析] (1)方法一:由题可知函数f(x)的定义域为∪.令h(x)=ln,则h(-x)=ln=ln=-h(x),所以h(x)为奇函数.令g(x)=x+a,由f(x)为偶函数,h(x)为奇函数,可得g(x)为奇函数,所以a=0,故选B.
方法二:由题知函数f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),故(1+a)ln=(-1+a)ln 3,解得a=0,故选B.
(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=1+m=0,解得m=-1,故当x≥0时,f(x)=2x-2x-1,当x<0时,-x>0,故f(x)=-f(-x)=-[2-x-2(-x)-1]=-2-x-2x+1.
变式题 (1)C (2)
[解析] (1)当x>0时,-x<0,则f(-x)==2x,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2x,x>0,即g(x)=-2x.故选C.
(2)因为f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以
即解得g(x)=.
例3 [思路点拨] (1)利用偶函数性质以及函数在[0,+∞)上单调递增即可判断得出结论.(2)思路一:根据平移结合图象得到结果;思路二:利用奇函数与单调性的综合性质求得结果.
(1)B (2)[-1,0]∪[1,3]
[解析] (1)易知f=f=f,显然>>,因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f>f>f,又f(x)是偶函数,所以f=f,f=f,所以f>f>f.故选B.
(2)方法一:由题意可得y=f(x)的图象可如图①所示,∵y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移一个单位得到(如图②),∴满足xf(x-1)≥0即满足f(x-1)与x同号或二者至少有一个为零,由图可得不等式xf(x-1)≥0的解集为[-1,0]∪[1,3].
方法二:由于f(x)在R上为奇函数,所以f(0)=0,由f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0可得f(-2)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.则对于函数f(x-1)而言,当x∈(-∞,-1)∪(1,3)时,f(x-1)>0;当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f(x-1)<0.又f(-1-1)=f(3-1)=f(1-1)=0,所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围为[-1,0]∪[1,3].
变式题 (1)D (2)x>1或x<-4
[解析] (1)由f[f(-x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)],且定义域关于原点对称,得f[f(x)]是奇函数,由f[g(-x)]=f[g(x)],且定义域关于原点对称,得f[g(x)]为偶函数,故A,B选项均错误.由题易知函数f(x)在R上单调递减,由-1>-2,得f(-1)f[f(-2)],故C选项错误.由题易知函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,在[0,+∞)上单调递减,由0=f(0)g[f(-2)],故D选项正确.故选D.
(2)函数f(x)的定义域为R,f(-x)=-2sin x-e-x+ex=-f(x),∴f(x)为奇函数.f'(x)=2cos x-(ex+e-x),∵2cos x≤2,ex+e-x≥2,∴f'(x)≤0,∴f(x)为减函数,又f(x2-4)+f(3x)<0,∴f(x2-4)<-f(3x)=f(-3x),∴x2-4>-3x,解得x>1或x<-4.
例4 [思路点拨] 构造函数g(x)=f(x)-7,由奇函数的定义得g(x)为奇函数,利用奇函数图象的对称性得g(x)max+g(x)min=0,即可求解.
14 [解析] 令g(x)=f(x)-7=ax3+3sin x,且x∈[-2024,2024],则g(-x)=a(-x)3+3sin(-x)=-ax3-3sin x =-g(x),所以g(x)为奇函数且其图象在[-2024,2024]上连续,根据奇函数图象的对称性得g(x)在[-2024,2024]上的最大值、最小值关于原点对称,则g(x)max+g(x)min=M-7+m-7=0,故M+m=14.
变式题 (1)C (2) [解析] (1)因为f(x)是奇函数,所以f(x)在区间[-7,-3]上的单调性与f(x)在[3,7]上的单调性相同,也单调递增,f(x)在[3,7]上的最小值为5,即f(3)=5,所以f(x)在区间[-7,-3]上的最大值为f(-3)=-f(3)=-5.故选C.
(2)设g(x)=cos x·ln(x+),则g(-x)=cos x·ln(-x+),g(x)+g(-x)=cos x·ln 1=0,则g(x)是奇函数,∴g(x)的最大值和最小值互为相反数,且f(x)的最大值为M,最小值为m,∴M+m=,则f(M+m)=.
例5 [思路点拨] 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,可证P(m,n)关于(1,a)的对称点Q(2-m,2a-n)也在函数y=f(x)的图象上,从而可证对称性.
证明:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2),设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n),因为P(m,n)在y=f(x)的图象上,所以n=ln+am+b(m-1)3,
而f(2-m)=ln+a(2-m)+b(2-m-1)3=-+2a=-n+2a,所以Q(2-m,2a-n)也在y=f(x)的图象上,所以y=f(x)的图象关于点(1,a)中心对称.
变式题 (1)D (2)AC [解析] (1)对于A,y=x3为奇函数,故y=x3+1的图象有对称中心(0,1);对于B,y=x+为奇函数,将其图象向右平移一个单位后得到y=x-1+=的图象,故有对称中心(1,0);对于C,y=为奇函数,其图象有对称中心(0,0);对于D,y=的图象不存在对称中心,故选D.
(2)对于A,∵f(x)是奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称,而f(x-1)的图象是将f(x)的图象向右平移1个单位得到的,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故A正确.对于B,由f(x+1)=f(x-1),得f(x)=f(x+2),其图象不一定关于直线x=1对称,若f(x)的图象如图所示,该函数满足f(x)=f(x+2),但函数图象不关于直线x=1对称,故B不正确.对于C,g(x)=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则有g(x+1)=g(-x+1),即f(x)=f(-x),即f(x)为偶函数,故C正确.对于D,函数y=f(x+1)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于y轴对称,故D不正确.故选AC.第8讲 函数的奇偶性、对称性
1.A [解析] 对于A选项,y=3x为奇函数,且在R上单调递增,故A正确;对于B选项,y=是奇函数,在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C选项,y=2x2是偶函数,故C错误;对于D选项,y=-x是奇函数,且在R上单调递减,故D错误.故选A.
2.B [解析] 因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以f(-x)=f(x),且 a-1=-2a,所以a=,b=0,所以a+b=.故选B.
3.B [解析] 取f(x)=x(x-1),x∈R,则f(0)=0,但f(1)=0,f(-1)=2,即f(-1)≠-f(1),所以函数f(x)不是奇函数,故充分性不成立;若函数f(x)为奇函数,则f(0)=-f(-0),即f(0)=0,故必要性成立.所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B.
4.A [解析] 因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),当x<0时,-x>0,故f(x)=f(-x)=3-x-x+1=-x+1.故选A.
5.B [解析] 因为f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,所以f(ax-1)=f[a(4-x)-1],又f(1)=f(5),所以或
解得a=2.故选B.
6.D [解析] 方法一:因为f(x)=是偶函数,所以f(x)-f(-x)=-==0,又因为x不恒为0,所以ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D.
方法二:因为f(x)=是偶函数,所以f(1)=f(-1),即=-,解得a=2,经检验符合题意.故选D.
方法三:由题设,可知f(x)=x·,且y=x为奇函数,则g(x)=为奇函数,由g(x)+g(-x)=0,解得a=2.故选D.
7.(1,1) [解析] 因为函数f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)的图象关于点(0,0)对称,函数y=f(x+1)的图象向右平移一个单位得到函数y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)的图象向上平移一个单位得到函数y=f(x)+1的图象,所以函数y=f(x)+1的图象关于点(1,1)对称.
8.B [解析] f(x)==+=1+,令g(x)=,则其定义域为R,又g(-x)==-=-g(x),所以g(x)=为奇函数,则g(x)max+g(x)min=0,所以f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2,则M+N=2.故选B.
9.D [解析] 当λ=1时,f(x)=ax+a-x,当a>1或01时,f(x)在R上为增函数,故B不正确;当λ=1时,f(x)=ax+a-x,f(-x)=ax+a-x=f(x),f(x)为偶函数,故C不正确;当λ=1时,f(x)=ax+a-x,f(-x)=ax+a-x=f(x),f(x)为偶函数,故D正确.故选D.
10.B [解析] 由题意知,g(x)的定义域为R,关于原点对称,当x>0时,-x<0,g(x)=f(x),则g(-x)=f[-(-x)]=f(x)=g(x),当x=0时,g(0)=f(0)=g(-0),当x<0时,-x>0,g(x)=f(-x),则g(-x)=f(-x)=g(x),故g(x)为偶函数,又f(x)为R上的减函数,∴g(x)在[0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,∵g(4-m)>g(m),∴g(|4-m|)>g(|m|),即|4-m|<|m|,解得m>2.故选B.
11.C [解析] 令g(x)=log2(2x+2-x),其定义域为R,因为g(-x)=log2(2-x+2x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由题易知f(x)也为偶函数.因为两个函数图象的交点个数为奇数,所以f(0)=g(0)=log2(20+2-0)=1.故选C.
12.ACD [解析] 对于A,由题得2f(-x)+f(x2-1)=1,所以f(-x)=f(x)=,故A正确;对于B,令x=1,则2f(1)+f(0)=1,令x=0,则2f(0)+f(1)=1,解得f(0)=f(1)=,令x=,则2f()+f(1)=1,则f()=,故B错误;对于C,由A知,f(-x)=f(x),所以f(-1)=f(1)=,故C正确;对于D,令x=x2-1,则x2-x-1=0,解得x=,令x=,则2f+f=1,所以f=,因为∈(,),f=f()=,所以函数f(x)在区间(,)上不单调,故D正确.故选ACD.
13.AD [解析] 因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)=-f(-x+2),所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故B错误,D正确.因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确,C错误.故选AD.
14.- [解析] 设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点为Q(x',y'),则则则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-.
15.(-2,0)∪(0,2)
[解析] 因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),则=
<0,即x和f(x)异号,故或由f(-2)=0,可得f(2)=0,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上也单调递增,画出函数f(x)的大致图象如图.由图可得原不等式的解集为(-2,0)∪(0,2).
16.B [解析] 因为函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(x)的图象关于点(0,0)对称,即f(x)为奇函数.令g(x)=xf(x),因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有>0(x1≠x2),所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.因为f(1)=4,所以g(1)=4,当x>0时,f(x)>化为xf(x)>4,即g(x)>g(1),所以x>1;当x<0时,f(x)>化为xf(x)<4,因为g(x)=xf(x)为偶函数,g(-1)=g(1)=4,所以xf(x)<4化为g(x)的解集为(-1,0)∪(1,+∞).故选B.
17.AD [解析] 对于A,当n=1时,f1(x)=,所以f1(a)+f1(b)=+==0,所以ab=1且a≠1,b≠1,故A正确;对于B,当n=2时,f2(x)=,所以f2(a)+f2(b)=+==0,解得ab=±1且a≠±1,b≠±1,故B错误;对于C,当n=2k-1(k∈N*)时,fn(-x)==≠fn(x),故C错误;对于D,f'n(x)=,当x∈(1,+∞)时,f'n(x)=>0,所以fn(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故D正确.故选AD.第8讲 函数的奇偶性、对称性
【课标要求】 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.能通过平移,了解奇偶性是特殊的对称性,分析得出一般的轴对称和中心对称公式.
函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫作偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且 ,那么函数f(x)就叫作奇函数
定义域 关于 对称
图象 特征 关于 对称 关于 对称
常用结论
1.奇(偶)函数定义的等价形式:
(1)f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 f(x)为偶函数;
(2)f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 f(x)为奇函数.
2.若奇函数f(x)在0处有定义,则f(0)=0.
3.f(x)为偶函数 f(x)=f(|x|).
4.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论:
(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称;
(3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称;
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点对称.
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数①f(x)=x2-1,②f(x)=x3,③f(x)=x2+cos x,④f(x)=+|x|中是偶函数的是 .(填序号)
2.[教材改编] 函数f(x)=的图象的对称中心为 .
3.[教材改编] 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是 .
题组二 常错题
◆索引:判断函数的奇偶性时,忽略函数的定义域导致出错;对函数图象对称性的理解不透彻导致出错;利用函数的奇偶性求函数的解析式时忽略定义域导致出错.
4.函数 f(x)=+ 是 函数.(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)
5.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线 对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图象关于点 对称.
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(x+1),则函数f(x)的解析式为f(x)= .
函数奇偶性的判断
例1 下列函数在定义域上是偶函数的为 ( )
A.f(x)=
B.f(x)=xsin x
C.f(x)=log2(-x)
D.f(x)=2x-
总结反思
函数具有奇偶性包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域.
(2)判断f(x)与f(-x)的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
常见特殊结构的奇、偶函数:f(x)=loga(-x)(a>0且a≠1)为奇函数,f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)为偶函数.
变式题 (1)(多选题)下列函数为奇函数的是 ( )
A.f(x)=ex-e-x
B.f(x)=
C.f(x)=tan x
D.f(x)=x-cos x
(2)(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|+g(x)是偶函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.f(x)-g(x)是奇函数
函数奇偶性的应用
角度1 求解析式(参数或值)
例2 (1)[2023·新课标Ⅱ卷] 若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= ( )
A.-1 B.0
C. D.1
(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m,则当x<0时,f(x)= .
总结反思
利用函数的奇偶性可以解决以下问题:
(1)求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求已知函数在已知区间上的函数值.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.
变式题 (1)[2024·江西景德镇三模] 已知函数f(x)=是奇函数,则当x>0时,g(x)的解析式为 ( )
A.g(x)=- B.g(x)=
C.g(x)=-2x D.g(x)=2x
(2)[2024·哈尔滨期末] 已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且满足f(x)+g(x)=ex+x,则g(x)= .
角度2 奇偶性与单调性
例3 (1)若定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f,f,f的大小关系为 ( )
A.f>f>f
B.f>f>f
C.f>f>f
D.f>f>f
(2)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 .
总结反思
解决函数的奇偶性和单调性结合的问题要注意以下几点:
(1)先判断函数的奇偶性、单调性;
(2)注意函数定义域对变量取值范围的限定;
(3)根据函数的单调性及定义域列出不等式组,解不等式组.
变式题 (1)[2024·陕西榆林模拟] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x),g(x)在[0,+∞)上单调递减,则 ( )
A.f[f(x)]是偶函数
B.f[g(x)]是奇函数
C.f[f(-1)]D.g[-f(-1)]>g[f(-2)]
(2)已知函数f(x)=2sin x-ex+e-x,则关于x的不等式f(x2-4)+f(3x)<0的解集为 .
角度3 函数的奇偶性与最值
例4 已知函数f(x)=ax3+3sin x+7,x∈[-2024,2024]的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
总结反思
如果奇函数的最大值为M,根据其图象关于原点对称,可得它的最小值为-M.若函数图象关于点成中心对称,则函数图象上的最大值点与最小值点也成中心对称.
变式题 (1)如果奇函数f(x)在[3,7]上单调递增且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上 ( )
A.单调递增且最小值为-5
B.单调递减且最小值为-5
C.单调递增且最大值为-5
D.单调递减且最大值为-5
(2)已知函数f(x)=+cos x·ln(x+)在区间[-5,5]上的最大值是M,最小值是m,则f(M+m)的值为 .
函数图象的对称性
例5 已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3,证明:y=f(x)的图象关于点(1,a)中心对称.
总结反思
1.函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称 f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x).
2.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称 f(2a-x)+f(x)=2b或f(a-x)+f(a+x)=2b.
3.函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称.
由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论:
(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x+a)的图象关于点(-a,0)对称(或关于直线x=-a对称);
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线x=a对称).
变式题 (1)[2025·重庆八中月考] 下列函数的图象不存在对称中心的是 ( )
A.y=x3+1 B.y=
C.y= D.y=
(2)(多选题)[2024·沈阳东北育才学校一模] 对于定义在R上的函数f(x),下述结论正确的是 ( )
A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称
B.若f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称
C.若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)为偶函数
D.函数y=f(1+x)的图象与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称第8讲 函数的奇偶性、对称性
(时间:45分钟)
1.[2024·山东潍坊、日照联考] 下列函数中既是奇函数又是增函数的是 ( )
A.y=3x B.y=
C.y=2x2 D.y=-x
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 ( )
A.- B.
C.- D.
3.[2025·大庆一模] 已知函数f(x)的定义域为R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=3x+x+1,那么当x<0时,f(x)的解析式是 ( )
A.f(x)=-x+1
B.f(x)=-+x-1
C.f(x)=+x-1
D.f(x)=--x+1
5.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.[2023·全国乙卷] 已知f(x)=是偶函数,则a= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
7.若函数f(x+1)是奇函数,则函数y=f(x)+1的图象的对称中心是 .
8.[2025·湖南长郡中学月考] 若函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.[2024·杭州二模] 设集合M={-1,1},N={x|x>0且x≠1},函数f(x)=ax+λa-x(a>0且a≠1),则下列命题为真命题的是 ( )
A. λ∈M, a∈N,f(x)为增函数
B. λ∈M, a∈N,f(x)为减函数
C. λ∈M, a∈N,f(x)为奇函数
D. λ∈M, a∈N,f(x)为偶函数
10.[2024·河北秦皇岛模拟] 已知f(x)为R上的减函数,设函数g(x)=则满足不等式g(4-m)>g(m)的m的取值范围是 ( )
A.(1,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(1,+∞)
D.(-∞,2)∪(2,+∞)
11.[2024·广东佛山模拟] 已知函数y=f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),若函数y=f(x)的图象与函数y=log2(2x+2-x)的图象有交点,且交点个数为奇数,则f(0)= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
12.(多选题)已知函数f(x)对任意实数x均满足2f(x)+f(x2-1)=1,则 ( )
A.f(-x)=f(x)
B.f()=1
C.f(-1)=
D.函数f(x)在区间(,)上不单调
13.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)的图象关于点(1,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=2对称
D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
14.若函数y=f(1-x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m= .
15.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-2)=0,则不等式<0的解集为 .
16.已知函数y=f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有>0,若函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)中心对称,且f(1)=4,则不等式f(x)>的解集为 ( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
17.(多选题)已知函数fn(x)=(n∈N*),则下列判断正确的是 ( )
A.若n=1,且f1(a)+f1(b)=0,则ab=1
B.若n=2,且f2(a)+f2(b)=0,则ab=1
C.fn(x)是偶函数
D.fn(x)在区间(1,+∞)上单调递增(共95张PPT)
第8讲 函数的奇偶性、对称性
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.能通过平移，了解奇偶性是特殊的对称性，分析得出一般的轴对称
和中心对称公式.
知识聚焦
函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数 的定义域 为，如果 ，都有 ，且_____________， 那么函数 就叫作偶函数 一般地，设函数 的定义域
为，如果 ，都有
，且
_______________，那么函数
就叫作奇函数
定义 域 关于______对称
原点
偶函数 奇函数
图象 特征 关于_____对称 ______________________________________ 关于______对称
___________________________________
续表
轴
原点
常用结论
1.奇（偶）函数定义的等价形式：
（1）为偶函数；
（2）为奇函数.
2.若奇函数在0处有定义，则.
3.为偶函数 .
4.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论：
（1）若函数满足关系，则函数 的图象
关于直线 对称；
（2）若函数满足关系，则函数 的图象
关于直线 对称；
（3）若函数满足关系，则函数 的图
象关于点 对称；
（4）若函数满足关系，则函数 的
图象关于点 对称.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数, ,
, 中是偶函数的是______.
（填序号）
[解析] 根据偶函数的定义，可知①③是偶函数.
◆ 知识聚焦 ◆
2.［教材改编］ 函数 的图象的对称中心为______.
[解析] ，函数 的图象向上平移一个单位长度
得到的图象，又的图象关于点 对称，所以
的图象关于点 对称.
3.［教材改编］ 设奇函数的定义域为，若当 时，
的图象如图所示，则不等式 的解集是______________.
[解析] 由图象知，当时，，当 时，
.因为是奇函数，所以当时， ，当
时，.综上，的解集是 .
题组二 常错题
◆ 索引：判断函数的奇偶性时,忽略函数的定义域导致出错;对函数
图象对称性的理解不透彻导致出错;利用函数的奇偶性求函数的解析
式时忽略定义域导致出错.
4.函数 是__________函数.（填“奇”“偶”或
“非奇非偶”）
非奇非偶
[解析] 由得即，故函数的定义域为 ，
因为函数的定义域不关于原点对称，所以 是非奇非偶函数.
5.若函数是偶函数,则函数 的图象关于直线____
___对称;若函数是奇函数,则函数 的图象关于点
______对称.
[解析] 因为是偶函数,所以其图象关于 轴对称,将
的图象向左或向右平移 个单位长度,得
到函数的图象,则 图象的对称轴平移至直线
处,即函数的图象关于直线 对称.同理,函数
的图象关于点 对称.
6.已知函数是定义在上的奇函数,且当时, ,
则函数的解析式为 _ ______________.
[解析] 当时, ,所以
.由奇函数的定义可知
,所以
探究点一 函数奇偶性的判断
例1 下列函数在定义域上是偶函数的为( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］ 首先确定各函数的定义域,判断定义域是否关于原点对
称,若对称,再根据奇、偶函数的定义判断函数的奇偶性；若不对称,则
函数为非奇非偶函数.
√
[解析] 对于A，由，得，则 的定义域为
，定义域不关于原点对称，故 为非奇非偶函
数，A不符合题意；
对于B，的定义域为 ，且，故 为偶函数，B符合题意；
对于C，因为在上恒成立,所以 的定义域为
，且 ,所以为奇函数，C不符合题意；
对于D，的定义域为 ，且，所以 为奇函数，D不符合题意.故选B.
[总结反思]
函数具有奇偶性包括两个必备条件:
（1）定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,
所以首先考虑定义域.
（2）判断与的关系.在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶
性的等价关系式（奇函数）或
（偶函数）是否成立.
常见特殊结构的奇、偶函数:且
为奇函数,且为偶函数.
变式题（1）（多选题）下列函数为奇函数的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，的定义域为 ，且
，所以 是奇函数，故A正确；
对于B，的定义域为，设，则 ，
所以，则，同理当 时，
，所以函数 是奇函数，故B正确；
对于C，为奇函数，故C正确；
对于D， 的定义域为，，
， ，所以函数 既不是
偶函数也不是奇函数，故D错误.故选 .
（2）（多选题）设函数，的定义域都为，且 是奇函
数， 是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.是偶函数 B. 是偶函数
C.是奇函数 D. 是奇函数
√
√
[解析] 对于A，设 ，则
，故 为奇函数，故A错误；
对于B，设 ，则
，故 为偶函数，故B正确；
对于C，设 ，则
，故 为奇函数，故C正确；
对于D，设 ，则
，故 为非奇非偶函数，故D错误.故选 .
探究点二 函数奇偶性的应用
角度1 求解析式（参数或值）
例2（1）[2023· 新课标Ⅱ卷]若 为偶函数，则
( )
A. B.0 C. D.1
√
[解析] 方法一： 由题可知函数的定义域为 .
令，则，所以
为奇函数.令，由为偶函数， 为奇函数，可得
为奇函数，所以 ，故选B.
［思路点拨］思路一：由奇函数的定义得 为奇函数，
结合为偶函数，得为奇函数，进而得 的值；
[解析] 方法二：由题知函数为偶函数，则 ，故
，解得 ，故选B.
［思路点拨］思路二： 用特值法求解.
（2）若是定义在上的奇函数，当 时，
，则当时， ______________.
［思路点拨］根据求得 ，再结合奇函数的定义求当
时 的解析式.
[解析] 是定义在上的奇函数， ，解得
，故当时，，当时， ，
故 .
[总结反思]
利用函数的奇偶性可以解决以下问题:
（1）求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求已知函数在已知
区间上的函数值.
（2）求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇
偶性的定义求出.
（3）求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据
得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程
（组）,进而得出参数的值.
（4）求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特
殊结构的函数值.
变式题（1）[2024·江西景德镇三模]已知函数 是
奇函数，则当时， 的解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时，，则，因为函数
是奇函数，所以，所以， ，即
.故选C.
√
（2）[2024·哈尔滨期末] 已知为奇函数， 为偶函数，且满
足，则 _ ______.
[解析] 因为为奇函数，为偶函数，所以 ,
，所以
即解得 .
角度2 奇偶性与单调性
例3（1）若定义在上的偶函数在 上单调递增，则
,, 的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
√
［思路点拨］利用偶函数性质以及函数在 上单调递增即可判
断得出结论.
[解析] 易知，显然，因为 在
上单调递增，所以，又 是偶函数，
所以， ，所以
.故选B.
（2）若定义在的奇函数在单调递减，且 ，则
满足的 的取值范围是_____________.
［思路点拨］ 思路一：根据平移结合图象得到结果；
[解析] 方法一：由题意可得 的图象可如图①所示，
的图象可由 的图象向右平移一个单位得
到（如图②）， 满足即满足与 同号或
二者至少有一个为零，由图可得不等式 的解集
为 .
[解析] 方法二：由于在上为奇函数，所以，由 在
单调递减，且可得 ，所以当
时，；当 时，
.则对于函数而言，当 时，
；当时， .又
，所以满足的
的取值范围为 .
［思路点拨］思路二：根据平移结合图象得到结果；
[总结反思]
解决函数的奇偶性和单调性结合的问题要注意以下几点:
（1）先判断函数的奇偶性、单调性；
（2）注意函数定义域对变量取值范围的限定；
（3）根据函数的单调性及定义域列出不等式组，解不等式组.
变式题（1）[2024· 陕西榆林模拟]已知是定义在 上的奇函数，
是定义在上的偶函数，且，在 上单调递减，
则( )
A.是偶函数 B. 是奇函数
C. D.
√
[解析] 由 ，且定义域关于原点对称，
得是奇函数，由 ，且定义域关于原点对
称，得为偶函数，故A，B选项均错误.
由题易知函数在 上单调递减，由，得 ，
从而，故C选项错误.
由题易知函数在 上单调递增，在上单调递减，
由 ，得，从而
，故D选项正确.故选D.
（2）已知函数，则关于 的不等式
的解集为_______________.
或
[解析] 函数的定义域为 ，
， 为奇函数.
，， ，
，为减函数，又 ，
，，解得 或
.
角度3 函数的奇偶性与最值
例4 已知函数， 的最大值
为，最小值为，则 ____.
14
[解析] 令，且 ，则
，所以
为奇函数且其图象在 上连续，根据奇函数图象的对称
性得在 上的最大值、最小值关于原点对称，则
，故 ．
［思路点拨］ 构造函数，由奇函数的定义得 为
奇函数，利用奇函数图象的对称性得 ，即可
求解．
[总结反思]
如果奇函数的最大值为，根据其图象关于原点对称，可得它的最
小值为.若函数图象关于点成中心对称，则函数图象上的最大值
点与最小值点也成中心对称.
变式题（1）如果奇函数在 上单调递增且最小值为5，那么
在区间 上( )
A.单调递增且最小值为 B.单调递减且最小值为
C.单调递增且最大值为 D.单调递减且最大值为
√
[解析] 因为是奇函数，所以在区间 上的单调性与
在上的单调性相同，也单调递增，在 上的最小值
为5，即，所以在区间 上的最大值为
.故选C.
（2）已知函数在区间 上的
最大值是，最小值是，则 的值为__.
[解析] 设 ，则
， ，
则是奇函数，的最大值和最小值互为相反数，且 的
最大值为，最小值为，，则 .
探究点三 函数图象的对称性
例5 已知函数，证明： 的图
象关于点 中心对称.
［思路点拨］ 设为图象上任意一点，可证
关于的对称点也在函数 的图象上，从
而可证对称性.
证明：的定义域为，设
为图象上任意一点，关于 的对称点为
，因为在 的图象上，
所以 ，
而，所以 也在
的图象上，所以的图象关于点 中心对称.
[总结反思]
1.函数的图象关于直线对称或
.
2.函数的图象关于点对称或
.
3.函数的图象与函数 的图象关于直线
对称.
由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论:
（1）若函数为奇函数（或偶函数）,则函数 的
图象关于点对称（或关于直线 对称）;
（2）若函数为奇函数（或偶函数）,则函数 的
图象关于点对称（或关于直线 对称）.
变式题（1）[2025·重庆八中月考]下列函数的图象不存在对称中心的
是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A， 为奇函数，故
的图象有对称中心 ；
对于B， 为奇函数，将其图象向
右平移一个单位后得到 的图象，
故有对称中心；
对于C， 为奇函数，其图象有对称中心；
对于D， 的图象不存在对称中心，故选D.
（2）（多选题）[2024·沈阳东北育才学校一模] 对于定义在 上的函
数 ,下述结论正确的是( )
A.若是奇函数,则的图象关于点 对称
B.若,则的图象关于直线 对称
C.若函数的图象关于直线对称,则 为偶函数
D.函数的图象与函数的图象关于直线
对称
√
√
[解析] 对于A,是奇函数, 的图象关于原点对称,而
的图象是将的图象向右平移1个单位得到的,
的图象关于点对称,故A正确.
对于B,由 ,得,其图象不一定关于
直线对称,若 的图象如图所示,该函数满足,
但函数图象不关于直线 对称,故B不正确.
对于C,的图象关于直线 对称,则有
,即,即 为偶函数,故C正确.
对于D,函数的图象与函数的图象关于 轴对
称,故D不正确.故选 .
【备选理由】例1考查抽象函数与具体函数奇偶性的判断;
例1 ［配例1使用］ （多选题）已知定义在上的函数 满足
,定义在上的函数 满足
,则( )
A. 不是奇函数
B. 既是奇函数也是偶函数
C. 是奇函数
D. 既不是奇函数也不是偶函数
√
√
[解析] 在中,令,得 ,令
,得,则,所以 既
是奇函数也是偶函数,故A错误,B正确.
由 ,得
,因为,所以 是奇函数,故C正确,D错
误.故选 .
例2 ［配例2使用］ [2024·浙江嘉兴模拟] 已知函数
为奇函数,则 的值是( )
A.0 B. C.12 D.10
√
【备选理由】例2求解析式中的参数的值，考查奇函数的性质，利用
求得 的值,再检验是否满足 ;
[解析] 因为函数 为奇函数,所以
,即,解得或 .显然函数
的定义域为,关于原点对称.
当 时,,则;
当 时,,则 ,不符合题意.
所以,即,所以 .
故选D.
例3 ［配例3使用］ 已知是定义在 上的偶函数，且对任意
的，都有恒成立，则关于
的不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例3考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，需将抽象
不等式转化为常规不等式求解;
[解析] 因为是定义在 上的偶函数，所以
，则的图象关于直线 对称.又对任意
的，都有恒成立，所以
在上单调递减，所以在 上单调递增.由
得，即 ，解得
，即不等式的解集为 .故选C.
例4 ［配例4使用］ [2024·江西赣州模拟] 若存在实数 ，使得函数
的图象关于直线对称，则 的最小值
为____.
16
[解析] . 的定义域为
，若其图象关于直线对称，则，即 是偶函数，
因此和的系数均为0，从而 ，故.
由对勾函数的性质可知，当且仅当 时， 取到最小值16.
【备选理由】例4考查函数的奇偶性与最值相结合的问题；
例5 ［配例5使用］ 已知函数的定义域为 ,且函数
为偶函数,函数 为奇函数,则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数为偶函数,所以 的图象关于直
线对称.因为函数的定义域为,函数
为奇函数,所以函数的图象关于点对称,且 ,所以
,故选B.
√
【备选理由】例5考查函数奇偶性与对称性相结合的问题;
例6 ［补充使用］ 已知奇函数
，其中， .
【备选理由】例6考查已知函数奇偶性求参数，构造函数证明不等式
等问题，综合性较强.
（1）求 的值；
解：为奇函数， ，
即 ，
化简得 ，
且 ，
，
又 ， .
（2）若对任意恒成立，求 的取
值范围；
解：由（1）知 .
当时， ，
又在 上单调递增，
，
，
对任意 恒成立.
当时，令，则 ，
此时， ，与条件矛盾.
综上，的取值范围为 .
（3）记，
证明：当 时， .
证明：由条件可知 ，
要证，即证 ，
即证 ，
即证 ，
即证，即证 ，
令， ，
则，
当且仅当 ,即 时，等号成立，
在 上单调递增，
，即 ，
当时， .
作业手册
1.[2024·山东潍坊、日照联考]下列函数中既是奇函数又是增函数的
是( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A选项，为奇函数，且在 上单调递增，故A正确；
对于B选项，是奇函数，在， 上单调递减，故B
错误；
对于C选项， 是偶函数，故C错误；
对于D选项，是奇函数，且在 上单调递减，故D错误.故选A.
√
◆ 基础热身 ◆
2.已知是定义在上的偶函数，那么 的
值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为是定义在 上的偶函数，所以
，且,所以，，所以．
故选B．
√
3.[2025·大庆一模]已知函数的定义域为，则“ ”是“函数
为奇函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 取，，则，但 ,
，即，所以函数 不是奇函数，故充分
性不成立；若函数为奇函数，则，即 ，
故必要性成立.所以“”是“函数 为奇函数”的必要不充分
条件.故选B.
√
4.已知函数是偶函数，且当时， ，那么
当时， 的解析式是( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为函数是偶函数，所以，当 时，
，故 .故选A.
√
5.已知函数的定义域为，且，函数 的图
象关于直线对称，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 因为的图象关于直线 对称，所以
，又 ，所以
或
解得 .故选B.
√
6.[2023·全国乙卷]已知是偶函数，则 ( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 方法一：因为 是偶函数，所以
，又因为 不恒为0，
所以，即，则 ，即
，解得 .故选D.
方法二：因为是偶函数，所以 ，即
，解得 ，经检验符合题意.故选D.
方法三：由题设，可知，且 为奇函数，则
为奇函数，由,解得 .故选D.
7.若函数是奇函数，则函数 的图象的对称中心
是______.
[解析] 因为函数是奇函数，所以的图象关于点
对称，函数的图象向右平移一个单位得到函数
的图象，所以函数的图象关于点对称，函数
的图象向上平移一个单位得到函数 的图象，所以函数
的图象关于点 对称.
8.[2025·湖南长郡中学月考]若函数的最大值为 ，最小
值为，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，令 ，则
其定义域为，又 ，所以
为奇函数，则 ，所以
，则 .
故选B.
√
◆ 综合提升 ◆
9.[2024·杭州二模]设集合,，且 ，函数
且 ，则下列命题为真命题的是( )
A.,,为增函数 B.,, 为减函数
C.,,为奇函数 D.,, 为偶函数
√
[解析] 当时，，当或时，
在上单调递减，在 上单调递增，故A不正确；
当时，，当时，在 上为增函数，
故B不正确；
当时， ，，为偶
函数，故C不正确；
当 时，，， 为
偶函数，故D正确.故选D.
10.[2024·河北秦皇岛模拟]已知为 上的减函数，设函数
则满足不等式的 的取值范
围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知，的定义域为，关于原点对称，当 时，
，，则 ，当
时，，当时， ，
，则，故 为偶函数，又
为上的减函数，在上单调递减，在 上单
调递增，， ，即
，解得 .故选B.
11.[2024·广东佛山模拟]已知函数的定义域为 ，且
，若函数的图象与函数 的
图象有交点，且交点个数为奇数，则 ( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 令，其定义域为 ，因为
，所以 为偶函数，由题易知
也为偶函数.因为两个函数图象的交点个数为奇数，所以
.故选C.
√
12.（多选题）已知函数对任意实数 均满足
，则( )
A.
B.
C.
D.函数在区间 上不单调
√
√
√
，故A正确；
对于B，令 ，则，令，则
，解得，令，则，
则 ，故B错误；
对于C，由A知，，所以 ，故C正确；
对于D，令，则，解得 ，
令，则，所以 ，因为
，，所以函数 在区间
上不单调，故D正确.故选 .
13.（多选题）已知函数的定义域为， 为奇函数，
为偶函数，则( )
A.的图象关于直线对称 B.的图象关于点 对称
C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点 对称
[解析] 因为为奇函数，所以 ，所以
函数的图象关于点对称，故B错误，D正确.
因为 为偶函数，所以，所以函数
的图象关于直线对称，故A正确，C错误.故选 .
√
√
14.若函数的图象与函数 的图象关于直线
对称，则 ____.
[解析] 设点在函数的图象上，点 关于直线
的对称点为，则则 则
，即的图象与 的
图象关于直线对称，则，解得 .
15.已知奇函数在上单调递增,且 ,则不等式
的解集为______________.
[解析] 因为函数 为奇函数，所以
，则，即
和异号，故或 由
，可得，因为函数在 上单调递增，所以
函数在上也单调递增，画出函数 的大致图象如图.由图
可得原不等式的解集为 .
16.已知函数的定义域是，对任意的 ，
，，都有 ，若函数
的图象关于点中心对称，且 ，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 因为函数的图象关于点 中心对称，所以
的图象关于点对称，即为奇函数.令 ，因
为对任意的，，都有 ，所以
在上单调递增，因为函数 为定义在
上的奇函数，所以 ，所以
，所以 是定义在
上的偶函数，所以在 上单调递减.
因为，所以，当时，化为 ，即
，所以；当时，化为 ，因
为为偶函数，，所以 化为
，所以.综上所述，不等式 的解集
为 .故选B.
17.（多选题）已知函数 ，则下列判断正确的是
( )
A.若，且，则
B.若，且，则
C. 是偶函数
D.在区间 上单调递增
√
√
[解析] 对于A，当时， ，所以
，所以且 ,，故A正确；
对于B，当时， ，所以
，解得 且,，故B错误；
对于C，当 时， ，
故C错误；
对于D，，当时， ，
所以在区间上单调递增，故D正确.故选 .
【知识聚焦】f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 原点 y轴 原点
【对点演练】1.①③ 2.(0,1) 3.(-2,0)∪(2,5] 4.非奇非偶 5.x=a (b,0)
6.
课堂考点探究
例1 B 变式题 (1)ABC (2)BC 例2 (1)B (2)-2-x-2x+1
变式题 (1)C (2) 例3 (1)B (2)[-1,0]∪[1,3] 变式题 (1)D (2)x>1或x<-4
例4 14 变式题 (1)C (2) 例5略 变式题 (1)D (2)AC
教师备用习题
例1 BC 例2 D 例3C 例4 16 例5 B 例6(1) (2) (3)略
基础热身
1.A 2.B 3.B 4.A 5.B 6.D 7.(1,1)
综合提升
8.B 9.D 10.B 11.C 12.ACD 13.AD 14.-
15.(-2,0)∪(0,2)
能力拓展
16.B 17.AD