第9讲 函数的四性质的应用
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
(1)f(x+T)=f(x) (2)最小的正数 最小正数
【对点演练】
1.8 [解析] 因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2024)=f(674×3+2)=f(2)=8.
2.5 [解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1),又f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(1)=f(3)=2×3-1=5,∴f(-1)=5.
3.3(答案不唯一) [解析] 因为|x+2-(x-1)|=3,所以f(x)的一个周期为3.
4.f(x)=(x+1)2+1(答案不唯一)
[解析] 由y=f(2x-1)为R上的偶函数可得f(-2x-1)=f(2x-1),所以f(-x-1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=-1对称,又f(0)=2,所以满足条件的一个函数f(x)的解析式为f(x)=(x+1)2+1.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)通过已知条件得到函数f(x)的周期,结合f(3)=2得到结果.(2)根据函数f(x)的周期以及偶函数的性质,得到函数f(x)在[2,4]上的解析式.
(1) (2)f(x)=log2(5-x),x∈[2,4] [解析] (1)∵f(x)f(x+2)=13,∴f(x+2)=,∴f(x+4)===f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2025)=f(1)==.
(2)根据题意,设x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],则有4-x∈[0,2],又当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),所以f(4-x)=log2[(4-x)+1]=log2(5-x),又f(x)是周期为4的偶函数,所以f(x)=f(x-4)=f(4-x)=log2(5-x),x∈[2,4],即f(x)=log2(5-x),x∈[2,4].
变式题 (1)D (2)AB [解析] (1)因为f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)的周期为6,所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)=f(-1+3)=-f(-1)=-=-,故选D.
(2)对于A,f(2027)=f(507×4-1)=f(-1)=f(1)=0,所以A正确;对于B,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,所以当x∈[0,2]时,f(x)的取值范围为[-1,2],由函数f(x)是偶函数,可得f(x)在[-2,0]上的取值范围也为[-1,2],又f(x)是周期为4的周期函数,所以f(x)的值域为[-1,2],所以B正确;对于C,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2单调递增,又f(x)的周期是4,所以f(x)在[4,6]上也单调递增,所以C错误;对于D,当x∈[0,2]时,令f(x)=2x-2=0,得x=1,所以f(1)=f(-1)=0,又f(x)的周期为4,所以f(5)=f(-5)=0,f(3)=f(-3)=0,所以f(x)在[-6,6]上有6个零点,所以D错误,故选AB.
例2 [思路点拨] 对于A,根据y=f(1-2x)为偶函数即可判断;对于B,根据对称性和奇偶性即可判断;对于C,根据周期性与对称性可得f(1),f(2),f(3),f(4)的值,再求解即可判断;对于D,结合以上分析即可判断.
ABC [解析] 对于A,因为y=f(1-2x)为偶函数,所以f(1-2x)=f(1+2x),故曲线y=f(x)关于直线x=1对称,故A正确;对于B,因为曲线y=f(x)关于直线x=1对称,所以f(x)=f(2-x),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以f(2-x)=-f(-x),则f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4,故B正确;对于C,由题知f(1)=3,f(0)=0,因为曲线y=f(x)关于直线x=1对称,所以f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-3,f(4)=f(0)=0,故f(1)+f(2)+…+f(2027)=(3+0-3+0)×506+3+0-3=0,故C正确;由上分析知D错误.故选ABC.
变式题 (1)B (2)A [解析] (1)方法一:因为f(2x+1)是奇函数,所以f(-2x+1)=-f(2x+1),且有f(2×0+1)=f(1)=0,又因为f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1,代入得f(3)=f(1)=0,在f(-2x+1)=-f(2x+1)中,令x=1代入得f(-1)=-f(3)=0,故一定有f(-1)=0,故选B.
方法二:因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(2x)的图象关于点对称,从而f(x)的图象关于点(1,0)对称,于是函数f(x)的周期T=4|2-1|=4.由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
方法三:因为函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,所以可取f(x)=cos,这时f=,f(-1)=0,f(2)=-1,f(4)=1,故选B.
(2)定义在R上的函数f(x)是奇函数,且对任意x∈R都有f(x+1)=f(1-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x),故f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x)=-f(2+x)=f(4+x),∴f(x)是周期为4的周期函数,则f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=-f(-1)=2.
例3 [思路点拨] 根据对称性和已知条件得到g(x)是周期为4的函数,f(x)=g(x)-7,然后根据条件得到f(1),f(2),f(3),f(4)的值,即可求解.
D [解析] 由f(x)+g(2-x)=5得f(x)=5-g(2-x)①.由g(x)-f(x-4)=7得f(x-4)=g(x)-7,所以f(x)=g(x+4)-7②.由①②得5-g(2-x)=g(x+4)-7,即g(x+4)+g(2-x)=12,所以y=g(x)的图象关于点(3,6)对称,g(3)=6,又y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以函数g(x)是周期为4的函数,且g(1)=g(3)=6,f(x)=g(x)-7.因为g(4)+g(2)=12,所以g(4)=12-g(2)=12-4=8,所以f(1)=g(1)-7=-1,f(2)=g(2)-7=-3,f(3)=g(3)-7=-1,f(4)=g(4)-7=1,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(22)=5×(-4)+(-1)+(-3)=-24.故选D.
变式题 C [解析] 因为函数y=f(2x+1)为偶函数,所以f(-2x+1)=f(2x+1),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.令h(x)=21-x+2x-1-5,则h(2-x)=2x-1+21-x-5=h(x),可得函数h(x)=21-x+2x-1-5的图象关于直线x=1对称,所以函数g(x)=f(x)+21-x+2x-1-5的图象关于直线x=1对称,则函数g(x)的零点关于直线x=1对称.若g(x)的零点个数为奇数,则g(1)=f(1)+1+1-5=0,所以f(1)=3.故选C.
例4 [思路点拨] 由f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(x)是R上的奇函数,由f(x+2)=-f(x)得f(x)是以4为周期的周期函数及f(x)的图象关于直线x=1对称,综合分析得出结论.
ABD [解析] 由f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得f(0)=0,取y=-x,则有f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是R上的奇函数.由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此函数f(x)是以4为周期的周期函数,故A正确;f(x+2)=-f(x)=f(-x),因此f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;因为f(x)在区间[-1,0]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上单调递增,于是得f(x)在区间[1,2]上单调递减,故C错误;由f(x+2)=-f(x),得f(2)=-f(0)=0=f(0),故D正确.故选ABD.
变式题 AC [解析] 由f(1+x)=f(1-x),可得f(x)图象的对称轴方程为x=1,所以f(0)=f(2),又由f(1+x)=f(1-x),可知f(2+x)=f(-x).因为函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,即f(2+x)=-f(2-x),所以f(4+x)=-f(-x),所以-f(2+x)=f(4+x),即-f(x)=f(2+x),所以f(x)=f(x+4),所以f(x)的周期为4,所以f(-2)=f(2),所以f(0)=f(-2),故A正确,B错误.因为f(x)在(-1,0]上单调递增,且f(x)的周期为4,所以f(x)在(3,4]上单调递增,又f(x)的图象关于点(2,0)对称,所以f(x)在[0,1)上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(1,2]上单调递减,则函数f(x)在(2,3)上单调递减,故C正确.根据f(x)的周期为4,可得f(2021)=f(1),f(2022)=f(2),f(2023)=f(3),因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)且f(3)=f(-1),即f(2021)=f(1),f(2022)=f(0),f(2023)=f(-1),由C选项的分析可知,函数f(x)在[0,1)上单调递增,在(-1,0]上单调递增,而f(-1)和f(1)的大小关系不能确定,若f(-1)=f(1)=0,则f(2021)>f(2022)>f(2023)不成立,故D错误.故选AC.第9讲 函数的四性质的应用
1.D [解析] 对于A选项,由二次函数的性质可知y=x2不是周期函数,A错误.对于B选项,由指数函数的性质可知y=2x不是周期函数,B错误.对于C选项,由一次函数的性质可知y=xcos x不是周期函数,C错误.对于D选项,由正弦函数的性质可知y=sin x是周期函数,D正确.故选D.
2.D [解析] ∵f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=∴f=f=4×-2=-1.故选D.
3.C [解析] 当x∈[-2,-1]时,x+4∈[2,3],因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1);当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上,当x∈[-2,0]时,f(x)=3-|x+1|,故选C.
4.D [解析] 由题得f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以f(x)是周期为6的函数,所以f(2023)=f(337×6+1)=f(1)=f(-2+3)=-f(-2)=-=-+,故选D.
5.ABD [解析] 因为y=f(x-1)为奇函数,所以y=f(x-1)的图象关于原点对称,故D正确;f(x-1)+f(-x-1)=0,故B正确,C错误;由f(x-1)+f(-x-1)=0可知函数y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称,故A正确.故选ABD.
6.4 [解析] 由f(x+2)=-,得f(x+4)=-=f(x),所以f(2025)=f(4×506+1)=f(1)=4.
7.7 [解析] 因为f(x)满足f=2-f,所以当x=时,f+f=2,当x=时,f+f=2,即f+f=2,当x=时,f+f=2,当x=0时,f+f=2,即f=1,∴f+f+f+f+f+f+f=7.
8.A [解析] 由题意可知,函数f(x)的定义域为R,因为f(1+x)+f(1-x)=f(x),所以f(1-x)+f(1+x)=f(-x),可得f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数.由f(1+x)+f(1-x)=f(x)可得f(2+x)+f(-x)=f(x+1),即f(2+x)+f(x)=f(x+1),整理得f(2+x)+f(1-x)=0,可得f(3+x)+f(-x)=f(3+x)+f(x)=0,则f(6+x)+f(3+x)=0,可得f(6+x)=f(x),所以6为f(x)的周期.由f(1+x)+f(1-x)=f(x),f(0)=2,令x=0,可得f(1)+f(1)=f(0)=2,可得f(1)=1,令x=1,可得f(2)+f(0)=f(1)=1,可得f(2)=-1,所以f(20)+f(24)=f(2)+f(0)=-1+2=1.故选A.
9.A [解析] 对于A,由题意知x∈(0,1),若x=是有理数,且m,n(m
10.AC [解析] 因为y=f(x-1)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),又f(x)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[(x+1)-1]=f(x),故A正确;因为y=f(x-1)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,故B错误,C正确;假设y=f(x+2)是R上的偶函数,则f(x+2)=f(2-x)=f(x),由f(x)=f(x+2),可得f(2-x)=f(-x),所以f(x)=f(-x),所以函数f(x)是偶函数,与已知条件矛盾,故D错误.故选AC.
11.AD [解析] 由函数f(x)为奇函数,且定义域为R,得f(0)=0,A选项正确;因为f(x)=f(2-x),所以f(x+1)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称,B选项错误;因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x),所以由f(x)=f(2-x)可得-f(-x)=f(2-x),则-f(x)=f(2+x),所以-f(x+2)=f(x+4),可得f(x)=f(4+x),函数f(x)的一个周期为4,C选项错误,D选项正确.故选AD.
12.BD [解析] f(x)=+.对于B,f=+=f,则f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确.对于C,f(x+π)=+=+=f(x),所以π为函数f(x)的一个周期,故C错误.对于D,令t=sin∈[-,],g(t)=et+e-t,易知g(t)为偶函数,则只需考虑t∈[0,]时g(t)的最值.g'(t)=et-e-t,当t>0时,g'(t)>0,g(t)单调递增,则当t∈[0,]时,2=g(0)≤g(t)≤g()=+,故D正确.对于A,因为f=+=f,所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称,由上分析知函数f(x)的图象关于直线x=对称,因为t=sin在上单调递增,且当x∈时,t=sin∈[-,0],函数g(t)=et+e-t在[-,0]上单调递减,所以f(x)=esin x-cos x+ecos x-sin x在上单调递减,由对称性、周期性可得,若函数f(x)的图象有对称中心,则点(0,f(0))为其一个对称中心,而f(0)=e-1+e,f(x)+f(-x)=+++≠2f(0),故f(x)的图象没有对称中心,故A错误.故选BD.
13.6 [解析] 因为y=g(x+1)是偶函数,g(x+1)=xf(x+1),其中y=x为奇函数,所以y=f(x+1)必为奇函数,则有f(1-x)=-f(1+x),可得f(-x)=-f(x+2),又因为f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)的周期为4.由y=g(x+1)是偶函数,可得g(-x+1)=g(x+1),所以g(-x)=g(x+2),所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5f(2.5)=1.5f(-2.5)=1.5f(-2.5+4×2)=1.5f(5.5)=6.
14.(-1,0)∪(2,+∞) [解析] 函数y=f(x)的图象可由y=f(x+1)的图象向右平移1个单位长度得到,因为y=f(x+1)是偶函数,即其图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,1]上单调递减,又f(0)=0,所以f(2)=0.当x+1>0,即x>-1时,由(x+1)f(x)>0得f(x)>0,可得-12;当x+1<0,即x<-1时,由(x+1)f(x)>0得f(x)<0,无解.综上,不等式(x+1)f(x)>0的解集为(-1,0)∪(2,+∞).
15.解:(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],所以f(x)=-f(-x)=-[2(-x)-(-x)2]=x2+2x.当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
(3)易得f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,因为函数f(x)的周期为4,
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)=506×[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)+f(2025)=f(0)+f(1)=1.
16.解:(1)证明:根据题意,f(x)=,令g(x)=f(x+1)-1=-1,显然函数g(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为g(x)+g(-x)=+=+-2=0,
所以函数g(x)=-1是奇函数,即y=f(x+1)-1为奇函数,
则函数f(x)的图象关于点(1,1)对称.
(2)根据题意,f(x)=,函数y=1+21-x在R上为减函数,且y=1+21-x>0恒成立,
则f(x)=是R上的增函数.
由(1)知函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,故有f(x)+f(2-x)=2,即2-f(x)=f(2-x),所以2-f(5-2a)=f[2-(5-2a)]=f(2a-3),
因为f(-a2)+f(5-2a)>2,
所以f(-a2)>f(2a-3).
因为f(x)=是R上的增函数,所以-a2>2a-3,即a2+2a-3<0,解得-317.B [解析] 由题可知函数g(x)的图象可由f(x)的图象向左平移一个单位长度得到,则f(x)的图象与两坐标轴围成的图形的面积即为g(x)的图象与直线x=-1,y=0所围成的图形的面积.g(x)=log3-x+2,由>0得(x-2)(x+2)<0,解得-2【课标要求】 1.了解周期性的概念和几何意义.
2.掌握函数的性质.
函数的周期性
(1)周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫作f(x)的最小正周期.不是所有的周期函数都有最小正周期.
常用结论
1.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量的值x,有如下结论:
(1)若f(x+a)=-f(x)(a≠0),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=(a≠0),则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则T=|a-b|.
2.对称性与周期性之间的常用结论:
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2024)= .
2.[教材改编] 若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)=2x-1,则f(-1)= .
题组二 常错题
◆索引:若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称与若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则T=|a-b|混淆出错.
3.若f(x)满足f(x-1)=f(x+2),则函数f(x)的一个周期为 .
4.写出满足y=f(2x-1)为R上的偶函数且f(0)=2的一个函数f(x)的解析式: .
函数的周期性
例1 (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,且f(3)=2,则f(2025)= .
(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[2,4]上的解析式为 .
总结反思
1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义,求出函数的周期.
2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.
变式题 (1)已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,0)时,f(x)=2x,则f(2024)= ( )
A. B.-
C. D.-
(2)(多选题)[2024·长郡中学二模] 已知定义在R上的偶函数f(x)的周期为4,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-2,则 ( )
A.f(2027)=0
B.f(x)的值域为[-1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[-6,6]上有8个零点
函数的奇偶性、对称性与周期性
例2 (多选题)[2025·山东临沂模拟] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,y=f(1-2x)为偶函数,f(1)=3,则 ( )
A.曲线y=f(x)关于直线x=1对称
B.f(x)是以4为周期的周期函数
C.f(1)+f(2)+…+f(2027)=0
D.曲线y=f(x)关于点(3,0)对称
总结反思
(1)周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及周期性进行转换.
(2)函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b-x)表明的是函数的对称性,函数f(x)满足关系式f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系式时不要混淆.
变式题 (1)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,则 ( )
A.f=0
B.f(-1)=0
C.f(2)=0
D.f(4)=0
(2)[2024·长沙二模] 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,对任意x∈R都有f(x+1)=f(1-x),若f(-1)=-2,则f(2025)等于 ( )
A.2 B.-2
C.0 D.-4
例3 [2022·全国乙卷] 已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)=( )
A.-21 B.-22
C.-23 D.-24
变式题 [2024·绍兴柯桥区三模] 已知函数y=f(2x+1)为偶函数,若函数g(x)=f(x)+21-x+2x-1-5的零点个数为奇数,则f(1)= ( )
A.1 B.2
C.3 D.0
函数的对称性、周期性与单调性
例4 (多选题)[2024·洛阳模拟] 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(x+2)=-f(x),且f(x)在区间[-1,0]上单调递增,则下列结论中正确的是 ( )
A.f(x)是周期函数
B.f(x)的图象关于直线x=1对称
C.f(x)在[1,2]上单调递增
D.f(2)=f(0)
总结反思
函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性是函数的四大性质,解决四大性质综合的问题,通常先由奇偶性和对称性得出周期,再由已知单调区间得出其他单调区间,最后在整个定义域上解决问题.
变式题 (多选题)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0]上单调递增,f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则 ( )
A.f(0)=f(-2)
B.f(x)的周期T=2
C.f(x)在(2,3)上单调递减
D.f(2021)>f(2022)>f(2023)第9讲 函数的四性质的应用
(时间:45分钟)
1.下列函数是周期函数的为 ( )
A.y=x2 B.y=2x
C.y=xcos x D.y=sin x
2.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1)时,f(x)=则f= ( )
A.0 B.1
C. D.-1
3.[2024·四川绵阳模拟] 设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x)=x,则当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x+4
B.f(x)=2-x
C.f(x)=3-|x+1|
D.f(x)=2+|x+1|
4.已知函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),当x∈[-3,0)时,f(x)=2x+sin,则f(2023)= ( )
A.- B.-
C. D.-+
5.(多选题)已知函数y=f(x-1)为奇函数,则下列说法正确的是 ( )
A.y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称
B.f(-x-1)+f(x-1)=0必成立
C.f(-x+1)=-f(x-1)必成立
D.y=f(x-1)的图象关于原点对称
6.已知函数f(x)满足对于任意的实数x,都有f(x+2)=-,且f(1)=4,则f(2025)= .
7.[2024·南京一模] 定义在R上的函数f(x)满足f=2-f,则f+f+f+f+f+f+f= .
8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1+x)+f(1-x)=f(x),f(0)=2,则f(20)+f(24)= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
9.[2024·温州二模] 已知定义在(0,1)上的函数
f(x)=
则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在(0,1)上单调递增
D.f(x)有最小值
10.(多选题)设函数f(x)的定义域为R,y=f(x)和y=f(x-1)均为奇函数,则下列选项正确的是 ( )
A.函数f(x)满足f(x)=f(x+2)
B.函数f(x)的图象关于直线x=-1对称
C.函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称
D.函数y=f(x+2)是R上的偶函数
11.(多选题)[2025·广东六校联考] 已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x)=f(2-x),则 ( )
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于直线x=2对称
C.f(x)=-f(x+4)
D.f(x)的一个周期为4
12.(多选题)[2025·南宁三中月考] 已知函数f(x)=esin x-cos x+ecos x-sin x,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)的图象是中心对称图形
B.f(x)的图象是轴对称图形
C.f(x)是周期函数,且最小正周期为2π
D.f(x)存在最大值与最小值
13.[2024·武昌实验中学模拟] 已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=4,g(x)=(x-1)f(x),若y=g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)= .
14.[2024·辽阳期末] 已知y=f(x+1)是偶函数,f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(0)=0,则不等式(x+1)f(x)>0的解集为 .
15.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2025)的值.
16.[2025·深圳三校联考] 我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)=.
(1)证明:函数f(x)的图象关于点(1,1)对称;
(2)判断函数f(x)的单调性(不用证明),若f(-a2)+f(5-2a)>2,求实数a的取值范围.
17.[2025·重庆八中月考] 已知函数g(x)=log3-x+2,若g(x)=f(x+1),则f(x)的图象与两坐标轴围成的图形的面积为 ( )
A.2 B.4
C.6 D.8log32(共84张PPT)
第9讲 函数的四性质的应用
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.了解周期性的概念和几何意义.
2.掌握函数的性质.
函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数 ，使得
对每一个都有，且________________，那么函数
就叫作周期函数，非零常数 叫作这个函数的周期.
◆ 知识聚焦 ◆
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个____________，那么这
个__________就叫作 的最小正周期.不是所有的周期函数都有最
小正周期.
最小的正数
最小正数
常用结论
1.设的周期为，对的定义域内任一自变量的值，有如下结论：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则.
2.对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数 的
周期 ；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数 的
周期 ；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数
的周期 .
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知函数满足,当 时,
,则 ___.
8
[解析] 因为,所以 是以3为周期的周期函数,所以
.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 若偶函数的图象关于直线 对称，且当
时，，则 ___.
5
[解析] 为偶函数，，又 的图象关于直线
对称，, .
题组二 常错题
◆ 索引：若函数满足,则函数 的图象关于
直线对称与若,则 混淆出错.
3.若满足,则函数 的一个周期为________
__________.
3（答案不唯一）
[解析] 因为，所以 的一个周期为3.
4.写出满足为上的偶函数且的一个函数
的解析式：_________________________________.
（答案不唯一）
[解析] 由为上的偶函数可得 ，
所以，则的图象关于直线 对称，又
，所以满足条件的一个函数 的解析式为
.
探究点一 函数的周期性
例1（1）定义在上的函数满足，且 ，
则 ___.
［思路点拨］通过已知条件得到函数的周期，结合 得
到结果.
[解析] ， ，
， 的周期为4，
.
（2）设是定义在上周期为4的偶函数，且当 时，
，则函数在 上的解析式为_____________
_______________.
，
［思路点拨］根据函数 的周期以及偶函数的性质，得到函数
在 上的解析式.
[解析] 根据题意，设，则，则有 ，
又当时， ，所以
，又 是周期为4的偶
函数，所以， ，
即， .
[总结反思]
1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求
出函数的周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析
式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
变式题（1）已知函数满足,当 时,
,则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 的周期为6,所以
,故选D.
√
（2）（多选题）[2024· 长郡中学二模] 已知定义在 上的偶函数
的周期为4，当时， ，则( )
A. B.的值域为
C.在上单调递减 D.在 上有8个零点
[解析] 对于A， ，所
以A正确；
√
√
对于B，当时， 单调递增，所以当
时，的取值范围为，由函数 是偶函数，可得
在上的取值范围也为，又 是周期为4的周期函
数，所以的值域为 ，所以B正确；
对于C，当时，单调递增，又 的周期是4，
所以在上也单调递增，所以C错误；
对于D，当 时，令，得，所以
，又 的周期为4，所以,
，所以 在上有6个零点，所以D错误，故选 .
探究点二 函数的奇偶性、对称性与周期性
例2 （多选题）[2025·山东临沂模拟] 已知是定义在 上的奇函
数，为偶函数， ，则( )
A.曲线关于直线 对称
B. 是以4为周期的周期函数
C.
D.曲线关于点 对称
√
√
√
［思路点拨］ 对于A，根据 为偶函数即可判断；
对于B，根据对称性和奇偶性即可判断；
对于C，根据周期性与对称性可得,,, 的值，
再求解即可判断；对于D，结合以上分析即可判断.
[解析] 对于A，因为 为偶函数，所以，故曲线关于直线 对称，故A正确；
对于B，因为曲线关于直线 对称，所以
，又是定义在 上的奇函数，所以
，所以，则 ，
所以，故 的周期为4,故B正确；
对于C，由题知，，因为曲线关于直线 对称，所以， ， ，故，故C正确；由上分析知D错误.故选 .
[总结反思]
（1）周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及
周期性进行转换.
（2）函数满足关系式表明的是函数的对称
性,函数满足关系式表明的是函数的
周期性,在使用这两个关系式时不要混淆.
变式题（1）已知函数的定义域为,且 是偶函数，
是奇函数,则( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：因为 是奇函数,所以
,且有 ,又因为
是偶函数,所以,令 ,代入得
,在中,令 代入得
,故一定有 ,故选B.
√
方法二：因为是偶函数,所以的图象关于直线 对称,
又因为是奇函数,所以的图象关于点 对称,从而
的图象关于点对称,于是函数的周期 .
由于是奇函数,所以,而 是
偶函数,所以,令代入得 ,因
此 ,故选B.
方法三：因为函数的定义域为,且是偶函数,
是奇函数,所以可取,这时, ,
, ,故选B.
（2）[2024·长沙二模]已知定义在上的函数 是奇函数，对任意
都有，若，则 等于
( )
A.2 B. C.0 D.
[解析] 定义在上的函数是奇函数，且对任意 都有
， 函数的图象关于直线 对称，
，故 ，
， 是周期为4的周期函数，则
.
√
例3 [2022·全国乙卷]已知函数，的定义域均为 ，且
，，若 的图象关于
直线对称，，则 ( )
A. B. C. D.
［思路点拨］ 根据对称性和已知条件得到 是周期为4的函数,
,然后根据条件得到,,, 的值，即可求解.
√
[解析] 由得 .由
得 ，所以
.由①②得 ，即
，所以的图象关于点 对称，
，又的图象关于直线对称，所以函数 是
周期为4的函数，且， .因为
，所以 ，所以
， ，
，，所以 .故选D.
变式题 [2024·绍兴柯桥区三模] 已知函数 为偶函数，
若函数的零点个数为奇数，则
( )
A.1 B.2 C.3 D.0
√
[解析] 因为函数 为偶函数，所以
，所以的图象关于直线 对称.
令，则 ，
可得函数的图象关于直线 对称，所以函
数的图象关于直线 对称，则函
数的零点关于直线对称.若 的零点个数为奇数，则
，所以 .故选C.
探究点三 函数的对称性、周期性与单调性
例4 （多选题）[2024·洛阳模拟] 定义在上的函数 满足
,,且在区间 上单
调递增,则下列结论中正确的是( )
A.是周期函数 B.的图象关于直线 对称
C.在上单调递增 D.
［思路点拨］ 由可得是 上的奇函数,由
得是以4为周期的周期函数及 的图象关于
直线 对称,综合分析得出结论.
√
√
√
[解析] 由,取得 ，取
,则有,所以函数是
上的奇函数.由,得 ,因
此函数 是以4为周期的周期函数,故A正确;
,因此的图象关于直线 对称,故B
正确;
因为在区间上单调递增,所以在区间 上单调
递增,于是得在区间 上单调递减,故C错误;
由,得,故D正确.故选 .
[总结反思]
函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性是函数的四大性质，解决
四大性质综合的问题，通常先由奇偶性和对称性得出周期，再由已
知单调区间得出其他单调区间，最后在整个定义域上解决问题.
变式题 （多选题）已知定义域为的函数在 上单调递
增，，且的图象关于点 对称，则
( )
A. B.的周期
C.在上单调递减 D.
√
√
[解析] 由，可得图象的对称轴方程为 ，
所以，又由 ，可知
.因为函数的图象关于点 对称，即
，所以 ，所以
，即，所以 ，
所以的周期为4，所以，所以 ，故A
正确，B错误.
因为在上单调递增，且 的周期为4，所以在
上单调递增，又的图象关于点 对称，所以在上单
调递增，又的图象关于直线 对称，所以在上单调
递减，则函数在 上单调递减，故C正确.
根据的周期为4，可得， ，
，因为的图象关于直线 对称，所以
且，即 ，，
，由C选项的分析可知，函数在上单调递
增，在上单调递增，而和 的大小关系不能确定，
若 ，则不成立，
故D错误.故选 .
【备选理由】例1考查利用函数的奇偶性求函数值;
例1 ［配例2、例3使用］ 设是定义域为 的奇函数，且
为偶函数，则( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为是定义域为的奇函数，所以 的图象关于原点
对称，且.因为为偶函数，所以 的图象关于
直线对称，所以.令 ，得
，所以，故D选项正确.
令 ，得，而 ，根据已知
条件无法确定 的值，所以A，B，C选项错误.故选D.
例2 ［配例4使用］ 已知函数，实数
满足不等式，则 的取值范围是________.
【备选理由】例2考查函数的单调性与图象的对称性相结合的问题;
[解析] 因为 ，所以 ，
所以的图象关于点 对称.
，当且仅当，即 时等号成立，因为
，所以恒成立，则 是增函数.因为
，所以 ，则
，解得，故的取值范围是 .
例3 ［配例2、例3使用］ 已知函数的定义域为 ，且
，， ，则
( )
A.7 B.6 C.4 D.2
√
【备选理由】例3考查函数图象的对称性与周期性相结合的问题;
[解析] ，
， 是周期为3的周期函数，且
，
的图象关于直线对称，从而，
，
，，
.故选D．
例4 ［配例2、例3使用］ （多选题）已知定义在 上的函数
为奇函数，且对任意，都有 ，
定义在上的函数为 的导函数，则以下结论正确的是
( )
A.为奇函数 B.
C. D. 为偶函数
√
√
√
【备选理由】例4考查函数的周期性与奇偶性相结合的问题.
[解析] 因为为奇函数，所以 ，
所以，所以 为奇函数，A正确；
因为，所以 ，即
，所以，即 ,故
，所以 是以4为周期的周期函数，
所以，不能确定 一定成立，B错误；
，C正确；
因为 ，所以，
故，又 ，
所以，所以为偶函数，D正确.故选 .
作业手册
1.下列函数是周期函数的为( )
A. B. C. D.
[解析] 对于A选项，由二次函数的性质可知 不是周期函数，A
错误.
对于B选项，由指数函数的性质可知 不是周期函数，B错误.
对于C选项，由一次函数的性质可知 不是周期函数，C错误.
对于D选项，由正弦函数的性质可知 是周期函数，D正确.
故选D.
√
◆ 基础热身 ◆
2.设是定义在上的周期为3的函数，当 时，
则 ( )
A.0 B.1 C. D.
[解析] 是定义在上的周期为3的函数，当 时，
.故选D.
√
3.[2024· 四川绵阳模拟]设是定义在 上的周期为2的偶函数,已知
当时,,则当时, 的解析式为( )
A. B.
C. D.
[解析] 当时,,因为 是周期为2的函数，
所以；当 时,
，因为 为偶函数,所以
.综上,当
时, ,故选C.
√
4.已知函数满足，当 时，
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得，所以 是周期为6的
函数，所以
，故选D.
√
5.（多选题）已知函数 为奇函数,则下列说法正确的是
( )
A.的图象关于点 对称
B. 必成立
C. 必成立
D. 的图象关于原点对称
√
√
√
[解析] 因为为奇函数,所以 的图象关于原点
对称,故D正确;
,故B正确,C错误;
由可知函数的图象关于点 对
称,故A正确.故选 .
6.已知函数满足对于任意的实数，都有 ，且
,则 ___.
4
[解析] 由，得 ,所以
.
7.[2024· 南京一模] 定义在上的函数 满足
,则
___.
7
[解析] 因为满足,所以当 时,
,当时,,即,当
时,,当时,,即 ,
.
8.已知函数的定义域为，且 ,
，则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由题意可知，函数的定义域为 ，因为
，所以 ，可得
，所以为偶函数.由
可得，即 ，
整理得 ，可得
，则，
可得，所以6为 的周期.
由,，令 ，可得
，可得，令 ，可得
，可得 ，所以
.故选A.
9.[2024·温州二模]已知定义在 上的函数
则下列结论正确的是( )
A.的图象关于直线 对称
B.的图象关于点 对称
C.在 上单调递增
D. 有最小值
√
[解析] 对于A，由题意知，若是有理数，且 ,
是互质的正整数，则, 也是互质的正整数，所以
,若为无理数，则 也为无理数，
所以,所以的图象关于直线 对称，故A
正确；
对于B，,,显然 的图象不关于点
对称，故B错误；
对于C，,,所以在 上
不单调递增，故C错误；
对于D，若为有理数, 是互质的正整数），
则,显然当 时，，函数 无最小值，
故D错误.故选A.
10.（多选题）设函数的定义域为，和 均
为奇函数，则下列选项正确的是( )
A.函数满足
B.函数的图象关于直线 对称
C.函数的图象关于点 对称
D.函数是 上的偶函数
√
√
[解析] 因为为奇函数，所以 ，
又为奇函数，所以 ，所以
，所以
，故A正确；
因为为奇函数，所以函数的图象关于点 对称，
故B错误，C正确；
假设是 上的偶函数，则，
由 ，可得，所以，
所以函数 是偶函数，与已知条件矛盾，故D错误.故选 .
11.（多选题）[2025·广东六校联考] 已知奇函数的定义域为 ，
若 ，则( )
A. B.的图象关于直线 对称
C. D. 的一个周期为4
√
√
[解析] 由函数为奇函数，且定义域为，得 ，A选项正
确；
因为，所以，则函数 的
图象关于直线对称，B选项错误；
因为函数 为奇函数，所以,所以由
可得 ,则,所以
,可得 ，函数的一个周期
为4，C选项错误，D选项正确.故选 .
12.（多选题）[2025·南宁三中月考] 已知函数
，则下列说法正确的是( )
A. 的图象是中心对称图形
B. 的图象是轴对称图形
C.是周期函数，且最小正周期为
D. 存在最大值与最小值
√
√
[解析] .对于B，，则 的图象关于直线对称，故B正确.
对于C，, 所以 为函数 的一个周期，故C错误.
对于D，令 ,，易知为偶函数，则只需考虑时 的最值.,当时, ， 单调递增，则当时， ，故D正确.
对
的图象关于直线对称，由上分析知函数 的图象关于
直线对称，因为在 上单调递增，且当
时，，函数 在
上单调递减，所以在
上单调递减，
由对称性、周期性可得，若函数 的图象有对称中
心，则点为其一个对称中心，而 ，
，故 的图象没有对称中心，故A错误.故选
.
13.[2024·武昌实验中学模拟] 已知是定义域为 的偶函数，
，，若 是偶函数，则
___.
6
[解析] 因为是偶函数， ，其中
为奇函数，所以 必为奇函数，则有
，可得 ，又因为
，所以 ，则
，所以函数 的周期为4.由
是偶函数，可得 ，所以
，所以 .
14.[2024·辽阳期末] 已知是偶函数，在 上单
调递增，，则不等式 的解集为
_________________.
[解析] 函数的图象可由 的图象向右平移1个单
位长度得到，因为是偶函数，即其图象关于 轴对称，
所以的图象关于直线对称，又在 上单调递增，
所以在上单调递减，又，所以 .当
，即时，由得 ，可得
或；当，即时，由
得，无解.综上，不等式 的解集为
.
15.设是定义在上的奇函数，且对任意实数 ，恒有
，当时， ．
（1）求证： 是周期函数；
证明：因为 ，
所以 ，
所以 是以4为周期的周期函数.
（2）当时，求 的解析式；
解：函数是定义在上的奇函数，当时， ,
所以.
当 时， ，
所以 .
（3）求 的值.
解：易得,,,，
因为函数 的周期为4，
所以 .
16.[2025·深圳三校联考] 我们知道，函数 的图象关于坐标原
点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发
现可以将其推广为：函数的图象关于点 成中心对称
图形的充要条件是函数 为奇函数．已知函数
．
（1）证明：函数的图象关于点 对称；
证明：根据题意， ，
令，显然函数的定义域为 ，关
于原点对称，
因为 ，
所以函数是奇函数，即 为奇函数，
则函数的图象关于点 对称．
（2）判断函数 的单调性（不用证明），若
，求实数 的取值范围．
解：根据题意，，函数在 上为减函数，
且 恒成立，
则是 上的增函数.
由（1）知函数的图象关于点 对称，
故有，即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
因为是上的增函数，所以 ，
即，解得，所以实数 的取值范围为
．
17.[2025·重庆八中月考]已知函数 ，若
，则 的图象与两坐标轴围成的图形的面积为
( )
A.2 B.4 C.6 D.
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 由题可知函数的图象可由 的图象向左平移一个单位
长度得到，则的图象与两坐标轴围成的图形的面积即为 的
图象与直线, 所围成的图形的面积.
，由得 ，解得
，所以的定义域为, ，
则有，所以函数的图象关于点 对称，又
,，且点与点也关于点 对称，
，
所以由复合 函数的单调性可得函数在区间 上单调递减.
根据对称性可知的图象与直线, 所围成的图形的面
积是，即 的图象与两坐标轴围成的图形的面积为4.
故选B.
【知识聚焦】(1)f(x+T)=f(x) (2)最小的正数 最小正数
【对点演练】1.8 2.5 3.3(答案不唯一) 4.f(x)=(x+1)2+1(答案不唯一)
课堂考点探究
例1(1)(2)f(x)=log2(5-x),x∈[2,4] 变式题(1)D (2)AB 例2 ABC
变式题(1)B (2)A 例3 D 变式题 C 例4 ABD 变式题 AC
教师备用习题
例1 D 例2 例3D 例4 ACD
基础热身
1.D 2.D 3.C 4.D 5.ABD
6.4 7.7
综合提升
8.A 9.A 10.AC 11.AD 12.BD 13.6 14.(-1,0)∪(2,+∞)
15.(1)略 （2）f(x)=x2-6x+8 （3）1 16.（1）略 （2）(-3,1)
能力拓展
17.B