增分微课2 抽象函数
例1 D [解析] 由f(x+y)=f(x)·f(y),取y=x,得f(2x)=[f(x)]2,又f=2,所以f(4)=[f(2)]2=[f(1)]4==28=256.故选D.
变式题 D [解析] 令a=b=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0;令a=1,b=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+1=0,又f(-1)=3,所以f(1)=-4;令a=b=1,得f(2)=f(1)+f(1)-1=-9;令a=1,b=2,得f(3)=f(1)+f(2)-2=-15.故选D.
例2 解:(1)证明:令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,
∴f(-1)=0,∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).∴f(x)是偶函数.
(2)证明:设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=f-f(x1)=f(x1)+f-f(x1)=f,
∵x2>x1>0,∴>1,∴f>0,即f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2.∵f(x)是偶函数,∴不等式f(2x2-1)<2可化为f(|2x2-1|)又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴|2x2-1|<4,解得-∴不等式的解集为∪∪.
变式题 (1)ABC (2)ABC [解析] (1)令x=y=0,可得f(0)=0,故A正确;令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故B正确;令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),可得f(-1)=0,令x=-1,y=x,可得f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数,故C正确;设函数f(x)=0,此时满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),但函数f(x)没有极值点,故D错误.故选ABC.
(2)由f(x+y)=f(x)+f(y)-2,令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)-2,得f(0)=2,故A正确;令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)-2,即f(x)+f(-x)=4,故B正确;令x=2024,y=-2024,则f(0)=f(2024)+f(-2024)-2,即f(2024)+f(-2024)=4,故C正确;对任意y∈R,x>0,设z=x+y>y,因为当x>0时,f(x)>2,所以f(z)-f(y)=f(x)-2>0,即f(z)>f(y),所以f(x)在R上为增函数,故D错误.故选ABC.
例3 A [解析] 方法一:令x=1,y=0,得2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1),所以f(x+2)=f(x+1)-f(x),所以f(x+2)=-f(x-1),即f(x+3)=-f(x),所以f(x)=-f(x+3)=f(x+6),即f(x)是周期为6的周期函数.因为f(0)=2,f(1)=1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2,所以f(k)=[f(1)+f(2)+…+f(18)]+[f(19)+f(20)+f(21)+f(22)]=f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.
方法二:由f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),联想到余弦函数和差化积公式
cos(x+y)+cos(x-y)=2cos xcos y.设f(x)=acos ωx,则由方法一中f(0)=2,f(1)=1知a=2,2cos ω=1,解得cos ω=,不妨取ω=,所以f(x)=2cosx,则f(x+y)+f(x-y)=2cos+2cos=4cosxcosy=f(x)f(y),所以f(x)=2cosx符合条件,因此f(x)的最小正周期T==6,且f(2)=-1,f(3)=-2,f(4)=-1,f(5)=1,f(6)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A.
变式题 B [解析] 由题得f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=y=0,有2f(0)=[f(0)]2,则f(0)=0或f(0)=4.若f(0)=0,则令x=1,y=0,有2f(1)=f(1)f(0),得f(1)=0,与已知f(1)=2矛盾,所以f(0)=4.令x=y=1,有f(2)+f(0)=[f(1)]2,则f(2)+4=×(2)2=6,得f(2)=2.令x=2,y=1,有f(3)+f(1)=f(2)f(1),得f(3)=0.令x=3,y=2,有f(5)+f(1)=f(3)f(2),得f(5)=-2.令x=5,y=2,有f(7)+f(3)=f(5)f(2),得f(7)=-2.令x=7,y=2,有f(9)+f(5)=f(7)f(2),得f(9)=0.令x=9,y=2,有f(11)+f(7)=f(9)f(2),得f(11)=2.令x=0,有f(y)+f(-y)=f(0)f(y),得f(-y)=f(y).令x=3,有f(3+y)+f(3-y)=f(3)f(y)=0,即f(3+y)=-f(3-y),所以f(6+y)=-f(-y)=-f(y),故f(12+y)=-f(6+y)=f(y),所以f(x)的周期为12,所以f(2025)=f(12×168+9)=f(9)=0.故选B.
例4 B [解析] 因为f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,所以f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>5+8=13,f(7)>8+13=21,f(8)>13+21=34,f(9)>21+34=55,f(10)>34+55=89,…,f(20)>10 946.故选B.
变式题 BC [解析] 令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,令y=1,则有f(x+1)=f(x)+f(1)+x=f(x)+x,所以f(2)=f(1)+1=1≠0=-f(0),所以函数f(x)的图象不关于点(1,0)对称,故A错误,B正确;由上知f(x+1)=f(x)+x,即f(x+1)-f(x)=x,则f(2024)=f(2024)-f(2023)+f(2023)-f(2022)+…+f(2)-f(1)+f(1)=2023+2022+…+1+0==1012×2023,故C正确;因为f(x+1)=f(x)+x,则f'(x+1)=f'(x)+1,即f'(x+1)-f'(x)=1,令an=f'(n)(n∈N*),则有an+1-an=1,又f'(1)=,所以数列{an}是等差数列,其首项为,公差为1,所以an=+(n-1)×1=n-,即f'(n)=n-,则f'(k)==1012×2024,故D错误.故选BC.增分微课2 抽象函数
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题.抽象函数主要有两个研究方向:一是由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数或其他知识,再由此预测、猜想抽象函数可能有的相关结论;二是根据给出的抽象函数性质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)相结合,以小题的方式考查居多.
解决抽象函数问题的常用方法
方法一(通法):
1.赋值,特殊值代入求值,如令x=-1,0,1.
2.通过函数式得到抽象函数的性质:
(1)通过f(x1)-f(x2)的变换判断单调性;
(2)令式子中出现f(x)和f(-x),判断函数的奇偶性;
(3)换x为x+T确定是否具有周期性.
方法二(模型化):
结合具体函数,使得抽象函数具体化,常见的有:
(1)f(x+y)=f(x)+f(y)→f(x)=kx;
(2)f(x+y)=f(x)f(y)→f(x)=ax(a>0且a≠1);
(3)f(xy)=f(x)+f(y)→f(x)=logax(a>0且a≠1);
(4)f(xy)=f(x)f(y)→f(x)=xn(n为常数);
(5)f(x+y)=→f(x)=tan x;
(6)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)→f(x)=cos ωx.
类型一 抽象函数求值
例1 [2024·南通二调] 已知f(x)对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)·f(y),且f=2,则f(4)= ( )
A.4 B.8
C.64 D.256
变式题 [2024·河北沧州二模] 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)+f(b)-ab恒成立.若f(-1)=3,则f(3)= ( )
A.0 B.-9
C.-12 D.-15
类型二 抽象函数的性质
例2 已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递增;
(3)解不等式f(2x2-1)<2.
变式题 (1)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 ( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
(2)[2024·山东部分名校联考] 函数f(x)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-2,且当x>0时,f(x)>2,则 ( )
A.f(0)=2
B.f(x)的图象关于点(0,2)对称
C.f(-2024)+f(2024)=4
D.f(x)在R上为减函数
例3 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=( )
A.-3 B.-2
C.0 D.1
变式题 [2024·陕西铜川二模] 设函数f(x)的定义域为R,若2[f(x+y)+f(x-y)]=f(x)f(y),f(1)=2,则f(2025)= ( )
A.2 B.0 C.4 D.-2
类型三 抽象函数迭代
例4 [2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 ( )
A.f(10)>100
B.f(20)>1000
C.f(10)<1000
D.f(20)<10 000
变式题 (多选题)[2025·南京六校调研] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=0,f'(1)=,则 ( )
A.f(1-x)+f(1+x)=0
B.f(2)=1
C.f(2024)=1012×2023
D.f'(k)=2023×2024增分微练2 抽象函数
1.A [解析] 对于A,若f(x)=,则f(x1x2)=(x1x2,f(x1)f(x2)==(x1x2,f(x1x2)=f(x1)f(x2),A正确;对于B,若f(x)=ln x,则f(x1x2)=ln(x1x2)=ln x1+ln x2=f(x1)+f(x2),B不正确;对于C,若f(x)=2x2,则f(x1x2)=2≠f(x1)f(x2)=4,C不正确;对于D,若f(x)=-x3,则f(x1x2)=-≠f(x1)f(x2)=,D不正确.故选A.
2.D [解析] 因为f(x)+f=1+x,所以令x=2,可得f(2)+f(-1)=3,令x=,可得f+f(2)=,两式相加可得f(-1)+f+2f(2)=,令x=-1,可得f(-1)+f=0,则2f(2)=,即f(2)=.故选D.
3.C [解析] ∵f(x+2)f(x)=1,∴f(x+2)=,∴f(x+4)===f(x),即f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期是4.∵f(0)∈(1,2),∴f(2026)=f(506×4+2)=f(2)=∈.故选C.
4.D [解析] ∵对任意x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+a,∴令x1=x2=0,得f(0)=f(0)+f(0)+a,∴f(0)=-a,令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+a,∴f(x)+a=-f(-x)-a=-[f(-x)+a],则y=f(x)+a为奇函数.故选D.
5.AC [解析] 令y=0,则f(0)f(x)=f(0)+|x|,令x=y=0,则[f(0)]2=f(0),解得f(0)=0或f(0)=1,若f(0)=0,则|x|=0,不恒成立,不合题意,故f(0)=1,A选项正确;f(0)=1,则f(x)=1+|x|,则f(1)=2,B选项错误;函数f(x)=1+|x|的定义域为R,f(-x)=1+|-x|=1+|x|=f(x),f(x)为偶函数,C选项正确,D选项错误.故选AC.
6.ABD [解析] 令x=0,y=,则f+f(0)f=0,∵f≠0,∴f(0)=-1.令x=-,y=,则f(0)+ff=-1,∴ff=0,∴f=0,A正确;令y=-,则f+f(x)f=4x×,即f=-2x,∴f=-2(x+1)=-2x-2,即f=-2x-2,易知函数y=f是奇函数,函数y=f是减函数,f=-2,B正确,C错误,D正确.故选ABD.
7.2 [解析] 由f(x+1)=,得f(x+2)=f[(x+1)+1]==-,则f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x),所以f(x)是周期为4的函数,所以f(15)=f(4×3+3)=f(3)=2.
8.D [解析] 因为f(xy)+f=2f(x),所以f(xy)-f(x)=f(x)-f,所以f(2k)-f(2k-1)=f(2k-1)-f(2k-2)=…=f(2)-f(1)=-0=,所以f(2k)=f(2k)-f(2k-1)+f(2k-1)-f(2k-2)+…+f(2)-f(1)+f(1)=,所以f(2k)=+1++…+=×=n(n+1).故选D.
9.ACD [解析] 由题意得ex-f(x)-g(x)=-y+f(y)-2g(y)恒成立,所以存在常数a,使得ex-f(x)-g(x)=a且-y+f(y)-2g(y)=a.令y=x,得解得经检验,符合题意.由f(x)=,易知f(x)是增函数,显然f(-x)≠-f(x),即f(x)不是奇函数,A正确,B错误.因为g'(x)=,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)的最小值为g(0),C正确.2f(x)-g(x)==ex+x,易知y=2f(x)-g(x)为增函数,D正确.故选ACD.
10.BC [解析] 令x=y=0,z=1,则f[f(0)]=f(0)f(1),令x=y=z=0,则f[f(0)]=f(0)f(0),∴f(0)f(0)=f(0)f(1),∴f(0)=0或f(1)=f(0).令x=1,y=z=0,则f[f(1)]=1+f(0)f(0),若f(1)=f(0),则f[f(0)]=1+f(0)f(0)≠f(0)f(0),矛盾,∴f(0)=0,则f(1)≠f(0)=0,A选项错误.令y=z=0,则f[f(x)]=x+f(0)f(0)=x,B选项正确.令x=0,则f[f(0)+yz]=0+f(y)f(z),即f(yz)=f(y)f(z),∴f(xy)=f(x)f(y),C选项正确.令x=y=1,则f(1)=f(1)f(1),得f(1)=1,令z=1,则f[f(x)+y]=x+f(y)f(1)=x+f(y)=f[f(x)]+f(y),即f(x+y)=f(x)+f(y),D选项错误.故选BC.
11.1925 [解析] 因为f(x+y)=f(x)+f(y)+10xy,所以f(x+y)-5(x+y)2=f(x)-5x2+f(y)-5y2.设g(x)=f(x)-5x2,那么g(x+y)=g(x)+g(y),因此g(n)=g(n-1)+g(1)=g(n-2)+g(1)+g(1)=g(n-2)+2g(1)=…=g(1)+(n-1)g(1)=ng(1)=n[f(1)-5],因此f(n)=5n2+[f(1)-5]n≥5n,取n=1,得到f(1)≥5,所以f(i)=5i2+[f(1)-5]i≥5i2=1925.
12.解:(1)方法一:由题知f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),
因为f(1)=1,所以f(0)=2.
由f(0)=2,得A=2.由f(1)=1,得2cos ω=1,解得cos ω=,因为0<ω<π,所以ω=,所以f(x)=2cosx,则f(x+y)+f(x-y)=2cos+2cos=4cosxcosy=f(x)f(y),
所以f(x)=2cosx,
即A=2,ω=.
方法二:因为f(x)=Acos ωx(0<ω<π),
所以f(x+y)+f(x-y)=Acos ω(x+y)+Acos ω(x-y)=A(cos ωxcos ωy-sin ωxsin ωy)+
A(cos ωxcos ωy+sin ωxsin ωy)=2Acos ωxcos ωy,f(x)f(y)=
A2cos ωxcos ωy,又f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),所以2A=A2,
解得A=0或A=2.
当A=0时,f(1)=0,与f(1)=1矛盾,不符合题意,所以A=2.
由f(1)=2cos ω=1,且0<ω<π,得ω=,所以f(x)=2cosx,即A=2,ω=.
(2)证明:由(1)得f(0)=2,令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数.
(3)证明:令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),则有f(x+2)+f(x)=f(x+1),两式相加得f(x+2)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x-4),可得f(x+2)=f(x-4),则f(x)=f(x+6),
所以函数f(x)是周期为6的周期函数.增分微练2 抽象函数
(时间:45分钟)
1.下列函数中,满足对任意的x1,x2∈(0,+∞)都有f(x1x2)=f(x1)f(x2)的是 ( )
A.f(x)=
B.f(x)=ln x
C.f(x)=2x2
D.f(x)=-x3
2.已知函数f(x)满足f(x)+f=1+x,则f(2)= ( )
A.- B.
C. D.
3.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)f(x)=1,若f(0)∈(1,2),则f(2026)的取值范围为 ( )
A.(-2,-1) B.[1,4]
C. D.
4.若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+a(a为非零常数),则下列说法正确的是 ( )
A.y=f(x)为偶函数
B.y=f(x)为奇函数
C.y=f(x)+a为偶函数
D.y=f(x)+a为奇函数
5.(多选题)[2024·南京二模] 已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)f(y)=f(xy)+|x|+|y|,则 ( )
A.f(0)=1
B.f(1)=-1
C.f(x)是偶函数
D.f(x)是奇函数
6.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且f≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则 ( )
A.f=0
B.f=-2
C.函数y=f是偶函数
D.函数y=f是减函数
7.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=,若f(3)=2,则f(15)= .
8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),值域为R,且f(xy)+f=2f(x),f(2)=,f(1)=0,则f(2k)= ( )
A.n+1
B.(n+1)
C.n(n+1)
D.n(n+1)
9.(多选题)对任意x,y∈R,函数f(x),g(x)都满足f(x)+f(y)+g(x)-2g(y)=ex+y,则 ( )
A.f(x)是增函数
B.f(x)是奇函数
C.g(x)的最小值是g(0)
D.y=2f(x)-g(x)为增函数
10.(多选题)[2025·杭州一模] 已知函数f(x)的定义域为R,若f[f(x)+yz]=x+f(y)f(z),则 ( )
A.f(1)=0
B.f[f(x)]=x
C.f(xy)=f(x)f(y)
D.f(x+y)=f(x)f(y)
11.[2024·长春模拟] 函数f(x)满足对任意n∈N*,f(n)≥5n,且f(x+y)=f(x)+f(y)+10xy,则f(i)的最小值是 .
12.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1.
(1)若f(x)=Acos ωx(0<ω<π),求A与ω;
(2)证明:函数f(x)是偶函数;
(3)证明:函数f(x)是周期函数.(共52张PPT)
增分微课2 抽象函数
类型一
类型二
类型三
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答案核查【作】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足
的一部分性质或运算法则的函数问题.抽象函数主要有两个研究方向:
一是由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数或其他知识,再由
此预测、猜想抽象函数可能有的相关结论；二是根据给出的抽象函
数性质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质（单调性、奇
偶性、周期性等）相结合,以小题的方式考查居多.
解决抽象函数问题的常用方法
方法一（通法）
1.赋值，特殊值代入求值，如令 ，0，1.
2.通过函数式得到抽象函数的性质：
（1）通过 的变换判断单调性；
（2）令式子中出现和 ，判断函数的奇偶性；
（3）换为 确定是否具有周期性.
方法二（模型化）
结合具体函数，使得抽象函数具体化，常见的有：
（1） ；
（2）且 ；
（3）且 ；
（4）（ 为常数）；
（5） ；
（6） .
类型一 抽象函数求值
例1 [2024·南通二调]已知对于任意, ，都有
，且，则 ( )
A.4 B.8 C.64 D.256
[解析] 由，取，得 ，又
，所以 .故选D.
√
变式题 [2024·河北沧州二模] 已知函数的定义域为 ，对任意的
，，恒成立.若 ，则
( )
A.0 B. C. D.
[解析] 令，得，所以；令 ，
，得，又 ，所以
；令，得 ；令
，，得 .故选D.
√
类型二 抽象函数的性质
例2 已知函数的定义域为，且 ，对定义域内的任
意，，都有，且当 时，
， .
（1）求证： 是偶函数；
证明：令，得， .
令，得 ，
，
是偶函数.
（2）求证：在 上单调递增；
证明：设 ，则
，
，，，即 ，
，在 上单调递增.
（3）解不等式 .
解：，是偶函数，
不等式可化为 ，
又函数在上单调递增， ，
解得，又，解得 ，
不等式的解集为 .
变式题（1）（多选题） 新课标Ⅰ卷］ 已知函数 的定义
域为, ，则( )
A. B.
C.是偶函数 D.为 的极小值点
√
√
√
[解析] 令，可得，故A正确；
令 ，可得，即，故B正确；
令 ，则，可得，
令, ,可得，
即 ，故是偶函数，故C正确；
设函数 ，此时满足，
但函数 没有极值点，故D错误.故选 .
（2）[2024·山东部分名校联考]函数满足对任意实数, 都有
，且当时， ，则( )
A. B.的图象关于点 对称
C. D.在 上为减函数
√
√
√
[解析] 由，令 ，则
，得,故A正确；
令 ，则，即 ，
故B正确；
令，，则 ，即
，故C正确；
对任意, ，设，因为当时， ，
所以，即，所以在 上
为增函数，故D错误.故选 .
例3 [2022·新高考全国Ⅱ卷]若函数的定义域为 ，且
,,则 ( )
A. B. C.0 D.1
√
[解析] 方法一：令,,得,所以 .令
,得 ,所以,即 ,所以,所以 ,即,所以,即 是周期为6的周期函数.因为,, , ,, , ,所以 .
方法二：由 ，联想到余弦函数和差
化积公式.设 ，则由方法一中,知,，解得 ，不妨取，所以，则 ，所以
符合条件，因此的最小正周期 ，且
,,,, ，
所以 ，
所以 .故选A.
变式题 [2024·陕西铜川二模] 设函数的定义域为 ，若
，，则
( )
A. B.0 C.4 D.
[解析] 由题得，令 ，有
，则或.若，则令 ,
，有，得，与已知 矛盾，
√
所以.令，有 ，则
，得.令， ，有
，得.令， ，有
，得.令， ，有
，得.令， ，有
，得.令， ，有
，得.
令 ，有，得
令 ，有，即
，所以 ，
故，所以 的周期为12，
所以 .故选B.
类型三 抽象函数迭代
例4 [2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为 ，
,且当时， ,则下列结论中一
定正确的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为,且当时, ,
所以， ，
，， ，
， ，
， ， .故选B.
变式题 （多选题）[2025·南京六校调研] 已知定义在上的函数 ，
其导函数为，且满足, ,
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 令，则有，即 ，令
，则有 ，
所以，所以函数 的图象不关于点对称，故A错误，B正确；
由上知 ,即，则
，故C正确；
因为，则 ，即
，令，则有 ，
又，所以数列是等差数列，其首项为 ，公差为1，所以
，即 ，则
，故D错误.故选 .
作业手册
1.下列函数中，满足对任意的， 都有
的是( )
A. B. C. D.
√
◆ 基础热身 ◆
[解析] 对于A,若，则 ，
, ，A正确；
对于B,若 ，则
，B不正确；
对于C，若，则 ，
C不正确；
对于D，若 ，则 ，
D不正确.故选A.
2.已知函数满足，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以令 ，可得
，令，可得 ，两式相加可得
，令，可得 ，则
，即 .故选D.
√
3.已知函数的定义域为，且，若 ，
则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
，即， 函数
的周期是 ,
.故选C.
√
4.若定义在上的函数满足对任意, ，都有
为非零常数 ，则下列说法正确的
是( )
A.为偶函数 B. 为奇函数
C.为偶函数 D. 为奇函数
[解析] 对任意，都有，
令，得， ,令
，，得 ，
，则 为奇函
数．故选D.
√
5.（多选题）[2024·南京二模] 已知函数的定义域为 ，且满足
，则( )
A. B. C.是偶函数 D. 是奇函数
√
√
[解析] 令，则，令 ，则
，解得或，若，则 ,
不恒成立，不合题意，故，A选项正确；
，则,则，B选项错误；
函数 的定义域为，
， 为偶函数，C选项正确，D选项错误.故选 .
6.（多选题）已知函数的定义域为,且 ,若
,则( )
A. B.
C.函数是偶函数 D.函数 是减函数
√
√
√
[解析] 令,,则,, .
令,,则, ,
,A正确;
令,则 , 即,
,即,
易知函数 是奇函数,函数是减函数,
,B正确,C错误,D正确.故选 .
7.已知函数的定义域为，且满足,若 ,
则 ___.
2
[解析] 由 ,得
,则
,所以 是周期为4的
函数,所以 .
8.已知函数的定义域为，值域为 ，且
,,，则 ( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 因为，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以
.故选D.
9.（多选题）对任意，，函数， 都满足
，则( )
A.是增函数 B. 是奇函数
C.的最小值是 D. 为增函数
√
√
√
[解析] 由题意得 恒成立，所
以存在常数，使得且 .
令，得解得 经检验，
符合题意.由，易知 是增函数，
显然 ，即 不是奇函数，A正确，B错误.
因为，所以在上单调递减，在 上
单调递增，所以的最小值为 ，C正确.
,易知
为增函数，D正确.故选 .
10.（多选题）[2025·杭州一模] 已知函数的定义域为 ，若
，则( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 令，，则,令 ，
则，， 或
.令,，则 ,若
，则 ，矛盾，
，则，A选项错误.
令 ，则，B选项正确.
令 ，则，即 ，
，C选项正确.
令，则 ，得,令 ，
则 ，
即，D选项错误.故选 .
11.[2024·长春模拟] 函数满足对任意， ，且
,则 的最小值是______.
1925
[解析] 因为 ，
所以 .
设，那么，
因此 ，
因此，取，得到 ，
所以 .
12.已知函数的定义域为 ，且
， .
（1）若，求与 ；
解：方法一：由题知，令 ，
，可得 ，因为，所以 .
由，得.由，得，解得 ，
因为 ，所以，所以 ，则
，所以 ，即， .
方法二：因为 ，所以
，
,又，所以 ，
解得或 .
当时，，与矛盾，不符合题意，所以 .
由，且 ，得 ，所以
，即， .
（2）证明：函数 是偶函数；
证明：由（1）得，令，可得 ，
即，所以函数 为偶函数.
（3）证明:函数 是周期函数.
证明：令，得 ，则有
，两式相加得 ，所
以，可得 ，则
，
所以函数 是周期为6的周期函数.
类型一
例1 D 变式题 D
类型二
例2 (1)略 (2)略 (3) ∪∪
变式题 (1)ABC (2)ABC
例3 A 变式题 B
类型三
例4 B 变式题 BC
基础热身
1.A 2.D 3.C 4.D 5.AC 6.ABD 7.2
综合提升
8.D 9.ACD 10.BC 11.1925
12. (1)A=2,ω= (2)略 (3)略
