第10讲 二次函数与幂函数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.
b=0
2.(2){x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇
非奇非偶 奇 (-∞,0] [0,+∞) [0,+∞) (-∞,0) (0,+∞) (1,1)
【对点演练】
1. [解析] 设f(x)=xα,则=2α,解得α=,故函数f(x)=.
2.-1 [解析] 由f(x)=xα为奇函数,知α从-1,1,3中取,又f(x)=xα在(0,+∞)上单调递减,∴α<0,∴α=-1.
3.6 [解析] ∵函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,∴-=1且=1,∴a=-4,b=6.
4.③ [解析] 由题意可知,函数图象的开口向下,对称轴方程为x=-,且->0,函数图象过原点,故填③.
5.m≤- [解析] 当m=0时,函数y=x+2在[3,+∞)上单调递增,不符合题意;当m≠0时,函数y=mx2+x+2的图象的对称轴为直线x=-,依题意知解得m≤-.
6.(3,5) [解析] 幂函数f(x)=在定义域(0,+∞)上单调递减,由f(a+1)
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)作出直线x=2,与四个函数的图象各有一个交点,从下到上交点的纵坐标依次增大,得到2a<2d<2c<2b,进而得到a,b,c,d的大小关系.(2)利用幂函数的定义以及单调性即可求出m的值.
(1)B (2)C [解析] (1)作出直线x=2,可知当x=2时,2a<2d<2c<2b,则a(2)因为f(x)=(m2-6m+9)是幂函数,所以m2-6m+9=1,解得m=2或m=4.当m=2时,f(x)=x-4在(0,+∞)上单调递减,不满足题意;当m=4时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,满足题意.故选C.
变式题 (1)D (2)x-1(答案不唯一)
[解析] (1)由函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是幂函数,得3m2-7m-5=1,解得m=3或m=-.当m=3时,f(x)=x2是R上的偶函数,不符合题意;当m=-时,f(x)==是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,符合题意.所以m=-.故选D.
(2)由幂函数的图象关于原点对称,得幂函数f(x)为奇函数,又幂函数f(x)的图象与坐标轴没有交点,所以f(x)=xα的幂指数α为负数,例如α=-1,所以f(x)=x-1.
例2 [思路点拨] 根据f(2-x)=f(2+x)得到函数f(x)的图象关于直线x=2对称,结合f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,得到f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(1,0)和(3,0),设出零点式,将点(4,3)的坐标代入,求出f(x)的解析式.
x2-4x+3 [解析] 因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,所以f(x)=0的两个根分别为2-1=1和2+1=3,所以二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(1,0)和(3,0),因此设f(x)=a(x-1)(x-3).因为点(4,3)在f(x)的图象上,所以3a=3,解得a=1,故f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
变式题 x2-x+3 [解析] 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,∴f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2,∴
解得又f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=x2-x+3.
例3 [思路点拨] (1)根据零点的定义,写出根与系数的关系,通过举反例和基本不等式,可得答案.(2)根据题意转化为m=-x2+2x对x∈(0,4)有解,结合二次函数的性质,即可求解.
(1)D (2)(-8,1] [解析] (1)由题意可得,α,β为关于x的方程x2-kx+8=0的两个不同解,则α+β=k,αβ=8,即α,β同号,则|α+β|=|α|+|β|>2=4,故B错误,D正确;当α=1且β=8时,αβ=8,α+β=9,则函数f(x)=x2-9x+8,显然符合题意,故A,C均错误.故选D.
(2)令f(x)=0,可得x2-2x+m=0,即m=-x2+2x,由函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,得m=-x2+2x对x∈(0,4)有解.设g(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,x∈(0,4),可得g(x)max=g(1)=1,又g(0)=0,g(4)=-8,所以-8变式题 (1)C (2)f(x)=2x2-10x
[解析] (1)二次函数y=x2-2x+m的图象开口向上,对称轴方程为x=1,要使二次函数y=x2-2x+m在区间(1,+∞)上有且仅有一个零点,只需12-2×1+m<0,解得m<1,所以m的取值范围是(-∞,1).故选C.
(2)设f(x)=ax(x-5)(a>0),由题知f(x)图象的对称轴为直线x=,又f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12,所以f(-1)=6a=12,解得a=2,所以f(x)=2x2-10x.
例4 [思路点拨] (1)把a=2代入函数解析式,再判断函数在已知区间上的单调性,进而可以求解;(2)讨论对称轴与已知区间的三种位置关系,分别求出f(x)在已知区间上的最小值,令其为3,解出a的值,进而可以得解.
解:(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2,f(x)图象的对称轴方程为x=1,所以函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,
所以f(x)在区间(-1,2)上的最小值为f(1)=-2,又f(-1)=14,f(2)=2,
所以f(x)在区间(-1,2)上的取值范围为[-2,14).
(2)f(x)=4-2a+2,其图象的对称轴方程为x=.
①当≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)=a2-2a+2,由a2-2a+2=3,解得a=1±,∵a≤0,∴a=1-.
②当0<<2,即0由-2a+2=3,解得a=- (0,4),舍去.
③当≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)=a2-10a+18,由a2-10a+18=3,解得a=5±,∵a≥4,∴a=5+.综上所述,a=1-或a=5+.
变式题 (1)D (2)[1,] [解析] (1)观察图象可知,图象具有对称性,对称轴是直线x=-=1,故A中结论正确;令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0,即(x+1)(x-3)=0,∴x1=-1,x2=3,∴(-1,0)和(3,0)是函数图象与x轴的交点坐标,又图象的对称轴是直线x=1,∴当x≥3时,函数值y随x值的增大而增大,故B中结论正确;由图象可知点(-1,0)和(3,0)是函数图象的最低点,则当x=-1或x=3时,函数取得最小值0,故C中结论正确;当x=4时,y=5>4,故D中结论错误.故选D.
(2)函数f(x)=x2-2tx图象的对称轴为直线x=t,因为函数f(x)=x2-2tx在(-∞,1]上单调递减,所以t≥1,故要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需f(0)-f(t)≤2,即0-(t2-2t2)≤2,解得-≤t≤,又t≥1,所以1≤t≤.第10讲 二次函数与幂函数
1.C [解析] 依题意可得4=()α,则()4=()α,解得α=4.故选C.
2.A [解析] 因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,所以f(x)的图象的对称轴方程为x==-1,又a>0,所以f(x)的图象开口向上,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1],故选A.
3.D [解析] 因为b=0.3-0.2=,幂函数y=x0.2在(0,+∞)上单调递增,>3,所以>30.2>30=1,所以b>a>1.因为对数函数y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,所以c=log0.20.3a>1>c.故选D.
4.A [解析] 函数f(x)=2x2-mx+1的图象的对称轴方程是x=,因为函数f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,所以≤-1,解得m≤-4.因为f(1)=3-m,所以3-m≥7,所以f(1)的取值范围是[7,+∞).故选A.
5.BCD [解析] 设幂函数f(x)=xα(α∈R),因为函数f(x)的图象经过点(8,4),所以8α=4,即23α=22,可得3α=2,解得α=,所以f(x)=,即f(x)=.由f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以B正确;分析函数解析式可知,当x>0时,随着x的增大,x2也增大,也增大,所以当x>0时,f(x)单调递增,又f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)单调递减,所以A错误;当x>1时,f(x)单调递增,又f(1)=1,所以当x>1时,f(x)>1,所以C正确;作出函数f(x)的图象如图,为点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))连线中点的纵坐标,f为x=时的函数值,观察图象可知选项D正确.故选BCD.
6.(答案不唯一) [解析] f(x)=xα(0<α<1)在(0,+∞)上单调递增,要使f(x)在区间(-1,0)上单调递减,只需f(x)为偶函数,不妨取α=,此时f(x)==.函数f(x)的定义域为R,且f(-x)==f(x),故f(x)=为偶函数,满足在区间(-1,0)上单调递减.
7.(-∞,1)和 [解析] 当x≥2或x≤1时,f(x)=x2-3x+2,其图象的对称轴方程为x=;当18.B [解析] 由图象可看出y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,当x>0时,随着x的增加,y增加得越来越慢,故∈(0,1)且m为偶数,又m,n∈N*且互质,所以n是奇数.故选B.
9.D [解析] 由题意,令ax2+4x+c=2x,则方程ax2+2x+c=0有两个相等的实数根,为1,所以解得所以f(x)=-x2+4x-1-2=-(x-2)2+1.令f(x)=-3,得x=0或x=4;令f(x)=1,得x=2.由题意可得2≤m≤4.故选D.
10.B [解析] 因为函数f(x)对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,满足题意,故f(x)=x-3,且f(x)为奇函数.因为a<0f(b),所以-f(a)>f(b),所以f(a)+f(b)<0.故选B.
11. B [解析] 当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=当22时,f(x)>0,故a>2不符合题意;当02时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),由f(x)>0,可得x>2a,由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,可得02时,f(x)=x2>0,符合题意;当a<0,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),由f(x)>0,可得x>-a,由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,可得-2≤a<0.综上,a的取值范围是[-2,1].故选B.
12.x2-2x(答案不唯一) [解析] 令f(x)=x2-2x,则其图象的对称轴为直线x=1,满足①f(1-x)=f(1+x);令f(x)=x2-2x=0,解得x=0或x=2,满足②f(x)有两个零点;f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1,f(x)min=-1,满足③f(x)有最小值.
13.∪[2,+∞) [解析] 由题意知,a>0且a≠1,令g(x)=ax2-4x+9,则g(x)图象的对称轴方程为x==.①当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[1,3]上单调递增,且g(x)>0对任意x∈[1,3]恒成立,则解得a≥2.②当00对任意x∈[1,3]恒成立,则解得14.解:(1)因为函数f(x)的图象过点(2,),所以==,
所以m2+m=2,解得m=1或m=-2,
又m∈N*,所以m=1.
(2)由(1)知f(x)=,故f(x)为[0,+∞)上的增函数,故由f(2-a)>f(a-1),得解得1≤a<,所以满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为.
15.解:(1)依题意得a+b+2=1,即b=-1-a,由对任意x∈R,y>0恒成立,得即
整理得解得3-2(2)由(1)知,b=-1-a,由y>0,得ax2-(1+a)x+2>0,即(x2-x)a-x+2>0.依题意得,(x2-x)a-x+2>0对任意a∈[-2,-1]恒成立,
令g(a)=(x2-x)a-x+2,
则解得(3)由对任意x∈R,y≥0恒成立,得则a≥,因此≥=+,显然+≥2=1,当且仅当=,即b=4时取等号,由a=且b=4,得a=2,所以当a=2,b=4时,取得最小值1.
16.AB [解析] 不等式f(x+t)≤3x等价于(x+t)2+2(x+t)-3x≤0,等价于x2+(2t-1)x+t2+2t≤0.令g(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,x∈[1,m],依题意得,存在实数t,使得g(x)≤0在[1,m]上恒成立,
由二次函数的图象与性质知
即
令h(t)=t2+2(m+1)t+m2-m,于是存在实数t∈[-4,0],使得h(t)≤0成立,而m>1,则当-m-1≤-4,即m≥3时,函数h(t)在[-4,0]上单调递增,所以h(-4)=m2-9m+8≤0,可得3≤m≤8;当-4<-m-1<-2,即117.(-∞,0]∪[8,+∞) [解析] 记g(x)=x2-bx+b2在[1,3]上的最大值为M(b),最小值为m(b),则[M(b)+c][m(b)+c]=-16,∵16=[M(b)+c][-m(b)-c]≤(当且仅当M(b)+c=-m(b)-c,即M(b)+m(b)+2c=0时取等号),∴M(b)-m(b)≥8.①当≤1,即b≤2时,M(b)=g(3),m(b)=g(1),∴M(b)-m(b)=8-2b≥8,解得b≤0;②当≥3,即b≥6时,M(b)=g(1),m(b)=g(3),∴M(b)-m(b)=2b-8≥8,解得b≥8;③当1<<3,即2【课标要求】 1.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值).
2.了解二次函数的广泛应用.
3.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
1.二次函数的图象和性质
解析式 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
(续表)
解析式 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0)
单调性 在 上单调递减,在上单调递增 在 上单调递增,在上单调递减
顶点 坐标
奇偶性 当 时为偶函数
对称轴 方程 x=-
2.幂函数
(1)定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
图象
性 质 定义 域 R R R
值域 R R
奇偶 性 函数 函数 函数 函数 函数
单调 性 在R上单调递 增 在 上单调 递减;在 上 单调递增 在R上单调 递增 在 上单调 递增 在 和 上单调递减
公共 点
常用结论
1.二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.一元二次函数图象与x轴的交点个数
(1)没有交点 Δ<0;
(2)有一个交点 Δ=0;
(3)有两个不同交点 Δ>0.
3.二次函数零点的分布问题
设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若在区间[m,n]上,有f(m)≥0,f(n)≤0,则曲线y=f(x)必与x轴相交(f(x)至少有一个零点,且零点必在[m,n]内).
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则函数f(x)= .
2.[教材改编] 已知α∈.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,则α= .
3.[教材改编] 若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线x=1对称,则b= .
题组二 常错题
◆索引:二次函数的图象特征把握不准出错;二次函数的单调性理解不到位出错;忽略幂函数的定义域出错.
4.若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图象是 .(填序号)
5.若函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上单调递减,则m的取值范围是 .
6.已知幂函数f(x)=,若f(a+1) 幂函数的图象和性质
例1 (1)已知幂函数y1=xa,y2=xb,y3=xc,y4=xd 在第一象限内的图象如图所示,则 ( )
A.a>b>c>d
B.b>c>d>a
C.d>b>c>a
D.c>b>d>a
(2)幂函数f(x)=(m2-6m+9)在(0,+∞)上单调递增,则m的值是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.2或4
总结反思
幂函数的性质因幂指数大于或等于1,大于0且小于1,等于或小于0而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
变式题 (1)已知幂函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是定义域上的奇函数,则m= ( )
A.-或3 B.3 C. D.-
(2)形如y=xα的函数称为幂函数,写出一个满足条件“函数的图象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数:f(x)= .
二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),f(x)的图象截x轴所得线段的长度为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)= .
总结反思
求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
变式题 已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)= .
二次函数的零点问题
例3 (1)若α,β是二次函数f(x)=x2-kx+8的两个不同零点,则 ( )
A.|α|≥3且|β|>3 B.|α+β|<4
C.|α|>2且|β|>2 D.|α+β|>4
(2)若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是 .
总结反思
(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点即是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根.
(2)常把二次函数的零点问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题来解决.
变式题 (1)设m为实数,若二次函数y=x2-2x+m在区间(1,+∞)上有且仅有一个零点,则m的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.R
(2)已知二次函数f(x)的两个零点分别是0和5,f(x)的图象开口向上,且f(x)在区间[-1,4]上的最大值为12,则函数f(x)的解析式为 .
二次函数的单调性与最值
例4 已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2.
(1)若a=2,求函数f(x)在区间(-1,2)上的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值.
总结反思
(1)影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素是图象的开口方向、对称轴位置、闭区间.
(2)常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解最大值与最小值,通常在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.
当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.
变式题 (1)[2024·湖南衡阳模拟] 我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2-4ac>0)的函数叫作“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象,如图所示,则下列结论错误的是 ( )
A.图象具有对称性,对称轴是直线x=1
B.当x≥3时,函数值y随x值的增大而增大
C.当x=-1或x=3时,函数取得最小值0
D.当x=1时,函数取得最大值4
(2)已知函数f(x)=x2-2tx在(-∞,1]上单调递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是 . 第10讲 二次函数与幂函数
(时间:45分钟)
1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(,4),则α= ( )
A. B.2
C.4 D.8
2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,则二次函数f(x)的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,-1]
B.[-1,+∞)
C.(-∞,2]
D.[2,+∞)
3.[2024·武汉四月调研] 记a=30.2,b=0.3-0.2,c=log0.20.3,则 ( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.b>a>c
4.已知函数f(x)=2x2-mx+1在区间[-1,+∞)上单调递增,则f(1)的取值范围是 ( )
A.[7,+∞) B.(7,+∞)
C.(-∞,7] D.(-∞,7)
5.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(8,4),则下列说法中正确的有 ( )
A.函数f(x)为增函数
B.函数f(x)为偶函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若06.[2024·北京延庆区一模] 已知函数f(x)=xα(0<α<1)在区间(-1,0)上单调递减,则α的一个取值为 .
7.函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是 .
8.如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则 ( )
A.m,n是奇数且<1
B.m是偶数,n是奇数,且<1
C.m是偶数,n是奇数,且>1
D.m,n是偶数,且>1
9.对于一个函数,当自变量x取t时,其函数值等于2t,则称t为这个函数的H数.若二次函数y=ax2+4x+c(a,c为常数且a≠0)有且只有一个H数1,且当0≤x≤m时,函数f(x)=ax2+4x+c-2的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是 ( )
A.0≤m≤2 B.1≤m≤3
C.2≤m≤3 D.2≤m≤4
10.函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0.若a,b∈R,且a<0A.恒大于0 B.恒小于0
C.等于0 D.无法判断
11. [2025·八省联考] 已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[-1,+∞)
12.[2024·潍坊二模] 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式:f(x)= .
①f(1-x)=f(1+x);②f(x)有两个零点;③f(x)有最小值.
13.已知a>0且a≠1,函数f(x)=loga(ax2-4x+9)在区间[1,3]上单调递增,则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f(x)=(m∈N*),且该函数的图象经过点(2,).
(1)求m的值;
(2)求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
15.已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b为实数).
(1)若函数图象过点(1,1),对任意x∈R,y>0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若函数图象过点(1,1),对任意a∈[-2,-1],y>0恒成立,求实数x的取值范围;
(3)若对任意x∈R,y≥0恒成立,当b>0时,求的最小值.
16.(多选题)已知函数f(x)=x2+2x,若存在实数t,使得当x∈[1,m]时,f(x+t)≤3x恒成立,则实数m的值可以为 ( )
A.3 B.6
C.9 D.12
17.[2025·T8联盟联考] 定义在闭区间[1,3]上的函数f(x)=x2-bx+b2+c(b,c∈R)的最大值与最小值之积为-16,则b的取值范围是 . (共86张PPT)
第10讲 二次函数与幂函数
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值）.
2.了解二次函数的广泛应用.
3.通过具体实例,结合,,,,的图象,理解
它们的变化规律,了解幂函数.
1.二次函数的图象和性质
解析式
图象 ___________________________________________ _________________________________________
定义域
值域 _ ____________ _ ___________
◆ 知识聚焦 ◆
解析式
单调性
顶点坐标 _ _____________ 奇偶性 当______时为偶函数 对称轴方 程
续表
2.幂函数
（1）定义：一般地，函数 叫作幂函数，其中是自变量，
是常数.
（2）常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
图象 __________________________________ _________________________ _____________________________ _______________________________ _____________________________
函数
性 质 定义 域 __________ ________
值域 _________ __________ ________
奇偶 性 ____函 数 ____函数 ____函 数 __________函 数 ____函数
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
续表
函数
性 质 单 调 性 在________上单 调递减；在 __________上单 调递增 在 _______ 上 单调递 增 在_________和
_________上单
调递减
公 共 点 ______
续表
常用结论
1.二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：；
（2）顶点式：；
（3）零点式：.
2.一元二次函数图象与 轴的交点个数
（1）没有交点 ;
（2）有一个交点 ;
（3）有两个不同交点 .
3.二次函数零点的分布问题
设函数,若在区间上,有 ,
,则曲线必与轴相交（ 至少有一个零点,且零点
必在 内）.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知幂函数的图象过点 ，则函数
___.
[解析] 设 ，则 ，解得，故函数 .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 已知.若幂函数
为奇函数，且在上单调递减，则 ____.
[解析] 由 为奇函数，知 从 ，1，3中取，
又 在上单调递减，， .
3.［教材改编］ 若函数， 的图象关
于直线对称，则 ___.
6
[解析] 函数， 的图象关于直线
对称，且，， .
题组二 常错题
◆ 索引：二次函数的图象特征把握不准出错;二次函数的单调性理
解不到位出错;忽略幂函数的定义域出错.
4.若，，则函数 的大致图象是____.（填序号）
[解析] 由题意可知，函数图象的开口向下，对称轴方程为 ，
且 ，函数图象过原点，故填③.
5.若函数在上单调递减，则 的取值范围是
_________.
[解析] 当时，函数在 上单调递增，
不符合题意；
当时，函数 的图象的对称轴为直线
，依题意知解得 .
6.已知幂函数，若，则 的取值范
围为______.
[解析] 幂函数在定义域 上单调递减，由
，得解得 .
探究点一 幂函数的图象和性质
例1（1）已知幂函数, ,
, 在第一象限内的图象如图所
示，则( )
A. B.
C. D.
√
［思路点拨］作出直线 ,与四个函数的
图象各有一个交点,从下到上交点的纵坐标
依次增大，得到 ,进而得
到,,, 的大小关系.
[解析] 作出直线，可知当 时，
，则 ，故选B.
（2）幂函数在 上单调递增,
则 的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.2或4
[解析] 因为 是幂函数,所以
,解得或.
当时, 在上单调递减,不满足题意;
当时,在 上单调递增,满足题意.故选C.
√
［思路点拨］利用幂函数的定义以及单调性即可求出 的值.
[总结反思]
幂函数的性质因幂指数大于或等于1，大于0且小于1，等于或小于0
而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解
析式、参数取值等.
变式题（1）已知幂函数 是定义域上的
奇函数，则 ( )
A.或3 B.3 C. D.
[解析] 由函数 是幂函数，得
，解得或.
当时， 是上的偶函数，不符合题意；
当时， 是上的奇函数，
符合题意.所以 .故选D.
√
（2）形如 的函数称为幂函数，写出一个满足条件“函数的图
象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数： __________
_________.
（答案不唯一）
[解析] 由幂函数的图象关于原点对称，得幂函数 为奇函数，
又幂函数的图象与坐标轴没有交点，所以 的幂指数
为负数，例如，所以 .
探究点二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数的图象经过点，的图象截 轴所得线
段的长度为2，并且对任意，都有 ，则
____________.
［思路点拨］ 根据得到函数 的图象关于直
线对称，结合的图象截轴所得线段的长度为2，得到
的图象与轴的两个交点的坐标分别为和 ，设出零点式，
将点的坐标代入，求出 的解析式.
[解析] 因为对任意恒成立，
所以 的图象关于直线对称，
又的图象截 轴所得线段的长度为2，
所以的两个根分别为和 ，
所以二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别为和 ，
因此设.
因为点在的图象上，所以 ，解得，
故 .
[总结反思]
求二次函数解析式的三个策略:（1）已知三个点的坐标,宜选用一般
式;（2）已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值等,宜选用顶点式;
（3）已知图象与轴的两交点的坐标,宜选用零点式.
变式题 已知为二次函数且， ，
则 ___________.
[解析] 设 ，
，
，
解得
又，， .
探究点三 二次函数的零点问题
例3（1）若 , 是二次函数 的两个不同零点，
则( )
A.且 B.
C.且 D.
√
[解析] 由题意可得， , 为关于的方程 的两个不
同解，则，，即 , 同号，
则，故B错误，D正确；
当 且时，，，则函数 ，
显然符合题意，故A，C均错误.故选D.
［思路点拨］ 根据零点的定义,写出根与系数的关系,通过举反例
和基本不等式,可得答案.
（2）若二次函数在区间 上存在零点，则实
数 的取值范围是_______.
[解析] 令，可得，即 ，由函
数在区间上存在零点，得 对
有解.
设， ，
可得,又， ，所以，
所以，即实数的取值范围是 .
［思路点拨］根据题意转化为m=-x2+2x对x∈(0,4)有解,结合二次函数
的性质,即可求解.
[总结反思]
（1）二次函数的零点即是关于的一元
二次方程的实根.
（2）常把二次函数的零点问题转化为二次函数的图象与轴的交点
问题来解决.
变式题（1）设为实数，若二次函数 在区间
上有且仅有一个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 二次函数 的图象开口向上，对称轴方程为
，
要使二次函数在区间 上有且仅有一个零点，
只需,解得，
所以 的取值范围是 .故选C.
√
（2）已知二次函数的两个零点分别是0和5， 的图象开口向
上，且在区间上的最大值为12，则函数 的解析式为
_________________.
[解析] 设，由题知 图象的对称轴为直
线，
又在区间 上的最大值为12，所以,
解得，所以 .
探究点四 二次函数的单调性与最值
例4 已知函数 .
（1）若，求函数在区间 上的取值范围；
［思路点拨］把 代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的
单调性，进而可以求解；
解：若，则，
图象的对称轴方程为，
所以函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以在区间上的最小值为，
又 ， ，
所以在区间上的取值范围为 .
（2）若函数在区间上有最小值3，求 的值.
解：，其图象的对称轴方程为 .
①当，即时，函数在上单调递增，
在 上的最小值为，
由 ，解得,， .
［思路点拨］讨论对称轴与已知区间的三种位置关系，分别求出
在已知区间上的最小值，令其为3，解出 的值，进而可以得解.
②当，即时，在 上的最小值为
,
由，解得 ，舍去.
③当，即时，函数在上单调递减，
在 上的最小值为，
由 ，解得，，.
综上所述， 或 .
[总结反思]
（1）影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素是图象的开
口方向、对称轴位置、闭区间.
（2）常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解最大值与最
小值，通常在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.
当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.
变式题（1）[2024·湖南衡阳模拟]我们定义一种新函数：形如
的函数叫作“鹊桥”函数.小丽
同学画出了“鹊桥”函数 的图象，如图所示，则下列
结论错误的是( )
A.图象具有对称性，对称轴是直线
B.当时，函数值随 值的增大而增大
C.当或 时，函数取得最小值0
D.当 时，函数取得最大值4
√
[解析] 观察图象可知，图象具有对称性，对称轴
是直线 ，故A中结论正确；
令可得 ，
即，， ，
和是函数图象与 轴的交点坐标，又图象的对称轴是直线
， 当时，函数值随 值的增大而增大，故B中结论正确；
由图象可知点和是函数图象的最低点，则当或
时，函数取得最小值0，故C中结论正确；
当时， ，故D中结论错误. 故选D.
（2）已知函数在 上单调递减，且对任意的
,，总有，则实数 的取值范围是
_______.
[解析] 函数图象的对称轴为直线 ，
因为函数在上单调递减，所以 ，
故要使对任意的,，都有，
只需 ，即，解得，
又 ，所以 .
【备选理由】例1考查幂函数的定义及奇偶性；
例1 ［配例1使用］ 已知点在幂函数
的图象上,则函数 在定义域上是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.增函数
√
[解析] 幂函数的图象经过点 ,
且,解得,, ，
易知在定义域 上是奇函数.故选A.
例2 ［配例2使用］ 已知二次函数满足 ,
，且的最大值是8，则 ( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例2考查根据已知条件求二次函数的解析式；
[解析] 根据题意，由得 的图象的对称轴为直线
，所以设，
因为 的最大值是8，所以，且，
则 .
由得，解得 ，
则 ，故选A.
例3 ［配例3使用］ 设， ，若
函数 在定义域上满足①是非奇非偶函数，②既不是增函数也不
是减函数，③有最大值，则实数 的取值范围是
_ _____________________．
【备选理由】例3考查含参数的二次函数的奇偶性、单调性和最值，
题目有一定的开放性；
[解析] 对于①， ，
，不是奇函数.
若 是偶函数，则对任意恒成立，可得 ，即.
故若是非奇非偶函数，则.
对于③，若 在上有最大值，则当时，，此时 在 上单调递减，无最值，不合题意；
当 时， 为二次函数且其图象所在抛物线的对称轴方程为，由题意可得解得.故若 在上有最大值，则.
对于②，若 ，则 的图象开口向下，且图象所在抛物线的对称轴方程为，
故在 上既不是增函数也不是减函数.
综上所述，实数的取值范围为 .
例4 ［补充使用］ [2024·江苏南通模拟] 记函数 在
区间上的最大值为,则 的最小值为( )
A. B. C. D.1
√
【备选理由】例4考查复合函数的单调性，分类讨论思想.
[解析] 当时,画出 的大致图象,如图①,
可知函数在区间上单调递增,
所以 ,
此时单调递减,的最小值为 .
当时,画出 的大致图象,如图②,
可知,
易知当 时,,所以,
当时, ,所以,
所以当时, 的最小值为
.
当时,画出的大致图象,如图③,
可知在 上单调递增,在上单调递减,
所以，此时 的最小值为 .
当时,画出的大致图象，如图④,
可知在 上单调递增,所以，
此时的最小值为 .
因为,所以的最小值为 .故选A.
作业手册
1.已知幂函数 的图象经过点，则 ( )
A. B.2 C.4 D.8
[解析] 依题意可得 ，则 ，解得 .
故选C.
√
◆ 基础热身 ◆
2.已知二次函数的图象与 轴交点的横坐
标为和3,则二次函数 的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为二次函数的图象与 轴交点
的横坐标为和3,所以的图象的对称轴方程为 ,
又,所以的图象开口向上，
所以 的单调递减区间为 ,故选A.
√
3.[2024· 武汉四月调研]记,, ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，幂函数在 上单调
递增，，所以，所以 .
因为对数函数在 上单调递减，
所以，故 .故选D.
√
4.已知函数在区间 上单调递增，则
的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的图象的对称轴方程是 ，
因为函数在区间上单调递增，所以 ，
解得.
因为，所以，所以 的取值范围
是 .故选A.
√
5.（多选题）已知幂函数的图象经过点 ，则下列说法中正
确的有( )
A.函数 为增函数
B.函数 为偶函数
C.若，则
D.若，则
√
√
√
[解析] 设幂函数，因为函数 的图象经过点，
所以，即 ，可得，解得，所以 ，
即.
由的定义域为 ，且，
可知函数 为偶函数，所以B正确；
分析函数解析式可知，当时，随着的增大，也增大，
也增大，所以当时，单调递增，
又 为偶函数，所以当时， 单调递减，所以A错误；
当时，单调递增，又 ，所以当时， ，
所以C正确；
作出函数 的图象如图，为点 与点
连线中点的纵坐标， 为时的函数值，
观察图象可知选项D正确.故选 .
6.[2024·北京延庆区一模] 已知函数 在区间
上单调递减，则 的一个取值为_ ________________.
（答案不唯一）
[解析] 在上单调递增，
要使 在区间上单调递减，只需为偶函数，
不妨取 ，此时.
函数的定义域为 ，且，
故 为偶函数，满足在区间 上单调递减.
7.函数 的单调递减区间是_ ______________.
和
[解析] 当或 时， ，
其图象的对称轴方程为；
当 时， ，
其图象的对称轴方程为.
作出 的图象，如图所示，
由图可知，的单调递减区间为和 .
8.如图所示是函数，且互质 的图象，则( )
A.，是奇数且
B.是偶数，是奇数，且
C.是偶数，是奇数，且
D.，是偶数，且
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由图象可看出 为偶函数，且在上单调递增，
当时，随着 的增加，增加得越来越慢，
故且 为偶数，
又，且互质，所以 是奇数.故选B.
9.对于一个函数，当自变量取时，其函数值等于，则称 为这个
函数的数．若二次函数,为常数且 有且
只有一个数1，且当时，函数 的
最小值为，最大值为1，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意，令，则方程 有两
个相等的实数根，为1,所以解得
所以.
令，得 或；
令，得.
由题意可得 .故选D.
10.函数是幂函数,
对任意 ,,且,满足.
若,,且 ,,则 的值( )
A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断
√
[解析] 因为函数对任意,,且 ,满足
,所以在 上单调递减.
由是幂函数,可得 ,
解得或.
当时,在 上单调递增,不满足题意；
当时,在 上单调递减,满足题意,
故,且为奇函数.
因为, ,
所以,所以,
所以 ,所以 .故选B.
11.[2025·八省联考] 已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,
则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞)
√
[解析]当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=
当2不满足当x>2时,f(x)>0,故a>2不符合题意;
当02时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),
由f(x)>0,可得x>2a,由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,可得0当a=0,x>2时,f(x)=x2>0,符合题意;
当a<0,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),由f(x)>0,可得x>-a,
由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,可得-2≤a<0.
综上,a的取值范围是[-2,1].故选B.
12.[2024·潍坊二模] 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析
式： ______________________.
；有两个零点； 有最小值.
（答案不唯一）
[解析] 令，则其图象的对称轴为直线 ，满足
；
令，解得或 ，
满足有两个零点;
，当 ，，
满足 有最小值.
13.已知且，函数在区间
上单调递增,则实数 的取值范围是_ ______________.
[解析] 由题意知,且,令,则 图象
的对称轴方程为
当 时,由复合函数的单调性可知, 在上单调递增,
且对任意 恒成立,则解得.
②当 时,由复合函数的单调性可知,在上单调递减,
且对任意 恒成立,则
解得.
综上所述,或 ,故实数的取值范围为 .
14.已知函数，且该函数的图象经过点 .
（1）求 的值；
解：因为函数的图象过点，所以 ，
所以，解得或 ，
又，所以 .
（2）求满足条件的实数 的取值范围.
解：由（1）知，故为 上的增函数，故由
，得解得 ，
所以满足条件的实数的取值范围为 .
15.已知二次函数，为实数 .
（1）若函数图象过点，对任意，恒成立，求实数
的取值范围；
解：依题意得，即，由对任意，
恒成立，得即
整理得解得，所以实数 的
取值范围是 .
（2）若函数图象过点，对任意， 恒成立，求
实数 的取值范围；
解：由（1）知，，由，得 ，
即.
依题意得， 对任意 恒成立，
令 ，
则解得，
所以实数 的取值范围是 ．
（3）若对任意，恒成立，当时，求 的最小值.
解：由对任意，恒成立，得则 ，
因此，
显然，当且仅当 ，即时取等号，
由且，得，所以当, 时， 取得最小值1．
16.（多选题）已知函数，若存在实数 ，使得当
时，恒成立，则实数 的值可以为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
√
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 不等式等价于 ，
等价于.
令, ，
依题意得，存在实数，使得在 上恒成立，
由二次函数的图象与性质知
即
令，于是存在实数 ，使得
成立，而，则当，即时，函数
在上单调递增，所以 ，可得
；
当，即 时，
，可得.
综上， 的取值范围是，选项A，B符合题意，
选项C，D不符合题意.故选 .
17.[2025·T8联盟联考] 定义在闭区间 上的函数
的最大值与最小值之积为 ，则
的取值范围是_________________.
[解析] 记在上的最大值为 ，最小值为
，则
（当且仅当 ,即时取等号），
.
①当 ， 即时，,,
，解得;
②当，即时,， ,
，解得 ；
③当 ，即时，,， ，，
,均不符合题意.
综上可知，或，即 的取值范围是 .
【知识聚焦】1. b=0
2.(2){x|x≥0} {x|x≠0} {y|y≥0} {y|y≥0} {y|y≠0} 奇 偶 奇
非奇非偶 奇 (-∞,0] [0,+∞) [0,+∞) (-∞,0) (0,+∞) (1,1)
【对点演练】1. 2.-1 3.6 4.③ 5.m≤- 6.(3,5)
课堂考点探究
例1 (1)B (2)C 变式题 (1)D (2)x-1(答案不唯一)
例2 x2-4x+3 变式题 x2-x+3
例3 (1)D (2)(-8,1] 变式题 (1)C (2)f(x)=2x2-10x
例4 (1)[-2,14) (2)a=1-或a=5+ 变式题 (1)D (2)[1,]
教师备用习题
例1 A 例2 A 例3(-∞,-1)∪ 例4 A
基础热身
1.C 2.A 3.D 4.A 5.BCD 6. (答案不唯一) 7. (-∞,1)和
综合提升
8.B 9.D 10.B 11.B 12. x2-2x(答案不唯一) 13. ∪[2,+∞)
14. (1) 1 (2) 15.(1) (3-2,3+2) (2) (3) 1
能力拓展
16.AB 17.(-∞,0]∪[8,+∞)