第12讲 对数与对数函数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)对数 (2)10 lg N 自然对数 ln N
2.(1)0 (3)N
3.(1)logaM+logaN logaM-logaN αlogaM (2)logab
4.对数 (0,+∞) R (1,0) 增 减
5.y=logax(a>0且a≠1) y=x
【对点演练】
1.1 [解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.
2.b>c>a [解析] a=log20.3
ln e=1,0=log31c>a.
3.(2,1) [解析] 令2x-3=1,解得x=2,此时f(2)=1+loga1=1,所以f(x)的图象恒过定点(2,1).
4.4 [解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y.由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=4y,所以=4.
5.(-∞,-1) [解析] 因为0<<1,所以函数y=lox在定义域内单调递减.由x2-1>0,得x<-1或x>1,因为函数y=x2-1在(-∞,-1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=lo(x2-1)的单调递增区间是(-∞,-1).
6.2或 [解析] 当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;当0● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据指对互化可得b=log36,再利用换底公式、对数运算法则依次验证各选项即可.(2)利用对数运算法则及换底公式进行化简计算.
(1)BCD (2)9 [解析] (1)∵3b=6,∴b=log36.对于A,
∵a=log26=,b=log36=,ln 6>ln 3>ln 2>0,∴a>b,A错误;
对于B,+=+=log62+log63=log66=1,B正确;对于C,∵a-1=log26-1=log23,b-1=log36-1=log32,∴(a-1)(b-1)=log23×log32=1,C正确;对于D,log186===,D正确.故选BCD.
(2)原式=lg 2×(2lg 5+2)+8××(lg 5)2++×=2lg 2×lg 5+2lg 2+2×(lg 5)2+3+4=
2lg 5×(lg 2+lg 5)+2lg 2+7=2×(lg 5+lg 2)+7=2+7=9.
变式题 (1)C (2)D (3)D
[解析] (1)由+=2知a≠0,b≠0,由2a=3b=t,知t>0且t≠1,且a=log2t,b=log3t,所以+=+=logt2+2logt3=logt18=2,所以t2=18,可得t=3.故选C.
(2)由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=.故选D.
(3)由题知m=a2,则m>0且m≠1.由换底公式得,logma==,logmb==,所以log(ab)m===.故选D.
例2 [思路点拨] (1)首先由ax=b-x得出a=,再分类讨论a和b的取值范围,根据指数函数和对数函数的图象即可得出答案.(2)结合指对函数的凹凸性判断.
(1)AB (2)B [解析] (1)因为ax=b-x,即ax=,所以a=.当a>1时,01,同理可得,指数函数y=bx在R上单调递增,且图象过点(0,1),y=loga(-x)在(-∞,0)上单调递增且图象过点(-1,0),故B符合题意.故选AB.
(2)对于选项A,B,由题意不妨设x1=,即>>0,因为函数y=log2x是增函数,所以log2>log2=,故A错误,B正确;对于选项C,取x1=-2,x2=-1,则y1=,y2=,可得log2=log2=log23-3∈(-2,-1),此时log2>-3=x1+x2,故C错误;对于选项D,取x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,可得log2=log2∈(0,1),此时log2<1=x1+x2,故D错误.故选B.
变式题 (1)D (2)A [解析] (1)由题图可得,函数在定义域上单调递增,所以a>1,排除A,C;因为函数的图象过点(0.5,0),所以b+0.5=1,解得b=0.5,排除B.故选D.
(2),,可分别看作f(x)图象上的点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c))与坐标原点O(0,0)连线的斜率,作出f(x)的图象,如图所示,并取点(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(c)),其中a>b>c>0,再将三个点分别与点(0,0)相连,得到三条直线.由图可知,当a>b>c>0时,<<.故选A.
例3 [思路点拨] (1)引入中间值2,利用中间值法,再结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.(2)先作商==log43×log45,利用基本不等式可得ac,从而得到结果.
(1)C (2)A [解析] (1)由a=>2,1b,a>c.又π3<25,所以π<,故b=log2πc>b.故选C.
(2)因为a=log169=lo32=log43>0,b=log2516=lo42=log54>0,==log43×log45<=<==1,所以alog42=lo2=>e-2=c,所以b>a>c.故选A.
例4 [思路点拨] (1)利用对数的运算性质化简对数方程,得到x与y之间的关系,进而求值.(2)利用换底公式先消去a,再平方去掉绝对值,进而解不等式.
(1)10 (2)(0,1) [解析] (1)因为1+lg x-lg y=lg y2,所以lg 10+lg x=lg y2+lg y,所以lg(10x)=lg y3(x>0,y>0),则10x=y3,所以=10.
(2)易知-1,即|lg(1-x)|>|lg(1+x)|,两边同时平方得[lg(1-x)]2>[lg(1+x)]2,即[lg(1-x)+lg(1+x)]·[lg(1-x)-lg(1+x)]>0,所以lg(1-x2)·lg>0.又-1例5 [思路点拨] (1)利用奇偶性的定义判断、证明即可;(2)根据复合函数的单调性求出f(x)在上的最小值,把问题转化为t2+at-5≤0对任意t∈[-2,2]恒成立,根据二次函数的性质即可求得结果.
解:(1)f(x)为奇函数,证明如下:
由解析式易知>0,即(x-1)(x+1)<0,解得-1又f(-x)=log2=-log2=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(2)因为m==-1在上单调递减,y=log2m在定义域上为增函数,所以f(x)在上单调递减,故f(x)在上的最小值为f=-1.要使对任意x∈,t∈[-2,2],不等式f(x)≥t2+at-6恒成立,只需t2+at-6≤-1对任意t∈[-2,2]恒成立,即t2+at-5≤0对任意t∈[-2,2]恒成立,因为y=t2+at-5的图象开口向上,所以解得-≤a≤,所以a的取值范围是.
【应用演练】
1.C [解析] a=log522.C [解析] 因为函数f(x)=lo(3x2-ax+8)在[-1,+∞)上单调递减,所以y=3x2-ax+8在[-1,+∞)上单调递增且y=3x2-ax+8>0对任意x∈[-1,+∞)恒成立,所以解得-113.(2,+∞) [解析] 因为<,loga1,则对数函数y=logax(a>1)在区间(0,+∞)上单调递增,又loga(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2,所以不等式的解集为(2,+∞).第12讲 对数与对数函数
1.A [解析] 由8=5b,得b=log58,所以ab=log25·log58=3log25·log52=3.
2.A [解析] 函数f(x)=loga|x|+1(00时,f(x)=logax+1,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减且f(x)的图象过点(1,1).故选A.
3.C [解析] 因为a=lo=log32,所以0e0=1,所以c>a>b.故选C.
4.D [解析] 当x=0时,y=loga=-1,则当01时,函数y=loga的图象经过第一、三、四象限,所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限.故选D.
5.B [解析] 由题得2log2(3x-1)>log2(3x+5),即log2(3x-1)2>log2(3x+5),因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以解得x>.故选B.
6.7 [解析] +lg 5+log32×log49×lg 2=3×+lg 5+log32×lo32×lg 2=3×2+lg 5+log32×log23×lg 2=6+(lg 5+lg 2)=6+1=7.
7. [解析] 若f(x)的定义域为R,则ax2+x+2>0的解集为R,∴解得a>,∴a的取值范围为.若f(x)的值域为R,则a=0或解得a=0或08.C [解析] 由题意得b=log35,c=log58,则a==log3=log3>log35=b,即a>b,a==log5=log5>log58,即a>c.因为=×=>==>1,且b>0,c>0,所以b>c,故a>b>c.故选C.
9.D [解析] 依题意得两式相减得0.5=lg V2-lg V1=lg,解得=100.5=,易知∈(3,3.5).故选D.
10.B [解析] 因为x3·=x3·ln x2=1,所以=ln x2=,由>0,得x2>1,x3>0,作出函数y=ex,y=ln x,y=(x>0)的图象如图所示.由图可知,x1,x2,x3的大小关系可能为x3>x2>x1,x3=x2>x1,x2>x3>x1,x2>x1=x3,x2>x1>x3,故x3>x1>x2不可能成立.故选B.
11.BD [解析] 对于A,因为logab>1,所以logab>logaa.当01时,y=logax为增函数,可得10,即ab+1>a+b,故选项B正确.对于C,当a=2,b=3时,a-12.AC [解析] f(x)=lg的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且满足f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;当x>0时,f(x)=lg=lg,由y=x+的性质可知其在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数的单调性可知,f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故B不正确;当x>0时,x+≥2(当且仅当x=1时取等号),所以f(x)在(0,+∞)上的最小值为f(1)=lg 2,又f(x)是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg 2,故C正确;由函数的定义可得,函数f(x)的图象与直线x=2不可能有四个交点,故D不正确.故选AC.
13.(4,+∞) 4 [解析] 由函数f(x)=2log2x-log2(x-4)有意义,得解得x>4,所以函数f(x)的定义域为(4,+∞).f(x)=2log2x-log2(x-4)=log2,x>4,令t=x-4>0,g(t)==t++8,t>0,因为t++8≥2+8=16,当且仅当t=,即t=4时取等号,所以g(t)≥16,所以f(x)≥log216=4,所以函数f(x)的最小值为4.
14.(1,4) [解析] 因为()a<,所以ln()a1时,不等式化简为<,可得1,没有符合题意的解.综上所述,a的取值范围是(1,4).
15.解:(1)由题得f(x)=(2log4x-2),令t=log4x,因为x∈[2,4],所以t∈, 所以y=(2t-2)=2t2-3t+1=2-,又t∈,所以y∈,所以该函数的取值范围为.
(2)由(1)及f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立,可得2t2-3t+1≥mt对任意t∈[1,2]恒成立,所以m≤2t+-3对任意t∈[1,2]恒成立.由对勾函数的单调性可知,g(t)=2t+-3在[1,2]上单调递增,所以m≤g(1)=0,故实数m的取值范围为(-∞,0].
16.B [解析] 由2x+x+3=0得2x=-x-3,由log2x+x+3=0得log2x=-x-3,作出函数y=2x,y=log2x,y=-x-3的图象如图所示.由题知,y=2x与y=-x-3的图象交点的横坐标为p,y=log2x与y=-x-3的图象交点的横坐标为q,因为y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称,直线y=-x-3与直线y=x垂直,而y=-x-3的图象与直线y=x的交点为,所以=-.因为函数f(x)=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq的图象的对称轴为直线x=-=,且二次函数f(x)的图象开口向上,所以f(0)=f(3)>f(2).故选B.
17.BC [解析] 易知点A,B和原点O在同一条直线上,则点A,D和原点O不在同一条直线上,故A错误;设A(x1,log8x1),B(x2,log8x2),则C(x1,log2x1),D(x2,log2x2),因为点A,B和原点O在同一条直线上,所以=,化简得=,所以点C,D和原点O在同一条直线上,故B正确;当BC平行于x轴时,log8x2=log2x1,化简得x2=,结合=,可得x1=,故C正确;当BC平行于x轴时,由选项C知x1=,则log8x1=log8=log2,故D错误.故选BC.第12讲 对数与对数函数
【课标要求】 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0且a≠1).
1.对数的概念
(1)定义:一般地,如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫作以a为底N的 ,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.
(2)常用对数与自然对数
通常,我们将以 为底的对数叫作常用对数,即log10N是常用对数,通常简写为 .
以无理数e=2.718 28…为底的对数称为 ,自然对数logeN通常简写为 .
2.对数的性质
(1)loga1= ;(2)logaa=1;
(3)= (a>0且a≠1,N>0).
3.对数的运算法则与换底公式
(1)运算法则:如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
loga(MN)= ;
loga= ;
logaMα= (α∈R).
(2)换底公式与推论
换底公式:logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1).
推论:lobn= (m≠0),logab=.
4.对数函数的概念、图象与性质
概念 函数y=logax(a>0且a≠1)叫作 函数
底数 a>1 0图象
定义域
值域
性质 过定点 ,即当x=1时,y=0
在区间(0,+∞)上是 函数 在区间(0,+∞)上是 函数
5.反函数
指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数 互为反函数,它们的图象关于直线 对称.
常用结论
1.logab·logba=1,lobn=logab(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m≠0,n∈R).
2.如图,给出4个对数函数的图象,则b>a>1>d>c>0.
3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(1,0),(a,1),.
题组一 常识题
1.[教材改编] 化简logab·logbc·logca(a>0且a≠1,b>0且b≠1,c>0且c≠1)的结果是 .
2.[教材改编] 设a=log20.3,b=ln 3,c=log32,则a,b,c的大小关系是 .
3.[教材改编] 函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,a≠1)的图象恒过定点 .
题组二 常错题
◆索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.
4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
5.函数y=lo(x2-1)的单调递增区间是 .
6.若函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a= .
对数式的化简与求值
例1 (1)(多选题)已知a=log26,3b=6,则 ( )
A.aC.(a-1)(b-1)=1 D.log186=
(2)计算:lg 2×lg 2500+8×(lg)2++log29×log34= .
总结反思
(1)利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简合并;(2)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论, 利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
变式题 (1)设2a=3b=t,若+=2,则t= ( )
A.2 B.6 C.3 D.
(2)[2024·北京卷] 生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 ( )
A.3N2=2N1 B.2N2=3N1
C.= D.=
(3)[2024·武汉调研] 已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,ab≠1,若logam=2,logbm=3,则log(ab)m=( )
A. B. C. D.
对数函数的图象及应用
例2 (1)(多选题)已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,若ax=b-x,则函数y=loga(-x)与y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
(2)[2024·北京卷] 已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 ( )
A.log2<
B.log2>
C.log2D.log2>x1+x2
总结反思
(1)在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题.
(2)熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题.
变式题 (1)已知函数y=loga(x+b)(a,b为常数,其中a>0且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是 ( )
A.a=0.5,b=2
B.a=2,b=2
C.a=0.5,b=0.5
D.a=2,b=0.5
(2)已知函数f(x)=log2(x+2),若a>b>c>0,则 ( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
解决对数函数性质有关的问题
微点1 比较大小
例3 (1)[2024·江苏南通一模] 设a=,b=log2π,c=,则 ( )
A.c>b>a
B.b>c>a
C.a>c>b
D.a>b>c
(2)[2024·云南三校联考] 已知a=log169,b=log2516,c=e-2,则 ( )
A.b>a>c B.b>c>a
C.c>b>a D.c>a>b
总结反思
比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较;三是通过构造函数,利用所构造函数的单调性确定或估算范围,进而达到比较大小的目的.
微点2 解对数方程或不等式
例4 (1)若1+lg x-lg y=lg y2,则= .
(2)已知a>0,a≠1,则关于x的不等式|loga(1-x)|>|loga(1+x)|的解集为 .
总结反思
对于形如logaf(x)>b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab的形式,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.
微点3 对数函数性质的综合问题
例5 [2025·南通模拟] 已知函数f(x)=log2.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈,t∈[-2,2],不等式f(x)≥t2+at-6恒成立,求实数a的取值范围.
总结反思
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
1.已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是 ( )
A.a>b>c
B.b>a>c
C.b>c>a
D.c>b>a
2.已知函数f(x)=lo(3x2-ax+8)在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-6]
B.[-11,-6]
C.(-11,-6]
D.(-11,+∞)
3.已知a>0且a≠1,若loga0的解集为 . 第12讲 对数与对数函数
(时间:45分钟)
1.已知a=log25,8=5b,则ab= ( )
A.3 B.4
C.2 D.5
2.函数f(x)=loga|x|+1(03.已知a=lo,b=ln,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.b4.[2024·深圳二模] 已知a>0,且a≠1,则函数y=loga的图象一定经过 ( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
5.已知函数f(x)=log2(3x-1),则使得2f(x)>f(x+2)成立的x的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
6.计算:+lg 5+log32×log49×lg 2= .
7.已知函数f(x)=ln(ax2+x+2),若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围为 ;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围为 .
8.[2024·广州一模] 已知a=,3b=5,5c=8,则 ( )
A.aC.c9.[2024·山东泰安模拟] 青少年视力问题是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和5.0,记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1,V2,则的值所在区间是 ( )
A.(1.5,2) B.(2,2.5)
C.(2.5,3) D.(3,3.5)
10.若x3·=x3·ln x2=1,则下列不等式一定不成立的是 ( )
A.x3>x2>x1 B.x3>x1>x2
C.x2>x1=x3 D.x2>x1>x3
11.(多选题)[2025·沈阳郊联体模拟] 若logab>1,则下列选项正确的是 ( )
A.aB.ab+1>a+b
C.a->b-
D.a+12.(多选题)已知函数f(x)=lg,则下列说法正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象关于y轴对称
B.当x>0时,f(x)单调递增,当x<0时,f(x)单调递减
C.函数f(x)的最小值是lg 2
D.函数f(x)的图象与直线x=2有四个交点
13.[2024·北京西城区期末] 已知函数f(x)=2log2x-log2(x-4),则f(x)的定义域是 ,f(x)的最小值是 .
14.[2025·浙江名校协作体模拟] 已知正实数a满足()a<,则a的取值范围是 .
15.已知函数f(x)=(log2x-2).
(1)当x∈[2,4]时,求该函数的取值范围;
(2)若f(x)≥mlog4x对任意x∈[4,16]恒成立,求实数m的取值范围.
16.[2024·江苏扬州模拟] 设方程2x+x+3=0和方程log2x+x+3=0的根分别为p,q,设函数f(x)=(x+p)(x+q),则 ( )
A.f(2)=f(0)B.f(0)=f(3)>f(2)
C.f(3)D.f(0)17.(多选题)[2024·杭州模拟] 如图,已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A,B两点,分别过点A,B作y轴的平行线,与函数y=log2x的图象交于C,D两点,则 ( )
A.点A,D和原点O在同一条直线上
B.点C,D和原点O在同一条直线上
C.当BC平行于x轴时,点A的横坐标为
D.当BC平行于x轴时,点A的纵坐标为3log2(共88张PPT)
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【课标要求】 1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一
般对数转化成自然对数或常用对数.
2.了解对数函数的概念,能用描点法或借助计算工具画出具体对数函
数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数与指数函数互为反函数 且
.
1.对数的概念
（1）定义：一般地，如果且,那么数叫作以
为底的______,记作,其中叫作对数的底数， 叫作真数.
对数
（2）常用对数与自然对数
通常，我们将以____为底的对数叫作常用对数,即 是常用对数,
通常简写为_____.
以无理数 为底的对数称为__________,自然对数
通常简写为_____.
10
自然对数
◆ 知识聚焦 ◆
2.对数的性质
（1） ___；
0
（2） ；
（3）___且， .
3.对数的运算法则与换底公式
（1）运算法则:如果且,, ，那么
_______________;
_______________；
________ .
（2）换底公式与推论
换底公式：且,,且 .
推论：________, .
4.对数函数的概念、图象与性质
概念 底数
图象 _________________________________________________________ ______________________________________________________
对数
定义域 ________ 值域 ___ 性质
增
减
续表
5.反函数
指数函数且 与对数函数______________________
_______互为反函数，它们的图象关于直线______对称.
且
常用结论
1.，且，且
，，.
2.如图，给出4个对数函数的图象，则 .
3.对数函数且的图象过点， ，
.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 化简且， 且
，且 的结果是___.
1
[解析] 利用对数的换底公式可得结果为1.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 设，，，则，， 的
大小关系是__________.
[解析] , ,
，即， .
3.［教材改编］ 函数 的图象
恒过定点______.
[解析] 令，解得，此时 ，
所以的图象恒过定点 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;
忽略对底数的讨论致错.
4.已知，则 ___.
4
[解析] 因为，所以 ，
即，解得或.
由已知得， ，，所以，所以 .
5.函数 的单调递增区间是__________.
[解析] 因为,所以函数 在定义域内单调递减.
由，得或，因为函数在 上
单调递减,在上单调递增，所以函数 的单调
递增区间是 .
6.若函数且在 上的最大值与最小值的差
是1，则 _ ____.
2或
[解析] 当时，有，解得；
当 时，有，解得.
综上，或 .
探究点一 对数式的化简与求值
例1
（1）（多选题）已知， ，则( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] ，.
对于A， ，，，
，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C，， ，
，C正确；
对于D，，D正确.故选 .
［思路点拨］根据指对互化可得 ，再利用换底公式、对数
运算法则依次验证各选项即可.
（2）计算：
___.
9
［思路点拨］利用对数运算法则及换底公式进行化简计算.
[解析] 原式
[总结反思]
（1）利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数幂的形式,
使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简合并;（2）对数运算
法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推
论, 利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之
间进行转化.
变式题（1）设，若，则 ( )
A. B.6 C. D.
[解析] 由知，，
由，知 且，且， ，
所以，
所以 ，可得 ．故选C.
√
（2）[2024·北京卷]生物丰富度指数 是河流水质的一个评价
指标，其中, 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物
丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由变为 ，生物丰富度指数由2.1提高到
，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得,，则 ，
即，所以 .故选D.
√
（3）[2024·武汉调研]已知且，且， ，
若，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知，则且 .
由换底公式得，， ，
所以 .故选D.
√
探究点二 对数函数的图象及应用
例2
（1）（多选题）已知且，且，若 ，
则函数与 在同一坐标系中的大致图象可能是
( )
A. B. C. D.
√
√
［思路点拨］首先由得出，再分类讨论和 的取值范
围，根据指数函数和对数函数的图象即可得出答案.
[解析] 因为，即，所以.
当 时，，则指数函数在上单调递减，
且图象过点 ，对数函数在上单调递增且图象
过点 ，将的图象关于轴对称得到 的图象，
则在上单调递减且图象过点 ，故A符合题
意；
当时，，同理可得，指数函数在 上单调
递增，且图象过点，在 上单调递增且图象
过点，故B符合题意.故选 ．
（2）[2024·北京卷]已知，是函数 的图象上两
个不同的点，则( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］结合指对函数的凹凸性判断.
√
[解析] 对于选项A,B,由题意不妨设,
因为函数 是增函数,所以,
即,易得 ,
即,
因为函数 是增函数,所以 ,
故A错误,B正确;
对于选项C,取,,则, ,
可得 ,
此时 ,故C错误;
对于选项D,取,,则, ,
可得,此时 ,
故D错误.故选B.
[总结反思]
（1）在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函
数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低
点等）解题.
（2）熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题.
变式题（1）已知函数
，为常数，其中且 的图象如图
所示，则下列结论正确的是( )
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 由题图可得，函数在定义域上单调递
增，所以，排除A，C；
因为函数的图象过点 ,所以，解得 ，排除B．
故选D.
√
（2）已知函数，若 ，则( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ，，可分别看作 图象上的
点，， 与
坐标原点连线的斜率，
作出 的图象，如图所示，
并取点 ，，，其中，
再将三个点分别与点 相连，得到三条直线.
由图可知，当时， .故选A.
探究点三 解决对数函数性质有关的问题
微点1 比较大小
例3
（1）[2024·江苏南通一模]设， ， ，则
( )
A. B. C. D.
√
［思路点拨］引入中间值2，利用中间值法，再结合指数函数和对数
函数的单调性即可比较大小.
[解析] 由， ，
，知，.
又，所以 ，故，
又 ，故 ，所以，
因此可得 .故选C.
（2）[2024·云南三校联考]已知,, ，则
( )
A. B. C. D.
［思路点拨］先作商 ，利用基本不等式可
得，再根据对数函数的单调性可得 ，从而得到结果.
√
[解析] 因为 ，
，，所以 .
又，所以 .故选A.
[总结反思]
比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再
根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较;三
是通过构造函数，利用所构造函数的单调性确定或估算范围，进而
达到比较大小的目的.
微点2 解对数方程或不等式
例4
（1）若，则 ____．
10
［思路点拨］利用对数的运算性质化简对数方程，得到与 之间的
关系，进而求值.
[解析] 因为，所以 ，
所以，则，所以 ．
（2）已知，，则关于 的不等式
的解集为______．
［思路点拨］利用换底公式先消去 ，再平方去掉绝对值，进而解不
等式.
[解析] 易知，且 ，原不等式可化为
，即 ，
两边同时平方得 ，
即 ，
所以．
又，且 ，所以，所以，
从而 ，解得 ．
[总结反思]
对于形如的不等式,一般转化为的形
式,再根据底数的范围转化为或.而对于形如
的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.
微点3 对数函数性质的综合问题
例5 [2025·南通模拟] 已知函数 .
（1）判断并证明 的奇偶性；
［思路点拨］利用奇偶性的定义判断、证明即可；
解： 为奇函数，证明如下：
由解析式易知，即，解得 ，
故函数的定义域为 ，
又，所以 为奇函数.
（2）若对任意，，不等式 恒
成立，求实数 的取值范围.
［思路点拨］根据复合函数的单调性求出在 上的最小值，
把问题转化为对任意 恒成立，根据二次函
数的性质即可求得结果.
解：因为在上单调递减， 在定义
域上为增函数，所以在上单调递减，故在 上
的最小值为.
要使对任意， ，不等式恒成立，
只需对任意 恒成立，
即对任意 恒成立，
因为的图象开口向上，所以
解得，所以的取值范围是 .
[总结反思]
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函
数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必
须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即
它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、
分类讨论、转化与化归思想的使用.
应用演练
1.已知,, ,则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] ，
即 .
√
2.已知函数在 上单调递减，则实
数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在 上单调递减，
所以在 上单调递增且
对任意 恒成立，所以
解得 .故选C.
√
3.已知且，若,则关于 的不等式
的解集为________.
[解析] 因为，,所以 ，
则对数函数在区间上单调递增,
又 ,所以,解得,
所以不等式的解集为 .
【备选理由】例1补充了对等式两边取对数的技巧，并结合对数的运
算性质求值;
例1 ［配例1使用］ 已知，则 ( )
A.11或 B.11或 C.12或 D.10或
√
[解析] 由 ，两边取以4为底的对数得
，即 ，
所以或.
当时， ，所以；
当时， ，所以.
综上，或 .故选A.
例2 ［配例2使用］ （多选题）已知函数 ，则其图
象可能是( )
A. B. C. D.
√
√
√
【备选理由】例2主要考查对数型函数的图象，涉及图象的翻折与平移;
[解析] 当时，，的图象可由 的图象
作关于轴对称，再把所得图象轴下方的部分作关于 轴对称，保留
轴及其上方的图象得到，故D正确；
当 时，,的图象可由 的图象
向右平移3个单位长度得到，故B正确；
当时，, 的图象可由 的图象
向左平移3个单位长度得到，故A正确；
C选项中的图象对应的函数解析式为 ，故C错误.
故选 .
例3 ［配例4使用］ [2024·上海青浦区二模] 已知 ，
，若，则满足条件的
的取值范围是___________________．
[解析] 因为，所以 ，
即，所以或，
解得 或,所以的取值范围是 .
【备选理由】例3考查对数不等式;
例4 ［配例5使用］ （多选题）[2024·兰州模拟] 已知函数
，若当的定义域为时，实数 的取
值范围为集合，当的值域为时，实数的取值范围为集合 ，
则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
【备选理由】例4考查对数型函数的定义域、值域问题;
[解析] 对于A选项，当时，由，解得 ，故
的定义域不是，不满足要求，当时，要使 的定义域
为，则解得，故 ，A正确；
对于B选项，要使的值域为,则 能取到所有正数，
当时，能取到所有正数，满足要求，当 时，要
使能取到所有正数，只需且 ，
解得，综上，，故 ，B错误；
对于C选项， ，C错误；
对于D选项， ，D正确.故选 .
例5 ［配例5使用］ 已知函数 的图象关于直
线对称，则 ___.
[解析] 易知函数的定义域为，
函数的图象关于直线对称，
定义域也关于直线 对称，，
，即 ， 解得.
【备选理由】例5考查与对数型函数相关的对称性问题.
验证如下： ，
，
的图象关于直线对称，
即 符合题意. .
作业手册
1.已知,，则 ( )
A.3 B.4 C.2 D.5
[解析] 由，得 ，
所以 .
√
◆ 基础热身 ◆
2.函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，
，
所以函数 为偶函数.
当时，，则函数在 上单调递减
且的图象过点 .故选A.
√
3.已知,,，则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以 ,
又,，所以 .故选C.
√
4.[2024· 深圳二模]已知，且，则函数 的
图象一定经过( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
[解析] 当时，，则当 时，函数
的图象经过第二、三、四象限，
当 时，函数 的图象经过第一、三、四象限，
所以函数 的图象一定经过第三、四象限.故选D.
√
5.已知函数，则使得成立的 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题得 ，即
，
因为函数在 上单调递增，
所以解得 .故选B.
√
6.计算： ___.
7
[解析]
.
7.已知函数，若的定义域为，则实数
的取值范围为________；若的值域为，则实数 的取值范围为
______.
[解析] 若的定义域为，则的解集为 ，
解得，的取值范围为.
若 的值域为，则或解得或 ，
即，的取值范围为 .
8.[2024·广州一模]已知，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得， ，则
，即 ，
，即 .
因为，
且 ,,所以，故 .故选C.
√
◆ 综合提升 ◆
9.[2024·山东泰安模拟]青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视
力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视
力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足 .
已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和 ，记小明和
小李视力的小数记录法的数据分别为,，则 的值所在区间是
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 依题意得 两式相减得
，解得 ，
易知 .故选D.
10.若 ，则下列不等式一定不成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
，由，得, ，
作出函数,, 的图象
如图所示.
由图可知，,, 的大小关系可能为,,
,,,故 不可能成立.故选B.
√
11.（多选题）[2025·沈阳郊联体模拟] 若 ，则下列选项正
确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 对于A，因为，所以.当
时，为减函数，可得；当 时，
为增函数，可得 .故选项A错误.
对于B，由A中分析得，即 ，
故选项B正确.
对于C，当，时，，故选项C错误.
对于D， 在上单调递减，在 上单调递增，
所以由A中分析得，故选项D正确.故选 .
12.（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是
( )
A.函数的图象关于 轴对称
B.当时，单调递增，当时， 单调递减
C.函数的最小值是
D.函数的图象与直线 有四个交点
√
√
[解析] 的定义域为 ，关于原点对称，
且满足，所以函数是偶函数，其图象关于 轴对称，
故A正确；
当时，，由 的性质可知
其在上单调递减，在 上单调递增，所以由复合函
数的单调性可知，在上单调递减，在 上单调递增，
故B不正确；
当时，（当且仅当 时取等号），
所以在上的最小值为，
又 是偶函数，所以函数的最小值是，故C正确；
由函数的定义可得，函数 的图象与直线不可能有四个交点，
故D不正确.故选 .
13.[2024·北京西城区期末] 已知函数 ，
则的定义域是________， 的最小值是___.
4
[解析] 由函数有意义，得 解
得，所以函数 的定义域为
, ，令
，, ，因为
，当且仅当，即 时取等号，
所以，所以，所以函数 的最小值为4.
14.[2025·浙江名校协作体模拟] 已知正实数满足，则
的取值范围是______.
[解析] 因为，所以 ,
所以.
当时，不等式化简为，可得 ；
当时，不等式显然不成立；
当 时，不等式化简为，没有符合题意的解.
综上所述，的取值范围是 .
15.已知函数 .
（1）当 时，求该函数的取值范围；
解：由题得，令 ，
因为，所以 ，所以
，
又 ，所以,所以该函数的取值范围为 .
（2）若对任意恒成立，求实数 的取值范围.
解：由（1）及对任意 恒成立，
可得对任意恒成立，
所以 对任意恒成立.
由对勾函数的单调性可知， 在上单调递增，
所以，故实数 的取值范围为 .
16.[2024·江苏扬州模拟]设方程 和方程
的根分别为,，设函数 ，则
( )
A. B.
C. D.
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 由得 ，
由得 ，
作出函数,, 的
图象如图所示.
由题知， 与的图象交点的横坐标为 ，
与的图象交点的横坐标为，因为 与
的图象关于直线对称，直线与直线 垂直，
而的图象与直线的交点为，所以 .
因 为函数 的图象的对称轴为直线
，且二次函数 的图象
开口向上，所以 .故选
B.
17.（多选题）[2024·杭州模拟] 如图，已知过原点 的一条直线与函
数的图象交于，两点，分别过点，作 轴的平行线，
与函数的图象交于， 两点，则( )
A.点，和原点 在同一条直线上
B.点，和原点 在同一条直线上
C.当平行于轴时，点的横坐标为
D.当平行于轴时，点 的纵坐标为
√
√
[解析] 易知点，和原点 在同一条直线上，
则点,和原点 不在同一条直线上，
故A错误；
设, ,则
,,因为点， 和原
点在同一条直线上，所以 ,化简
得,所以点,和原点 在同一条直线上，故B正确；
当平行于轴时，,
化简得 ,结合,
可得,故C正确；
当 平行于轴时，由选项C知 ,
则,故D错误. 故选 .
【知识聚焦】1.(1)对数 (2)10 lg N 自然对数 ln N 2.(1)0 (3)N
3.(1)logaM+logaN logaM-logaN αlogaM (2)logab
4.对数 (0,+∞) R (1,0) 增 减 5.y=logax(a>0且a≠1) y=x
【对点演练】1.1 2.b>c>a 3.(2,1) 4.4 5.(-∞,-1) 6.2或
课堂考点探究
例1 (1)BCD (2)9 变式题 (1)C (2)D (3)D
例2 (1)AB (2)B 变式题 (1)D (2)A
例3 (1)C (2)A 例4 (1)10 (2)(0,1) 例5 (1)f(x)为奇函数,证明略 (2)
【应用演练】
1.C 2.C 3.(2,+∞)
教师备用习题
例1 A 例2 ABD 例3(0,10]∪[1000,+∞) 例4 AD 例5
基础热身
1.A 2.A 3.C 4.D 5.B 6.7 7.
综合提升
8.C 9.D 10.B 11. BD 12. AC 13. (4,+∞) 4
14. (1,4) 15.(1)(2) (-∞,0]
能力拓展
16.B 17. BC