第13讲 函数的图象
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
2.(1)f(x)-k (2)-f(x) f(-x)
-f(-x) logax (4)|f(x)| f(|x|)
【对点演练】
1.y=0 [解析] y=lox=-logax,故两个函数的图象关于x轴,即直线y=0对称.
2.x=0 [解析] y==a-x,故两个函数的图象关于y轴,即直线x=0对称.
3.④①② [解析] (1)根据描述,离家的距离先增加,再减少到零,再增加,只有图象④符合.
(2)根据描述,离家的距离应该先沿直线上升,然后与x轴平行,最后继续沿直线上升,符合的图象为①.
(3)根据描述,符合的图象为②.
4.y=(2x-1)2+2 [解析] 将f(x)的图象向右平移一个单位长度后得到y=[2(x-1)+1]2=(2x-1)2的图象,再把所得图象向上平移两个单位长度后得到y=(2x-1)2+2的图象.
5.y=ln [解析] 根据图象的伸缩变换可得,所求函数解析式为y=ln.
6.
[解析] y=eln x+|x-1|=x+|x-1|=其图象如图所示.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)利用图象的翻折变换作图.(2)利用图象的平移变换和翻折变换作图.(3)先将函数y=化为y=2-,再利用图象的平移变换作图.
解:(1)先作出y=的图象,保留y=图象中x≥0的部分,再把y轴右侧部分翻折到左侧,即得y=的图象,如图①所示.
(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将所得图象的x轴下方部分翻折到上方,原x轴下方部分去掉,上方不变,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.
(3)y==2-的图象可由y=-的图象先向左平移1个单位长度,再将所得图象向上平移2个单位长度得到,如图③.
变式题 解:(1)先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把所得图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,原x轴下方部分去掉,上方不变,并截取在区间[-2,6]内的部分,即得函数y=|x2-4x-5|(x∈[-2,6])的图象,如图①所示.
(2)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图②所示.
例2 [思路点拨] (1)先根据函数的奇偶性排除选项A,C,再根据f(1)>0排除选项D,即可得解.(2)思路一:根据函数f(x)的定义域得到y=f(1-x)的定义域,再结合函数值的取值范围排除部分选项,得到结果;思路二:根据函数图象的对称变换和平移变换即可得到结果.
(1)B (2)D [解析] (1)显然f(x)的定义域为R,因为f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2-(ex-e-x)(-sin x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),所以f(x)为偶函数,排除A,C.因为f(1)=-1+sin 1,易知e->2-=,sin 1>sin=,所以f(1)>×-1=>0,排除D.故选B.
(2)方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1-x>0得x<1,即函数y=f(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,C.f(1-x)=(1-x)ln(1-x),设g(x)=(1-x)ln(1-x),则g(-1)=2ln 2>0,排除B.故选D.
方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(-x)的图象,再将所得图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f[-(x-1)]=f(1-x)的图象.故选D.
变式题 (1)C (2)A [解析] (1)函数f(x)的定义域为R,又f(-x)=-xln[(-x)2+1]=-xln(x2+1)=-f(x),故函数f(x)为奇函数,排除A,B.又f(1)=ln 2>0,故排除D.故选C.
(2)将f(x)的图象保持不变,作与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象,得到偶函数y=f(|x|)的图象,再将所得图象向左平移一个单位长度得到y=f(|x+1|)的图象.故选A.
例3 [思路点拨] 将函数的解析式写成分段函数的形式,然后结合函数的图象分析函数的性质即可.
C [解析] 由题意得,f(x)=|x-1|-1=作出f(x)的图象,如图所示.由图可得,f(x)的图象关于直线x=1对称,选项A中说法正确;f(x)的最小值为-1,选项B中说法正确;f(x)的图象不关于点(1,-1)对称,选项C中说法错误;f(x)在(-∞,0]上单调递减,选项D中说法正确.故选C.
例4 [思路点拨] 由函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,作出函数y=f(x-1)在[-2,2]上的图象,结合图象,即可求解.
B [解析] 因为函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=所以当x∈(-1,0]时,f(x)=x,当x∈[-2,-1]时,-x∈[1,2],所以f(x)=-f(-x)=-(x+2)=-x-2,当x∈[-3,-2]时,x+4∈[1,2],所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)+2=-x-2.函数y=f(x-1)的图象可由函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,作出函数y=f(x-1)在[-2,2]上的图象,如图所示.由图可知不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为(-2,-1)∪(0,1).故选B.
例5 [思路点拨] 将问题转化为f(x)与y=-m的图象有3个不同的交点,画出两函数图象,数形结合得到答案.
(-1,0) [解析] 令g(x)=f(x)+m=0,得f(x)=-m,画出f(x)=
与y=-m的图象,如图.函数g(x)=f(x)+m有3个零点,则f(x)与y=-m的图象有3个不同的交点,所以-m∈(0,1),可得m的取值范围是(-1,0).
【应用演练】
1.A [解析] 方法一:画出函数y1=3x与y2=2x+1的图象,如图所示,故不等式f(x)<0的解集是(0,1).
方法二:因为f'(x)=3xln 3-2单调递增,且f'(0)=ln 3-2<0,f'(1)=3ln 3-2>0,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得f'(x0)=0,当x
x0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又f(0)=f(1)=0,所以由f(x)<0可得02.A [解析] ∵f(x)==+2,∴函数f(x)的图象是由函数y=的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到的,作出f(x)的图象如图所示,可知其图象关于点(1,2)对称,故A正确,D错误;函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,故B错误;显然函数f(x)的图象与函数y=k的图象最多只有一个交点,故C错误.故选A.
3. [解析] 方法一:作出f(x)的图象,如图.由f(m)=f(n),且m方法二:作出f(x)的图象,如图.设f(m)=f(n)=t,因为m1.B [解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=2x的图象与函数g(x)=-x+6的图象,如图所示,由图可得两函数图象的交点个数为1.故选B.
2.B [解析] 当x<0时,-x>0,则f(-x)==3x=f(x),当x>0时,-x<0,则f(-x)=3-x==f(x),所以函数f(x)是偶函数.作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知函数f(x)的最大值为1,没有最小值.故选B.
3.A [解析] 函数f(x)=的定义域为R,排除C,D;因为f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B.故选A.
4.B [解析] 因为g(x)=f(-x),所以 g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.由f(x)的解析式,作出f(x)的大致图象如图所示,从而可得B选项符合题意.故选B.
5.A [解析] f(x)=的定义域为R,f(-x)===-f(x),所以函数y=f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;f(π)=<0,排除B.故选A.
6.y=log3(4x-2) [解析] 把函数y=log3(x-1)的图象向右平移1个单位长度,得到y=log3(x-1-1)=log3(x-2)的图象,再把函数y=log3(x-2)的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),所得图象对应的函数解析式是y=log3(4x-2).
7.(1,+∞) [解析] 不等式f(x)>0,即lg x+x2-1>0,所以lg x>1-x2.在同一坐标系中作出函数y=lg x,y=-x2+1的图象(如图所示),由图可知,满足不等式lg x>-x2+1的x的取值范围为(1,+∞),所以不等式f(x)>0的解集是(1,+∞).
8.D [解析] 当小明沿走时,他到O点的直线距离y保持不变;当小明沿BO走时,随着时间t的增大,他到O点的直线距离y越来越小;当小明沿OA走时,随着时间t的增大,他到O点的直线距离y越来越大.故D选项中的函数图象符合题意.故选D.
9.C [解析] 对于选项A,f(x)=x3·ln|x|的定义域为{x|x≠0},与题图所表示的函数的定义域不符,故A不符合题意;对于选项B,因为f(-x)=e|-x|·[(-x)2-1]=e|x|·(x2-1)=f(x),且其定义域为R,所以f(x)为偶函数,f(x)的图象关于y轴对称,与题图不符,故B不符合题意;对于选项D,因为f(x)==,所以当00,与题图不符,故D不符合题意.故选C.
10.A [解析] 当x≤1时,f(x)=x2+1,函数f(x)在(一∞,0]上单调递减,在(0,1]上单调递增,则f(x)在(-∞,1]上的最小值为f(0)=1;当x>1时,f(x)=2x-a,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.要使函数f(x)存在最小值,则必有2-a≥1,解得a≤1.故选A.
11.B [解析] 由f(x)为奇函数可知,f(ex-1)+f[(1-e)x]<0等价于f(ex-1)<-f[(1-e)x],等价于f(ex-1)12.AB [解析] 对于A,由题意得f(-1.7)=-1.7-[-1.7]=-1.7-(-2)=0.3,所以A正确;对于B,f(x+1)=x+1-[x+1]=x+1-([x]+1)=x-[x]=f(x),所以B正确;对于C,由选项B可知,f(x)是周期为1的周期函数,且当x=0时,f(0)=0-[0]=0,当013.9,2 [解析] 作出f(x)在区间[0,2]上的图象,如图所示,由图可知f(x)=max{3x,2x+1,3-4x2}在区间[0,2]上的最大值M和最小值m分别是9,2.
14.[3,6] [解析] 作出函数y=|log2x-1|的图象,如图所示,由f(x)=0,得x=2,由f(x)=1,得x=1或x=4.若a>2,则不符合题意,舍去;若a=2,则b=4,此时a+b=6;若115.D [解析] 当x∈[-2,0)时,f(x)=-2x(x+2)=-2(x+1)2+2∈[0,2].因为f(x-2)=2f(x),所以当x∈[0,2)时,x-2∈[-2,0),则f(x)=f(x-2)=-x(x-2)∈[0,1].同理,当x∈[2,4)时,f(x)=f(x-2)∈,依次类推,可得当x∈[2k,2(k+1))时,f(x)∈,其中k∈Z,所以当x≥2时,必有f(x)≤.作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知,当0≤x<2时,由解得≤x<2或0≤x≤,由对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≤,结合函数f(x)的图象可得m≥,故选D.
16.4 [解析] 因为函数f(x)的定义域为R,且y=f(x+1)为偶函数,y=f(x-1)为奇函数,所以f(1-x)=f(1+x),f(-x-1)=-f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称,也关于点(-1,0)对称,所以f(-x)=f(x+2),f(-x)=-f(x-2),故有f(x+2)=-f(x-2),则f(x+4)=-f(x),从而f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为8的周期函数.根据函数的对称性和周期性,可以画出函数f(x)的图象和g(x)=在[0,8]上的图象,如图.由图可知g(x)=与f(x)的图象在[0,8]上有4个交点.第13讲 函数的图象
【课标要求】 1.掌握基本初等函数的图象特征,能熟练运用基本初等函数的图象解决问题.
2.掌握图象的作法:描点法和图象变换.
3.会运用函数的图象理解和研究函数性质.
1.描点法作图
基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性).
其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点).
最后:描点、连线.
2.图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
y=f(x)的图象y= 的图象;y=f(x)的图象y= 的图象;
y=f(x)的图象y= 的图象;
y=ax(a>0且a≠1)的图象y= (a>0且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y=f(x)的图象y=f(ax)的图象;
y=f(x)的图象y=Af(x)的图象.
(4)翻折变换
y=f(x)的图象y= 的图象;
y=f(x)的图象y= 的图象.
题组一 常识题
1.[教材改编] 已知a>0且a≠1,则函数y=logax与函数y=lox的图象关于直线 对称.
2.[教材改编] 已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=的图象关于直线 对称.
3.[教材改编] 所给4个图象中,与(1)(2)(3)三件事吻合最好的顺序为 .
(1)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;
(2)我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
(3)我从家出发后,心情轻松,一路缓缓加速行进.
题组二 常错题
◆索引:函数图象的几种变换记混;分段函数中忽视定义域致图象出错.
4.将函数f(x)=(2x+1)2的图象向右平移一个单位长度,再把所得图象向上平移两个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为 .
5.把函数f(x)=ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是 .
6.函数y=eln x+|x-1|的图象是 .
作函数的图象
例1 作出下列函数的图象:
(1)y=;(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=.
总结反思
为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之外,还要做到以下两点:
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如y=x+的函数图象.
(2)掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
变式题 作出下列函数的图象:
(1)y=|x2-4x-5|(x∈[-2,6]);
(2)y=2x+1-1.
识图与辨图的常见方法
例2 (1)[2024·全国甲卷] 函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为( )
(2)函数f(x)=xln x的图象如图所示,则函数y=f(1-x)的大致图象为 ( )
总结反思
1.识别函数图象的常见方法:(1)利用函数的值域和定义域判断;(2)利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;(3)利用函数的特殊点(如零点、极值点、特殊函数值点)或者极限思想等判断.
2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数的图象);二是了解一些常见的变换形式,如平移变换、翻折变换等.
变式题 (1)函数f(x)=xln(x2+1)的图象大致为 ( )
(2)已知函数f(x)的图象如图所示,则y=f(|x+1|)的大致图象是 ( )
以函数图象为背景的问题
微点1 研究函数的性质
例3 已知函数f(x)=|x-1|-1,则下列说法中错误的是 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)的最小值为-1
C.f(x)的图象关于点(1,-1)对称
D.f(x)在(-∞,0]上单调递减
总结反思
一般根据图象研究函数的性质有以下几方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性.
微点2 解不等式
例4 [2024·重庆一中模拟] 已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且当x∈[0,2]时,f(x)=则不等式xf(x-1)<0在(-2,2)上的解集为 ( )
A.(-2,-1) B.(-2,-1)∪(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,2)
总结反思
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难但其对应函数的图象可作出时,常结合图象,利用数形结合思想求解.
微点3 求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+m有3个零点,则m的取值范围是 .
总结反思
当参数的不等关系不易找出时,可将不等式或方程的两边转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象确定参数的取值范围.
1.[2024·北京延庆区一模] 已知函数f(x)=3x-2x-1,则不等式f(x)<0的解集是 ( )
A.(0,1)
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(1,+∞)
2.[2024·浙江绍兴模拟] 已知函数f(x)=,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)的图象关于点(1,2)对称
B.函数f(x)在(-∞,1)上单调递增
C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴
D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
3.[2024·山东泰安模拟] 已知函数f(x)=若m(时间:45分钟)
1.函数f(x)=2x的图象与函数g(x)=-x+6的图象的交点个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.[2024·北京海淀区二模] 函数f(x)=是 ( )
A.偶函数,且最小值为0
B.偶函数,且最大值为1
C.奇函数,且最小值为0
D.奇函数,且最大值为1
3.[2024·厦门三模] 函数f(x)=的图象大致为 ( )
4.已知函数f(x)=g(x)=f(-x),则函数g(x)的大致图象是 ( )
5.[2024·重庆八中月考] 函数f(x)=的图象大致为 ( )
6.把函数y=log3(x-1)的图象向右平移1个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析式是 .
7.已知函数f(x)=lg x+x2-1,则不等式f(x)>0的解集是 .
8.[2024·青海西宁一模] 如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从A点出发,沿花坛外侧的小路按顺时针方向匀速走了一圈(路线为→BO→OA),则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是 ( )
9.[2024·安徽A10联盟联考] 已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 ( )
A.f(x)=x3·ln|x|
B.f(x)=e|x|·(x2-1)
C.f(x)=
D.f(x)=
10.[2024·北京朝阳区二模] 已知函数f(x)=存在最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1] B.(-∞,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
11.[2024·吉林通化期中] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)为增函数,则f(ex-1)+f[(1-e)x]<0的解集为 ( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(0,e) D.(1,e)
12.(多选题)设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数,例如[2.3]=2.令函数f(x)=x-[x],则以下结论正确的有 ( )
A.f(-1.7)=0.3
B.f(x+1)=f(x)
C.f(x)的最大值为1,最小值为0
D.y=f(x)与y=x-1的图象有2个交点
13.用max{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最大值,则f(x)=max{3x,2x+1,3-4x2}在区间[0,2]上的最大值M和最小值m分别是 .
14.设015.设函数f(x)的定义域为R,f(x)满足f(x-2)=2f(x),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意x∈[m,+∞),f(x)≤恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
16.[2024·河北保定三模] 定义在R上的函数f(x)满足y=f(x+1)为偶函数,y=f(x-1)为奇函数,且当x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则当x∈[0,8]时,函数g(x)=与f(x)图象的交点个数为 . (共87张PPT)
第13讲 函数的图象
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.掌握基本初等函数的图象特征,能熟练运用基本初等
函数的图象解决问题.
2.掌握图象的作法:描点法和图象变换.
3.会运用函数的图象理解和研究函数性质.
1.描点法作图
基本步骤是列表、描点、连线,具体为:
首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质
（奇偶性、单调性、周期性）.
其次:列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标
轴的交点）.
最后:描点、连线.
◆ 知识聚焦 ◆
2.图象变换
（1）平移变换
（2）对称变换
的图象_______的图象； 的图象
_______的图象；
的图象 _________的图象；
且的图象______
且 的图象.
（3）伸缩变换
的图象 的图象；
的图象 的图象.
（4）翻折变换
的图象_______的图象；
的图象 _______的图象.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知且,则函数 与函数
的图象关于直线______对称.
[解析] ，故两个函数的图象关于 轴，
即直线 对称.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 已知且,则函数与 的图象
关于直线______对称.
[解析] ，故两个函数的图象关于轴，
即直线 对称.
3.［教材改编］ 所给4个图象中,与 三件事吻合最好的顺序
为________.
（1）我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找
到了作业本再上学;
（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,
耽搁了一些时间;
④①②
（3）我从家出发后,心情轻松,一路缓缓加速行进.
[解析] （1）根据描述,离家的距离先增加,再减少到零,再增加,只有图
象④符合.
（2）根据描述,离家的距离应该先沿直线上升,然后与 轴平行,最后
继续沿直线上升,符合的图象为①.
（3）根据描述,符合的图象为②.
题组二 常错题
◆ 索引：函数图象的几种变换记混;分段函数中忽视定义域致图象出错.
4.将函数 的图象向右平移一个单位长度，再把所得
图象向上平移两个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为_______
____________.
[解析] 将 的图象向右平移一个单位长度后得到
的图象，再把所得图象向上平移两
个单位长度后得到 的图象.
5.把函数 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐
标不变，得到的图象对应的函数解析式是_ ___________.
[解析] 根据图象的伸缩变换可得，所求函数解析式为 .
6.函数 的图象是_ _______________________.
[解析] 其图象如图
所示.
探究点一 作函数的图象
例1 作出下列函数的图象：
（1） ；
［思路点拨］利用图象的翻折变换作图.
解：先作出的图象，保留 图
象中的部分，再把 轴右侧部分翻折到左
侧，即得 的图象，如图①所示.
（2） ；
［思路点拨］利用图象的平移变换和翻折变换作图.
解：将函数 的图象向左平移一个单位
长度，再将所得图象的 轴下方部分翻折到上
方，原 轴下方部分去掉，上方不变，即可得
到函数 的图象，如图②.
（3） .
［思路点拨］先将函数化为 ，再利用图象的平移
变换作图.
解： 的图象可由
的图象先向左平移1个单位长度，
再将所得图象向上平移2个单位长度得到，
如图③.
[总结反思]
为了正确地作出函数的图象,除了掌握“列表、描点、连线”的方法之
外,还要做到以下两点:
（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象,以及形如的函数
图象.
（2）掌握常用的图象变换方法,如平移变换、伸缩变换、对称变换、
翻折变换、周期变换等,利用这些方法来帮助我们简化作图过程.
变式题 作出下列函数的图象:
（1） ；
解：先作出二次函数 的图象，
再把所得图象在轴下方的部分沿轴翻折到
轴上方，原 轴下方部分去掉，上方不变，并
截取在区间 内的部分，即得函数
的图象，如图①
所示.
（2） .
解：将 的图象向左平移1个单位长度，得到
的图象，再将所得图象向下平移1个单位
长度，得到 的图象，如图②所示.
探究点二 识图与辨图的常见方法
例2（1）[2024·全国甲卷]函数 在区间
的图象大致为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］先根据函数的奇偶性排除选项A,C,再根据 排除
选项D,即可得解.
√
[解析] 显然的定义域为 ，
因为 ，
所以为偶函数，排除A,C.
因为 ,
易知, ，
所以 ，排除D.故选B.
（2）函数 的图象如图所示,则函数
的大致图象为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］思路一：根据函数的定义域得到 的定义域,
再结合函数值的取值范围排除部分选项,得到结果;
√
[解析] 方法一： 函 数的定义域为 ,由得,
即函数 的定义域为,排除A,C.
,设,
则 ,排除B.故选D.
方法二： 将函数的图象进行以 轴为对称轴的翻折变换,
得到函数 的图象,
再将所得图象向右平移一个单位长度,
即可得到函数 的图象.
故选D.
［思路点拨］思路二： 根据函数图象的对称变换和平移变换即可得到结果.
[总结反思]
1.识别函数图象的常见方法:（1）利用函数的值域和定义域判断;（2）
利用函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等判断;（3）利用函数
的特殊点（如零点、极值点、特殊函数值点）或者极限思想等判断.
2.通过图象变换识别函数图象要掌握两点:一是熟悉基本初等函数的
图象（如指数函数、对数函数的图象）;二是了解一些常见的变换形
式,如平移变换、翻折变换等.
变式题（1）函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ,
又，
故函数 为奇函数，排除A,B.
又 ，故排除D.故选C.
√
（2）已知函数 的图象如图所示，则
的大致图象是( )
A. B. C. D.
[解析] 将的图象保持不变，作与函数的图象关于 轴对称的
图象，得到偶函数 的图象，再将所得图象向左平移一个单
位长度得到 的图象.故选A.
√
探究点三 以函数图象为背景的问题
微点1 研究函数的性质
例3 已知函数 ，则下列说法中错误的是( )
A.的图象关于直线对称 B.的最小值为
C.的图象关于点对称 D.在 上单调递减
［思路点拨］ 将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合函数
的图象分析函数的性质即可.
√
[解析] 由题意得，
作出
的图象，如图所示.
由图可得， 的图象关于直线 对称，
选项A中说法正确；
的最小值为 ，选项B中说法正确；
的图象不关于点对称，选项C中说法错误；
在 上单调递减，选项D中说法正确. 故选C.
[总结反思]
一般根据图象研究函数的性质有以下几方面:一是观察函数图象是否
连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于
原点或轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降
的情况,确定单调性.
微点2 解不等式
例4 [2024·重庆一中模拟]已知函数是定义在 上周期为4的奇函
数，且当时， 则不等式
在 上的解集为( )
A. B.
C. D.
［思路点拨］ 由函数 的图象向右平移1个单位长度，
作出函数在 上的图象，结合图象，即可求解.
√
[解析] 因为函数是定义在 上周期为4的奇函数，且当
时，所以当 时， ，
当时， ，
所以，
当 时， ，
所以 .
函数的图象可由函数 的图象向右平移
1个单位长度得到，
作出函数在 上的图象，如图所示.
由图可知不等式在上
的解集为 .故选B.
[总结反思]
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难但其对应
函数的图象可作出时,常结合图象,利用数形结合思想求解.
微点3 求参数的取值范围
例5 已知函数若函数 有3个
零点，则 的取值范围是_______.
［思路点拨］ 将问题转化为与 的图象有3个不同
的交点，画出两函数图象，数形结合得到答案.
[解析] 令，得 ，画出
与的图象，如图.
函数 有3个零点，
则与 的图象有3个不同的交点，
所以，可得 的取值范围是 .
[总结反思]
当参数的不等关系不易找出时,可将不等式或方程的两边转化为方便
作图的两个函数,再根据题设条件和图象确定参数的取值范围.
应用演练
1.[2024·北京延庆区一模]已知函数 ，则不等式
的解集是( )
A. B.
C. D.
[解析] 方法一：画出函数与
的图象，如图所示，
故不等式的解集是 .
√
方法二：因为 单调递增，且 ，
，所以存在唯一的，使得，
当 时，，当时， ，
所以函数在上单调递减，在 上 单调递增，
又，所以由可得 ，故选A.
2.[2024·浙江绍兴模拟]已知函数 ，则下列结论正确的是
( )
A.函数的图象关于点 对称
B.函数在 上单调递增
C.函数的图象上至少存在两点,,使得直线 轴
D.函数的图象关于直线 对称
√
[解析] ， 函数 的图象是由函数
的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移
2个单位长度得到的，作出 的图象如图所示，
可知其图象关于点 对称，故A正确，D错误；
函数在 上单调递减，故B错误；
显然函数的图象与函数 的图象最多只有一个交点，
故C错误.故选A.
3.[2024·山东泰安模拟] 已知函数若 ,且
,则 的取值范围是_ _______.
[解析] 方法一：作出的图象，如图.
由,且 ,可知,,
可得 ,则.
令,因为，所以 ,
则,,
因此 .
方法二：作出的图象，如图.
设,因为 ,
所以结合图象可得,
且,于是 , ,
因此.
因为 ,所以,即 .
【备选理由】例1考查利用函数的奇偶性与函数值的符号识别函数
图象;
例1 ［配例2使用］ [2024·湖南常德模拟] 函数 的
部分图象大致为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由函数，
可得函数 的定义域为 ，
且满足，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，
当时， , ，
所以 ，D符合题意.故选D.
例2 ［配例3使用］ （多选题）[2024·黑龙江大庆模拟] 已知函数
,.记, 则下列关于函
数, 的说法正确的是( )
A.当时，
B.函数的最小值为
C.函数在 上单调递减
D.若关于的方程 恰有两个不相等的实数根，则
或
√
√
√
【备选理由】例2考查通过函数的图象研究函数的单调性、最值;
[解析] 在同一平面直角坐标系中作出
函数 和的图象，
由函数 的定义，得 的图象如图中实
线部分所示.
由图可知，当 时， ，
A选项正确；
由 ,得 ,解得或,
又 , 所以由图可知函数 的最小值为 ，B选项正确；
由图可知函数在 上单调递增，
C选项错误；
因为 ，所以由图可知若关于 的方程
恰有两个不相等的实数根，
则或 ，D选项正确.
故选 .
例3 ［配例4使用］ [2024·重庆南开中学月考] 已知函数
则不等式 的解集
是( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例3考查利用函数图象解不等式;
[解析] 根据题意,当 时, ;当时, .
故 是周期为3的周期函数，作出函数
的 图象,
并在同一坐标系中作出函数
的图象，如图所示.
由,得 ,
由,得 ,
由图可得,不等式的解集为 ,
故选C.
例4 ［配例5使用］ [2024·河南郑州模拟] 定义在上的函数 满
足,且当时, ,若对任意
,都有,则 的取值范围是_ _______.
【备选理由】例4考查利用函数图象求参数的取值范围.
[解析] 因为当时, ,所
以
因为,所以当 ,即时,
由 ,得
同理可得 依此类推.作出函数
的部分图象如图所示,
由图可知,当 时,令,
即,解得 ,所以若对任意,
都有,则, 故 的取值范围为 .
作业手册
1.函数的图象与函数 的图象的交点个数为
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象与函数 的图
象，如图所示，
由图可得两函数图象的交点个数为1.故选B.
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2024·北京海淀区二模]函数 是( )
A.偶函数，且最小值为0 B.偶函数，且最大值为1
C.奇函数，且最小值为0 D.奇函数，且最大值为1
[解析] 当时， ，则
，当时， ，
则，所以函数 是偶
函数.作出函数的图象如图所示，
由图可知函数 的最大值为1，没有最小值.故选B.
√
3.[2024·厦门三模]函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为 ，排除C，D；
因为，所以为偶函数，其图象关于 轴对称，
排除B.故选A.
√
4.已知函数，则函数 的大致图
象是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为，所以的图象与的图象关于 轴
对称.
由的解析式，作出 的大致图象如图所示，
从而可得B选项符合题意.故选B.
5.[2024·重庆八中月考]函数 的图象大致为( )
A. B. C. D.
[解析] 的定义域为 ，
，所以函数 为奇函数，
其图象关于原点对称，排除C，D；
，排除B.故选A.
√
6.把函数 的图象向右平移1个单位长度,再把所得图象
上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变）,则所得图象对应的函
数解析式是________________.
[解析] 把函数 的图象向右平移1个单位长度，得到
的图象，
再把函数 的图象上各点的横坐标缩短为原来
的 （纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式是 .
7.已知函数,则不等式 的解集是________.
[解析] 不等式,即,所以 .
在同一坐标系中作出函数, 的图象（如图所示）,
由图可知,满足不等式的的取值范围为 ,
所以不等式的解集是 .
8.[2024·青海西宁一模]如图，公园里有一处扇形花
坛，小明同学从 点出发，沿花坛外侧的小路按顺
时针方向匀速走了一圈（路线为 ），
则小明到点的直线距离与他从 点出发后运动的
时间 之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 当小明沿走时，他到点的直线距离 保持不变；
当小明沿走时，随着时间的增大，他到点的直线距离 越来越小；
当小明沿走时，随着时间的增大，他到点的直线距离 越来越大.
故D选项中的函数图象符合题意.故选D.
9.[2024·安徽A10联盟联考]已知函数 的部分图象如图所示，则
的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于选项A， 的
定义域为 ，与题图所表示的函
数的定义域不符，故A不符合题意；
对于选项B，因为 ，
且其定义域为，所以为偶函数，的图象关于 轴对称，
与题图不符，故B不符合题意；
对于选项D，因为 ，
所以当时， ，与题图不符，
故D不符合题意.故选C.
10.[2024·北京朝阳区二模]已知函数 存在最小
值，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 当时，,函数在（一 , 上单调递减，
在上单调递增，则在上的最小值为 ；
当时，,函数在 上单调递增.
要使函数存在最小值，则必有,解得 .故选A.
√
11. 吉林通化期中］ 已知函数是定义在 上的奇函数，
且为增函数，则 的解集为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由 为奇函数可知，
等价于
，等价于
，又 为增函数，所
以.作出 与
的图象，如图.
由图可知与 的图象有两个交点，
且1和0分别为两个交点的横坐标，所以不等式的
解集为 .故选B.
12.（多选题）设，用表示不超过的最大整数，则 称
为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数 ，
则以下结论正确的有( )
A.
B.
C. 的最大值为1，最小值为0
D.与 的图象有2个交点
√
√
[解析] 对于A，由题意得 ，所以A正确；
对于B，
，所以B正确；
对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，
且当 时，，
当 时，，
当 时， ，
所以的值域为 ，即 的最小值为0，无最大值，所以C错误；
对于D，由选项C可知，当
时，
且 的周期为1，作出
与 的图象，如图所示，
由图可知与 的图象有无数个交点，所以D错误.
故选 .
13.用，，表示，， 三个数中的最大值，则
，，在区间上的最大值 和最小
值 分别是______.
9，2
[解析] 作出在区间 上的图象，如图所示，
由图可知，， 在区间
上的最大值和最小值 分别是9，2.
14.设,若函数,的值域为 ,则
的取值范围是______.
[解析] 作出函数 的图象，如图所示,
由,得,由,得 或.
若,则不符合题意,舍去;
若 , 则,此时;
若,则 , 此时;
若,则 ,此时；
若,则不符合题意.综上, .
15.设函数的定义域为,满足 ,且当
时,.若对任意, 恒成
立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 当 时, .
因为 ,所以当时, ,
则.
同理,当 时, ,依次类推,
可得当 时,, 其中，
所以当时,必有.
作出函数 的大致图象，如图所示，
由图可知，当 时，
由解得 或
,
由对任意 ,都有,
结合函数 的图象可得 ，故选D.
16.[2024· 河北保定三模] 定义在上的函数满足 为
偶函数，为奇函数，且当时， ,则
当时，函数与 图象的交点个数为___.
4
[解析] 因为函数的定义域为 ，且为偶函数，
为奇函数，所以 ，
，则的图象关于直线 对称，也关于点
对称，所以， ，
故有，则 ，从而
，即函数 是周期为8的周期函数.
根据函数的对称性和周期性，可以画出
函数 的图象和在 上
的图象，如图.
由图可知与的图象在上有4个交点.
【知识聚焦】2.(1)f(x)-k (2)-f(x) f(-x) -f(-x) logax (4)|f(x)| f(|x|)
【对点演练】1.y=0 2.x=0 3.④①② 4.y=(2x-1)2+2 5.y=ln 6.图略
课堂考点探究
例1 略 变式题 略 例2 (1)B (2)D
变式题 (1)C (2)A 例3 C 例4 B 例5 (-1,0)
【应用演练】
1.A 2.A 3.
教师备用习题
例1 D 例2 ABD 例3 C 例4
基础热身
1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.y=log3(4x-2) 7.(1,+∞)
综合提升
8.D 9.C 10.A 11.B 12. AB 13. 9,2 14. [3,6]
能力拓展
15.D 16. 4