第14讲 函数与方程
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)实数x (2)零点 x轴
(3)f(a)f(b)<0 至少有一个 f(c)=0
2.(1)连续不断 f(a)f(b)<0 一分为二
近似值
(2)①[a,b] ②中点c ③(i)f(c)=0
(ii)(a,c) ④|a-b|<ε
【对点演练】
1.1 [解析] 由题知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故函数f(x)存在唯一的零点.
2.(0,3) [解析] 令f(x)=0,则x·2x-kx-2=0,由x∈(1,2),可得k=2x-,令φ(x)=2x-,x∈(1,2),则由题知直线y=k与φ(x)=2x-,x∈(1,2)的图象有交点.∵φ(x)=2x-在(1,2)上单调递增,且φ(1)=0,φ(2)=3,∴0
3. [解析] 令f(x)=2x-x-4,则f(2)=4-2-4=-2<0,f(3)=8-3-4=1>0,f=--4<0,由f(3)f<0知该解所在的区间为.
4.2 [解析] 由题知f(x)的定义域为(1,+∞),由f(x)=0,得(9x-3)ln(x-1)=0,即9x-3=0或ln(x-1)=0,解得x=(舍)或x=2,所以函数f(x)=(9x-3)ln(x-1)的零点为2.
5.①②③ [解析] 由题知f(-1)·f(0)<0,f(2)·f(3)<0,f(5)·f(6)<0,因为f(x)的图象是连续不断的,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间上均有零点,但不能判断有几个零点,故①②③正确,④不正确.故填①②③.
6.2 [解析] 当x≤0时,由x2-2=0可得x=-;当x>0时,由ln x=0,解得x=1,所以函数f(x)=的零点个数是2.
● 课堂考点探究
例1 [思路点拨] (1)根据函数零点存在定理分析判断.(2)将函数零点问题转化为函数图象交点横坐标的范围问题,通过数形结合求解.
(1)C (2)B [解析] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-1<0,f()=ln=ln 2>0,所以函数f(x)的零点在(1,)内.故选C.
(2)由f(x)=2x+x=0得2x=-x,由g(x)=log2x+x=0得log2x=-x,由h(x)=x3+x=0得x3=-x,分别作出函数y=2x,y=log2x,y=x3和y=-x的图象,如图所示.由图可知,a∈(-1,0),c=0,b∈(0,1),所以a变式题 (1)B (2)3 [解析] (1)由已知得函数f(x)的图象是连续的,且f(x)单调递增,因为f=+-2=-<0,f=2+-2=>0,所以ff<0,由函数零点存在定理可知存在x0∈使得f(x0)=0,故选B.
(2)令函数f(x)=ex-3-(-x+5)=ex-3+x-5,显然函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)至多有一个零点.由函数y=ex-3与y=-x+5的图象的交点为(x0,y0),得函数f(x)的零点为x0,而f(3)=-1<0,f(4)=e-1>0,即f(3)f(4)<0,因此存在唯一的x0∈(3,4),使得f(x0)=0,所以n=3.
例2 [思路点拨] (1)作出函数y=f(x)的图象,分a=0,a<0,a>0三种情况讨论直线y=ax+2与y=f(x)的图象的交点个数,从而得解.(2)由奇函数的性质可得f(0)=0,由f(x+1)=f(x)得函数f(x)的周期为1,从而可得f(-1)=f(0)=f(1)=0,赋值可得f=0,最后结合周期性即可得结果.
(1)C (2)C
[解析] (1)作出函数y=f(x)的图象,如图所示.将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0,2))与函数y=f(x)的图象交点的个数问题.由图可知,当a=0时,直线y=2与函数y=f(x)的图象只有1个交点;当a<0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点;当a>0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有3个交点.所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有2个交点.故选C.
(2)由f(x)是定义域为R的奇函数可得f(0)=0,再由f(x+1)=f(x)可得函数f(x)的周期为1,则f(-1)=f(0)=f(1)=0.f(x+1)=f(x)中取x=-得f=f=-f,所以f=0,f=0,f=0,f=0,所以f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为7.故选C.
变式题 (1)D (2)8
[解析] (1)方法一:在同一平面直角坐标系中画出函数y1=2ex,y2=5x2的大致图象如图,由函数y1=2ex的增长速度比y2=5x2的增长速度快,得两函数图象有3个交点,故选D.
方法二:由2ex-5x2=0得=,构造函数g(x)=,求导得g'(x)=,当x<0时,g'(x)<0,当00,当x>2时,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,又g(0)=0,g(2)=>,当x→+∞时,g(x)→0且g(x)>0,所以作出g(x)的图象与直线y=如图,由图可知g(x)=有3个解.故选D.
(2)∵f(x+4)=f(x),∴偶函数y=f(x)是周期为4的函数.由当x∈[0,2]时,f(x)=1-x,可作出函数f(x)在[-10,10]内的图象,同时作出函数g(x)=log8|x|在[-10,10]内的图象,如图所示.两图象的交点个数即为所求,由图可得两图象的交点个数为8.
例3 [思路点拨] 将原问题转化为函数f(x)的图象与直线y=-x-a有两个不同的交点,数形结合可得答案.
C [解析] 函数g(x)=f(x)+x+a有两个零点,即方程f(x)=-x-a有两个不同的解,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有两个不同的交点.分别作出函数f(x)的图象与直线y=-x-a,如图所示,由图可知,当-a≤1,即a≥-1时,函数f(x)的图象与直线y=-x-a有两个不同的交点,即函数g(x)有两个零点.故选C.
变式题 ①②④
[解析] 当a=1时,f(x)=|2x-1|-kx-3,令f(x)=0,得|2x-1|=kx+3,在同一坐标系中作出y=|2x-1|,y=kx+3的图象,如图所示,由图及直线y=kx+3过定点(0,3)知函数f(x)至少有一个零点,故①正确.
当a=-4,k=0时,在同一坐标系中作出y=|2x+4|=2x+4,y=3的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)无零点,故②正确.
当a=6,k=-时,在同一坐标系中作出y=|2x-6|,y=-x+3的图象,如图所示,由图可知,函数f(x)有三个零点,故③错误.
当a=0时,在同一坐标系中作出y=|2x|=2x,y=kx+3(k>0)的图象,如图所示,
当a<0时,在同一坐标系中作出y=|2x-a|=2x-a,y=kx+3(k>0)的图象,如图所示,
当a>0时,在同一坐标系中作出y=|2x-a|,y=kx+3(k>0)的图象,如图所示,由图可知,对任意实数a,总存在实数k>0使得函数f(x)有两个零点,故④正确.故填①②④.
例4 [思路点拨] (1)思路一:令h(x)=f(x)-g(x),则根据题意得h(x)有唯一零点,且h(x)为偶函数,即零点为0,从而得到结果;思路二:令f(x)=g(x),转化为函数G(x)=cos x(x∈(-1,1))与F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1))的图象有唯一交点,从而得到结果;思路三:通过参变分离,研究函数y=的最值得到结果.
(2)作出f(x)的大致图象,根据图象求出m,x1,x2,x3的取值范围即可判断A,B选项,由|-1|=|-1|得到x1,x2的关系式即可判断C,D选项.
(1)D (2)AC [解析] (1)方法一:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,则h(x)为偶函数,因为当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,所以h(0)=a-2=0,得a=2.
方法二:令f(x)=g(x),得ax2+2ax+a-1=cos x+2ax,即ax2+a-1=cos x.设F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1)),G(x)=cos x(x∈(-1,1)),易知F(x),G(x)都为偶函数.当a≤0时,F(x)<0,G(x)>0,故曲线y=F(x)与y=G(x)无交点;当a>0时,作出F(x)与G(x)的大致图象,如图所示,因为曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,且G(0)=1,所以F(0)=a-1=1,则a=2.
方法三:令f(x)=g(x),得ax2-cos x+a-1=0,得a=.当x∈(-1,0]时,y=cos x+1单调递增,y=x2+1单调递减,且cos x+1>0,x2+1>0,故y=单调递增,其取值范围是;当x∈[0,1)时,y=cos x+1单调递减,y=x2+1单调递增,且cos x+1>0,x2+1>0,故y=单调递减,其取值范围是.根据题意得直线y=a与y=在(-1,1)上的图象恰有一个交点,故a=2,故选D.
(2)函数g(x)=f(x)-m有三个零点,等价于y=m与y=f(x)的图象有三个交点,作出函数y=m与f(x)=的图象,如图所示.由图可得02,B错误;因为|-1|=|-1|,且x1<02,可得<1,D错误.故选AC.
变式题 (1)C (2)-2+
[解析] (1)由h(x)=f(x)-g(x)=0,得a(x-1)2-1=cos-2ax,依题意得ax2+a-1=cos对x∈(-1,1)有解.记F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos,则函数F(x)与G(x)在(-1,1)上的图象有公共点.当x∈(-1,1)时,00时,函数F(x)与G(x)的图象都关于y轴对称,则即解得(2)设f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,作出y=f(x)与y=t的图象如图所示,则y=f(x)的图象与y=t的图象有3个交点,其横坐标依次为x1,x2,x3,且-20,g(x)在上单调递增,当x∈时,g'(x)<0,g(x)在上单调递减,当x∈时,g'(x)>0,g(x)在上单调递增,又因为g(π)=π-4<0,g=-2+>0,所以g(x)max=g=-2+,所以2x1+3x2+2x3=2x1+x2+4π≤-2++4π=-2+.
例5 [思路点拨] 作出函数y=f(x)的图象,将问题转化为求方程f[f(x)]=1的根,令t=f(x),先确定f(t)=1的根,再得f[f(x)]=1的根,结合函数图象即可获解.
C [解析] 作出函数f(x)=
的图象,如图所示.令t=f(x),则由f(t)-1=0,即f(t)=1,得2sin t=1(0≤t≤π),t2=1(t<0),所以t=,t=,t=-1.当t=时,则f(x)=,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=的根有3个;当t=时,则f(x)=,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=的根有1个;当t=-1时,则f(x)=-1,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=-1的根有0个.综上可得,函数y=f[f(x)]-1的零点的个数是4.故选C.
变式题 13 [解析] 令t=f(x),由f(t)=0,得或解得t=0或t=3.当t=f(x)=0时,解得x=0或x=3;当t=f(x)=3时,则或解得x=10.综上,函数y=f[f(x)]的所有零点之和为0+3+10=13.第14讲 函数与方程
1.B [解析] 由f(x)=ln x-1=0,解得x=e,故函数f(x)=ln x-1的零点是e.故选B.
2.B [解析] 由已知可得f(x)在R上为增函数,且f(1)=2+1-9=-6<0,f(2)=4+8-9=3>0,根据函数零点存在定理,可得函数f(x)在(1,2)上有零点,且零点是唯一的.故选B.
3.D [解析] 显然函数f(x)在(2,4)上单调递增,若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得-184.C [解析] 令f(x)=0,可得|ln x|=e-x,作出函数y=|ln x|与y=e-x的图象(如图所示),由图可知,函数y=|ln x|与y=e-x的图象的交点个数为2,故f(x)的零点个数为2,故选C.
5.AD [解析] 对于A,函数f(x)=x2在[-1,1]上连续,f(-1)f(1)>0,方程x2=0在[-1,1]上有实根0,A正确;对于B,函数f(x)=x2的零点为0,而函数f(x)在点(0,0)两侧的函数值符号相同,B错误;对于C,“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数在零点两侧函数值符号相同的零点无效,C错误;显然D正确.故选AD.
6.3 [解析] f(x)是增函数,∵f(3)=2lg 3-1<0,f(4)=2lg 4>0,∴f(3)f(4)<0,∴函数f(x)的零点在(3,4)内,又函数f(x)的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,∴k=3.
7.4 [解析] 根据题意,函数f(x)=cos x-|lg x|的零点个数,即为方程cos x=|lg x|的实数根个数,即为函数y=cos x与y=|lg x|图象的交点个数.在同一坐标系内作出y=cos x和y=|lg x|的图象,如图.当010时,y=cos x≤1,而y=|lg x|=lg x>1,两图象没有交点.因此,函数y=cos x和y=|lg x|图象的交点个数为4,即f(x)=cos x-|lg x|的零点个数为4.
8.C [解析] 作出f(x)的图象,再作出函数y=,x≥0关于原点对称的图象如图所示.因为函数y=,x≥0关于原点对称的图象与y=-|x2+2x|,x<0的图象有3个交点,所以f(x)图象上关于原点对称的点有3对.故选C.
9.C [解析] ∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+ex-2+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),则直线x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为x=1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.
10.B [解析] F(x)的零点个数等于y=a与y=f(x)图象的交点个数,作出y=f(x)的图象,如图所示.由图可知,当a∈(0,1]∪(2,+∞)时,y=f(x)与y=a的图象有2个交点.故选B.
11.D [解析] 由题知f(x)==
作出函数f(x)的图象,如图所示.由图可知函数y=f(x)在(-∞,1]和[3,+∞)上单调递减,在(1,3)上单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1.因为关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,所以f(x)=f(1-a)至少有两个不同的实数根,即y=f(x)的图象与y=f(1-a)的图象至少有两个不同的交点,所以-1≤f(1-a)≤1.当x≤1时,f(x)=x2-2x,令x2-2x=1,可得x=1-;当x≥3时,f(x)=4-x,令4-x=-1,解得x=5.因为-1≤f(1-a)≤1,所以1-≤1-a≤5,解得-4≤a≤.故选D.
12.AB [解析] 对于A,因为f(x+2)=f(x-2),所以f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,故A正确;对于B,因为f(x)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x-2),又f(x+2)=f(x-2),所以f(-x-2)=f(x-2),所以f(x)的图象关于直线x=-2对称,故B正确;对于C,若当x∈[0,2]时,f(x)无零点,则根据周期性和对称性可得f(x)在[-2,9]上无零点,故C错误;对于D,因为f(x)的图象关于直线x=-2对称,且f(x)的周期为4,f(x)=m在区间[-4,0]上的根为x1,x2,所以x1+x2=2×(-2)=-4,故D错误.故选AB.
13.5 [解析] 因为m,n分别为f(x),g(x)的零点,所以f(m)=ln m+m-5=0,g(n)=en+n-5=0.因为en+n-5=0,所以f(en)=ln en+en-5=en+n-5=0,又函数f(x)=ln x+x-5为增函数,f(m)=f(en)=0,所以m=en,所以en+ln m=en+ln en=en+n=5.
14.
[解析] y=f(x)-a的零点个数等于y=f(x)与y=a的图象的交点个数,作出y=f(x)和y=a的图象如图所示.由图可知a>1,ln(1-x1)=a,x2+1=a,可得x1=1-ea,x2=a-1,所以x1+=e2a-2-ea+1.令ea=t,由a>1,得t>e,则x1+=t2-t+1,由二次函数的性质可知当t=e2时,x1+取得最小值1-e2,没有最大值,故x1+的取值范围为.
15. [解析] 方法一:由++3a=3x,得+a=x,令f(x)=+a,则f(x)在R上单调递增,且f[f(x)]=x.若f(x)>x,则f[f(x)]>f(x)>x,不符合题意;若f(x)0,得0方法二:++3a=3x,令t=+a,则3a=3t-x3-x,∴原式可化为t3+t+3t-x3-x=3x,即t3-x3+4t-4x=0,即(t-x)(t2+tx+x2+4)=0,∵t2+tx+x2+4=+x2+4>0,∴t=x,即+a=x,∴a=-+x在(0,2)上有解.令g(x)=-+x(00,得016.A [解析] 依题意,集合P即为关于x,y的方程组的解集,显然x≠0,所以
即由解得或则函数y=2024x与y=的图象的交点坐标为(1,2024)和(-1,-2024),令f(x)=-x3+,因为f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=x3-=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为y=-x3与y=均在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-x3+在(0,+∞)上单调递减,则f(x)=-x3+在(-∞,0)上也单调递减,依题意得直线y=a与y=f(x),y=的图象的交点在直线y=2024x的同侧,只需a>f(1)或a2023或a<-2023,所以实数a的取值范围为(-∞,-2023)∪(2023,+∞).故选A.
17.BC [解析] 由题意可知,当x≤0时,f(x)在(-∞,0]上单调递减,则f(x)≥f(0)=t;当x>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)>2ln 1-1=-1.易知直线y=a与f(x)的图象至多有2个交点,若函数y=f[f(x)]恰好有4个不同的零点,令u=f(x),则y=f(u)有2个零点,可得当u>0时,2ln(u+1)-1=0,解得u=-1>0,当u<0时,u2-2u+t=0有解,可得可得f(x)=-1和f(x)=1-(t≤0)均有2个不同的实数根,即y=f(x)与y=-1,y=1-(t≤0)的图象均有2个交点.因为当x≤0时,f(x)≥t,当x>0时,f(x)>-1,所以且解得-3【课标要求】 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的 叫作函数y=f(x)的零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有 函数y=f(x)的图象与 有公共点.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
2.二分法
(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上图象 且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点 的方法叫作二分法.
(2)用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的步骤:
①确定零点x0的初始区间 ,验证f(a)f(b)<0.
②求区间(a,b)的 .
③计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(i)若 (此时x0=c),则c就是函数的零点;(ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈ ),则令b=c;(iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.
④判断是否达到精确度ε:若 ,则得到零点近似值a(或b),否则重复步骤②~④.
题组一 常识题
1.[教材改编] 函数f(x)=ln x+2x-6的零点个数是 .
2.[教材改编] 若函数f(x)=x·2x-kx-2在区间(1,2)内有零点,则实数k的取值范围是 .
3. [教材改编] 利用二分法求方程2x-x-4=0的一个近似解时,已经将一解锁定在区间(2,3)内,则下一步可断定该解所在的区间为 .
题组二 常错题
◆索引:误解函数零点的定义;忽略限制条件致误.
4.函数f(x)=(9x-3)ln(x-1)的零点为 .
5.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) -136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98
则下列说法正确的是 .(填序号)
①函数f(x)在区间(-1,0)内有零点;②函数f(x)在区间(2,3)内有零点;③函数f(x)在区间(5,6)内有零点;④函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点.
6.函数f(x)=的零点个数是 .
函数零点所在区间的判断
例1 (1)函数f(x)=ln x+x2-2的零点所在区间是 ( )
A. B.
C.(1,) D.(,2)
(2)[2024·漳州模拟] 已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.b>a>c
总结反思
判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)利用函数零点存在定理;(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
变式题 (1)[2024·北大附中模拟] 已知f(x)=22x+x-2,若f(x0)=0,则x0所在区间为 ( )
A. B.
C. D.(1,2)
(2)[2024·哈尔滨三中模拟] 已知函数y=ex-3与y=-x+5的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则n= .
函数零点个数的判断
例2 (1)[2024·温州三模] 已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数不可能是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
总结反思
求解函数零点个数的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;(2)定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法,一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数;(4)若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f=0.
变式题 (1)f(x)=2ex-5x2的零点的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若偶函数y=f(x),x∈R满足f(x+4)=f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=1-x,则方程f(x)=log8|x|在[-10,10]内的根的个数为 .
函数零点的应用
角度1 根据零点个数求参数范围
例3 已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
总结反思
已知函数的零点范围求参数取值范围常用的方法和思路:
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
变式题 已知函数f(x)=|2x-a|-kx-3,给出下列四个结论:
①若a=1,则函数f(x)至少有一个零点;
②存在实数a,k,使得函数f(x)无零点;
③若a>0,则不存在实数k,使得函数f(x)有三个零点;
④对任意实数a,总存在实数k使得函数f(x)有两个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
角度2 根据零点(所在区间)求参数范围
例4 (1)[2024·新课标Ⅱ卷] 设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= ( )
A.-1 B.
C.1 D.2
(2)(多选题)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个零点x1,x2,x3,且x1A.m的取值范围为(0,1)
B.x3的取值范围为[2,+∞)
C.+=2
D.的最大值为1
总结反思
函数零点的应用主要体现在三类问题:(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解.
变式题 (1)[2025·浙江Z20联盟一联] 设函数f(x)=a(x-1)2-1,g(x)=cos-2ax,若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(-1,1)上存在零点,则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤2
B.C.D.1(2)已知f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3),x1 复合函数的零点
例5 设函数f(x)=则函数y=f[f(x)]-1的零点的个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
总结反思
求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法,具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);
(2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解x即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y=t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)]的零点个数.
变式题 函数f(x)=则函数y=f[f(x)]的所有零点之和为 . 第14讲 函数与方程
(时间:45分钟)
1.函数f(x)=ln x-1的零点是 ( )
A.1 B.e
C.(e,0) D.4
2.函数f(x)=2x+x3-9的零点所在区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
3.函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则实数m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-18) B.(5,+∞)
C.(5,18) D.(-18,-5)
4.函数f(x)=ex|ln x|-1的零点个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
5.(多选题)以下说法中正确的有 ( )
A.函数f(x)在区间[a,b]上连续,若满足f(a)·f(b)>0,则方程f(x)=0在区间[a,b]上可能有实根
B.若函数f(x)的零点为x0,则函数f(x)在点(x0,0)两侧的函数值的符号一定不相同
C.“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数的所有零点都有效
D.连续函数相邻两个零点之间的函数值(两零点之间的函数值不为0)保持同号
6.已知函数f(x)=2lg x+x-4的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k= .
7.函数f(x)=cos x-|lg x|的零点个数为 .
8.[2024·潍坊二模] 已知函数f(x)=则f(x)图象上关于原点对称的点有 ( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
9.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= ( )
A.- B.
C. D.1
10.已知函数f(x)=若F(x)=f(x)-a的零点个数为2,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,1] B.(0,1]∪(2,+∞)
C.(0,1) D.(2,+∞)
11.[2024·合肥二模] 已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-f(1-a)=0至少有两个不同的实数根,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-4]∪[,+∞)
B.[-1,1]
C.(-4,)
D.[-4,]
12.(多选题)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),且当x∈[0,2]时,f(x)单调递减,则下列四个结论中正确的是 ( )
A.f(x)是周期为4的周期函数
B.直线x=-2为函数y=f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在区间[-2,9]上有3个零点
D.若f(x)=m在区间[-4,0]上的根为x1,x2,则x1+x2=-2
13.[2024·江苏淮安模拟] 已知函数f(x)=ln x+x-5,g(x)=ex+x-5(其中e为自然对数的底数).设m,n分别为f(x),g(x)的零点,则en+ln m= .
14.[2024·浙江名校协作体一模] 已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a有两个零点x1,x2,且x115.已知关于x的方程++3a=3x在区间(0,2)上有解,则实数a的最大值为 .
16.[2024·宁波二模] 已知集合P={(x,y)|x4+ax-2024=0且xy=2024},若P中的点均在直线y=2024x的同一侧,则实数a的取值范围为 ( )
A.(-∞,-2023)∪(2023,+∞)
B.(2023,+∞)
C.(-∞,-2024)∪(2024,+∞)
D.(2024,+∞)
17.(多选题)已知函数f(x)=若函数y=f[f(x)]恰好有4个不同的零点,则实数t的值可以是 ( )
A.-3 B.-2
C.0 D.2(共102张PPT)
第14讲 函数与方程
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
1.函数的零点
（1）函数零点的定义
对于一般函数，我们把使 的_______叫作函数
的零点.
实数
（2）等价关系
方程有实数解 函数有______ 函数 的
图象与_____有公共点.
零点
轴
◆ 知识聚焦 ◆
（3）函数零点存在定理
如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且有
_____________,那么,函数在区间 内____________零点,
即存在,使得_________,这个也就是方程 的解.
至少有一个
2.二分法
（1）二分法的定义：对于在区间 上图象__________且
_____________的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间
__________,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点
________的方法叫作二分法.
连续不断
一分为二
近似值
（2）用二分法求方程近似解的步骤
给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的步骤:
①确定零点的初始区间______，验证 .
②求区间 的______.
中点
③计算 ，并进一步确定零点所在的区间：
若_________（此时）,则就是函数的零点; 若
（此时 ______）,则令;若
（此时）,则令 .
④判断是否达到精确度若__________,则得到零点近似值
（或 ）,否则重复步骤②～④.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的零点个数是___.
1
[解析] 由题知,函数在上单调递增,且, ,
故函数 存在唯一的零点.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 若函数在区间 内有零点，
则实数 的取值范围是______.
[解析] 令，则，由 ，可得
，
令，，则由题知直线 与
，的图象有交点.
在 上单调递增，且，，
.
3.［教材改编］ 利用二分法求方程 的一个近似解时，
已经将一解锁定在区间 内，则下一步可断定该解所在的区间为
______.
[解析] 令，则 ，
，，
由 知该解所在的区间为 .
题组二 常错题
◆ 索引：误解函数零点的定义;忽略限制条件致误.
4.函数 的零点为___.
2
[解析] 由题知的定义域为，由 ，
得，即或，
解得 （舍）或，
所以函数 的零点为2.
5.已知函数 的图象是连续不断的,且有如下的对应值表:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 19 13 4 29 98
则下列说法正确的是________.（填序号）
①函数在区间内有零点;②函数在区间 内有零点;③
函数在区间内有零点;④函数在区间 内有三个零点.
[解析] 由题知,,,
因为 的图象是连续不断的,
所以函数在,, 三个区间上均有零点,
但不能判断有几个零点,故①②③正确,④不正确.故填①②③.
6.函数 的零点个数是___．
2
[解析] 当时，由可得；
当 时，由，解得，
所以函数 的零点个数是2.
探究点一 函数零点所在区间的判断
例1（1）函数 的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为，易知函数在 上单
调递增，又, ，所以函数
的零点在 内.故选C.
［思路点拨］根据函数零点存在定理分析判断.
√
（2）[2024·漳州模拟]已知函数, ,
的零点分别为,,,则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］将函数零点问题转化为函数图象交点横坐标的范围问
题，通过数形结合求解.
√
[解析] 由 得,
由 得,
由 得,
分别作出函数 ，,
和 的图象，如图所示.
由图可知，, ,
,所以 .故选B．
[总结反思]
判断函数零点所在区间的方法:（1）解方程法,当对应方程易解时,可
直接解方程;（2）利用函数零点存在定理;（3）数形结合法,画出相
应函数图象,观察与轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所
给区间上的交点的横坐标来判断.
[解析] 由已知得函数的图象是连续的，且 单调递增,
因为, ,
所以,
由函数零点存在定理可知存在使得 , 故选B.
变式题（1）[2024·北大附中模拟]已知 ,若
,则 所在区间为( )
A. B. C. D.
√
（2）[2024·哈尔滨三中模拟] 已知函数与 的图
象的交点为，若，，则 ___．
3
[解析] 令函数 ，显然函数
在上单调递增，所以至多有一个零点.
由函数 与的图象的交点为，
得函数的零点为 ，
而,，即 ，
因此存在唯一的，使得，所以 .
探究点二 函数零点个数的判断
例2（1）[2024·温州三模]已知函数 则关
于的方程 的根的个数不可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
［思路点拨］作出函数 的图象，分，，
三种情况讨论直线与 的图象的交点个数，
从而得解.
[解析] 作出函数 的图象，如图所示.
将原问题转化为直线（过定点 ）
与函数 的图象交点的个数问题.
由图可知，当时，直线与函数
的图象只有1个交点；
当时，直线 与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数 的图象有3个交点.
所以直线与函数 的图象不可能有2个交点.故选C.
（2）若定义域为的奇函数满足，则 在
上的零点个数至少为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
［思路点拨］由奇函数的性质可得，由 得
函数的周期为1,从而可得 ，赋值可得
，最后结合周期性即可得结果.
√
[解析] 由是定义域为的奇函数可得 ，
再由可得函数 的周期为1,
则
中取 得，
所以，， ，，
所以在 上的零点个数至少为7.故选C.
[总结反思]
求解函数零点个数的基本方法有:（1）直接法,令,方程有多
少个不同的解则有多少个不同的零点;（2）定理法,利用函数零
点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;（3）图象法,
一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出
函数的零点个数；（4）若函数是周期为的奇函数,则必有
.
变式题（1） 的零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 方法一：在同一平面直角坐标系中画出
函数, 的大致图象如图，
由函数的增长速度比 的
增长速度快，得两函数图象有3个交点，故选D.
√
方法二：由得 ，
构造函数，求导得 ，当时，，
当 时，，当时，，
所以在 上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
又， ，
当 时，且，
所以作出 的图象与直线如图，
由图可知 有3个解.故选D.
（2）若偶函数，满足，且当
时,，则方程在 内的根的个数为
___.
8
[解析] ， 偶函数 是周期为4的函数.
由当时，，可作出函数在 内的图象，
同时作出函数在 内的图象，如图所示.
两图象的交点个数即为所求，由图可得两图象的交点个数为8.
探究点三 函数零点的应用
角度1 根据零点个数求参数范围
例3 已知函数.若 存在2
个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
［思路点拨］ 将原问题转化为函数的图象与直线 有
两个不同的交点，数形结合可得答案.
√
[解析] 函数 有两个零点，
即方程 有两个不同的解，
即函数的图象与直线 有两个
不同的交点.
分别作出函数的图象与直线 ，如图所示，
由图可知，当，即 时，
函数的图象与直线有两个不同的交点，
即函数 有两个零点.故选C.
[总结反思]
已知函数的零点范围求参数取值范围常用的方法和思路:
（1）直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不
等式确定参数范围;
（2）分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以
解决;
（3）数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数
的图象,然后数形结合求解.
变式题 已知函数 ，给出下列四个结论：
①若，则函数 至少有一个零点；
②存在实数，，使得函数 无零点；
③若，则不存在实数，使得函数 有三个零点；
④对任意实数，总存在实数使得函数 有两个零点.
其中所有正确结论的序号是________.
①②④
[解析] 当时， ，令
，得 ，在同一坐标系中
作出， 的图象，如图所示，
由图及直线过定点知函数 至少
有一个零点，故①正确.
当， 时，在同一坐标系中作出
， 的图象，如图
所示，
由图可知，函数 无零点，故②正确.
当， 时，在同一坐标
系中作出 ，
的图象，如图所示，
由图可知，函数 有三个零点，
故③错误.
当 时，在同一坐标系中作出
， 的图象，
如图所示，
当 时，在同一坐标系中作出
， 的
图象，如图所示，
当 时，在同一坐标系中作出
， 的图象，
如图所示，
由图可知，对任意实数，总存在实数使得函数 有两个零点，
故④正确. 故填①②④.
角度2 根据零点（所在区间）求参数范围
例4（1）[2024· 新课标Ⅱ卷]设函数 ,
（为常数）,当时，曲线 与
恰有一个交点，则 ( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 方法一:令,
则 为偶函数,
因为当时,曲线与 恰有一个交点,
所以,得 .
［思路点拨］思路一：令 ，则根据题意得
有唯一零点，且 为偶函数，即零点为0，从而得到结果；
方法二:令 ,得 ,
即 .
设 , ,
易知, 都为偶函数.
当时,, ,故曲线 与无交点;
［思路点拨］思路二：令 ，转化为函数
与 的
图象有唯一交点，从而得到结果；
当时,作出与 的大致图象,如图所示,
因为曲线与恰有一个交点,
且 , 所以,则 .
方法三：令 ，得，得 .
当时， 单调递增，单调递减，
且 ，，故 单调递增，
其取值范围是；
［思路点拨］思路三：通过参变分离，研究函数 的
最值得到结果.
当时， 单调递减， 单调递增，
且 ，，故 单调递减，
其取值范围是 .
根据题意得直线与在 上的图象恰有一个交点，
故 ，故选D.
（2）（多选题）已知函数 若函数
有三个零点，，，且 ，则下列
结论正确的是( )
A.的取值范围为 B.的取值范围为
C. D. 的最大值为1
［思路点拨］作出的大致图象，根据图象求出，，，
的取值范围即可判断A，B选项，由得到，
的关系式即可判断C，D选项.
√
√
[解析] 函数 有三个零点，等价于与 的
图象有三个交点，作出函数与
的图象，如图所示.
由图可得，A正确；
当时,,故 ，B错误；
因为,且 ，所以
,可得，C正确；
因为 ，所以，可得，
D错误.故选 .
[总结反思]
函数零点的应用主要体现在三类问题:（1）函数中不含参数,零点又
不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;（2）函数中含有参数,根
据零点情况求函数中参数的范围;（3）函数中含有参数,但不求参数,
仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分
离参数的方法求解.
变式题（1） 浙江 联盟一联］ 设函数
, ，若函数
在区间上存在零点，则实数 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由，得 ，
依题意得对 有解.
记，，则函数与在 上
的图象有公共点.
当时，，
当 时，，
显然函数与在 上的图象无公共点；
当时，函数与的图象都关于 轴对称，
则即解得.
综上，实数 的取值范围是 .故选C.
（2）已知若 ，
,则 的最大值为_ ___________.
[解析] 设 ，作出与 的图象
如图所示，则的图象与 的图象有3个交点，
其横坐标依次为,, ，且 .
由余弦函数图象的性质可知， ，
所以
，
又因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令，解得或 ，
当时，,
在 上单调递增，
当时， ,
在上单调递减，
当 时，,在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以，
所以
.
探究点四 复合函数的零点
例5 设函数则函数 的零点
的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
［思路点拨］ 作出函数 的图象，将问题转化为求方程
的根，令，先确定 的根，再得
的根，结合函数图象即可获解.
√
[解析] 作出函数
的图象，如图所示.
令 ，则由，即 ，
得, ，
所以，，.
当时，则，结合函数 的图象可得
的根有3个；
当时，则 ，结合函数
的图象可得 的根有1个；
当时，则 ，结合函数
的图象可得 的根有0个.
综上可得，函数 的零点
的个数是4.故选C.
[总结反思]
求解复合函数零点个数的一般方法是换元法，具体步骤是：
（1）令，解方程,解得的值（的值可能有多个）；
（2）根据不同的的值解方程，这个方程的解即为函数
的零点.
如不能解出的值，可结合函数与的图象的交点个数，
确定函数的零点个数.
变式题 函数则函数 的所有零
点之和为____.
13
[解析] 令,由,得或
解得 或.
当时,解得或;
当 时,则或解得.
综上，函数 的所有零点之和为 .
例1 ［配例2使用］ 函数 的零点个数为
( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
【备选理由】例1考查函数零点个数的判断，数形结合即可得解;
[解析] 由，得 ，因此函数 的零点个数即
为函数与 的图象交点的个数，在同一平面
直角坐标系内作出函数与 的图象，如图.
由图可知，函数与 的
图象有唯一交点，所以函数
的零点个数为1.故选B.
例2 ［配例4使用］ 若对任意的，关于 的方程
在区间上总有实根，则实数 的取值范围是______.
【备选理由】例2考查根据方程的根所在区间求参数的取值范围;
[解析] 方程等价于 ，
令，因为，
所以易知函数在 上单调递增.
当时，，由 始终
有解得，因此对任意的 ，
恒成立.
因为函数在上单调递减，
所以在 上的最大值为，
又函数在 上单调递减，
所以在上的最小值为，于是 ，
即实数的取值范围是 .
例3 ［配例5使用］ [2024·甘肃酒泉模拟] 已知函数
若关于 的方程
有4个不同的实根，则实数 的取
值范围为_ _________________.
【备选理由】例3考查复合函数的零点;
[解析] 由得或 ，
在平面直角坐标系中画出，以及 的图象，如图
所示.
若关于的方程 有4个不同的实根，
则和分别有2个不同的实根，
所以 解得或，
所以实数 的取值范围为 .
例4 ［补充使用］ [2024·温州二模] 若关于 的方程
的整数根有且仅有两个，则
实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
【备选理由】例4考查通过换元结合绝对值三角不等式来解决零点问题.
[解析] 设,，则原方程为 ，
因为 ，
当且仅当，即 时等号成立，
所以 ，整理得
，显然,.
令 ，则 必有根，
所以，可得或 .
设，则，
所以 ，即 恒满足①，
要使①的整数根有且仅有两个，则对应的两个整数根必为.
设整数根为,且，则 ，
即,，
所以 ，解得.
综上，的取值范围是 .故选C.
作业手册
1.函数 的零点是( )
A.1 B. C. D.4
[解析] 由，解得,
故函数 的零点是 .故选B.
√
◆ 基础热身 ◆
2.函数 的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
[解析] 由已知可得在 上为增函数，
且， ，
根据函数零点存在定理，可得函数在 上有零点，
且零点是唯一的.故选B.
√
3.函数在区间上存在零点，则实数 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 显然函数在 上单调递增，
若函数在区间上存在零点，
则 ，即，解得，
所以实数 的取值范围是 .故选D.
√
4.函数 的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 令,可得,
作出函数与 的图象（如图所示）,
由图可知,函数与 的图象
的交点个数为2,
故 的零点个数为2,故选C.
√
5.（多选题）以下说法中正确的有( )
A.函数在区间上连续，若满足 ，则方程
在区间 上可能有实根
B.若函数的零点为，则函数在点 两侧的函数值的符
号一定不相同
C.“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数的所有
零点都有效
D.连续函数相邻两个零点之间的函数值（两零点之间的函数值不为0）
保持同号
√
√
[解析] 对于A，函数在上连续， ，
方程在上有实根0，A正确；
对于B，函数 的零点为0，而函数在点 两侧的
函数值符号相同，B错误；
对于C，“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数
在零点两侧函数值符号相同的零点无效，C错误；
显然D正确.故选 .
6.已知函数的零点在区间 上，
则 ___.
3
[解析] 是增函数，，
，， 函数的零点在内，
又函数 的零点在区间上， .
7.函数 的零点个数为___.
4
[解析] 根据题意，函数
的零点个数，即
为方程的实数根个数，即为函数与 图象
的交点个数.在同一坐标系内作出和 的图象，如图.
当时，由图可知与 的图象有4个交点；
当时，，而 ，两图象没有交点.
因此，函数和 图象的交点个数为4，即
的零点个数为4.
8.[2024·潍坊二模]已知函数则 图象
上关于原点对称的点有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 作出的图象，再作出函数 ,
关于原点对称的图象如图所示.
因为函数, 关于原点对称的图象与
,的图象有3个交点，所以 图象上关于原点对称
的点有3对.故选C.
9.已知函数有唯一零点，则
( )
A. B. C. D.1
[解析] ，
,
，则直线为图象的对称轴.
有唯一零点，的零点只能为 ，
即，解得 .
√
10.已知函数若 的零点
个数为2，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
[解析] 的零点个数等于与 图象
的交点个数，作出 的图象，如图所示.
由图可知，当 时，
与 的图象有2个交点.故选B.
√
11.[2024·合肥二模]已知函数若关于 的方
程至少有两个不同的实数根，则 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题知
作出函数 的图象，如图所示.
由图可知函数在和上单调递减，
在 上单调递增，且，.
因为关于的方程 至少有两个不同的实数根，
所以 至少有两个不同的实数根，
即的图象与 的图象至少
有两个不同的交点，所以.
当时， ，
令，可得；
当 时，，令，
解得 .
因为，所以 ，
解得 .故选D.
12.（多选题）已知定义在上的偶函数满足 ，
且当时， 单调递减，则下列四个结论中正确的是
( )
A. 是周期为4的周期函数
B.直线为函数 图象的一条对称轴
C.函数在区间 上有3个零点
D.若在区间上的根为,，则
√
√
[解析] 对于A，因为，所以 ，
所以是周期为4的周期函数，故A正确；
对于B，因为 为偶函数，所以，
又 ，所以，
所以的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，若当时， 无零点，则根据周期性和对称性可得
在上无零点，故C错误；
对于D，因为 的图象关于直线对称，且的周期为4，
在区间 上的根为,，
所以，故D错误.故选 .
13.[2024·江苏淮安模拟] 已知函数 ,
（其中为自然对数的底数）.设,分别为 ,
的零点，则 ___.
5
[解析] 因为,分别为, 的零点，
所以, .
因为，所以 ，
又函数为增函数，，
所以 ，所以 .
14.[2024·浙江名校协作体一模] 已知函数 若
函数有两个零点,，且，则 的取值
范围为_ _____________.
[解析] 的零点个数等于
与 的图象的交点个数，作出
和 的图象如图所示.
由图可知，， ，
可得,，所以.
令 ，由，得，则 ，
由二次函数的性质可知当时，取得最小值 ，
没有最大值，故的取值范围为 .
15.已知关于的方程在区间
上有解，则实数 的最大值为_ ___.
[解析] 方法一：由 ，
得，
令，则在 上单调递增，且.
若，则 ，不符合题意；
若，则，不符合题意.
,在上有解，
即在 上有解.
令，则 .
令，得，在 上单调递增；
令 ，得，在 上单调递减.
，的最大值为 .
方法二：，令 ，
则， 原式可化为 ，
即，即 ，
, ，
即，在 上有解.
令，则 .
令，得，在上单调递增；
令 ，得，在 上单调递减.
，的最大值为 .
16.[2024·宁波二模]已知集合 且
，若中的点均在直线的同一侧，则实数 的
取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 依题意，集合即为关于，的方程组
的解集，显然，所以 即
由解得或
则函数与的图象的交点坐标为 和
，
令,因为的定义域为 ,
且，所以 为奇函数.
因为与均在 上单调递减，
所以在上单调递减，
则 在上也单调递减，
依题意得直线与， 的图象的交点在直线
的同侧，只需或 ，
即或，
所以实数 的取值范围为 .故选A.
17.（多选题）已知函数 若函数
恰好有4个不同的零点，则实数 的值可以是( )
A. B. C.0 D.2
[解析] 由题意可知，当时，在 上单调递减，
则；
当时，在 上单调递增，则.
易知直线与 的图象至多有2个交点，若函数恰
好有4个不同的零点，令，则 有2个零点，
可得当时， ，解得 ，
√
√
当时， 有解，可得
可得和 均有
2个不同的实数根，即与，
的图象均有2个交点.
因为当时，，当 时，,
所以且解得 .
综上所述，实数的取值范围为，故选 .
【知识聚焦】1.(1)实数x (2)零点 x轴 (3)f(a)f(b)<0 至少有一个 f(c)=0
2.(1)连续不断 f(a)f(b)<0 一分为二 近似值
(2)①[a,b] ②中点c ③(i)f(c)=0 (ii)(a,c) ④|a-b|<ε
【对点演练】1.1 2.(0,3) 3. 4.2 5.①②③ 6.2
课堂考点探究
例1 (1)C (2)B 变式题 (1)B (2)3 例2 (1)C (2)C 变式题 (1)D (2)8
例3 C 变式题 ①②④
例4 (1)D (2)AC 变式题 (1)C (2)-2+
例5 C 变式题 13
教师备用习题
例1 B 例2 [3,4] 例3 ∪ 例4 C
基础热身
1.B 2.B 3.D 4.C 5.AD 6.3 7.4
综合提升
8.C 9.C 10.B 11.D 12. AB 13. 5
14. 15.
能力拓展
16.A 17. BC