增分微课3 函数共零点问题
例1 [解析] 设h(x)=x2-ax-1,g(x)=(a-1)x-1,则h(0)=g(0)=-1,又h(x)的图象开口向上,∴h(x)=x2-ax-1在(0,+∞)上只有一个零点,若x>0时恒有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0成立,则g(x)=(a-1)x-1,h(x)=x2-ax-1在(0,+∞)上具有相同零点,且a-1>0.g(x)=(a-1)x-1的零点为x=,∴h=0,解得a=或a=0,又a>1,∴a=.
变式题 A [解析] 由题意可得x=b是x2-ax-1=0的一个根,即b2-ab-1=0,且b>0,所以a=b-,a2+b2=+b2=2b2+-2≥2-2,当且仅当2b2=时取等号,所以a2+b2的最小值为2-2.故选A.
例2 B [解析] 如图,作出函数y=sin在[-1,1]上的图象,要使不等式(|x-a|-b)sin≤0对任意x∈[-1,1]恒成立,只需函数y=|x-a|-b与函数y=sin在[-1,1]上有相同的零点.当x∈[-1,1]时,由y=sin=0,得x1=-,x2=,所以所以a+b=.
变式题 A [解析] 由题知,当x∈时,cos≥0,所以|x-a|-b≥0;当x∈时,cos≤0,所以|x-a|-b≤0;当x∈时,cos≥0,所以|x-a|-b≥0.所以当x=或x=时,|x-a|-b=0,即解得若a=,b=1,当x∈时,-1≥0;当x∈时,-1≤0;当x∈时,-1≥0.符合题意,所以a-b=.故选A.
例3 C [解析] ∵f(x)=(x+a)ln(x+b)≥0,∴g(x)=x+a与h(x)=ln(x+b)在(-b,+∞)上具有相同零点,∴-a+b=1,即b=a+1,∴a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥,∴a2+b2的最小值为,故选C.
变式题 C [解析] 因为y=ex-e与y=x-1在(0,+∞)上具有相同的正负区间,所以原问题等价于(x2+ax+b)(x-1)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,由共零点性得1+a+b=0,即b=-a-1,所以(x2+ax-a-1)(x-1)≥0,即(x+a+1)(x-1)2≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,所以a+1≥0,即a≥-1,故选C.增分微课3 函数共零点问题
共零点问题是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点.
我们定义:f(x)≥0的解区间为正区间,f(x)≤0的解区间为负区间.
(1)假设f(x)·g(x)≥0对任意的x∈D恒成立,说明f(x)与g(x)有相同的正负区间,即他们需要有共同的解区间端点,如果有零点,那么这两个函数的零点必须是共有的.
(2)假设f(x)·g(x)≤0对任意的x∈D恒成立,说明f(x)的正区间是g(x)的负区间或者f(x)的负区间是g(x)的正区间,此时他们也需要有共同的解区间端点,那么这两个函数的零点也必须是共有的.
类型一 多项式函数共零点
例1 设a∈R,若x>0时恒有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0成立,则a= .
总结反思
若两个函数解析式的乘积恒大于0(或小于0)且这两个函数在定义域内有零点,则这两个函数在定义域内有相同的零点.
变式题 [2025·宁波一模] 不等式(x2-ax-1)(x-b)≥0对任意x>0恒成立,则a2+b2的最小值为 ( )
A.2-2 B.2
C.2 D.2+2
类型二 三角函数共零点
例2 若不等式(|x-a|-b)sin≤0对任意x∈[-1,1]恒成立,则a+b= ( )
A. B. C.1 D.2
总结反思
函数y=m|x+a|+b(m≠0)与正弦型函数共零点问题,由正弦型函数确定两个零点,从而根据共零点模型,这两个零点也是函数y=m|x+a|+b(m≠0)的零点,代入解方程便可得到结论.
变式题 若不等式(|x-a|-b)cos≥0对任意x∈[-1,3]恒成立,则a-b= ( )
A. B. C. D.
类型三 指对函数共零点
例3 [2024·新课标Ⅱ卷] 设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为( )
A. B. C. D.1
总结反思
解决函数共零点问题要注意对数函数定义域的限制.
变式题 已知函数f(x)=(x2+ax+b)(ex-e),a,b∈R,当x>0时,f(x)≥0,则实数a的取值范围为 ( )
A.-2
B.-2≤a≤0
C.a≥-1
D.0≤a≤1增分微练3 函数共零点问题
1.B [解析] 当x→+∞时,x2-b→+∞,而不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以当x→+∞时,ax+3→-∞,即a<0,可知f(x)=ax+3,g(x)=x2-b在(0,+∞)上具有相同的零点x=-,所以-b=0,即a2b=9,故选B.
2.B [解析] 设1-y=t,则y=1-t,则ln(1-y)-y+3=ln t+t+2=0,又f(x)=x+ln x+2在(0,+∞)上单调递增,所以由f(x)=f(t)=0得x=t,故y=1-t=1-x,所以x+y=1.故选B.
3.C [解析] 设f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b)(a,b∈R,且ab≠0),因为当x≥0时,f(x)≥0恒成立,所以有以下两种情况:①f(x)的三个零点a,b,2a+b均在(-∞,0)内,则a<0,b<0;②f(x)有一个不变号零点在[0,+∞)内,因为b≠2a+b,所以或(舍去),得综上所述,必有b<0.
4.-, [解析] 由题知y=sin与y=cos(ax+b)的图象关于x轴对称,则cos(ax+b)=-sin=sin=cos=cos,所以a=π,不妨取b=,进而得sin(a+b)=-,sin(a-b)=.
5.B [解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),由01得ln x>0,要使f(x)≥0,则对于二次函数y=x2+ax+b,当01时,y≥0,所以x=1为该二次函数的一个零点,易得b=-a-1,则y=x2+ax-(a+1)=(x-1)[x+(a+1)],又其图象开口向上,所以只需-(a+1)≤0,即a+1≥0,解得a≥-1,故a的最小值为-1.故选B.
6.AC [解析] 根据题意得,若存在x0∈I,使得对任意x∈I,当x≥x0时,f(x)≥g(x),当x≤x0时,f(x)≤g(x),则称f(x),g(x)构成“M函数对”.对于A,f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则I=(0,+∞),作出f(x)和g(x)在I上的大致图象如图①,由图可知,A选项的两个函数能构成“M函数对”;对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,则I=R,f'(x)=ex,g'(x)=e,当f'(x)=g'(x)时,可得ex=e,解得x=1,当x=1时,f(1)=e=g(1),则f(x)与g(x)的图象相切于点(1,1),作出f(x)和g(x)在I上的大致图象如图②,由图可知,不存在x0,使得当x≤x0时,f(x)≤g(x),B选项的两个函数不能构成“M函数对”;对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,则I=R,作出f(x)和g(x)在I上的大致图象如图③,由图可知,C选项的两个函数能构成“M函数对”;对于D,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)的定义域为[0,+∞),则I=(0,+∞),f'(x)=1-=,当x>1时,f'(x)>0,当07.AC [解析] 原问题等价于不等式(x-ea)(x-a)(x-b)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,又ea≠a,所以ea=b,且a≤0,所以b∈(0,1].故选AC.
8.ACD [解析] 由ax3+3x2-abx-3b≤0,得ax(x2-b)+3(x2-b)≤0,所以(ax+3)(x2-b)≤0,因为b>0,所以当0时,x2-b>0,又对任意的x∈(0,+∞),不等式ax3+3x2-abx-3b≤0恒成立,所以当0时,ax+3≤0,所以x=为函数y=ax+3的零点,且a<0,所以a+3=0,可得a2b=9,故A正确,B错误.因为a+3=0,所以a=,所以a2+4b=+4b≥2=12,当且仅当=4b,即b=时,等号成立,所以a2+4b的最小值为12,故C正确.a2+ab+3a+b=+b+3+b=b+-3,令t=+,因为+≥2=2,当且仅当=,即b=3时,等号成立,所以t≥2,由t=+,得t2==b++6,所以b+=t2-6,所以b+-3=t2-3t-6.因为函数y=t2-3t-6的图象的对称轴为直线t=,所以当t∈[2,+∞)时,y随t的增大而增大,所以当t=2时,y=t2-3t-6取得最小值,最小值为(2)2-6-6=6-6,所以a2+ab+3a+b的最小值为6-6,故D正确,故选ACD.
9.0 [解析] 因为y=ln|x+a|有两个变号零点-a-1,-a+1,所以根据题意得y=|x|+a2-1也有两个变号零点-a-1,-a+1,故
解得a=0.
10.-1 [解析] 由题意得f'(x)=(x+m+1)ex-x-(m+1)≥0在R上恒成立,即(x+m+1)(ex-1)≥0在R上恒成立,则函数y=ex-1的零点0也是函数y=x+m+1的零点,所以m+1=0,解得m=-1.增分微练3 函数共零点问题
(时间:45分钟)
1.若不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则 ( )
A.ab2=9
B.a2b=9,a<0
C.b2=9a
D.b=9a2,a<0
2.已知x,y满足x+ln x+2=0,ln(1-y)-y+3=0,则x+y的值为(e是自然对数的底数) ( )
A.-e B.1
C. D.-e4
3.已知a,b∈R,且ab≠0,若当x≥0时,关于x的不等式(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,则必有 ( )
A.a>0 B.a<0
C.b<0 D.b>0
4.对任意x∈R,不等式sincos(ax+b)≤0恒成立,则sin(a+b)和sin(a-b)的值分别为 .
5.[2025·长郡中学月考] 设函数f(x)=(x2+ax+b)ln x,若f(x)≥0恒成立,则a的最小值为 ( )
A.-2 B.-1
C.2 D.1
6.(多选题)记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I,若存在x0∈I,使得对任意x∈I,不等式[f(x)-g(x)](x-x0)≥0恒成立,则称f(x),g(x)构成“M函数对”.下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有 ( )
A.f(x)=ln x,g(x)=
B.f(x)=ex,g(x)=ex
C.f(x)=x3,g(x)=x2
D.f(x)=x+,g(x)=3
7.(多选题)已知不等式(ln x-a)(x-a)(x-b)≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则下列结论正确的是 ( )
A.a≤0 B.a≥1
C.b∈(0,1] D.b>1
8.(多选题)已知b>0,若对任意的x∈(0,+∞),不等式ax3+3x2-abx-3b≤0恒成立,则 ( )
A.a<0
B.a2b=3
C.a2+4b的最小值为12
D.a2+ab+3a+b的最小值为6-6
9.已知f(x)=(|x|+a2-1)·ln |x+a|,若f(x)≥0在其定义域上恒成立,则a的值为 .
10.已知函数f(x)=(x+m)ex-x2-(m+1)x在R上单调递增,则实数m的值为 . (共38张PPT)
增分微课3 函数共零点问题
类型一
类型二
类型三
作业手册
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共零点问题是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的
热点.
我们定义：的解区间为正区间， 的解区间为负
区间.
（1）假设对任意的恒成立，说明 与
有相同的正负区间，即他们需要有共同的解区间端点，如果有
零点，那么这两个函数的零点必须是共有的.
（2）假设对任意的恒成立，说明 的正
区间是的负区间或者的负区间是 的正区间，此时他们也
需要有共同的解区间端点，那么这两个函数的零点也必须是共有的.
类型一 多项式函数共零点
例1 设，若时恒有 成立，
则 _ _.
[解析] 设， ，则，
又的图象开口向上， 在上只有一个零点，
若 时恒有成立，则
, 在 上具有相同零点，
且
的零点为， ，解得或，
又, .
[总结反思]
若两个函数解析式的乘积恒大于0（或小于0）且这两个函数在定义
域内有零点，则这两个函数在定义域内有相同的零点.
变式题 [2025·宁波一模]不等式 对任意
恒成立，则 的最小值为( )
A. B.2 C. D.
[解析] 由题意可得是 的一个根，即
，且，所以 ，
，当且仅当
时取等号,所以的最小值为 .故选A.
√
类型二 三角函数共零点
例2 若不等式对任意 恒成立，
则 ( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 如图，作出函数 在
上的图象，
要使不等式对
任意 恒成立，只需函数
与函数在 上有相同的零点.
时，由 ，得
,,
所以 所以 .
[总结反思]
函数与正弦型函数共零点问题，由正弦型
函数确定两个零点，从而根据共零点模型，这两个零点也是函数
的零点，代入解方程便可得到结论.
变式题 若不等式对任意 恒成
立,则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题知，当时， ，所以
；
当时， ，所以；
当时， ，所以.
所以当或时， ，即
解得
；
当时，；
当 时，.符合题意，所以 .故选A.
类型三 指对函数共零点
例3 [2024·新课标Ⅱ卷]设函数,若 ,则
的最小值为( )
A. B. C. D.1
[解析] ， 与
在上具有相同零点， ，即
，
, 的最小值为 ，
故选C.
√
[总结反思]
解决函数共零点问题要注意对数函数定义域的限制.
变式题 已知函数,,，当
时，，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为与在 上具有相同的正负区间，
所以原问题等价于对任意 恒成
立，由共零点性得，即 ,
所以,即 对任意
恒成立，所以，即 ，故选C.
作业手册
1.若不等式对任意的 恒成立，则
( )
A. B., C. D.,
[解析] 当 时， ，而不等式
对任意的恒成立，所以当
时, ，即,
可知, 在上具有相同的零点,
所以，即 ，故选B.
√
◆ 基础热身 ◆
2.已知,满足，，则 的
值为是自然对数的底数 ( )
A. B.1 C. D.
[解析] 设，则 ,则,
又在 上单调递增，
所以由得，
故 ，所以 .故选B.
√
3.已知,，且，若当时，关于 的不等式
恒成立，则必有( )
A. B. C. D.
[解析] 设,,且 ，
因为当时，恒成立，所以有以下两种情况：
的三个零点,,均在内，则，；
有一个不变号零点在内，因为，
所以 或（舍去），得
综上所述，必有 .
√
4.对任意，不等式 恒成立，则
和 的值分别为_ ________.
，
[解析] 由题知与的图象关于 轴对
称，则,所以 ，
不妨取 ，进而得， .
5.[2025·长郡中学月考]设函数，若
恒成立，则 的最小值为( )
A. B. C.2 D.1
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 函数的定义域为，由得 ，由
得，由得，
要使 ，则对于二次函数，当时，
，当时， ，所以为该二次函数的一个零点，
易得 ，则 ，
又其图象开口向上，所以只需，即，
解得，故 的最小值为 .故选B.
6.（多选题）记函数与的定义域的交集为，若存在 ，
使得对任意，不等式 恒成立，则称
,构成“函数对”.下列所给的两个函数能构成“ 函数对”的
有( )
A.， B.,
C., D.,
√
√
[解析] 根据题意得，若存在 ,使得对任
意,当时，,当
时，,则称,构成“ 函数
对”.
对于A，的定义域为, 的定义域为,
则 ，
作出和在 上的大致图象如图①，由图可知，A选项的两个函数
能构成“函数对”；
对于B，的定义域为，的定义域为 ，
则，
,,当
时，可得 ,解得,
当时，,则与的
图象相切于点 ，
作出和在 上的大致图象如图②,由图可知，
不存在,使得当 时，，B选项的两个函数不能构成
“ 函数对”；
对于C，的定义域为，
的定义域为，则，
作出和 在 上的大致图象如图③,
由图可知，C选项的两个函数能构成“函数对”；
对于D， 的定义域为，
的定义域为，则 ,
,当时， ,
当时，,
则在 上单调递减，在 上单调递增，
,,
作出 和在 上的大致图象如图④,
由图可知，的图象与的图象在 上有两个交点，
D选项的两个函数不能构成“ 函数对”.故选 .
7.（多选题）已知不等式对
恒成立，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
[解析] 原问题等价于不等式 对
恒成立，又,所以，且，所以
.故选 .
√
√
8.（多选题）已知，若对任意的 ，不等式
恒成立，则( )
A.
B.
C. 的最小值为12
D.的最小值为
[解析] 由,得 ,
所以,
√
√
√
,当时，,
又对任意的 ,不等式恒成立，
所以当 时，,当时，,
所以为函数 的零点，且,所以,可得
,故A正确，B错误.
因为,所以,所以 ,当
且仅当,即时，等号成立，所以 的最小值为12，
故C正确.
,
令,因为,当且仅当 ,即
时，等号成立，所以,
由 ,得,所以 ,所以
.
因为函数 的图象的对称轴为直线,
所以当时，随 的增大而增大，
所以当时， 取得最小值，最小值为
,所以 的最小值为，
故D正确，故选 .
9.已知，若 在其定义域上恒
成立，则 的值为___.
0
[解析] 因为有两个变号零点, ，所以根据
题意得也有两个变号零点， ，
故 解得 .
10.已知函数在 上单调递增，则
实数 的值为____.
[解析] 由题意得在 上恒
成立，即在上恒成立，
则函数 的零点0也是函数的零点，
所以 ，解得 .
例1 (2)2 变式题A 例2B 变式题A
例3C 变式题C
基础热身
1.B 2.B 3.C 4. ，
综合提升
5.B 6.AC 7.AC 8.ACD 9.0 10.